精讲精练·专项突破 第七章《复数》单元能力提升（含详细解析） (23)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高一下学期人教版（2019）
第七章 《复数》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2020·安阳模拟）已知复数z满足 ，则z的虚部为（　　）
A． B．i C．–1 D．1
【答案】C
【考点】复数的基本概念；复数相等的充要条件
【解析】【解答】∵ ，∴ ，
∴ ，∴复数 的虚部为 .
故答案为：C.
【分析】利用复数的四则运算可得 ，即可得答案.
2．（2021·甘肃模拟）已知复数 满足 ，则复数 的虚部为（　　）
A． B． C．-1 D．1
【答案】D
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】由 ，
所以复数 的虚部为1，
故答案为：D
【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理再结合复数的概念即可得出答案。
3．（2021高一下·芜湖期中）已知是虚数单位，则复数（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】根据复数的运算法则，可得。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则，进而求出复数 。
4．（2020高二上·天津期末）在复平面内,复数 是虚数单位)对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解： ，
复数 在复平面内对应的点的坐标为： ，
位于第四象限．
故答案为： ．
【分析】直接由复数代数形式的除法运算化简复数 ，求出复数 在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．
5．（2021高一下·通州期末）设 ，则 在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】 ，则 .
故复平面内对应的点位于一象限.
故答案为：A.
【分析】 首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数代数形式的几何意义即可得出答案。
6．已知复数 ，其中 为虚数单位，则 等于（　　）
A． B．2 C．1 D．
【答案】D
【考点】复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】
故答案为：D
【分析】根据复数的四则运算化简 ，求出 ，由模长公式得出答案.
7．（2020·江门模拟）已知i是虚数单位，复数z满足 ，则z的共轭复数在复平面内表示的点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】复数z满足 ，∴ ，
∴ ，∴ ．
∴ ．
则复平面内表示z的共轭复数的点 在第一象限．
故答案为：A．
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．
8．（2020高三上·西安期中）若复数z满足 （其中i为虚数单位），则 （　　）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】A
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】
所以 .
故答案为：A.
【分析】对复数 进行化简，然后根据复数模长的计算公式，得到答案.
二、多选题
9．（2020高二下·潍坊期末）已知复数 的共轭复数为 ，且 ，则下列结论正确的是（　　）
A． B． 虚部为
C． D．
【答案】A,C,D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】由 可得， ，所以 ， 虚部为-1；
因为 ，所以 ， ．
故答案为：ACD．
【分析】根据题意由复数代数形式的运算性质以及复数模的定义对选项逐一判断即可得出答案。
10．（2021·海南模拟）复数 满足 ，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C． 在复平面内对应的点位于第四象限
D．
【答案】A,D
【考点】复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】由 可得 ， ，A符合题意； ，B不符合题意； 在复平面内对应的点 位于第三象限，C不符合题意； ，D符合题意．
故答案为：AD
【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理化简，再结合共轭复数以及复数的模的概念对选项逐一判断即可得出答案。。
11．（2021高一下·厦门期末）复数 的共轭复数为，则（　　）
A． 与 在复平面内对应的点关于实轴对称
B． 在复平面内对应的点在虚轴上
C．若 ，则 在复平面内对应的点在实轴上
D．若 ，则 在复平面内对应的点的集合是以原点为圆心，半径为1的圆
【答案】A,D
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数求模
【解析】【解答】设 ，则 ，
对于A： 在复平面内对应的点的坐标为 ， 在复平面内对应的点的坐标为 ，点 与 关于实轴对称，A符合题意；
对于B： 为实数，在复平面内对应的点在实轴上， B不正确；
对于C： 表示 对应的点 到点 和 距离相等，则点 在线段 的垂直平分线上即虚轴和原点，所以 在复平面内对应的点也在虚轴上和原点，C不正确；
对于D：由复数模的几何意义可知：若 ，则 在复平面内对应的点的集合是以原点为圆心，半径为1的圆，D符合题意。
故答案为：AD.
【分析】利用已知条件结合复数与共轭复数的关系，再结合复数的几何意义，从而求出复数对应的点的坐标，再结合点关于实轴对称的判断方法，和点在实轴和虚轴上的判断方法，再结合复数的乘法运算法则和复数求模公式，从而结合圆的定义，进而找出正确的选项。
12．（2021高二下·湖南期末）著名的欧拉公式为： ，其中 ， 为自然对数的底数，它使用了几个基本的数学常数描述了实数集和复数集的联系．其广义一般式是 ，该复数在复平面内对应的向量坐标为 ，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．若复数 满足 ，则
C．若复数 与复数 在复平面内表示的向量相互垂直，则
D．复数 与复数 在复平面内表示的向量相互垂直
【答案】A,B,D
【考点】数量积的坐标表达式；数量积判断两个平面向量的垂直关系；复数相等的充要条件；复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】∵ ，∴ ，故A正确；
∵ ，∴ ，故B正确；
∵ 对应的向量坐标为 ， 对应的向量坐标为 ，
∴ ，即 ，又 ， ，∴ 或 ，故C不正确；
∵ ，复数 ，两者对应向量坐标为 , ，∴两向量垂直,故D正确，
故答案为：ABD.
【分析】利用欧拉公式结合对数的运算法则，从而求出；利用诱导公式结合欧拉公式和复数z的共轭复数的关系，从而求出复数 满足 ，则 ；利用已知条件结合两向量垂直数量积为0的等价关系，再利用数量积的坐标表示和两角差的余弦公式，从而求出 或 ；利用已知条件结合两向量垂直数量积为0的等价关系，再结合数量积的坐标表示，从而推出 复数 与复数 在复平面内表示的向量相互垂直，进而找出说法正确的选项。
三、填空题
13．（2022·徐汇模拟）已知复数满足(为虚数单位)，则　 　.
【答案】
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】，
，
即．
故答案为：．
【分析】 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解即可.
14．（2021·天津模拟）i是虚数单位，则 　 　．
【答案】
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】由已知，有 。
故答案为： 。
【分析】利用复数的乘除法运算法则求出复数z，再利用复数求模公式，进而求出复数的模。
15．（2021·浙江模拟）已知 ，其中 ，i是虚数单位，则 　 　， 　 　．
【答案】2；1
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】由题意得： ，
根据复数相等的条件可得： ，解得 .
故答案为：2；1
【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数相等的概念即可得出答案。
16．已知 的展开式的二项式系数之和为16，则 　 　；设i为虚数单位，复数 的运算结果为　 　.
【答案】4；-4
【考点】复数代数形式的混合运算；二项式系数的性质
【解析】【解答】 的展开式的二项式系数之和为16，
，解得 ，
.
故答案为：4，-4.
【分析】由题意结合二项式系数的性质可得 ，即可得 ；转化条件为 ，由复数的运算法则即可得解.
四、解答题
17．（2020高二下·宁德期末）已知复数 满足： .
（1）求 ；
（2）若复数 ，且 是纯虚数，求 的值.
【答案】（1）解：设 ，
则 ，
.
（2）解：由（1）得
由 是纯虚数得： ，
.
【考点】复数的基本概念；复数求模
【解析】【分析】 （1）设z1=a+bi（a，b∈R），代入|z1|=1+i+z1，整理后利用复数相等的条件列式求得a，b的值，则z1可求；
（2）把（1）中求得的z1代入z2=a2-1+（a-1）z1（a∈R），整理后利用实部为0且虚部不为0求解a值．
18．（2021高一下·滁州期中）已知复数（其中）.
（1）若复数为实数，求的值；
（2）若复数为纯虚数，求的值.
【答案】（1）解：因为复数为实数，所以，所以或1；
（2）解：因为复数为纯虚数，所以，即，所以.
【考点】虚数单位i及其性质
【解析】【分析】(1)由复数z为实数，得 ，由此能求出a的值；
(2)由复数z为纯虚数，得 ，由此能求出a的值.
19．（2021高一下·湖北期末）在复平面内，复数 （其中 ．
（1）若复数 为纯虚数，求 的值：
（2）对应的点在第四象限，求实数 的取值范围．
【答案】（1）解：复数 ，实部为 ，虚部为 ；
因为复数 为纯虚数，所以 ，
所以
（2）因为 对应的点在第四象限，所以
解不等式组得， ，
即 的取值范围是 ．
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合复数为纯虚数的判断方法，从而求出a的值。
（2）利用复数的几何意义结合已知条件复数对应的点在第四象限，从而求出实数 的取值范围。
20．（2020高二下·吉林月考）已知复数 ，i为虚数单位， .
（1）若z是实数，求实数a的值；
（2）若 ，求实数a的值；
（3）若z在复平面内对应的点位于第三象限，求实数a的取值范围.
【答案】（1）解：由题意 ， ；
（2）解：由己知 ，解得 或 ．
（3）解：复数 对应点坐标为 ，它在第三象限，则 ，解得 ．∴ 的范围是 ．
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【分析】（1）根据复数的分类求解；（2）由复数模的运算计算；（3）写出对应点坐标，由点所在象限得出不等式，解之可得．
21．（2020高一下·滕州月考）已知复数 （ 为虚数单位）.
（1）若 ，求复数 的共轭复数；
（2）若 是关于 的方程 一个虚根，求实数 的值.
【答案】（1）解：因为 ，所以 ，
所以复数 的共轭复数为 .
（2）解：因为 是关于 的方程 的一个虚根，
所以 ，即 .
又因为 是实数，所以 .
【考点】复数的基本概念；复数相等的充要条件
【解析】【分析】（1）因为 ，所以 ，求出 ，即可得到 的共轭复数；（2）将 代入方程 ，根据复数相等可求求实数 的值.
22．（2021高一下·南安期中）已知复数 ， ，且 ，其中A、B、C为 的内角，a、b、c为角A、B、C所对的边.
（1）求角B的大小；
（2）若 ，求 的面积.
【答案】（1）∵ ，∴①， ②，
由①得 ，即 ，
∵ ，∵ ，∴ ；
（2）∵ ，由余弦定理得 ，即 ，④
由②得 ⑤，
由④⑤得 ，
∴ .
【考点】复数的基本概念；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由向量相等建立关系式，进一步求得 ；
（2）由（1）有 ，再由余弦定理建立关系式： ，配方 ，进一步得到 得 ，利用面积公式得到结果。
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