精讲精练·专项突破 第七章《复数》单元能力提升（含详细解析） (29)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高一下学期人教版（2019）
第七章 《复数》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2020高三上·拉孜月考）复数 在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 ，
因此，复数 在复平面内对应的点位于第一象限.
故答案为：A.
【分析】利用复数的乘法运算法则求出复数z，再利用复数z的几何意义求出复数z对应的点的坐标，再利用点的坐标的位置确定复数 在复平面内对应的点位于的象限。
2．（2020高二下·鹤岗期末）计算复数 的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】 ,
故答案为：D．
【分析】利用复数的混合运算法则，从而求出复数z的代数表达式。
3．已知复数（为虚数单位），则等于（　　）
A．0 B． C．1 D．
【答案】C
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】，则，
故答案为：C.
【分析】 利用复数的运算法则和复数模的计算公式即可求出答案.
4．（2020·广东模拟） 在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】解：因为 ,
所以 在复平面内对应的点位于第四象限.
故选：D
【分析】先对复数 进行乘法运算,整理至 的形式,即可得出复数在复平面内对应的象限.
5．（2021·张家口模拟）设 且 ，若复数 是实数，则 （　　）
A．9 B．6 C．3 D．2
【答案】C
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，又 ，所以 .
故答案为：C
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简:，再由虚部为0求得a2。
6．（2020高二下·都昌期中）设i是虚数单位，若复数 满足 ，则 的最大值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数求模；两点间的距离公式
【解析】【解答】设复数 在复平面内对应点 ，
由 ，得 ，即 ，
所以 ，表示圆 上的点 到原点的距离，
因此， （其中 为圆 的半径）.
故答案为：B.
【分析】设复数 在复平面内对应点 ，根据已知可得点M轨迹为圆，求 的最大值即求圆上的点与坐标原点的距离的最大值.
7．（2020·厦门模拟）已知 是虚数单位，复数 满足 ，则复平面内与z对应的点在（　　）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 ， ，
复平面内与 对应的点在第一象限，
故答案为：A.
【分析】利用得数的除法运算化简复数z，再利用复数的几何意义，即可得答案.
8．（2020·安徽模拟）已知i为虚数单位，复数z满足 ，则 (　　)
A．4 B．2 C．-4 D．-2
【答案】A
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】 ， ， ， .
故答案为：A.
【分析】由已知可求出 ，进而可求 ，则可求出 的值.
二、多选题
9．（2021高一下·河北期末）已知复数 ， ，则下列命题正确的是（　　）
A．若 ，则 是纯虚数 B．若 是纯虚数，则
C．若 ，则 是实数 D．若 是实数，则
【答案】B,C,D
【考点】虚数单位i及其性质；复数代数形式的加减运算
【解析】【解答】由题意可得 ， ．
当 且 时， 是纯虚数，则A不符合题意，B符合题意；
当 时， 是实数，则C，D符合题意．
故答案为：BCD．
【分析】先由复数的运算求得 ， ，再由复数的概念可得选项。
10．（2021高一下·梅州期末）已知复数 满足 （ 是虚数单位），则下列关于复数 的结论正确的是（　　）
A．
B．复数 的共轭复数为
C．复平面内表示复数 的点位于第三象限
D．复数 是方程 的一个根
【答案】A,B,D
【考点】复数相等的充要条件；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】解：由 ，得 ．
，A符合题意；
，B符合题意；
平面内表示复数 的点的坐标为 ，位于第二象限，C不符合题意；
，
复数 是方程 的一个根，D符合题意．
故答案为：ABD．
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则，进而求出复数z，再利用复数求模公式，进而求出复数的模；利用已知条件结合复数与共轭复数的关系，进而求出复数z的共轭复数；利用已知条件结合复数的几何意义，从而求出复数z对应的点的坐标，再利用点的坐标确定点所在的象限；利用复数z是方程的根结合代入法和复数相等的等价关系，进而求出复数 是方程 的一个根，从而找出结论正确的选项。
11．（2021高一下·济南期中）欧拉公式 (其中i为虚数单位， )，是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项能确的是（　　）
A．复数 对应的点位于第三象限
B． 为纯虚数
C． 的共轭复数为 ；
D．复数 的模长等于
【答案】B,C,D
【考点】复数代数形式的加减运算
【解析】【解答】解：对于 ，由于 ，
， ，
， ，
表示的复数在复平面中位于第二象限，故 错误；
对于 ， ，可得 为纯虚数，故 正确；
对于 ， ， 的共轭复数为 ，故 正确．
对于 ， ，
可得其模的长为
，故D正确；
故答案为：BCD．
【分析】对于A，将复数的指数式化成三角式，就能判断其在复平面中位于第二象限，故 错误；
对于B，由于，故B正确；
对于C，化其为三角式后，可以得到其化数式，再求其共轭复数，即可判断C正确；
对于D，先将其化成三角式，进一步化为代数式 后求模，通过复杂的变形求得模为 ，故正确。
12．（2020高一下·泰安开学考）已知 为虚数单位，则下面命题正确的是（　　）
A．若复数 ，则 ．
B．复数 满足 ， 在复平面内对应的点为 ，则 ．
C．若复数 ， 满足 ，则 ．
D．复数 的虚部是3．
【答案】A,B,C
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】由 ，A符合题意；
由 在复平面内对应的点为 ，则 ，即 ，
则 ，B符合题意；
设复数 ，则 ，所以 ，C符合题意；
复数 的虚部是-3，D不正确.
故答案为：A、B、C
【分析】 根据复数的除法运算求解即可判断出选项A正确；由复数的几何意义可知z=x+yi，所以|z-2i|=|x+（y-2）i|=1，再根据模长的计算方法，有x2+（y-2）2=1即可判断出选项B 正确；
由所以z1，z2的实部相同，虚部互为相反数，若设z=a+bi，则z2=a-bi，再根据复数的乘法进行运算即可判断出选项C正确；根据复数的概念即可判断出选项D错误；由此得出答案。
三、填空题
13．（2020高一下·大兴期末）设复数z＝1+i，则z的模|z|＝　 　.
【答案】
【考点】复数求模
【解析】【解答】解：因为复数z＝1+i，则z的模|z|= .
故答案为： .
【分析】直接代入模长公式即可.
14．（2021高一下·锦州期末）若复数 与其共轭复数在坐标原点为 的复平面内所对应的点分别为 ， ，则 的面积为　 　.
【答案】6
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】由复数 ，可得其共轭复数为 ，
则复数 与 在复平面对应点为 ，
所以 的面积为 .
故答案为：6.
【分析】首先由共轭复数的定义再结合复数代数形式的几何意义求出对应的点的坐标，再由三角形的面积公式代入数值计算出结果即可。
15．（2021·朝阳模拟）已知 ，则复数 在复平面内所对应点 的轨迹方程为　 　．
【答案】
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数求模；轨迹方程
【解析】【解答】∵复数 在复平面内所对应点 ，
又 ，
∴ ，
即点 到点 ，和 的距离之和为6，且两定点的距离为 ，
故点 的运动轨迹是以点 为焦点的椭圆，且 ，
故 ，
∴复数 在复平面内所对应点 的轨迹方程为： ，
故答案为： ．
【分析】 根据题意直接利用复数的几何意义，以及椭圆的定义即可求解出结果即可。
16．（2021高一下·湖州期中）世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，，即复数z的模的几何意义为z对应的点Z到原点的距离．在复平面内，复数（是虚数单位），其对应的点为为曲线上的动点，则与Z之间的最小距离为　 　．
【答案】2
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数求模
【解析】【解答】因为复数（是虚数单位），其对应的点为所以，曲线表示以原点为圆心，半径为1的圆，由圆的几何性质可知：与Z之间的最小距离为：
。
故答案为：2。
【分析】利用已知条件结合复数的几何意义得出复数对应的点 的坐标，再利用复数的模的求解方法结合圆的定义，得出曲线表示以原点为圆心，半径为1的圆，由圆的几何性质和两点距离公式可知点与Z之间的最小距离。
四、解答题
17．（2020高二下·天津期中）已知复数 为虚数单位）．
（1）若 ，求 ；
（2）若 在复平面内对应的点位于第一象限，求 的取值范围．
【答案】（1）解： ，
若 ，则 ，得 ，此时
（2）解：若 在复平面内对应的点位于第一象限，
则 且 ，
得 ，即 ，
即 的取值范围是 ．
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用复数的四则运算，先进行化简，结合若 ，即可求 ；（2）结合复数的几何意义，求出对应点的坐标，结合点与象限的关系即可求 的取值范围．
18．（2021高一下·天津期末）已如i为虚数单位，复数 ．
（1）当实数m取何值时，z是纯虚数；
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1）若复数是纯虚数，则 ，解得 ，所以 ．
（2）当 时， ，则 ， ．
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合纯虚数的定义，从而求出m的值。
（2）利用m的值求出复数z,再利用复数的乘除法运算法则和复数求模公式，从而求出 的值 。
19．（2020高二下·芮城月考）设复数 ，试求 取何值时，
（1） 是实数；
（2） 是纯虚数；
（3） 对应的点位于复平面的第一象限.
【答案】（1）解：当复数的虚部 且 时，即 或 时，复数表示实数
（2）解：当实部等于零且虚部不为零时，复数表示纯虚数，
由 ，得： 时，复数表示纯虚数
（3）解：由 ，复数对应的点位于复平面的第一象限，
解得： 或 ，故当 或 时，复数对应的点位于复平面的第一象限.
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【分析】首先分析该复数的实部和虚部是什么，之后结合复数是实数、纯虚数以及复数在复平面内对应的点所在的象限，对其实部和虚部进行对应的约束，求得其范围，得出结果即可.
20．（2020高二下·东莞月考）已知复数 在复平面内表示的点为A，实数m取什么值时，
（1）z为实数？z为纯虚数？
（2）A位于第三象限？
【答案】（1）解：复数
当m2﹣9m+18＝0，解得 m＝3或m＝6，故当 m＝3或m＝6时，z为实数．
当 ，解得m＝5，故当m＝5时，z为纯虚数；
（2）解：当 即 ，即3＜m＜5时，对应点在第三象限．
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【分析】（1）当复数的虚部等于0时，复数z为实数；当复数的实部等于0，且虚部不等于0时，复数z为纯虚数；（2）当复数的实部和虚部都小于0时，复数对应点在第三象限，解不等式组求出实数m的取值范围即可．
21．（2021高一下·池州月考）已知复数，.
（1）当时，求复数的模；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）解：当时，，
则.
（2）解：因为，即，即，
令，则，
则，，
当时，，
当时，，
故，
所以的取值范围为.
【考点】二次函数在闭区间上的最值；复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；复数求模
【解析】【分析】（1）结合复数的除法运算与加法运算求出，然后结合复数的求模公式即可求出结果；
（2）根据复数相等，得到 ，进而换元法求二次函数的最值.
22．（2020高一下·宁波期中）设 是虚数， 是实数，且 ．
（1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围．
（2）若 ，求证： 为纯虚数．
【答案】（1）解：设 .则
,
因为 .所以 ，又 ，所以 .所以 .
所以 ,
又 ,即 .解得 .
所以 的实部的取值范围的取值范围为 .
（2）证明: ,
因为 .所以 ,
所以 为纯虚数.
【考点】虚数单位i及其性质；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】（1）设z1=a+bi，（a，b∈R，且b≠0），则 =（a+ ）+（b﹣ ），由z1是实数，得a2+b2=1，由此求出z1的实部的取值范围为[﹣ ， ]．（2）ω= = = = ，由此能证明ω= 是纯虚数．
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