精讲精练·专项突破 第七章《复数》单元能力提升（含详细解析） (32)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高一下学期人教版（2019）
第七章 《复数》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2020·郑州模拟）已知复数 （ 其中是虚数单位，满足 ），则 的共轭复数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2020高三上·贵州月考）若复数 ，则 （　　）
A． B．2 C． D．
3．（2020高二下·绍兴月考）设复数 , ，则复数 在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2020高三上·山东月考）已知复数 ，则在复平面内，复数 所对应的点位于（　　）.
A．第一条限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．若复数z满足 ，则 （　　）
A． B． C． D．2
6．（2020高二下·霍邱月考）设复数 （ ，i是虚数单位），若 满足 ，则复数 的模的最大值为（　　）
A． B． C． D．
7．已知复数z满足 ，i为虚数单位，则z等于（　　）
A． B． C． D．
8．（2020高三上·湖北期末）已知复数 和 满足 ， ，则 的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2021高一下·常州期末）在复平面内，下列说法正确的是（　　）
A．若复数 满足 ，则
B．若复数 ( 为虚数单位)，则
C．若复数 ，则 为纯虚数的充要条件是
D．若复数 满足条件 ，则复数 对应点的集合是以原点 为圆心，分别以 和 为半径的两个圆所夹的圆环，且包括圆环的边界
10．（2021高一下·海南期末）已知复数 ，则（　　）
A． 的虚部为
B． 在复平面内对应的点位于第二象限
C．
D．
11．（2020高二下·徐州期末）给出下列四个命题，其中是真命题的有（　　）
A．若复数 ，则
B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不变
C．已知随机变量X服从二项分布 ，若 ， ，则
D．若函数 在某区间上有定义且连续，则“函数 的导数 ”是“函数 在此区间上为增函数”的充分不必要条件
12．（2021高二上·六安开学考）下列四个命题中是假命题的是（　　）
A．若复数z满足 ，则z是虚数
B．若直线的倾斜率为 ，则直线的倾斜角为
C．若， ，事件A，B相互独立和A，B相互互斥不能同时成立
D．若 ， ， ， 为锐角，则实数m的取值范围是
三、填空题
13．（2021·天津模拟） 是虚数单位，复数 　 　.
14．（2021·吉林模拟）已知 是虚数单位，复数 ，则 的虚部为　 　．
15．（2020高三上·浙江期末）已知 是 的共轭复数，则 　 　， 　 　.
16．（2021·奉贤模拟）已知 ( 是虚数单位)是方程 的一个根，则 　 　.
四、解答题
17．（2020高一下·枣庄开学考）已知复数 满足 ，且复数 为实数
（1）求复数
（2）求 的值
18．（2021高一下·浙江期中）已知复数 ，复数 ，其中 是虚数单位， ．
（1）若 ， ，求 的值；
（2）若 ，求 的值．
19．（2020高二下·沭阳期中）已知 ，复数 .
（1）若 对应的点在第一象限，求 的取值范围；
（2）若 的共轭复数 与复数 相等，求 的值.
20．（2022高三上·贵州月考）已知复数，是实数.
（1）求复数z；
（2）若复数在复平面内所表示的点在第二象限，求实数m的取值范围.
21．（2020高二下·嘉定期末）已知复数 ， ， .
（1）若 ，求实数m的取值范围；
（2）若 是关于 的方程 的一个根，求实数m与n的值.
22．（2020高二下·通州期末）已知复数 是虚数单位）.
（1）求 ；
（2）如图，复数 ， 在复平面上的对应点分别是A，B，求 .
答案解析部分
1．【答案】C
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解： ，
则 ．
故答案为：C ．
【分析】由 化简分母，然后再由复数代数形式的乘除运算化简复数z，则z的共轭复数可求．
2．【答案】C
【考点】复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】 .
.
故答案为：C
【分析】首先化简复数 ，再求模长即可.
3．【答案】B
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】 ，所对应的点的坐标为 ，故复数 在复平面内所对应的点位于第二象限，故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合作差法求出复数 的代数式，再利用复数的几何意义，从而求出复数 在复平面内对应的点的坐标，再利用点的坐标的位置，从而求出复数 在复平面内对应的点位于的象限。
4．【答案】B
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】依题意， ，
所以在复平面内，复数 所对应的点位于第二象限
故答案为：B
【分析】化简复数 ，进而可得复数 对应的点所在象限．
5．【答案】B
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】因为复数z满足 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：B
【分析】根据复数z满足 ，利用复数的除法得到 ，再利用求模公式求解.
6．【答案】A
【考点】复数求模
【解析】【解答】由 可得 ，
则 的最大值为 ，
故答案为：A.
【分析】由 可得 ，再根据的几何意义即可的解。
7．【答案】A
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】∵ ，
∴ .
故答案为：A
【分析】根据复数z满足 ，利用复数的除法求解.
8．【答案】D
【考点】复数求模
【解析】【解答】设 ，
则 表示点 到点 的距离是到点 距离的 倍.
则 ，
化简得： ，
即复数 在复平面对应得点为以 为圆心，5为半径的圆上的点.
设 ，因为 ，所以点 和点 距离为3，
所以复数 在复平面对应得点为以 为圆心，2为半径的圆上的点或以 为圆心，8为半径的圆上的点，如图所示：
表示点 和原点 的距离，由图可知 的最小为3，最大为 .
故答案为：D.
【分析】设 ，由 可得，设 ，则点 和点 距离为3，作图像即可得解。
9．【答案】B,D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于 ，若 ，此时 ，A错误；
对于 ，若复数 ，即 ，则有 ，B正确；
对于 ，若复数 ，则 为纯虚数的充要条件是 ，且 ，故C错误．
对于 ，设复数 ，若复数 满足条件 ，
则有 ，故复数 对应点的集合是以原点 为圆心，分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，且包括圆环的边界，D正确；
故答案为：BD．
【分析】由复数的运算性质整理即可得出选项A错误、B正确；由纯虚数的定义即可判断出选项C错误；由复数模的定义以及复数代数形式的几何意义即可判断出选项D正确，从而得出答案。
10．【答案】C,D
【考点】虚数单位i及其性质；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】因为 ，
A． 的虚部为 ，故错误；
B． 在复平面内对应的点为 ，位于第四象限，故错误；
C． ，故正确；
D． ，所以 ，故正确，
故答案为：CD.
【分析】根据复数乘除运算可化简z，再根据共轭复数，复数的概念以及复数的模的计算，可得答案。
11．【答案】B,C,D
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数代数形式的乘除运算；极差、方差与标准差；二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【解答】解：对于 ，因为 ，即可知 错误；
对于 ，将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，每个数据与平均数的差的平方没变，
根据方差公式可知， 正确；
对于 ，根据期望和方差公式可知， ， ．解得 ， 正确；
对于 ，根据函数的单调性和导数的关系可知，若函数 的导数 ，则函数 在此区间上为增函数，
当函数 在此区间上为增函数时，函数 的导数 ，所以 正确．
故答案为：BCD．
【分析】利用复数的乘法运算法则结合实数比较大小的方法可知 错误，再利用方差公式结合已知条件得出将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不变可知B正确， 利用二项分布求概率公式结合数学期望公式和方差公式，再结合已知条件，进而求出概率p的值，进而推出C正确，再利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，进而推出若函数 在某区间上有定义且连续，则“函数 的导数 ”是“函数 在此区间上为增函数”的充分不必要条件，进而推出D正确，从而选出真命题的选项。
12．【答案】B,D
【考点】向量的线性运算性质及几何意义；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；复数的基本概念；互斥事件与对立事件；直线的倾斜角
【解析】【解答】解：对于A，复数满足 ，可令z2=-b，b>0，则是虚数，故A正确；
对于B，当α≥180°时，该直线的倾斜角不是α，故B错误；
对于C， 假设同时成立，显然有AB为不可能事件得到P(AB)=0，而相互独立P(AB)=P(A)xP(B)>0矛盾
因此不能同时成立，故C正确；
对于D，∵，若，则有3(1-m)=2-m，解得，
由题设知，，
∵∠ABC为锐角，，可得
由题意知，当时，BA//BC
故当∠ABC为锐角时，实数m的取值范围是
故D错误
故答案为:BD
【分析】根据复数的概念可判断A；根据直线的倾斜角与斜率可判断B；根据独立事件与互斥事件的定义可判断C；根据向量的线性运算、数量积运算及平行向量的判定定理可判断D.
13．【答案】
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 。
故答案为： 。
【分析】利用复数乘除法运算法则，进而求出复数。
14．【答案】-1
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
故 的虚部为-1。
故答案为：-1。
【分析】利用复数的乘除法运算结合复数求模公式，进而求出复数z，再利用复数的虚部的定义，进而求出复数z的虚部。
15．【答案】；
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】 ，且 是 的共轭复数，
， ，则 ， .
故答案为： ； .
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简 ，再由复数的基本概念求得 与 的值，则a+b与 可求.
16．【答案】1
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】 ，
，解得 ，
。
故答案为：1。
【分析】利用复数的乘除法运算法则求出复数z，再利用复数是方程的根结合代入法，进而结合复数相等，从而求出a的值，再利用复数与共轭复数的关系求出复数的共轭复数，再利用复数的加减法运算法则结合复数求模公式，进而求出所求复数的模。
17．【答案】（1）解：设 ，则 因为复数 为实数，则 ，又 ，
解得 或
故 或
（2）解：
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【分析】(1)由复数的运算性质整理化简的代数式，再由复数的定义即可得出关于a、b的方程组求解出a、b的值，即可得到复数z。
(2)由复数的运算性质整理化简原式再结合了已知条件计算出结果即可。
18．【答案】（1）解：因为 ， ，所以 ，
所以 ；
（2）解：因为 ，而 ， ，
所以 ，即 ，则 .
【考点】复数相等的充要条件；复数求模
【解析】【分析】(1)由 ， ，可求得 ，代入模长公式即可。
（2）由 展开，借助复数相等概念，可得方程 ，进而求出答案。
19．【答案】（1）解：由题意得 ，解得 ，
所以 的取值范围是 ；
（2）解：因为 ，所以 ，
因为 与复数 相等，所以 ，解得 .
【考点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【分析】（1）利用复数的几何意义求出复数z对应的点的坐标，再结合复数z对应的点所在的象限，进而利用复数 对应的点在第一象限，从而求出 的取值范围。
(2)利用复数与共轭复数的关系结合复数相等的判断方法，进而求出m的值。
20．【答案】（1）因为，
所以，
因为是实数，所以，解得.
故.
（2）因为，
所以.
因为复数所表示的点在第二象限，
所以
解得，即实数m的取值范围是.
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】（1）利用复数代数形式的混合运算即可求出复数z；
（2）由已知可得 ， 求解不等式组即可求出实数m的取值范围.
21．【答案】（1）解：由题意，复数 ， ， .
则
又由
因为 ，所以 ，即
解得 .
所以实数m的取值范围为 .
（2）解：因为 是方程 的一个根，
则 也是此方程的一个根，
可得 ，解得 或 ，且满足 ，
所以 或 .
【考点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系；复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【分析】（1）根据题意，结合复数的运算和模的计算公式，得到 ，即可求解实数m的取值范围；（2）由 是方程 的一个根，得到 也是此方程的一个根，结合根据与系数的关系，即可求解.
22．【答案】（1）解： ，
（2）解： ， ，
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】（1）把 代入 ，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案；（2）由图形求得 ， ，代入 ，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.
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