精讲精练·专项突破 第七章《复数》单元能力提升（含详细解析） (30)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高一下学期人教版（2019）
第七章 《复数》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2020·菏泽模拟）已知 是虚数单位，则 （　　）．
A．i B．-i C． D．
2．（2021高三上·海淀期中）在复平面内，复数 对应的点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
3．（2020高一下·抚顺期末）设i是虚数单位，若复数 ，则复数z的模为（　　）
A．1 B． C． D．
4．（2021高二下·怀化期末）复数 的虚部为（　　）
A． B．1 C．0 D．-1
5．（2020高二下·平谷期末）在复平面内，复数 对应的点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
6．（2020·芜湖模拟）设复数z满足 ，则 最大值为（　　）
A．1 B． C．2 D．4
7．复数 （　　）
A． B． C． D．
8．（2021高二下·河南期中）设，是复数，则下列命题中真命题的个数是（　　）
①，则；②若，则；③若，则；④若，则.
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
9．（2020高二下·聊城期末）已知复数 （其中 为虚数单位，，则以下结论正确的是（　　）．
A． B． C． D．
10．（2020高三上·郧县月考）已知复数 （其中 为虚数单位）下列说法正确的是（　　）
A．复数 在复平面上对应的点可能落在第二象限
B． 可能为实数
C．
D． 的虚部为
11．（2021高一下·海曙期中）已知 是虚数单位，下列说法正确的是（　　）
A．若复数 满足
B．若复数 满足
C．若复数 ，则 的值为2
D．若复数 满足 ，则 的最小值为1
12．（2021高一下·浙江期中）设b、c均为实数，关于x的方程在复数集C上给出下列结论，正确的是（　　）
A．存在b、c，使得该方程仅有2个共轭虚根
B．存在b、c，使得该方程有4个互不相等的实数根
C．存在b、c，使得该方程有5个互不相等的根
D．存在b、c，使得该方程最多有6个互不相等的根
三、填空题
13．（2021高二上·湖南期末）若复数z满足，则z的虚部为　 　．
14．（2020高二下·成都期中）若 是虚数单位，则 　 　.
15．（2021高二下·浦东期中）已知复数满足，则(为虚数单位)的最小值为　 　．
16．（2021高一下·连云港期末）已知平行四边形 的三个顶点 ， ， 对应的复数为0， ， ，则点 所对应的复数为　 　．
四、解答题
17．（2020高二下·江西期中）已知复数 ，复数 ，其中 是虚数单位，m,n为实数．
（1）若 ， 为纯虚数，求 的值；
（2）若 ，求 的值．
18．（2020高二下·重庆期末）
（1）已知 ，解关于z的方程 ；
（2）已知 是关于x的方程 在复数集内的一个根，求实数a，b的值.
19．（2021高一下·淮安期末）设复数 ， 为虚数单位）.
（1）若 为实数，求m的值；
（2）若 ，且 ，求m的值.
20．（2021高一下·宿迁期末）已知复数 满足 ， 的虚部为2，在复平面内， 所对应的点 在第一象限．
（1）求复数 ；
（2）设向量 表示复数 对应的向量， 的几何意义是将向量 绕原点逆时针旋转 后得到新的向量对应的复数．利用该几何意义，若 是等边三角形，求向量 对应的复数．
21．（2021高一下·东莞期末）设复数 i， i，记复数 与 分别对应复平面内的点 和 .
（1）根据复数及其运算的几何意义，求 和 两点间的距离；
（2）已知 （ 为正实数）表示动点 的集合是以点 为圆心， 为半径的圆.那么满足条件 的点 的集合是什么图形？并求出该图形的面积.
22．（2020高二下·林州月考）（1）已知 （ 是虚数单位）是关于 的方程 的根， 、 ，求 的值；
（2）已知 （ 是虚数单位）是关于 的方程 的一个根， 、 ，求 的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 .
故答案为：C．
【分析】根据复数的除法运算法则，即可求解.
2．【答案】B
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由题意， ，
所以 对应的点的坐标为 .
故答案为：B.
【分析】 根据已知条件，结合复数的乘法原则和复数的几何意义，即可求解.
3．【答案】D
【考点】复数求模
【解析】【解答】依题意， ，
故答案为：D.
【分析】根据复数模的计算公式，计算出 的模.
4．【答案】B
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为 ，故复数的虚部为1。
故答案为：B
【分析】利用复数的乘法运算法则求出复数z，再利用复数的虚部的定义，从而求出复数z的虚部。
5．【答案】C
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】 ，
复数 对应的点的坐标是 。
故答案为：C．
【分析】利用复数的乘法运算法则求出复数z，再利用复数的几何意义求出复数z对应的点的坐标。
6．【答案】C
【考点】复数求模
【解析】【解答】设 ， ，
， 即 ，
点 在圆 上，
又该圆的圆心为 ，半径为 ，
该圆上所有点到原点的距离最大值为 ，即 ，
.
故答案为：C.
【分析】设 ， ，由题意可得 ，即点 在圆 上，找到圆上的点到原点的距离最大值即可得解.
7．【答案】B
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解： .
故答案为：B.
【分析】由复数的除法法则即可化简出正确结果.
8．【答案】C
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】设,
对于①， ，①正确；
对于②，由命题①的判定知，②正确；
对于③， ，于是有 且 ，
，即③正确；
对于④，令 ， ，则有 ， ，即 ，④不正确,
所以①②③是真命题，共有3个.
故答案为：C
【分析】直接利用复数的运算，复数的模，复数的共轭判断即可.
9．【答案】B,C,D
【考点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】 ，
，B符合题意，由于复数不能比较大小，A不符合题意；
，C符合题意；
，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】利用复数代数形式的运算性质对选项逐一判断即可得出答案。
10．【答案】B,C
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数求模
【解析】【解答】对于AB选项，当 时， ， ，此时复数 在复平面内的点在第四象限；
当 时， ；
当 时， ， ，此时复数 在复平面内的点在第一象限.
A选项错误，B选项正确；
对于C选项， ，C选项正确；
对于D选项， ，
所以，复数 的虚部为 ，D选项错误.
故答案为：BC.
【分析】利用复数的几何意义结合点的坐标在各象限的符号、复数为实数的判断方法、复数的模求解公式、复数的乘除法运算法则结合复数的定义，从而找出说法正确的选项。
11．【答案】B,D
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】解：对于A，当z=i时，显然不成立，故A错误；
对于B，当z=a+bi∈R，则b=0，所以=a∈R，故B正确；
对于C，当，则，故C错误；
对于D，设z=a+bi，则由 得，即，则，解得b=1，则|z|，故D正确.
故答案为：D
【分析】本题主要考查复数的概念，复数的模，以及复数的运算问题，根据概念以及运算法则逐项求解即可判断.
12．【答案】A,B,D
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；函数的零点与方程根的关系；函数的零点
【解析】【解答】解：对于A，令，c为正实数，则该方程仅有2个共轭的虚根，正确；
对于B，若x为实数，则方程可看做，只需保证有2个不同的正解即可，如，，此时方程有4个互不相等的实数根，正确；
对于CD，设，则原方程等价于，则，于是，必有m=0或n=0.
当时，得(1)，当n=0时得m2+b|m|+c=0(2),
若c=0,则为：,或,若b=0则有n=m=0,即原方程只有x=0一个解；
若b>0，只有n=±b,即原方程只有x=±bi两个解；
若b<0,只有m=±b,原方程只有x=±b两个解，
综上c=0时原方程至多有2个解;
若c≠0，将方程(1)(2)中的|n|和|m|用t表示，
得到两个方程(3)(4)，
则(3)(4)的解不为零，∴（1）（2）的解都是成对出现，即原方程得解只能是偶数个；
综上，原方程的解不可能有5个解，故C错误；
方程（3）的判别式,方程(4)的判别式,
当时，(3)无解；(4)至多有2个不同的正实数解，于是原方程至多有四个不同的解，且四个解都是实数；
当时，(4)无解，（3）至多有两个不同的正实数解，于是原方程至多有4个不同的解，且四个解都是纯虚数；
当，且，方程（3）（4）的实数根分别记为，则.
若c>0，则t1t2<0,t3t4>0,即t1,t2异号，t3,t4同号，（3）只有一个正实数解，再若有条件,，即b<0时，（4）才最多有两个正实数解，进一步当时，（4）的两个正实数解不相等，此时对应n有两个实数解，m有四个实数解，对应原方程有两个互为共轭的纯虚数解，四个正负成对的实数解，一共6个解；
同样，当c<0时，t1t2>0,t3t4<0,即t1,t2同号，t3,t4异号，（4）只有一个正实数解，若再加上条件且即b>0,且时，（3）才最多有两个不等的正实数根，此时对应（1）有四个不同的正负配对的正实数根，（2）时只有2个互为相反数的实数根，对应原方程有4个共轭配对的纯虚数根，2个互为相反数的实数根，共有6个解.
如，，满足 ，且，.方程（3）有一正一负根，方程（4）由两个不等的正实数根，对应原方程有最多的解，其中2个为纯虚数根，四个为实数根原方程共有6个解.
由于，，故不论c为什么实数，都不可能出现都为正实数的情况，既原方程不可能出现8个解的情况，显然不可能出现更多的解的情况了.
综上所述也方程的解最多是6个.
故D正确.
故答案为：ABD．
【分析】 根据函数零点与方程根的关系，结合复数相关知识，利用分类讨论思想求解即可.
13．【答案】5
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：由题得，
所以z的虚部为5.
故答案为：5
【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数的概念即可得出答案。
14．【答案】0
【考点】虚数单位i及其性质
【解析】【解答】因为 是虚数单位，
所以 ， ， ， ，
所以 ，
所以
。
故答案为：0。
【分析】利用虚数单位i的运算性质结合周期性，进而求出的值。
15．【答案】1
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数求模
【解析】【解答】∵，
∴z在复平面内对应点的轨迹为以原点为圆心，以1为半径的圆，
的几何意义为圆上的点到 的距离，
如图，
∴的最小值为 。
故答案为：1。
【分析】利用 结合复数的模的几何意义，进而得出复数z在复平面内对应点的轨迹为以原点为圆心，以1为半径的圆，再利用的几何意义为圆上的点到的距离，再结合几何法得出的最小值。
16．【答案】
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；中点坐标公式
【解析】【解答】因为平行四边形 的三个顶点 ， ， 对应的复数为0， ， ，
所以 ，设 ，因为平行四边形对角线互相平分，
所以对角线 的中点就是对角线 的中点，
所以 ，因此点 所对应的复数为 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合平行四边形的结构特征和复数的几何意义，从而结合中点坐标公式求出点B对应的复数。
17．【答案】（1）解：因为 为纯虚数，所以 ．
又 ，所以 ， ，从而 ．
因此 ．
（2）解：因为 ，所以 ，
即 ．又 ， 为实数，
所以
解得
【考点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【分析】（1）利用复数的运算法则，结合纯虚数的概念，根据模的计算公式即可得出；（2）利用复数的运算法则、复数相等即实部与虚部分别相等可得出最终结果．
18．【答案】（1）解：设 ，则 ，即
∴ ，解得 ，或 ∴ 或 ；
（2）解：由题知方程在复数集内另一根为 ，故 ，
即 .
【考点】相等向量与相反向量；复数的基本概念
【解析】【分析】（1）设 ，代入 ，化简后利用向量相等的知识列方程组，解方程组求得 的值，由此求得 .（2）根据虚根成对以及根与系数关系列方程组，解方程组求得 的值.
19．【答案】（1）由于 ，
所以 ，解得 ；
（2）由于 ，
所以 ，解得 .
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合复数的乘除法运算法则，从而结合复数为实数的判断方法，进而求出实数m的值。
（2）利用已知条件结合复数的乘除法运算法则，从而结合复数求模的公式，进而求出m的值。
20．【答案】（1）解：设 ，则 ， ，
因为 ， 的虚部为2，所以 得 ，
因为 所对应的点 在第一象限，所以 ， 得 ， ， ，
所以 ．
（2）等边三角形 可以看成 向量 绕旋转 ，设向量 对复数 ，
，
或 ，
所以向量 对应的复数 或 ．
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【分析】 (1) 设 ，根据条件 ， 的虚部为2 ,可推得 ，再结合
z所对应的点A在第一象限， 即可求解；
(2) 等边三角形 可以看成 向量 绕旋转 ，结合复数的乘法公式，即可求解。
21．【答案】（1）解：复数 i， i，分别对应向量 ， ，
所以
（2）由题知方程 表示的动点 的集合是以点（1，1）为圆心、1为半径的圆，
方程 表示的动点 的集合是以点（1，1）为圆心、3为半径的圆，
故不等式 表示的动点 的集合是以点（1，1）为圆心、半径分别为1和3的两个圆所形成的圆环形图形（含边界），
所以该圆环形图形的面积为 .
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数求模；两点间的距离公式
【解析】【分析】 (1)分别求出点 和 对应的复数，然后求出Z，Z0对应的复数，由复数模的定义求解即可;
(2)利用复数模的几何意义分析求解即可.
22．【答案】（1）解：由已知得 ， ，
，解得 ， ；
（2）解：解法一：由已知得 ， ，
， ， ；
解法二： 是实系数方程 的根， 也是此方程的根，
因此 ，解得 ， .
【考点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系；复数的基本概念
【解析】【分析】（1）将 代入方程 ，将等式左边的复数化为一般形式， 利用复数的虚部和实部均为零得出关于 、 的方程组，解出这两个未知数，即可求出 的值；（2）解法一：将 代入方程 ，将等式左边的复数化为一般形式， 利用复数的虚部和实部均为零得出关于 、 的方程组，解出这两个未知数，即可求出 的值；
解法二：由题意可知，关于 的二次方程 的两根分别为 和 ，利用韦达定理可求出 、 的值，由此可计算出 的值.
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