精讲精练·专项突破 第七章《复数》单元能力提升（含详细解析） (26)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高一下学期人教版（2019）
第七章 《复数》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．已知 是虚数单位，设复数 ，其中 ，则a+b的值为（　　）
A． B． C． D．
2．（2021高二上·茂名期中）设复数满足 （ 为虚数单位），则 （　　）
A． B．2 C． D．1
3．（2020高一下·天津期中）复数 的共轭复数是(　　)
A． B． C． D．
4．（2021·日照模拟）若复数z满足 ，则 的实部与虚部之和为（　　）
A．-1 B．1 C．-2 D．3
5．（2020·江西模拟）设 ， 的虚部是（　　）
A． B． C． D．
6．（2020·滨州模拟）设复数z满足 ，z在复平面内对应的点为 ，则（　　）
A． B．
C． D．
7．（2020·安徽模拟）若复数 （ 是虚数单位）的实部与虚部互为相反数，则实数 （　　）
A．1 B．-1 C． D．
8．（2022高三上·沧州月考）已知，是复数，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
9．（2020高三上·山东月考）若复数 满足 ，则（　　）
A．
B． 是纯虚数
C．复数 在复平面内对应的点在第三象限
D．若复数 在复平面内对应的点在角 的终边上，则
10．（2021高一下·丹东期末）以下的A，B，C，D四个结论对于任意非零实数 ， 都成立，那么对于任意非零复数 ， 仍然成立的是（　　）
A． B．若 ，则
C． D．
11．（2021高一下·聊城期末）已知复数 、 ，其中 ，则下列结论正确的是（　　）
A． 的虚部为
B． 的共轭复数
C． 是关于 的方程 的一个根
D．若 ，则 在复平面内对应的点的集合是以 为圆心， 为半径的圆
12．（2021高一下·泉州期末）设复数 ( 为虚数单位)，则下列说法正确的是（　　）
A．“ ”的充要条件是“ ”
B．若 ，则 的最大值为3
C．若 ， ，则
D．方程 在复数集中有 个解
三、填空题
13．（2021高一下·武清月考）若复数 ， 的共轭复数 对应的点在第一象限，则实数m的取值范围为　 　.
14．（2020高一下·聊城期末）复数2+i为一元二次方程x2+ax+b＝0（a，b∈R）的一个根，则复数|a+bi|＝　 　．
15．（2020高二下·连云港期末）已知i为虚数单位，设 ， ，若 为实数，则m＝　 　.
16．（2020高二上·平谷开学考） 的所有能取到的值构成的集合为　 　.
四、解答题
17．已知复数 ，且 为纯虚数.
（1）求复数 ；
（2）若 ，求复数 以及模 .
18．（2020高二下·泰安期末）已知复数 ，i为虚数单位.
（1）求 和 ；
（2）若复数z是关于x的方程 的一个根，求实数m，n的值.
19．（2020高一下·深圳月考）若复数 满足 （ 为虚数单位），复数 的虚部为2，且 是实数，求 ．
20．（2020高二下·静安期末）现新定义两个复数 （ 、 ）和 （ 、 ）之间的一个新运算 ，其运算法则为： .
（1）请证明新运算 对于复数的加法满足分配律，即求证： ；
（2）设运算 为运算 的逆运算，请推导运算 的运算法则.
21．（2020高一下·滨海期中）设 是虚数， 是实数，且 .
（1）求 的值以及 的实部的取值范围；
（2）若 ，求证 为纯虚数；
（3）在（2）的条件下，求 的最小值.
22．（2020高二下·邢台期中）已知复数 ， ， .
（1）求实数a的值；
（2）设 在复平面上对应点分别为 ，求 的面积.
答案解析部分
1．【答案】D
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 ，
所以 .
故答案为：D
【分析】先化简 ，求出 的值即得解.
2．【答案】A
【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】解：设z=x+yi(x,y∈R)，由题意可知，3(x-yi)-2(x+yi)=2+5i，即x-5yi=2+5i，根据复数相等的定义，得x=2,y=-1，所以z=2-i ，即．
故选:A
【分析】根据复数相等，结合复数的模求解即可.
3．【答案】D
【考点】复数的基本概念
【解析】【解答】 , 的共轭复数为 ，
故答案为：D.
【分析】利用复数除法的运算法则求出复数 ，再利用复数与共轭复数的关系，从而求出复数 的共轭复数。
4．【答案】B
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由题意可得： ，
则实部与虚部之和为 。
故答案为：B.
【分析】利用复数的乘除法运算法则求出复数z，再利用复数的实部与虚部的定义，从而求出复数z的实部与虚部之和。
5．【答案】B
【考点】复数的基本概念
【解析】【解答】因为
所以 的虚部是
故答案为：B
【分析】算出 即可.
6．【答案】A
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】解：∵z在复平面内对应的点为 ，
∴ ，又 ，
.
故答案为：A.
【分析】由z在复平面内对应的点为 ，可得 ，然后代入 ，即可得答案.
7．【答案】D
【考点】虚数单位i及其性质；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，解得 .
故答案为：D
【分析】利用复数的乘除运算将复数化为 的形式，再由实部与虚部之和等于0即可求解.
8．【答案】A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】设，,
当，即时， ，
所以
取，，,,则满足，但显然不满足
所以“”是“”的充分不必要条件
故答案为：A
【分析】首先由复数代数形式的运算性质，整理化简再由复数模的概念结合充分和必要条件的定义即可得出答案。
9．【答案】A,B
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】由题意，复数 满足 ，可得复数 ，所以 A符合题意；
是纯虚数， B符合题意；
复数 在复平面内对应点的坐标为（2，4）位于第一象限，C不符合题意；
因为 在复平面内对应的（2，4）在角 的终边上，所以 D不符合题意，
故答案为：AB．
【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数的概念以及复数代数形式的几何意义对选项逐一判断即可得出答案。
10．【答案】B,C
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】由复数的运算律，易知B,C符合题意；
若 ，A不符合题意；
设 且 ，∴ ， ，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】根据题意由复数的定义，再代特值并设出复数的代数形式，结合四则运算整理即可解得.
11．【答案】B,C,D
【考点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数的代数表示法及其几何意义；复数求模
【解析】【解答】对于A选项，复数 的虚部为 ，A不符合题意；
对于B选项， ，B对；
对于C选项， 解方程 ，即 ，可得 ，
解得 ，C对；
对于D选项，设 ，则 ，
所以， ，即 ，
故 在复平面内对应的点的集合是以 为圆心， 为半径的圆，D对.
故答案为：BCD.
【分析】利用已知条件结合复数的虚部的定义，从而求出复数 的虚部；利用复数与共轭复数的关系，从而求出复数 的共轭复数；利用解一元二次方程的方法结合复数相等的等价关系，从而求出 是关于 的方程 的一个根；设 ，再结合复数的加减法运算法则和复数的模求解公式，从而求出，再利用复数的几何意义得出复数 在复平面内对应的点的集合是以 为圆心， 为半径的圆，从而找出结论正确的选项。
12．【答案】A,B,D
【考点】复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】对于A，若 ，则 ，成立，若 ，则由 ，解得 ，
所以 成立，A符合题意；
对于B，若 ，则 表示以原点 为圆心，半径为
的圆上的点 到点 的距离，因为原点到点 的距离为 ，
所以 的最大值为 ，B符合题意；
对于C，若 ， ，
则
.C不正确；
对于D，因为 ，所以设 为方程 的解，
代入方程得 ，
即 ，
若 ，则 ，即 ，
所以 或 ，
解得 或 ，即 是原方程的解；
若 ，则 ，即 ，
所以 ，解得 或 ；
或 ，解得 或 ；
即2，-2，3，-3也是原方程的解.
综上，原方程有6个解，分别为 ， ，2，-2，3 ，-3.D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】根据复数的运算性质，逐项进行分析，可得答案。
13．【答案】
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】
因为 对应的点在第一象限，所以 的对应点在第四象限，
所以 ，解得 ，即 ，
故答案为： .
【分析】根据题意由复数代数形式的几何意义即可得出 的对应点在第四象限，从而即可得出关于m的不等式组求解出m的取值范围即可。
14．【答案】
【考点】复数求模
【解析】【解答】因为2+i为一元二次方程x2+ax+b＝0，
故可得 ，
则 ，又 ，
故 ，
解得
则 。
故答案为： 。
【分析】因为2+i为一元二次方程x2+ax+b＝0结合代入法和复数相等的充要条件，从而解方程组求出a,b的值，从而求出复数，再利用复数求模公式，从而求出复数的模。
15．【答案】
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由题可知：
，
要使 为实数，则 ，
解得 .
故答案为：
【分析】根据复数的除法法则计算 ，然后利用复数的分类，简单计算可得结果.
16．【答案】
【考点】虚数单位i及其性质；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 ，
当n为奇数时， ；
当n为偶数时， 。
故答案为 。
【分析】利用复数的乘除法运算法则结合虚数单位i的运算法则，从而得出，再利用分类讨论的方法求出 的所有能取到的值构成的集合 。
17．【答案】（1）解：将 代入 得 ，因为 为纯虚数,所以 解得 ，所以复数
（2）解：由(1)知 ，所以 ，
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】(1)根据题意整理化简再由复数的概念即可求出b的值，由此即可得出复数z。
(2)由(1) 的结论整理复数，再由复数代数形式的乘除运算性质，以及复数模的定义计算出结果即可。
18．【答案】（1）解： 复数
，
，
（2）解：） 复数 是关于 的方程 的一个根，
，
， ，
，
解得 ， ．
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【分析】(1)首先由复数代数形式的运算性质整理化简再由复数模的定义即可得出答案。
(2)由方程根的情况结合复数的概念即可得到关于m、n的方程组求解出答案即可。
19．【答案】解：由已知， ，
设 ，则 ，
因 是实数，所以 ，即 ，所以 .
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】先利用复数的除法运算得到 ，再设 ，利用 是实数得到a.
20．【答案】（1）解：设 （ 、 ）.
左
右
左=右，证毕.
（2）解：因为运算 为运算 的逆运算，所以 的运算结果是关于变量 的方程 的解.
设 （ 、 ），
则 ，
即 .
当 ， 时，解得， ， .
∴ ，
故，当 ， 时， .
【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算；类比推理
【解析】【分析】（1）直接利用复数代数形式的乘法运算和新运算 进行化简，解得等式左边等于等式右边，即证．由题可知 的运算结果是关于变量 的方程 的解，设 ，则 ，通过新运算 运算，根据两复数相等，解得当 ， 时， ， ，即可得 ．
21．【答案】（1）解：由 是虚数，设 ，则
，
因为 为实数，所以 且 ，所以
所以 ，
此时 ，
因为 ，所以 ，得
（2）解：因为 ，且 ，
所以 ，
因为 ， ，所以 为纯虚数
（3）解： ，
由 ，得 ，
故当且仅当 ，即 时， 有最小值1
【考点】基本不等式；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】（1）设出复数 ，写出 的表示式，进行复数的运算，把 整理成最简形式，再根据所给 的范围，得到 的虚部为0，实部属于这个范围，得到 的实部的范围；（2）根据设出的 ，整理 的代数形式，进行复数的除法的运算，整理成最简形式，根据上一问做出的复数的模长为1，得到 是一个纯虚数；（3） ，再利用基本不等式即可求得结果。
22．【答案】（1）解：由 ， ，
得 ，又 ，
，解得 或 （舍去），
；
（2）解：由（1）得 ，
所以 ，所以 ，
所以 的面积为 .
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】（1）求出 ，根据已知其虚部为0，建立a的方程，求解即可；（2）利用（1）的结论，求出三角形三顶点坐标，即可求出三角形的面积.
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