精讲精练·专项突破 第七章《复数》单元能力提升（含详细解析） (25)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高一下学期人教版（2019）
第七章 《复数》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021·黄浦模拟）已知 是关于x的方程 （ ）的一个根，则 （　　）
A．-1 B．1 C．-3 D．3
【答案】A
【考点】虚数单位i及其性质
【解析】【解答】实系数的一元二次方程虚根成对（互为共轭复数），所以 为方程两根， ，
故答案为：A.
【分析】 利用实系数方程的虚根成对定理，列出方程组，求出a, b即可.
2．（2020高二下·上饶期末）复数 （其中i为虚数单位）的虚部为（　　）
A．-1 B．4 C．2 D．
【答案】C
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为 ，
所以复数 的虚部为2.
故答案为：C.
【分析】根据复数的除法运算法则化简复数z，再求得复数z的虚部即可.
3．（2021·陕西模拟）复数 满足 ，则 （　　）
A．5 B． C． D．2
【答案】D
【考点】复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】 ，则 ，
所以， ，因此， 。
故答案为：D．
【分析】利用复数的混合运算法则和虚数单位的运算法则，进而求出复数z，再利用复数求模公式，进而求出复数的模。
4．（2020高二下·吉林期中）已知i为虚数单位，设复数z满足z+i=3，则|z|=(　　)
A．3 B． C．4 D．10
【答案】B
【考点】复数求模
【解析】【解答】 由 ，则 ，所以 ，
故答案为：B.
【分析】利用复数的加减运算法则求出复数z，再利用复数求模公式，从而求出复数的模。
5．（2020高三上·奉新月考）已知复数 ，则“ ”是“ 为纯虚数”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念
【解析】【解答】复数 为纯虚数，则 ，且 ，解得 ，所以“ ”
是“ 为纯虚数”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】解出复数 为纯虚数a的取值范围，即可得解.
6．（2021高三上·深圳月考）已知 为实数，当 变化时， 在复平面内对应的点不可能在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】设 ，
，
， ，
，
复数 在复平面内对应的点在直线 上，
又 直线 不经过第四象限，
复数 对应的点不可能在第四象限．
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合复数的几何意义，从而求出复数对应的点的坐标，再结合点所在的象限，从而推出当 为实数，则 变化时， 在复平面内对应的点不可能所在的象限。
7．（2020·平顶山模拟）复数 ，则 的共轭复数 等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由题意得，
，
则 ，
即共轭复数 .
故答案为：B.
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算，再结合共轭复数的概念，即可得出答案.
8．（2020高二下·徐州月考）设实部为正数的复数 ，满足 ，且复数 在复平面上对应的点在第一、三象限角平分线上，若 为纯虚数，则实数 的值为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】令 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴解得 ，
∴ ，
∴ ，解得 ，
故答案为：D.
【分析】由已知条件令 ，利用复数的乘法运算法则求出复数 的代数表达式，再利用复数z求模的公式和复数 的几何意义求出复数z的实部和虚部，得到复数z的代数表达式，进而求出复数z共轭复数的代数表达式，最后利用复数的混合运算法则结合复数 为纯虚数的已知条件，即可求出m的值。
二、多选题
9．（2020高二下·扬州期末）已知 为虚数单位，则下列选项中正确的是（　　）
A．复数 的模
B．若复数 ，则 （即复数 的共轭复数）在复平面内对应的点在第四象限
C．若复数 是纯虚数，则 或
D．对任意的复数 ，都有
【答案】A,B
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】解：对于 ，复数 的模 ，故 正确；
对于 ，若复数 ，则 ，在复平面内对应的点的坐标为 ，在第四象限，故 正确；
对于 ，若复数 是纯虚数，
则 ，解得 ，故 错误；
对于 ，当 时， ，故 错误．
故答案为：AB．
【分析】利用复数求模公式求出复数的模，利用复数与共轭复数的关系求出复数的共轭复数，再结合复数的几何意义求出复数对应的点的坐标，再利用点的坐标确定点所在的象限，利用复数为纯虚数的判断方法，进而求出m的值，利用复数的乘法运算法则结合复数为实数可以比较大小的性质，进而找出正确选项。
10．（2020高二下·胶州期末）已知复数 满足 为虚数单位 ，复数 的共轭复数为 ，则（　　）
A．
B．
C．复数 的实部为
D．复数 对应复平面上的点在第二象限
【答案】B,D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】因为复数 满足 ，
所以
所以 ，A不符合题意；
，B符合题意；
复数 的实部为 ，C不符合题意；
复数 对应复平面上的点 在第二象限，D符合题意.
故答案为：BD
【分析】 根据题意把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．
11．（2021·石家庄模拟）设 为复数，则下列命题中正确的是（　　）
A．
B．
C．若 ，则 的最大值为2
D．若 ，则
【答案】A,C,D
【考点】复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】对于A： ，则 ，∴ ，而 ，所以 成立；
对于B： ，当ab均不为0时， ，而 ，所以 不成立；
对于C： 可以看出以 为圆心，1为半径的圆上的点P， 可以看成点P到Q(0,-1)的距离，所以当P(0,1)时，可取 的最大值为2；
对于D： 可以看出以 为圆心，1为半径的圆上的点N，则 表示点N到原点距离，故O、N重合时， =0最小，当O、M、N三点共线时， =2最大，故 .
故答案为：ACD
【分析】 利用复数模的计算方法以及复数模的几何意义对四个选项进行逐一的判断即可．
12．（2021高一下·高要月考）若关于 方程 （ 是实数）有两个不等复数根 ，其中 （ 是虚数单位），下面四个选项正确的有(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】A,B,D
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】解：由题意得α+β=-p，αβ=q，
令β=x+yi，则由 为实数p，
则 ，
又 为实数q，
则
故
对于A， ，故A正确；
对于B， ，故B正确；
对于C， ，故C错误；
对于D， ，故D正确。
故答案为：ABD
【分析】根据复数的运算法则逐项判断即可.
三、填空题
13．（2021高二下·浦东期中）复数(为虚数单位)的模是　 　．
【答案】5
【考点】复数求模
【解析】【解答】。
故答案为：5。
【分析】利用已知条件结合复数求模公式，进而得出复数的模。
14．（2020高二下·无锡期末）欧拉公式 将自然对数的底数 ，虚数单位 ，三角函数 和 联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”.若复数 满足 ，则 　 　.
【答案】
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】由 得， ，
则 ，
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则，进而求出复数z，再利用复数求模公式，进而求出复数的模。
15．（2020高二下·重庆开学考）复数 （ ，i为虚数单位），在复平面内对应的点在直线 上，则 　 　．
【答案】2-i
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】解： 复数 在复平面内对应的点 在直线 上，
，即 ．
，则 ．
故答案为：2-i．
【分析】根据题意由复数的几何意义求出该复数对应的点的坐标，再由点在直线上代入求解出a的值由此求出共轭复数z。
16．（2020高三上·杭州月考）已知i是虚数单位，复数z满足 ，则 　 　.其共轭复数 对应的点在复平面的第　 　象限.
【答案】；二
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由题意 ，
所以 ， ， 对应点坐标为 ，在第二象限，
故答案为：① ；②二.
【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简复数 ，求出在复平面内对应点的坐标，即可得到答案。
四、解答题
17．（2021高一下·常熟期中）已知复数 ， ( ，i是虚数单位).
（1）若 在复平面内对应的点落在第一象限，求实数a的取值范围；
（2）若虚数 是实系数一元二次方程 的根，求实数m的值.
【答案】（1）由题意得， ，
因为 在复平面内对应的点落在第一象限，所以 ，解得 .
（2）由 得 ，即
，
所以 ，解得 .
【考点】复数相等的充要条件；复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【分析】（1）利用复数加减法运算法则结合复数与共轭复数的关系，从而求出复数 的代数表达式，再利用复数的几何意义求出对应的点的坐标，再结合复数 在复平面内对应的点落在第一象限， 从而求出实数a的取值范围。
（2）利用虚数 是实系数一元二次方程 的根，再结合代入法和复数相等的判断方法，从而求出m的值。
18．（2021高一下·海曙期中）已知 是虚数单位，设复数 .
（1）若 为纯虚数，求 的值；
（2）若 在复平面上对应的点位于第三象限，求 的取值范围.
【答案】（1）解：由题意得z1z2=(1+i)(m-2i)=(m+2)+(m-2)i为纯虚数，则m+2=0且m-2≠0，解得m=-2且m≠2，所以m=-2；
（2）解：表示位于第三象限的点，则，解得-2【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【分析】（1）根据复数的乘法，结合纯虚数的定义直接求解即可；
（2）根据复数的运算，结合复数的几何意义直接求解即可.
19．复数 对应的点在第一象限，且 ，复数 ， ， .
（1）求复数 ；
（2）若 ，求 ， 的值.
【答案】（1）解：设 ，
则 ，
∴ ，解得 ， 或 ， ，
因为 ， ，∴ ，所以
（2）解：因为 ，
所以 ，
∴ ，解得 ，
∵ ，∴ ，
， ，
所以 .
【考点】复数相等的充要条件
【解析】【分析】 （1）设 ，代入 ，整理后利用复数相等的条件列式求得x，y值，则复数可求；
（2）把z1，z2代入 ，利用复数相等的条件列式即可求得θ，a的值．
20．（2019高二下·上海期末）设 分别是方程 的两个虚数根.
（1）求a的取值范围及 的值；
（2）若 ，求a的值.
【答案】（1）解：由方程 有两个虚数根
所以 ，解得
由 是方程 的两个虚数根.
可得 ，不妨设 ,
所以
（2）解：由（1）可得
根据 ，即 ，解得
【考点】复数求模；根的存在性及根的个数判断
【解析】【分析】（1）由条件可得 ，得出a的取值范围，根据求根公式可求得方程虚数根 ，代入 ，可得到答案.（2）由（1）可得 ，代入条件，即可得出答案.
21．（2020高二下·菏泽期中）
（1）计算 ；
（2）在复数范围内解关于x的方程： ．
【答案】（1）解：
（2）解：由 ，配方得 ，
即 ，所以 ．
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】（1）利用复数的乘除运算即可求解；
（2）利用配方以及复数的四则运算即可求解。
22．（2020高一下·北京期中）已知复数 ，( 为实数)，且 为实数.
（1）求复数 ；
（2）求复数 的模 .
【答案】（1）解：
为实数
，则
（2）解：由（1）可知 ，则
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数求模
【解析】【分析】（1）根据复数的类型确定 的值，即可得出复数 ；（2）由模长公式求解即可.
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