精讲精练·专项突破 第七章《复数》单元能力提升（含详细解析） (17)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高一下学期人教版（2019）
第七章 《复数》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021·凉山州模拟）复数 的实部和虚部分别为 ， ，则 （　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：A.
【分析】利用两个复数代数形式的除法运算性质，把复数化为最简形式，得到其实部和虚部的值，进而求得结果。
2．（2021高一下·深圳期末）复数z的共轭复数是1+ i(其中i为虚数单位)，则z的虛部是(　　)
A． i B． C．- i D．-
【答案】D
【考点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：由题意得，故 z的虛部是.
故答案为：D
【分析】根据复数的概念求解即可.
3．（2021高三上·河南月考）复数 满足 ，则 =（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【考点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】设 ，则 ，
则 ，
因为 ，即 ，
所以 ，解得 ，
所以 ， .
故答案为：B.
【分析】利用复数的运算法则即可得出答案。
4．（2020高三上·西藏月考）若复数 满足 ，则 （　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】 ，
。
故答案为：B．
【分析】利用复数的乘法运算法则求出复数z，再利用复数的模求解公式，从而求出复数z的模。
5．（2021高三上·浙江期末）在复平面内，复数对应的点在第（　　）象限.
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】A
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】，
故选：A.
【分析】 利用复数代数形式的除法运算化简，由其对应的点可得答案.
6．（2020高二下·吉林月考）已知复数z满足 ，则复数 的虚部为（　　）
A．2 B．-2 C．2i D．-2i
【答案】B
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由题意 ，虚部为－2．
故答案为：B．
【分析】由复数除法运算计算出z，再由复数的定义得出结论．
7．（2020高二下·四川期中）若复数 是纯虚数，则 的值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】虚数单位i及其性质
【解析】【解答】若复数 是纯虚数，
则 且 ，
所以 ， ，
所以 ，故 ．
故答案为：C．
【分析】根据所给的复数是一个纯虚数，得到虚数的实部等于0，而虚部不等于0，得到角的正弦和余弦值，根据同角三角函数之间的关系，得到结果。
8．（2020高三上·营口月考） ， 是锐角三角形 的两个内角，则复数 对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】 ， 是锐角三角形 的两个内角，则 ，则 ，
， ，
故 ，即 ，
故 ，即 ，
故 对应的点位于第四象限.
故答案为：D.
【分析】根据锐角三角形得到，根据三角函数单调性得到，，即可得到答案。
二、多选题
9．（2021高一下·孝感期末）若复数 ，其中 为虚数单位，则下列结论正确的是（　　）
A． 的虚部为-1 B．
C． 为纯虚数 D． 的共轭复数为
【答案】A,B
【考点】虚数单位i及其性质；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】因为 ，
对于A： 的虚部为 ，正确；
对于B：模长 ，正确；
对于C：因为 ，故 不是纯虚数，C不正确；
对于D： 的共轭复数为 ，D不正确.
故答案为：AB.
【分析】 根据已知条件,运用复数的乘法法则，可得z= -2- i,再结合复数模公式，纯虚数和共轭复数的定义，逐项进行分析，可得答案。
10．（2021高一下·无锡期末）下面四个命题中，真命题为（　　）
A．若复数 满足 ，则
B．若复数 满足 ，则
C．若复数 ，则
D．若复数 ，则
【答案】A,C
【考点】复数的基本概念
【解析】【解答】设 ，则 ，得 ，即 正确；
当 时， ，但 不是实数，B不符合题意；
由于 ， ， ，即 ，C符合题意；
取 ， ，则 ，但是 ，D不符合题意．
故答案为：AC．
【分析】 根据复数的基本概念，结合举例说明，逐项判定，即可求解.
11．（2020高一下·邹城期中）已知集合 ，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【考点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】根据题意， 中，
时， ；
时，
； 时， ；
时， ，
.
A中， ；
B中， ；
C中， ；
D中， .
故答案为：BC.
【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.
12．（2020高二下·通州期中）下列说法正确的有（　　）
A．任意两个复数都不能比大小
B．若 ，则当且仅当 时，
C．若 ，且 ，则
D．若复数 满足 ，则 的最大值为3
【答案】B,D
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】A，复数 ,当 时, 为实数,可以比较大小,
A为假命题.
B，复数 ,当 时, 且 ,
B为真命题.
C，当 时, ,但
C为假命题.
D，设
复数 满足 ，可得：
即： ，
由 ，可得
将 代入可得：
D为真命题.
故答案为：BD
【分析】 根据题意由复数的基本性质，结合举反例，以及复数的模的定义，对选项逐一判断即可得出命题的真假由此即可得出答案．
三、填空题
13．（2020高二上·贺兰月考）已知 ， ， 且 和 为共轭复数，则 　 　.
【答案】-6
【考点】复数的基本概念
【解析】【解答】解： ， ， 且 和 为共轭复数，
， ．
故答案为：-6．
【分析】由共轭复数的定义即可得出a与b的值，由此即可得出答案。
14．（2021高二下·洮南期中）复数z＝5－12i在复平面内对应的点到原点的距离为　 　．
【答案】13
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；两点间的距离公式
【解析】【解答】复数z＝－5－12i在复平面内对应点Z(－5，－12)，所以点Z与原点O的距离为 。
故答案为：13。
【分析】利用复数的几何意义求出复数z对应的点的坐标，再利用两点距离公式，进而求出复数z＝5－12i在复平面内对应的点到原点的距离 。
15．（2020高一下·济宁期末）在平行四边形 中，对角线 与 相交于点O，若向量 ， 对应的复数分别是 ， ，则向量 对应的复数是　 　.
【答案】
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】因为向量 ， 对应的复数分别是 ， ，
所以
故答案为：
【分析】根据题意由复数代数形式的几何意义即可求出，所对应的复数，再由向量的运算性质即可得出答案。
16．（2020高二上·上海期末）设复数 满足 ，且使得关于 的方程 有实根，则这样的复数 的和为　 　.
【答案】
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】设 ，( ， 且 )
则原方程 变为 .
所以 ，①且 ，②；（1）若 ，则 解得 ，当 时①无实数解，舍去；
从而 ， 此时 或3，故 满足条件；（2）若 ，由②知， 或 ，显然 不满足，故 ，代入①得 ， ，
所以 .
综上满足条件的所以复数的和为 .
故答案为：
【分析】 根据题意设出z=a+bi，（a，b∈R，a2+b2=1），得到ax2+2ax+2=0①，bx2-2bx=0②，通过讨论求出a，b的值，即可求出满足条件的所有z，相加即可得到答案．
四、解答题
17．若复数 (a是实数)是纯虚数，求复数 .
【答案】解：因为复数 (a是实数)是纯虚数，
所以 ，
解得 ，
所以
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】根据 是纯虚数求出a，由复数的运算法则求 即可.
18．已知复数 的虚部大于0，且 ．
（1）求 ；
（2）求复数 的实部．
【答案】（1）解：设 ，
则 ，
所以 ，
整理得 ，解得 ，
又 ，所以 ．
因为复数 的虚部大于0，
所以 ，
（2）解：因为
所以复数 的实部为
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】 （1）根据题意设x=a+bi（a，b∈R，b≥0），结合|由此即可得到关于a与b的方程求解出结果，即可得到复数z。
(2) 结合已知条件把（1）中求得的z代入 再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
19．（2021高一下·龙岩期末）已知复数 ．
（1）若 ，求 ；
（2）求 的最小值．
【答案】（1）解：因为 ，
所以 ，
所以 或 ．
（2）
所以 时， 的最小值为
【考点】复数的基本概念；复数求模
【解析】【分析】(1)由复数的运算性质整理即可求出a的值。
(2)结合复数模的定义代入数值计算出结果即可。
20．（2020高二下·海丰月考）已知复数 .
（1）当实数m取什么值时，复数z是1；
（2）复平面内第一、三象限角平分线上的点对应的复数.
【答案】（1）解： .
当 即 时，z为1.
（2）解：当 ，即 或 时， 为复平面内第一、三象限角平分线上的点对应的复数
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【分析】（1）根据实部为1，虚部为零可求m的值；（2）根据实部和虚部相等可求 的值.
21．（2020高二上·黄陵期末）已知复数 ， .
（1）求 及 并比较大小；
（2）设 ，满足条件 的点 的轨迹是什么图形？
【答案】（1）解： ，
，
∴ .
（2）解：由 及（1）知 .
因为 的几何意义就是复数 对应的点到原点的距离，所以 表示 所表示的圆外部所有点组成的集合， 表示 所表示的圆内部所有点组成的集合，故符合题设条件点的集合是以 为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环（包含圆周），如图所示．
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用复数的模的计算公式求出 、 即可解答.（2）根据 的几何意义及（1）中所求的模 、 可知 的轨迹.
22．（2020高二下·东莞期末）已知复数 (i为虚数单位).
（1）若z是纯虚数，求实数 的值；
（2）在复平面内，若z所对应的点在直线 的上方，求实数m的取值范围.
【答案】（1）解： 是纯虚数， ，
解得 ，
（2）解：z所对应的点是 ，
所对应的点在直线 的上方，即 ，
化简得 ，即 ，
.
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【分析】（1）由复数的分类求解；（2）写出对应点的坐标，点在直线 上方，就是点的坐标适合不等式 代入后不等式可得．
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