精讲精练·专项突破 第七章《复数》单元能力提升（含详细解析） (15)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高一下学期人教版（2019）
第七章 《复数》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2020高二下·海安月考）已知复数 满足 ，则 的共轭复数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由 ，得 ，所以 ．
故选：B
【分析】根据复数的除法运算法则和共轭复数的定义直接求解即可.
2．（2020高二下·天津期中）i为虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数m=（　　）
A．-1 B．0 C．1 D．0或1
【答案】C
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 是纯虚数，
，即 ，
故答案为：C．
【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简 ，再利用纯虚数的定义求解即可．
3．（2021高二下·河南期末）已知 为虚数单位，则 （　　）
A． B．5 C． D．
【答案】C
【考点】复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】 。
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合复数的混合运算法则和求模公式，从而求出的值。
4．（2021高一下·南安期中）设复数 （i为虚数单位），则在复平面内z对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】复数 ，对应的点坐标为 ，在第一象限.
故答案为：A.
【分析】先做复乘法，得到Z，再根据Z的坐标判断。
5．复数 为纯虚数，则 (　　)
A．i B．﹣2i C．2i D．﹣i
【答案】B
【考点】复数的基本概念
【解析】【解答】∵ 为纯虚数，
∴ ，解得 .
.
故答案为： .
【分析】复数 为纯虚数，则实部为0，虚部不为0，求出a，即得z.
6．（2021高一下·安徽期中）已知复数（为虚部单位），则的最大值为（　　）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】D
【考点】复数代数形式的加减运算；复数求模；余弦函数的定义域和值域
【解析】【解答】复数为虚部单位），
，
，
则当 时， 取最大值3。
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合复数的加减法运算法则和复数求模公式，得出 ，再利用余弦型函数的图像求最值的方法，进而得出的最大值 。
7．若复数 满足 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】由
则
由 ，所以
则
故答案为：B
【分析】根据复数的除法、乘法法则，计算Z，然后根据复数模的运算方法，可得结果.
8．（2020·西安模拟）设复数 （ ，i为虚数单位），若 ，则 的概率为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】复数求模；几何概型
【解析】【解答】解：由题意： ，且 ，
可得： ，故点 在以 为圆心，1为半径的圆及其内部，
而 表示 上方部分，如图所示，
可得所求概率为弓形面积与圆面积之比，
可得所求概率：
故选：D.
【分析】首先由题意画出图形，分别求出圆的面积以及满足 的区域面积，利用几何概型的概率公式计算可得答案.
二、多选题
9．（2020高二下·东海期中）下列关于复数的说法，其中正确的是（　　）
A．复数 是实数的充要条件是
B．复数 是纯虚数的充要条件是
C．若 ， 互为共轭复数，则 是实数
D．若 ， 互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于 轴对称
【答案】A,C
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：对于 ：复数 是实数的充要条件是 ，显然成立，故 正确；
对于 ：若复数 是纯虚数则 且 ，故 错误；
对于 ：若 ， 互为共轭复数，设 ，则 ，所以 是实数，故 正确；
对于 ：若 ， 互为共轭复数，设 ，则 ，所对应的坐标分别为 ， ，这两点关于 轴对称，故 错误；
故答案为：AC
【分析】 利用实数和纯虚数的概念即可判定选项A正确，选项B错误，再利用共轭复数的定义即可判定选项C正确，选项D错误，由此得出答案。
10．（2021·湖北模拟）设 ， 是复数，则（　　）
A． B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】A,C
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】设 ， ，a，b，x， ，
，A成立；
，则 ，所以 ， ，
从而 ，所以 ，C成立；
对于B，取 ， ，满足 ，但结论不成立；
对于D，取 ， ，满足 ，但结论不成立.
故答案为：AC
【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理化简，再由复数模的定义对选项逐一判断即可得出答案。
11．（2021·德州模拟）已知复数 （ 为虚数单位），下列说法正确的是（　　）．
A． 对应的点在第三象限
B． 的虚部为
C．
D．满足 的复数 对应的点在以原点为圆心，半径为2的圆上
【答案】A,B
【考点】虚数单位i及其性质；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】由题意，复数 ，
所以复数 在复平面内对应的点 位于第三象限，所以A符合题意；
由 ，可得复数的虚部为 ，所以B符合题意；
由 ，所以C不正确；
由 ，
所以满足 的复数 对应的点在以原点为圆心，半径为 的圆上，所以D不正确.
故答案为：AB.
【分析】 由复数的除法法则化简复数z，求得复数z的模、复数的虚部，即可得到结论．
12．（2021高二下·重庆期末）已知复数z满足 ，则下列说法正确的是（　　）
A．z的共轭复数是 B．
C．z的虚部是 D．
【答案】A,B
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】 ，
对A， ，A符合题意；
对B， ，B符合题意；
对C， 的虚部为 ，C不符合题意；
对D， ，D不符合题意.
故答案为：AB
【分析】 先利用复数的除法运算求出z,然后依次判断四个选项即可.
三、填空题
13．（2022·松江模拟）已知复数（其中是虚数单位），则　 　.
【答案】
【考点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】由已知条件可得。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合复数的混合运算法则，从而求出复数。
14．（2020高一下·北京期中）如果复数 是实数，则实数 　 　.
【答案】-1
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】复数 是实数，则 ，即 .
故答案为：-1.
【分析】根据题意得到 ，解得答案.
15．（2020高二下·天津期中）计算 　 　， 　 　.
【答案】-1+i；
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数求模
【解析】【解答】 ，故 ，故 .
故答案为： ； .
【分析】化简得到 ，再计算共轭复数模得到答案.
16．（2021高一下·江门月考）已知 ， ， ，则 　 　
【答案】1
【考点】复数求模；两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴可设z1=cosα+sinαi，z2=cosβ+sinβi，α，β∈(0,π)，
∴
∴
∴
故答案为：1
【分析】根据复数的模，结合两角差的余弦公式求解即可.
四、解答题
17．已知m为实数，设复数 .
（1）当复数 为纯虚数时，求m的值；
（2）当复数 对应的点在直线 的上方，求m的取值范围.
【答案】（1）解：由题意得： ，解得
（2）解：复数 对应的点的坐标为 ，
直线 的上方的点的坐标 应满足 ，
即： ，解得 或 ，
∴m的取值范围为
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【分析】(1)结合题意由复数的概念即可得到关于m的方程组求解出m的值即可。
(2)根据复数的几何意义以及点与直线的位置关系即可得到关于m的不等式求解出m的取值范围即可。
18．（2020高二下·潍坊期末）在① 为实数，② 为虚数，③ 为纯虚数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.
已知复数：
（1）若_________，求实数m的值；
（2）当 在复平面内对应的点位于第三象限时，求 的取值范围.
【答案】（1）解：选择①，当 为实数时，
有 ， 解得 或 ，
选择②，当 为虚数时，
有 ， 解得 或 ，
选择③，当 为纯虚数时，
有 ， 解得 ，∴ ；
（2）解：因为 在复平面内对应的点位于第三象限，
所以 ，
解得 ，
所以 的取值范围为 .
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】(1) 选择①由复数的概念即可得到关于m的方程求解出m的值即可。 选择② 由复数的概念即可得到关于m的方程求解出m的值即可。
(2)根据题意由复数代数形式的几何意义即可得到关于m的不等式组求解出m的取值范围即可。
19．（2020高二下·郑州期末）已知复数 满足 （ 是虚数单位）.
求：
（1）
（2） .
【答案】（1）解：由题 .即
（2）解：由(1) ,故 ,故 .
即
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【分析】(1)易得 ,再利用复数的除法运算即可.(2)由(1)分别求得 再计算 求模长即可.
20．（2021高一下·南京期末）在① ，②z为纯虚数，③ 且 对应的点在第一象限内，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
已知复数 （i为虚数单位）， 为z的共轭复数，若 ▲ ，求实数m的值或取值范围．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件给分）
【答案】选①：
由 得
解得 或 ；
选②： 为纯虚数，所以 解得 ；
选③：由 得 ，
又 对应的点在第一象限内，则 ，故 或 ．
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】 在① ，②z为纯虚数，③ 且 对应的点在第一象限内，这三个条件中任选一个，补充在问题中，并解决该问题。 选①：利用复数与共轭复数的关系结合已知条件，再利用复数的加法运算法则和复数相等的等价关系，从而求出m的值；
选②：利用复数 为纯虚数结合复数为纯虚数的判断方法，从而求出m的值；
选③：由 结合复数z和复数的乘除法运算法则求出复数 ，再利用复数 对应的点在第一象限内结合复数的几何意义，从而利用点的坐标确定点所在的象限，进而求出m的取值范围。
21．（2020高二下·运城期末）已知复数 的共轭复数 ，且 .
（1）求 的值；
（2）若过点 的直线 的斜率为 ，求直线 与曲线 以及 轴所围成的图形的面积.
【答案】（1）解：复数 的共轭复数 ，且 ，
∴ ，
∴ ，即 ，解得 ；
（2）解：过点 的直线 的斜率为 ，
∴直线 的方程为： ；
令 ，解得 ，
∴直线 与曲线 的交点为 ；
如图所示，
曲线 与直线 以及 轴所围成的图形的面积为：
.
【考点】定积分在求面积中的应用；复数的基本概念
【解析】【分析】 (1)利用复数相等与代数运算，列出方程求出k的值.
(2)写出直线l的方程，求出直线l与曲线的交点，再利用积分求对应的面积.
22．（2020高二上·平谷开学考）设 ,关于x的方程 的两个根分别是 和 .
（1）当 =1+i时，求 与m、n的值；
（2）当 时，求 的值.
【答案】（1）由题意知 是关于x的方程 的一个根
，整理得
，
即关于x的方程为 ，依据根与系数的关系得：
，
综上所述，结论是：
（2）当 时，方程为 ,
则方程的两根为 即 ，
设 ，
则 ，
综上所述，结论是： 的值是4.
【考点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系；复数求模
【解析】【分析】（1） 由题意知 是关于x的方程 的一个根，再结合代入法和复数相等的充要条件，再结合韦达定理求出 与m、n的值。
（2） 当 时，方程为 , 再利用求根公式得出方程的根，再设两个根为 ， 再利用复数求模公式，从而求出 的值 。
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