精讲精练·专项突破 第七章《复数》单元能力提升（含详细解析） (12)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高一下学期人教版（2019）
第七章 《复数》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021·淄博模拟）复数 的虚部为（　　）
A． B． C．-2 D．2
2．（2020高二上·龙岗期末）复数 满足 ，其中 为虚数单位，则复数 =（　　）
A． B． C． D．
3．（2021高一下·青岛期中）已知复数 ，其中 为虚数单位， ，若 为纯虚数，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．复数 在复平面内对应的点在第一象限
C．
D．
4．（2021高三上·石家庄月考）设 为虚数单位，复数 满足 ，则在复平面内 对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2021·西安模拟）下面是关于复数 的四个命题：其中的真命题为（　　）
的共轭复数为 的虚部为-1
A． B． C． D．
6．（2021·唐山模拟）已知 是虚数单位， ，若复数 为纯虚数，则 （　　）
A．-2 B．2 C． D．
7．（2021高三上·湖北月考）若复数，则的实部为（　　）
A． B． C． D．
8．（2022高三上·吕梁月考）已知复数（其中为虚数单位，），若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2021高三上·河北月考）在复平面中，已知复数对应的点在第二象限，则实数的可能取值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．（2021高一下·绍兴期末）已知 是虚数单位，复数 ，则（　　）
A． 的实部为-1 B． 的共轭复数是
C． D．
11．已知复数，下列说法正确的是（　　）
A．复数z的虚部是 B．
C． D．复数z的共轭复数
12．（2021高一下·电白期中）已知复数（其中i为虚数单位），下列说法正确的是（　　）
A．复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限
B．
C．
D．为实数
三、填空题
13．（2021高一下·西城期末）设复数 ，则 　 　.
14．（2021高一下·聊城期末）写出一个虚数 ，使 的实部为0，则 　 　．
15．（2020高二上·龙岗期末）复数 在复平面上对应的点在第四象限，则实数 的取值范围为　 　．
16．（2021·南开模拟） 是虚数单位，复数 的共轭复数为　 　．
四、解答题
17．（2021高一下·慈溪期中）已知复数满足|3+4i|+z.=1+3i
（1）求；
（2）求的值.
18．（2021高二下·潮州期末）已知复数 满足 为虚数单位)，复数 .
（1）求 ；
（2）若 是纯虚数，求 的值.
19．（2021高一下·深圳期末）己知z，z1，z2均为复数，在复平面内，z1对应的点的坐标为(3，4)，z2对应的向量坐标为(0，1)，且zz1=-1+7i(其中i为虚数单位)。
（1）求z；
（2）求|(z +i)z2|
20．（2021高一下·安庆期末）已知 是关于x的方程 的一个根，其中 为虚数单位．
（1）求 的值；
（2）记复数 ，求复数 的模．
21．（2021高三上·河南月考）已知复数 ， 的共轭复数为 .
（1）若 ，求： ；
（2）若 ，求 的取值范围.
22．（2021高二下·河南期中）已知复数.
（1）求；
（2）类比数列的有关知识，求.
答案解析部分
1．【答案】D
【考点】复数的基本概念
【解析】【解答】因为 ，
所以虚部为2。
故答案为：D
【分析】利用复数的乘法运算法则，进而求出复数z，再利用复数的虚部的定义，进而求出复数的虚部。
2．【答案】C
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由题意，复数 满足 ，可得 。
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合复数乘除法运算法则，从而求出复数z。
3．【答案】C
【考点】复数的基本概念
【解析】【解答】对于A，因为 为纯虚数，所以 ，所以 ，A不符合题意；
对于B，当 时， ，复数 在复平面内对应的点在第二象限，B不符合题意；
对于C， ，C符合题意；
对于D， ， ，D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】由复数的概念，几何意义有模的概念就可以判断。
4．【答案】D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由题意，
故
在复平面内 对应的点为 ，位于第四象限
故答案为：D
【分析】利用复数的乘除运算法则及几何意义，即可得出答案。
5．【答案】C
【考点】命题的真假判断与应用；复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】因为 ，所以 ，，共轭复数为 ，z的虚部为-1，所以真命题为 。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则，从而求出复数z,再利用复数求模公式，进而求出复数z的模；利用复数的乘法运算法则，从而得出；利用已知条件结合复数与共轭复数的关系，从而求出复数z的共轭复数；再利用复数的虚部的定义，从而求出复数z的虚部，进而找出真命题的选项。
6．【答案】A
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由题意 ，
又由 为纯虚数，所以 ，解得 。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则，从而求出复数 的代数表达式，再利用复数为纯虚数的判断方法，从而求出a的值。
7．【答案】A
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】因为，
所以，
所以的实部为，
故答案为：A
【分析】 根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求出答案.
8．【答案】A
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】∵
∴，又复数在复平面内对应的点在第二象限，
∴解得，
∴ 实数的取值范围为，
故答案为：A.
【分析】根据复数的运算及其几何意义得到关于a的不等式组，求解可得实数的取值范围.
9．【答案】C,D
【考点】虚数单位i及其性质；复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】因为复数在第二象限，所以
故答案为：CD.
【分析】利用已知条件结合虚数单位i的运算法则和复数的运算法则，得出复数 ，再利用复数的几何意义得出复数对应的点的坐标，再结合点在第二象限，从而得出实数a的取值范围，进而求出实数a可能的值。
10．【答案】B,D
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：由题意得z=(1-i)i=i-i2=1+i，则，z2=(1+i)2=1+2i+i2=2i.
故答案为：BD
【分析】根据复数的运算法则，结合共轭复数的定义求解即可.
11．【答案】C,D
【考点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数求模
【解析】【解答】复数z的虚部是2;
;
;
复数z的共轭复数.
故答案为：CD
【分析】由复数的概念、模长公式及四则运算逐项判断即可。
12．【答案】C,D
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】复数（其中为虚数单位），
复数 在复平面上对应的点 不可能落在第二象限，所以 不正确；
，所以 不正确；
．所以 正确；
为实数，所以 正确；
故答案为：CD
【分析】由三角函数值的符号可判断A，由模长公式可判断B，由复数的四则运算可判断C,D.
13．【答案】
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】 ，
所以 。
故答案为： 。
【分析】利用复数乘除法运算法则求出复数z，再利用复数求模公式，从而求出复数的模。
14．【答案】 或 （答案不唯一，凡符合 或 （ 且 ）形式的均正确）
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】设复数 ，则 ，
因为 的实部为0，所以 ，即 ，
所以答案为 或 （答案不唯一，凡符合 或 （ 且 ）形式的均正确）.
故答案为： 或 （答案不唯一，凡符合 或 （ 且 ）形式的均正确）.
【分析】利用已知条件结合虚数的定义，从而设出复数z,再利用复数的乘法运算法则结合复数的实部的定义，再结合已知条件 的实部为0，从而求出满足要求的复数z。
15．【答案】（2,6）
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】因为复数 在复平面上对应的点在第四象限，
所以 ，即 ，所以 ，
所以实数 的取值范围为（2,6）。
故答案为：（2,6）。
【分析】利用复数的几何意义求出复数对应的点的坐标，再利用点的坐标所在的象限，从而结合已知条件复数 在复平面上对应的点在第四象限，进而求出实数 的取值范围。
16．【答案】i
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 ，因此，复数 的共轭复数为 。
故答案为：i。
【分析】利用复数的乘除法运算法则求出复数，再利用复数与共轭复数的关系，进而求出复数的共轭复数。
17．【答案】（1）解：∵|3+4i|+z.=1+3i，
∴，
∴，
∴，
∴.
（2）解：由（1）得，.
【考点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合复数求模公式和复数相等的等价关系，得出复数z，再结合复数与共轭复数的关系，进而求出复数z的共轭复数。
（2）利用已知条件结合复数的混合运算法则，进而求出复数 的值。
18．【答案】（1）解： ， ，
（2） ，
是纯虚数， ，
.
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】（1）利用已知条件就结合复数的乘除法运算法则，进而求出复数 。
（2）利用已知条件结合复数的乘法运算法则，再结合复数为纯虚数的判断方法，进而求出m的值。
19．【答案】（1）由题意知z1=3+4i，
解zz1=-1+7i，得z=
所以z= =1+i
（2）由题意知z2=i，
则(z+i)z2=(1+ 2i)i=-2+i
所以 |(z+i)z2| =|2+i|=
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【分析】（1）根据复数的几何意义，结合复数的运算法则求解即可；
（2）根据复数的运算法则，结合复数的模求解即可.
20．【答案】（1）根据条件可将 代入方程 ，整理得 ，所以 ，解得
（2）由（1）可知 ，
所以
于是 ，
因此复数 的模为 .
【考点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【分析】 (1 )由己知结合实系数一元二次方程虚根成对原理可得方程的另一个，再由根与系数的关系求解p与q的值；
(2)把(1)中求得的p与q的值代入z=p+ (-q+4)i,再由商的模等于模的商求解.
21．【答案】（1） ，
当 时， ，则 ，
.
（2）由 ，得 ，
整理，得 ，
即 ，解得 或 ，
即 的取值范围为 .
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】（1）利用复数代数形式的乘除运算化简z，再由共轭复数的概念得 ，进而求出 ；
（2） 由 ，得 ，求解可得 的取值范围.
22．【答案】（1）解：，
所以
（2）解：是以为首项，为公比的等比数列前20项之和，
于是有，
而，，则，
所以原式
【考点】等比数列的前n项和；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【分析】（1）先求出，再求复数模即可；
（2）由题可知 是以为首项，为公比的等比数列前20项之和 ，按照等比数列求和公式求解即可.
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