精讲精练·专项突破 第七章《复数》单元能力提升（含详细解析） (19)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高一下学期人教版（2019）
第七章 《复数》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2020高一下·罗庄期末）若复数 满足 （ 为虚数单位），则 在复平面上对应的点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】复数相等的充要条件；复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，故 在复平面上对应的点的坐标为 。
故答案为：D.
【分析】利用复数的乘除法运算法则，从而求出复数z，再利用复数的几何意义，从而求出复数对应的点的坐标。
2．（2022高三下·大连开学考）若复平面内点（1，-2）对应的复数为z，则 ＝（　　）
A． B．2i C．－2i D．2
【答案】C
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：由题意得z=1-2i,则 ，
故答案为：C.
【分析】根据复数的概念，结合复数的运算求解即可.
3．（2021·江苏模拟）“虚数”这个词是17世纪著名数学家 哲学家笛卡尔创制的，当时的观念认为这是不存在的数.人们发现，最简单的二次方程 在实数范围内没有解.已知复数 满足 ，则 （　　）
A．4 B．2 C． D．1
【答案】B
【考点】复数求模
【解析】【解答】解：因为 ，
所以 ，
故 ，
所以 ．
故答案为：B．
【分析】 利用复数模的运算性质求解即可.
4．（2021·上饶模拟）设复数 ，则复数 的虚部是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】
∴ 的虚部为
故答案为：D
【分析】首先由复数的运算性质整理化简再由复数的定义即可得出答案。
5．（2021·平顶山模拟）若复数 满足 ， 为虚数单位，则 的最大值为（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】A
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】由 知，复数 对应的点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，
表示圆上的点 与点 之间的距离，
所以 .
故答案为：A
【分析】由 复数的几何意义知 对应的点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，则 表示圆上的点 与点 之间的距离，据此可求 的最大值.
6．（2020高二下·大庆月考）若复数 满足 ，其中 为虚数为单位，则 =（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】因为 ，所以， ，所以，
故选A.
【分析】由已知利用复数的乘法运算，得到共轭复数，即可求出.
7．（2020高二下·大庆月考）已知i为虚数单位，如果复数z满足 ，那么 的最小值是（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数求模；轨迹方程
【解析】【解答】设复数 ， ， 在复平面内对应的点分别为 ， ， ，因为 ， ，
所以复数 在复平面内对应的点的轨迹为线段 （包括端点），如图所示.
问题转化为：动点Z在线段 上移动，求 的最小值.因此作 于 ，则 与 之间的距离即为所求的最小值，即 .
故选：A.
【分析】首先根据 ，结合复数模的几何意义，判断出 对应点的轨迹，再根据 的几何意义，求得 的最小值.
8．（2020高二下·合肥开学考）若复数z的共轭复数记作 ，且复数 满足， 其中i为虚数单位，所以的虚部为（　　）
A． B． C．-2 D．2
【答案】D
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】设 ，则 ，
，
所以 ， ，所以 ，故 ，
所以 的虚部为2.
故答案为：D.
【分析】 首先根据题意设出z=a+bi（a，b∈R），代入，整理后利用复数相等的条件求解a与b的值，即可得出则答案。
二、多选题
9．（2022·茂名模拟）已知复数z的共轭复数为，若，则（　　）
A．z的实部是1 B．z的虚部是
C． D．
【答案】A,C
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；复数求模
【解析】【解答】解：因为，所以，所以，，的实部为1，虚部为-1；
故答案为：AC
【分析】由复数得四则运算，共轭复数得概念，模长公式即可求解。
10．（2020高二下·沭阳期中）对于复数 ，下列结论错误的是（　　）.
A．若 ，则 为纯虚数 B．若 ，则
C．若 ，则 为实数 D．纯虚数 的共轭复数是
【答案】A,B
【考点】复数的基本概念；复数相等的充要条件
【解析】【解答】解：因为
当 且 时复数为纯虚数，此时 ，A不符合题意，D符合题意；
当 时，复数为实数，C符合题意；
对于B： ，则 即 ，B不符合题意；
故错误的有A、B；
故答案为：A、B
【分析】利用已知条件结合复数为纯虚数的判断方法，再结合复数相等的判断方法求出a，b的值，再利用已知条件结合复数为实数的判断方法，再结合复数为纯虚数的判断方法结合复数与共轭复数的关系，进而求出纯虚数z的共轭复数，从而选出结论错误的选项。
11．（2021高二下·十堰期中）已知i为虚数单位，下列说法中正确的是（　　）
A．若复数z满足，则复数z对应的点在以为圆心，为半径的圆上
B．若复数z满足，则复数
C．复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模
D．复数对应的向量为，复数对应的向量为，若，则
【答案】C,D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数求模
【解析】【解答】满足的复数z对应的点在以为圆心，为半径的圆上，A不符合题意；
在B中，设 ，则 .
由 ，得 ， 解得 ，B不符合题意；由复数的模的定义知C符合题意；
由 的几何意义知，以 ， 为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，D符合题意.
故答案为：CD
【分析】由复数模的几何意义，判断A不符合题意；设 ，代入，整理后利用复数相等的条件，判断B不符合题意；由复数的模的定义知C符合题意；由的几何意义知，以，为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，即可判断D符合题意.
12．（2021高一下·越秀期末）已知复数 ，则（　　）
A．当 时， 是实数
B．当m=0时，z是纯虚数
C．当 时，
D．当 时， 是方程 的一个根
【答案】A,B,D
【考点】复数的基本概念；复数相等的充要条件
【解析】【解答】对A，当 时， ，此时 是实数，A符合题意；
对B，当 时， ，此时 是纯虚数，B符合题意；
对C， 时， ，则 ，C不符合题意；
对D，当 时， ，
，D符合题意.
故答案为：ABD
【分析】 利用实数、纯虚数、共轭复数、复数相等的定义对四个选项逐一分析判断即可.
三、填空题
13．（2021高一下·宣城期中）复数在复平面内对应点为，则的实部为　 　．
【答案】-2
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】在复平面内对应点为（1，-2），，
，
的实部为-2。
故答案为：-2。
【分析】利用已知条件结合复数的几何意义得出对应的复数z，再利用复数的乘除法运算法则结合复数的实部的定义，进而得出复数 的实部 。
14．（2020高三上·广东月考）若复数 ，则 等于　 　.
【答案】-1-i
【考点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】 ，则
故答案为：-1-i
【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理即可得出答案。
15．（2021高一下·天津期中）i是虚数单位，则 　 　.
【答案】
【考点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解： ，
故答案为：
【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理即可得出答案。
16．（2021高一下·慈溪期中）已知z1＝2－2i，且|z|＝1，则|z－z1|的最大值为　 　．
【答案】＋1
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数求模；轨迹方程
【解析】【解答】如图所示，
因为|z|＝1，所以复数z对应的点的轨迹可看作是半径为1，圆心为原点的圆，而z1对应的点为(2，－2)，所以|z－z1|的最大值可以看成点(2，－2)到圆上的点的最大距离，
则|z－z1|的最大值为2 ＋1。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件|z|＝1结合复数求模的公式，再结合圆的定义得出复数z对应的点的轨迹可看作是半径为1，圆心为原点的圆，再利用复数的几何意义得出复数z1对应的点的坐标，再结合几何法得出|z－z1|的最大值可以看成点(2，－2)到圆上的点的最大距离，再结合两点距离公式结合圆的半径以及求和法得出|z－z1|的最大值。
四、解答题
17．（2021高二下·威宁县期末）已知复数 ( )．
（1）若 在复平面中所对应的点在直线 上，求 的值；
（2）求 的取值范围．
【答案】（1）由题知， .
若复数 复平面中所对应的点 在直线 上，
则 ，解得 .
（2）因为 ，所以
.
故 的取值范围为 .
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【分析】(1)首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数代数形式的几何意义即可得出所对应的点的坐标，然后把点的坐标代入到直线的方程计算出a的值即可。
(2)首先由复数模的定义整理，再结合二次函数的性质即可求出复数模的取值范围。
18．（2020高二下·黄山期末） 为虚数单位， 是虚数， 是实数，且 ， .
（1）求 及 的取值范围；
（2）求 的最小值.
【答案】（1）解： ，因为 是实数，
所以 ，又 ，所以 ，所以
因为 ，且 ，所以
（2）解：由题意知 ，
所以
，当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为1
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】(1)首先由复数代数形式的运算性质整理化简再结合复数的定义即可求出由此得到，从而得到即a的取值范围。
(2)根据题意设整理化简再由基本不等式即可求出最小值即可。
19．（2021高一下·温州期中）已知复数z满足，复数z的共轭复数为
（1）求
（2）若复数满足，求的最小值和最大值．
【答案】（1）解：因为，所以，
所以；
（2）解：因为，所以在复平面内对应点的轨迹是以为圆心，半径的圆，
所以表示圆上的点到原点的距离，
所以，
所以.
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【分析】（1）首先根据题意求解出 ,然后根据复数的运算法则求解出 ；
（2）首先根据 判断出复数z1在复平面内对应点的轨迹，然后根据复数模的几何意义求解出|z1|的最值.
20．（2020高三上·上海月考）已知复数
（1）若 ，求角 ；
（2）复数 对应的向量分别是 ，其中 为坐标原点，求 的取值范围.
【答案】（1）解：由 ，
可得
，
由 ，可得： ，
所以 ，所以 或 ；
（2）解：由题意可得 ，
由 ，所以 ，
所以 ，
所以 的取值范围为 .
【考点】数量积的坐标表达式；复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；三角函数的最值
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合复数乘法运算法则，进而求出复数，再利用复数为实数的判断方法结合 ， 从而结合二倍角的正弦公式求出角的值。
（2）利用复数的几何意义求出复数 分别对应的向量 的坐标，再利用复数的乘法运算法则结合辅助角公式，将 转化为正弦型函数，再利用 ， 结合换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像求出正弦型函数的值域，进而求出 的取值范围。
21．（2020高二下·辽阳期末）设复数 .
（1）求z的共轭复数 ；
（2）设 ， ，求 的值.
【答案】（1）解：因为 ；
所以 ；
（2）解：因为 ，
所以 ，解得 或 .
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【分析】 （1）利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，再由共轭复数的概念求得 ；
（2）把（1）中化简得到的z代入z+ai，利用复数模的公式列式求解a的值．
22．（2020高二下·吉林月考）已知复数z的共轭复数是 ，且满足 ，求z．
【答案】解：设 ，则 ，
因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，解得 ，
代入得 ，解得 或 ．
所以 或 ．
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】设 ，则 ，根据 ，根据复数相等的条件，列出方程组，即可求解.
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