精讲精练·专项突破 第七章《复数》单元能力提升（含详细解析） (10)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高一下学期人教版（2019）
第七章 《复数》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021高三上·运城开学考）已知复数 满足 ，则 的虚部是（　　）
A．2 B．-2 C．-2i D．2i
2．（2021高三上·商丘开学考）设复数 满足 （ 为虚数单位），则 （　　）
A． B．2 C． D．1
3．（2022·漳州模拟）复数z满足，则z在复平面内对应的点所在的象限为（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2021高三上·珠海月考）已知复数 ，则 （　　）
A． B． C． D．3
5．（2021高一下·天津期末）已知 为虚数单位，则复数 在复平面上对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（2021高二下·云南期末）设复数z满足 .则z的虚部为（　　）
A． B． C． D．
7．（2021·济宁模拟）已知复数 满足 ，则 在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（2021高二下·长春期末）复数 满足 （ 为虚数单位），则 的最大值是（　　）
A．10 B．9 C．7 D．3
二、多选题
9．（2021高一下·南京期末）已知复数 的实部与虚部之和为-2，则 的取值可能为（　　）
A． B． C． D．
10．（2021高二下·湖北月考）下列命题为真命题的是（　　）
A．若 互为共轭复数，则 为实数
B．若i为虚数单位，n为正整数，则
C．复数 的共轭复数为
D．复数为 的虚部为－1
11．（2021·龙岩模拟）下列命题中正确的是（　　）
A．
B．复数 的虚部是-2
C．若复数 ，则复数 在复平面内对应的点位于第一象限
D．满足 的复数 在复平面上对应点的轨迹是双曲线
12．（2021高一下·龙岩期末）设 为复数，则（　　）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 满足 ，则 的最小值为1
三、填空题
13．（2021高二下·潮州期末）复数 (其中 是虚数单位)在复平面内对应的点在第　 　象限.
14．（2021高二上·房山期中）复数 的实部是　 　.
15．（2021·青浦模拟）已知复数 满足 为虚数单位 ，则 的模为　 　.
16．（2021高三上·湖北月考）已知为复数，且，则的最大值为　 　.
四、解答题
17．（2021高一下·延庆期末）分别求实数x的值，使得复数
（1）是实数；
（2）是虚数；
（3）是纯虚数.
18．（2021高一下·平潭月考）已知复数 .
（1）若 对应复平面上的点在第四象限，求m的范围；
（2）若 是纯虚数，求m的值.
19．（2021高一下·张家港期中）
（1）已知复数 是关于x的方程 的一个根，求 的值；
（2）已知复数 ， ， ，求 ．
20．（2021高一下·肥城期中）从①z与复数 相等，②z与复数 成共轭复数，③z在复平面上对应的点在第一、三象限角平分线上这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
问题：若复数 ， ▲ ．求方程 的根．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
21．（2021高二上·江阴开学考）已知复数 ，复数 ，其中 是虚数单位， ， 为实数.
（1）若 ， ，求 的值；
（2）若 ，求 ， 的值.
22．（2021高一下·湖南期末）已知 ， ， 是实数， 是虚数单位.
（1）若 ， ，求 的模；
（2）若 ， 且 ，试求 的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】设 ，则 ， ，
∴ 的虚部是-2．
故答案为：B．
【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数的概念即可得出答案。
2．【答案】A
【考点】复数相等的充要条件
【解析】【解答】设 ，由题意可知， ，即 ，根据复数相等的定义，得 ， ，所以 ，即 ．
故答案为：A
【分析】设 ，得到, 根据系数相等求出a, b的值，从而求出|z|即可.
3．【答案】A
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】解：设复数，
因为 ，
所以 ，
即复数z表所对应的点在以（5，5）为圆心，以2为半径的圆上，
所以z在复平面内对应的点所在的象限为第一象限.
故答案为：A
【分析】设复数 ，由 ，利用其几何意义求解.
4．【答案】A
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 ，
.
故答案为：A
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，可得答案。
5．【答案】B
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为 ，所以其在复平面上对应的点 在第二象限。
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合复数乘法运算法则，从而求出复数z，再利用复数的几何意义求出对应点的坐标，从而根据点的坐标确定点所在的象限。
6．【答案】C
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 ，则 的虚部为 .
故答案为：C.
【分析】 把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简，即可求得z的虚部.
7．【答案】D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由 ，得 ，
所以复数z在复平面内对应的点为 ，
所以对应点位于第四象限.
故答案为：D.
【分析】 先利用复数的除法运算求出z的代数形式，然后由复数的几何意义求出对应的点的坐标，即可得到答案．
8．【答案】B
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算；两点间的距离公式
【解析】【解答】解：设z=x+yi，点P(x,y)，点A,
则由 得|PA|=1
所以点P的轨迹是以点A为圆心，以r=1为半径的圆,
又
则，表示点P与原点O(0,0)的距离的平方
则POmax=AO+r=
所以
故答案为：B
【分析】根据复数的几何意义以及运算法则，结合两点间的距离公式，运用数形结合思想求解即可.
9．【答案】A,B,C
【考点】复数的基本概念
【解析】【解答】因为复数 的实部与虚部之和为 ，
所以 ，即 ，解得 或 ，
又因为 ，所以 或 或 。
故答案为：ABC．
【分析】利用已知条件结合复数的实部和虚部的定义，再利用复数 的实部与虚部之和为-2，从而解一元二次方程求出角的余弦值，再利用角的取值范围，从而求出角可能的值。
10．【答案】A,D
【考点】虚数单位i及其性质；复数的基本概念
【解析】【解答】A选项，设 ，则 为实数，A选项正确.
B选项， ，B选项错误.
C选项， ，其共轭复数是 ，C选项错误.
D选项， 的虚部为 ，D选项正确.
故答案为：AD
【分析】利用复数与共轭复数的关系结合复数乘法的运算法则，再结合复数为实数的判断方法，再利用虚数单位i的运算性质和复数的虚部的定义，进而找出真命题的选项。
11．【答案】A,B
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：对于A： ，A符合题意；
对于B： 故其虚部为 ，B符合题意；
对于C： ，
所以 在复平面内所对应的点的坐标为 位于第四象限，C不符合题意；
对于D：根据复数的几何意义可知，
表示在复平面内点 到 与 的距离之差为常数 ，
所以复数 的轨迹是以 、 为焦点的双曲线的右支，D不符合题意；
故答案为：AB.
【分析】根据复数代数形式的运算及复数的几何意义，逐一进行判断，即可得出答案。
12．【答案】A,C,D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】解：因为 为复数，对于A：若 ，则 为实数，所以 ，故A正确；
对于B：若 ，即 ，即 ，显然当 时，上式也成立，故B错误；
对于C：由 ，则 ，
，
所以 ，故选项C正确；
对于D：设 ， ，因为 ，所以 ，所以 ，则 ，因为 ，所以 ，故D正确；
故答案为 ：ACD
【分析】由复数的基本运算性质以及复数模的定义、复数代数形式的几何意义对选项逐一判断即可得出答案。
13．【答案】三
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 ，
复数对应的点 ， 在第三象限.
故答案为：三.
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则，从而求出复数z,再利用复数的几何意义，进而求出复数z对应的点的坐标，再结合点的坐标确定点所在的象限。
14．【答案】-3
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】 ，故实部为-3.
故答案为：-3.
【分析】由复数代数形式的运算性质整理化简，再由复数的概念即可得出答案。
15．【答案】
【考点】复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】因为 ，所以 ，得 ，
故答案为： .
【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数模的概念即可得出答案。
16．【答案】4
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】由题意设，则
，，即，
即的模的轨迹可理解为以为圆心，半径为2的圆.
则，可理解为求点到点之间的距离，
数形结合可知，的最大值为4．
故答案为：4
【分析】由已知条件结合，复数代数形式的运算性质以及向量模的定义即可得出的模的轨迹为圆，再由题意即可得出为点到点之间的距离，利用数形结合法计算出结果即可。
17．【答案】（1）当 时，即 或 时， 是实数；
（2）当 时，即 且 时， 是虚数；
（3）当 且 时，即 时， 是纯虚数.
【考点】复数的基本概念
【解析】【分析】 (1) z是实数，则虚部等于0，求解即可得答案;
(2) z是虚数,则虚部不等于0，求解即可得答案;
(3) z是纯虚数，则实部等于0，虚部不等于0，求解即可得答案。
18．【答案】（1）解：由题意可得 ，解得
（2）解：题意可得 ，解得
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【分析】(1)由复数代数形式的几何意义即可得到关于m的不等式组求解出m的取值范围即可。
(2)由复数的概念计算出m的值即可。
19．【答案】（1）解：因为 是方程 的一个根，
∴
∴ ，而
∴
∴ ，∴
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴
【考点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合代入法，从而结合复数相等的等价关系，进而解方程组求出p，q的值，从而求出p+q的值。
（2）利用已知条件结合复数的混合运算法则求出复数z，再利用复数求模公式，进而求出复数z的模。
20．【答案】
选择条件①：根据复数相等的充要条件，有 ，解得 ，
∴方程 的根为
选择条件②：根据共轭复数的定义，有 ，解得 ，
∴方程 的根为
选择条件③：由题意， ，解得 ，
∴方程 的根为
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】 由已知得z根据所选的条件，结合复数相等、共复数的定义，结合已知条件在一三象限角平分线上点坐标的性质，列出出方程组求m的值出，进而求方程的根.
21．【答案】（1）当 ， 时 ， ，
所以 ，所以 .
（2）若 ，则 ，
所以 ，所以 解得
【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【分析】 (1)利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出；
(2)利用复数的运算法则、复数相等即可得出.
22．【答案】（1） ，则
，
则 ，
则
（2）若 ，则 ，
变形可得： ，
又 ，
则 时， ， 时， ，
故 的取值范围为
【考点】复数相等的充要条件；复数求模
【解析】【分析】 (1)根据题意,求出，进而计算 ，由复数模的定义计算可得答案；
(2)根据题意,由复数相等的定义可得则 ，变形可得: ，结合二次函数的性质以及 ,分析可得答案.
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