精讲精练·专项突破 第七章《复数》单元能力提升（含详细解析） (8)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高一下学期人教版（2019）
第七章 《复数》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021高三上·郴州月考）若复数 的共轭复数 满足 （ 为虚数单位），则 （　　）
A． B． C． D．
2．（2021高三上·五华月考）己知 ，则 （　　）
A． B． C． D．
3．（2021·桂林模拟）已知复数 满足 ，则 （　　）
A． B． C． D．
4．（2022·巴中模拟）已知 为虚数单位，若复数z满足 ，则 （　　）
A． B．5 C． D．
5．（2021高一下·越秀期末）复数 在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（2021高二下·赣州期末）已知复数 可以写成 ，这种形式称为复数的三角式，其中 叫复数z的辐角， ．若复数 ，其共扼复数为 ，则下列说法①复数z的虚部为 ；② ；③z与 在复平面上对应点关于实轴对称；④复数z的辐角为 ；其中正确的命题个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2021·云南模拟）已知 是虚数单位， ，则复数 的共轭复数等于（　　）
A． B． C． D．
8．（2021高三上·河北月考）复数满足，则的虚部为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2021高二上·厦门开学考）已知复数z满足 （i是虚数单位），则下列关于复数z的结论正确的是（　　）
A．
B．复数z的共轭复数为
C．复平面内表示复数z的点位于第三象限
D．复数z是方程 的一个根
10．（2021高一下·揭西期末）已知复数 ，则下列结论正确的有（　　）
A． 在复平面对应的点位于第二象限
B． 的虚部是
C．
D．
11．（2021高一下·保定期末）以下四种说法正确的是（　　）
A．
B．复数 的虚部为
C．若 ，则复平面内对应的点位于第二象限
D．复平面内，实数轴上的点对应的复数是实数
12．（2021高一下·淄博期末）已知复数 ， ，则下列结论正确的是：（　　）
A．
B．
C． 为纯虚数
D．复平面上 表示的点在第二象限
三、填空题
13．（2021高三上·台州期末）在复平面内，复数，，（为虚数单位）对应的点分别为、、，则　 　；　 　．
14．（2021·松江一模）已知复数 满足 (i为虚数单位)，则 　 　.
15．（2021高一下·天河期末）已知复数 满足 ，则 　 　.
16．（2021·上海模拟）i是虚数单位，若复数 是纯虚数， ( )，则 的取值范围为　 　；
四、解答题
17．（2021高一下·台州期末）已知复数 ( 为虚数单位).
（1）求 ；
（2）若 ，求实数 和 的值.
18．（2021高二上·重庆月考）已知z是复数，且 和 都是实数，其中i是虚数单位．
（1）求复数z和 ；
（2）若复数 在复平面内对应的点位于第三象限，求实数m的取值范围．
19．（2021高二下·浦东期中）已知复数(为虚数单位)，当为何值时，复数为：
（1）实数；
（2）纯虚数．
20．（2021高一下·温州期末）在复平面内，复数 ， 对应的点分别为（1，-2）， ， ，且 为纯虚数．
（1）求a的值；
（2）若 的共扼复数 是关于 的方程 的一个根，求实数 ， 的值．
21．（2021高二上·浙江开学考）已知i是虚数单位，a， ，设复数 ， ， ，且 ．
（1）若 为实数，求 ；
（2）若复数 ， 对应的向量分别是 ， （O为坐标原点），若O，A，B三点不共线，记 的面积为 ，求 及其最大值．
22．（2021高二下·长春期末）已知复数 .
（1）求 ；
（2）计算： …… ．
答案解析部分
1．【答案】A
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】因为 ，所以 ，则 ，因此 。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合复数与共轭复数的关系，从而求出复数的共轭复数，再利用复数的乘除法运算法则，进而求出复数的共轭复数，从而求出复数z，再利用复数求模公式，进而求出复数的模。
2．【答案】C
【考点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】因为 ，所以 .
故答案为：C
【分析】由复数代数形式的运算性质整理化简即可得出答案。
3．【答案】B
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 ， .
故答案为：B.
【分析】利用复数的运算法则求解Z即可。
4．【答案】A
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】由已知可知 ，
所以 。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则，从而求出复数z，再利用复数求模公式，进而求出复数z的模。
5．【答案】D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 ，
在复平面对应得点为 ，为第四象限.
故答案为：D
【分析】 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.
6．【答案】B
【考点】虚数单位i及其性质；复数求模
【解析】【解答】解：对于①，复数 的虚部为 ，所以①错误；
对于②，因为 ，所以 ，所以 ， ，所以 ，所以②错误；
对于③， 和 在复平面对应的点分别为 ，两点关于实轴对称，所以③正确；
对于④， ，所以复数z的辐角为 ，所以④正确，
故答案为：B
【分析】根据复数的三角式定义，逐项进行判断，即可得出答案。
7．【答案】A
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由条件等式知： ，
∴ .
故答案为：A.
【分析】 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案.
8．【答案】D
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：根据题意，设，（，为虚数单位），则，
所以，
所以，即
所以，其虚部为.
故选：D
【分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求出答案.
9．【答案】A,D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】解： ，所以 ， ,复数z的点位于第二象限，
A对，B,C不符合题意.
将复数 代入方程 得，
，D对，
故答案为：AD.
【分析】 根据题意把已知等式变形，再利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一分析四个选项得答案.
10．【答案】A,C
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】 ，
则 在复平面对应的点为 ，位于第二象限，所以A符合题意，
的虚部为1，所以B不符合题意，
，所以C符合题意，
，所以D不符合题意。
故答案为：AC
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则，从而求出复数z，再利用复数的几何意义求出复数对应的点的坐标，再利用点的坐标确定点所在的象限；利用复数的虚部的定义求出复数z的虚部；利用复数求模公式，进而求出复数z的模；再利用复数与共轭复数的关系，进而求出复数z的共轭复数，从而找出结论正确的选项。
11．【答案】A,D
【考点】虚数单位i及其性质；复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】 ，A符合题意；
复数 的虚部为 ，B不符合题意；
，复数 对应的点 在虚轴的正半轴上，C不符合题意；
复平面内，实数轴上的点对应的复数是实数，D符合题意.
故答案为：AD.
【分析】利用已知条件结合虚数单位的运算法则和复数的乘除法运算法则，从而求出复数；再利用复数的虚部的定义，从而求出复数 的虚部；利用复数的乘法运算法则求出复数z,再利用复数的几何意义求出复数对应的点的坐标，再结合点的坐标确定点所在的象限；再利用已知条件结合复数的几何意义，从而结合复数为实数的判断方法，从而推出复平面内，实数轴上的点对应的复数是实数，进而找出说法正确的选项。
12．【答案】A,C
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】复数 ， ，则 ，A符合题意；
，所以 ，即B不符合题意；
为纯虚数，即C符合题意；
在复平面上表示的点为 ，在第一象限，即D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】 由复数的基本概念、复数的模及复数的代数表示法的几何意义分别分析四个选项得答案.
13．【答案】3；
【考点】数量积表示两个向量的夹角；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由已知可得，
由复数的几何意义可得、、，则，，
所以，。
故答案为：3；。
【分析】由已知结合复数的乘法运算法则得出复数，由复数的几何意义可得三点O,A,B三点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式得出的值。
14．【答案】1
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】解：由 ，
得 ，
∴ ．
故答案为：1．
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解即可。
15．【答案】
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】由题意，复数 满足 ，
所以 ，
所以 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则，从而求出复数z,再利用复数的模求解公式，从而求出复数的模。
16．【答案】[2,+∞)
【考点】虚数单位i及其性质；复数求模
【解析】【解答】由题意， 为纯虚数，
故
，即
故答案为：[2,+∞)
【分析】由复数的运算化简已知复数，由纯虚数的定义可得a的值，再由模长公式可得 的取值范围 。
17．【答案】（1）由题意，复数 ，可得 .
（2）因为 ，可得 ，所以 .
【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【分析】（1）根据已知条件,结合复数模公式，即可求解；
（2）根据已知条件,结合复数的乘法法则,以及复数相等性原则,即可求解.
18．【答案】（1）解：设 ，则 ，
为实数， ，即 ．
为实数，
，则 ；
所以 ，
（2）解：由（1）得，
依题意得 ，解得 ．
实数 的取值范围是
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；复数求模
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合复数的加减法运算法则和复数的乘除法运算法则，再结合 和 都是实数，从而结合复数为实数的判断方法，进而求出复数z，再利用复数求模公式，从而求出复数z的模。
（2）利用复数的加减法运算法则，从而得出复数 ，再利用复数的几何意义得出复数对应的点的坐标，再结合点的坐标确定出点所在的象限，再结合已知条件复数 在复平面内对应的点位于第三象限，从而求出实数m的取值范围。
19．【答案】（1）解：当，
即或时，为实数．
（2）解：当且时，为纯虚数，
解得．
【考点】复数的基本概念
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合复数为实数的判断方法，进而得出实数m的值。
（2）利用已知条件结合复数为纯虚数的判断方法，进而得出实数m的值。
20．【答案】（1）由条件可知 ， ，
，则 ，
所以 ，解得： ；
（2） ，
由条件可知 ，
得 ，
则 ，解得： .
【考点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】 (1)根据已知条件,将 ，则 ，结合 为纯虚数，即可求解；
(2)由于 的共扼复数 是关于 的方程 的一个根，结合韦达定理即可求解.
21．【答案】（1） ，
∵ 为实数，
∴ ，
又 ，
，
解得 或 ，
∴ 或
（2）因为复数 ， ， 对应的向量分别是 ， ， ，
所以 ，设向量 ， 的夹角为 ，
则 ， ，
所以 ，
，
,
，
，
当且仅当 ， 或 ， 取等号，
∴ 的最大值是2．
【考点】函数的最值及其几何意义；基本不等式在最值问题中的应用；复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】(1)根据题意由复数的运算性质整理化简计算出a与b的值，由此得到答案。
(2)由复数的几何意义再由向量模的定义整理得到关于a与b的代数式，由基本不等式即可求出最大值。
22．【答案】（1）
，∴
（2） ，……
有 ，且显然
…… ．
【考点】复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【分析】（1）根据复数的运算，以及复数的模求解即可；
（2）根据in运算的周期性，结合复数的运算求解即可.
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