精讲精练·专项突破 第七章《复数》单元能力提升（含详细解析） (21)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高一下学期人教版（2019）
第七章 《复数》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2020高二下·吉林期中）设 （i是虚数单位），则 等于（　　）
A． B． C．-i D．
【答案】A
【考点】虚数单位i及其性质；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】
故答案为：A.
【分析】利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，分别求出 和 的值，进而求出 的值.
2．（2021·北京）在复平面内，复数 满足 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：D
【分析】根据复数的运算法则直接求解即可.
3．（2021·云南模拟）若 ，则 的实部为（　　）
A．2 B．-2 C．1 D．-1
【答案】C
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】由 ，得 ，所以 的实部为1.
故答案为：C．
【分析】首先由复数的运算性质整理化简原式再由复数的定义即可得出答案。
4．（2021高三上·南阳期中）已知复数 满足 ，则 （　　）
A． B．1 C．2 D．
【答案】B
【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】解：设 ，
则 ，即 ，即 ，
所以 ，解得 ，
所以 .
故答案为：B.
【分析】设 ，根据所给的等式，化简可得，由复数相等建立方程组，求解可得a,b的值，再根据向量模的公式求出答案.
5．（2020高二下·阳江月考）设 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【考点】复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】依题意， ，故 .
故答案为：B.
【分析】化简得到 ，再计算模长得到答案.
6．（2020高二下·成都期中）若复数 ，复数 ，则 （　　）
A．6 B． C． D．
【答案】B
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】 ，故 ，
故答案为：B.
【分析】 利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
7．（2020高二下·成都月考）设 , 则下列命题中正确的是（　　）．
A． 对应的点 在第一象限 B． 对应的点 在第四象限
C． 不是纯虚数 D． 是虚数
【答案】D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】解:因为 ,
,
,
不能判断对应点的横坐标的正负,
所以不能准确判断对应点的位置,
只能判断出虚部不等于 ,
得到这是一个虚数.
故选:D
【分析】把所给的复数的实部和虚部,按照二次函数的特点进行配方整理,判断出实部不小于一个负数,虚部大于 ,这样不能准确判断出点的位置,只能得至这是一个虚数.
8．（2020·吉林模拟）复数 的实部为a，虚部为b，则 （　　）
A．-3 B．-2 C．2 D．3
【答案】B
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由题意，复数 ，
所以 ，则 .
故答案为：B.
【分析】利用复数的代数形式的乘除运算化简，求得 的值，即可求解，得到答案.
二、多选题
9．（2020高二下·宿迁期中）已知 ， 为复数，下列命题不正确的是（　　）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 则 D．若 ，则
【答案】B,C,D
【考点】复数相等的充要条件；复数求模
【解析】【解答】因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小，所以C、D两项都不正确；
当两个复数的模相等时，复数不一定相等，
比如 ，但是 ，所以B项是错误的；
因为当两个复数相等时，模一定相等，所以A项正确；
故答案为：BCD.
【分析】利用复数相等的判断方法结合复数的定义，进而找出复数的模的关系，再利用复数的模相等的判断方法结合复数的定义判断复数是否相等，再利用复数的定义结合复数不能比较大小和复数的模能比较大小的性质，进而找出命题不正确的选项。
10．（2020高一下·句容期中）已知复数 ，则以下说法正确的是（　　）
A．复数z的虚部为
B．z的共轭复数
C．
D．在复平面内与z对应的点在第二象限
【答案】C,D
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数求模
【解析】【解答】 ，
∴复数 的虚部为 ， 的共轭复数 ，
复平面内与 对应的点的坐标为 ，在第二象限.
故答案为：CD.
【分析】利用复数的乘除运算可得 ，根据复数的概念可判断A；根据共轭复数的概念可判断B；根据复数的模可判断C；根据复数的几何意义可判断D.
11．（2021高一下·重庆期末）关于复数 下列说法正确的是（　　）
A． B．若 则
C．若 为纯虚数，则 D．
【答案】B,C,D
【考点】基本不等式在最值问题中的应用；复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】对于A： ，A不符合题意；
对于B： ，因为 ，
所以 ，即 ，B符合题意；
对于C： ，若 为纯虚数，
则 ，所以 ，C符合题意；
对于D： ，
当且仅当 时等号成立，
所以 ，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】利用已知条件结合复数的乘法运算法则，从而推出；再利用复数的加减法运算法则结合复数求模公式，从而推出若 ，则 ；看i有已知条件结合复数乘除法运算法则和纯虚数的判断方法，从而推出若 为纯虚数，则 ；利用已知条件结合均值不等式求最值的方法和复数求模公式，进而推出，从而找出说法正确的选项。
12．（2021高二下·肇庆期末）已知复数 ，则下列结论正确的是（　　）
A． 的实部为
B．
C．
D．复数 在复平面内对应的点位于第四象限
【答案】A,B,D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】 ，实部为 ，A符合题意；
B符合题意；
，C不符合题意；
复数 在复平面内对应的点 位于第四象限，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】 根据已知条件,运用复数的运算法则，以及复数的性质和几何含义，即可求解.
三、填空题
13．（2021·嘉定模拟）若复数 （其中i为虚数单位），则共轭复数 　 　.
【答案】-1-i
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由已知得， ，则 。
故答案为：-1-i。
【分析】利用复数的乘法运算法则求出复数z，再利用复数与共轭复数的关系，从而求出复数z的共轭复数。
14．（2021高一下·河北期末）已知 是方程 的一个根，则 　 　．
【答案】33
【考点】虚数单位i及其性质
【解析】【解答】设该方程的另一个根为 ，则 从而 解得 即
故 ．
故答案为：33.
【分析】设该方程的另一个根为 ，由已知对立方程组，解之可得 的值 。
15．（2020高二下·重庆期末）若复数 ，则其共轭复数 　 　.
【答案】-1+3i
【考点】复数的基本概念
【解析】【解答】由题意， ，所以 .
故答案为： .
【分析】先求出复数 ，然后求出其共轭复数即可.
16．设复数 （a， ，i是虚数单位），且 ，则 　 　.
【答案】±2
【考点】复数相等的充要条件
【解析】【解答】由 代入 ,
,
所以 ，则 ，解得 或
所以
故答案为：
【分析】将 代入 ，利用复数相等，可求出a+b的值,
四、解答题
17．（2021·湖北模拟）已知 ， ，方程 的一个根为 ，复数 ，满足 .
（1）求复数 ；
（2）若 ，求复数 .
【答案】（1）解：依题意，得 ，
即 ，
由复数相等的定义及a， ，得 ，
解得 .
故复数
（2）解：设 （ ， ），由 ，得 ，
，
又 ，得 ，即 ，
所以 ，
解得 ，
所以 .
【考点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【分析】(1)由复数相等的定义整理即可求出a与b的值，然后由共轭复数的定义即可得出答案。
(2)由复数代数形式的运算性质整理化简，再由复数的定义即可得出，结合题意代入计算出x与y的值，由此即可得出答案。
18．（2021高二下·乐山期中）已知复数（，是虚数单位）.
（Ⅰ）若是纯虚数，求实数的值；
（Ⅱ）设是的共轭复数，复数在复平面上对应的点位于第二象限，求实数的取值范围.
【答案】解：复数
（Ⅰ）因为是纯虚数，所以且，故；
（Ⅱ）因为是的共轭复数，所以，
，在复平面上对应的点为，在第二象限，且，.
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合复数的乘除法运算法则和复数为纯虚数的判断方法，进而得出实数m的值。
（2）利用已知条件结合复数与共轭复数的关系得出复数z的共轭复数，再结合复数的运算法则结合复数的几何意义，进而得出复数 在复平面上对应的点的坐标，再结合点的坐标确定点所在的象限，再利用已知条件得出实数m的取值范围。
19．（2021高二下·黄山期末）已知复数 ， ， ．
（1）若 是纯虚数，求实数 的值；
（2）若不等式 成立，求实数 的值．
【答案】（1）由题意得， 且
解得
（2）若不等式 ，则 ，
∴
解得
【考点】复数的基本概念
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合复数为纯虚数的判断方法，从而求出实数m的值。
（2）利用已知条件不等式 成立结合复数为实数的判断方法，从而求出实数m的值。
20．（2020高二下·沭阳期中）已知复数 （ ， 为虚数单位）.
（1）若 且 是纯虚数，求实数 的值；
（2）若复数 ，求 的取值范围.
【答案】（1）解：
由 是纯虚数，得 ，解得
（2）解：由 ，得 ，所以 ，
即 的轨迹是以 为圆心，半径为 的圆，可得
即
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【分析】（1）利用y的值结合复数的乘除法运算法则和复数为纯虚数的判断方法，进而求出x的值。
（2）利用复数的模求解方法结合已知条件，得出 ，即 的轨迹是以 为圆心，半径为 的圆，再利用复数的模的求解方法结合几何法，进而求出复数的模的取值范围。
21．（2020高二下·上海期末）已知关于x的方程 的两个根是 .
（1）若 ( 为虚数单位)，求 与t的值；
（2）若t是实数，且 ，求t的值.
【答案】（1）解：根据 ，得 ，
利用 ，所以 ，
（2）解：根据题意， ，
所以 ，
当 时，有 ， ，
当 时， ，即 ，所以
所以 的值为 ， .
【考点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系；复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【分析】（1）利用韦达定理，分别求得 与t的值；（2）若 是实数，利用求根公式，根据两个根是共轭复数，且可以为实根，可以为虚根，结合题中条件，列出等量关系式，从而求得结果.
22．（2021高一下·湖北期末）已知复数 在复平面内对应的点位于第一象限，且 ， 是 的共轭复数.
（1）求复数 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）解：由题意可设复数 ，其中 ， ，
则 ，
所以 ，解得 或 （舍去）.
所以 .
（2）由 可得 ，
所以 ，
于是 可化为 ，即 即 ，
解得 ，即实数 的取值范围是 .
【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【分析】（1） 由题意可设复数 ，其中 ， ， 由 列出方程组，求解可得即可；
（2） 由 可得 ， 可化为 ，解不等式可得实数m的取值范围.
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