2021-2022学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
单位圆与任意角的
正弦函数、余弦函数定义
教学目标
3.
1.
理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义
2.
掌握任意角的正弦函数值、余弦函数值在各象限的符号
4.
能结合单位圆理解正弦函数、余弦函数的基本性质,会求一些简单的函数的性质
会求任意角的正弦函数值、余弦函数值
教学重点
已知角α终边上一点，会求sin α，cos α的值.
重点
难点
借助单位圆理解并掌握任意角的正弦函数、余弦函数的定义.
锐角的正弦、余弦函数的定义：：
斜边
邻边
对边
正弦
余弦
特殊角的三角函数值
下面我们在直角坐标系中，利用单位圆来进一步研究锐角的正弦函数、余弦函数.
[提示]　当α是锐角时，sin α＝v，cos α＝u.这一结论能推广到α是任意角的情形.
单位圆与任意角的正(余)弦函数的定义
问：这一结论能否推广到α是任意角时的情形呢？
如图，如果一个锐角α的终边与单位圆的交点是P(u，v)，根据初中所学在直角三角形中正弦、余弦、正切的定义，能否用点P的坐标表示sin α，cos α？
新知初探
1．任意角的正弦、余弦函数
(1)单位圆的定义：在直角坐标系中，以原点 为圆心，以 单位长 为半径的圆，称为单位圆．
(2)如图所示，设α是任意角，其顶点与原点重合，始边与x轴 正方向 重合，终边与单位圆
O交于点P.
◎结论形成
1.任意角的正(余)弦函数的定义(单位圆法)
如图给定任意角α，作单位圆；
角α的终边与单位圆的交点为P(u，v).
例1、已知角,则。
A. B. C.- D.
例2、在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点(和(,)，那么sin αcos β＝(　　)
A.－　　 B.－ 　　 C.　 　 D.
解：由任意角正(余)弦函数的定义得
sin α＝，cos β＝－，∴sin αcos β＝ ×(－＝－.故选B.
把点P的纵坐标v定义为角α的正弦值，记作v＝；
把点P的横坐标u定义为角α的余弦值，记作u＝.
如果角α的大小用弧度表示，那么，正弦v＝sin α、余弦u＝cos α分别是以角的大小为自变量，以单位圆上的点的纵坐标、横坐标为函数值的函数，其定义域为全体实数，其值域为实数的子集合.这样定义的正弦函数和余弦函数就与高中引入的函数概念一致了.
自主学习
思考：1.已知Q是角α终边上除原点外的一点，如何求sin α与cos α？
2.正(余)弦函数的定义(坐标法)
已知任意角α终边上除原点外的一点Q(x，y).
则sin α＝__Y/R__，cos α＝X/R____，其中r＝.
例3、已知角α的终边经过点(－4，3)，则sin α的值为(　　)
A.－ B.－ C. D.
解：
解：∵x2＋＝1，∴x＝±.
当x＝时，sin α＋cos α＝＋ ＝；
当x＝－时，sin α＋cos α＝ － ＝ .
例4、若角α的终边与单位圆的交点为P()，则sin α＋cos α的值为________.
[方法技巧]
单位圆法求三角函数的值，先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用三角函数的定义求出相应的三角函数值.
练习1、锐角α的终边交单位圆于点，则
sin α＝________.
解：,又
变式1、若将题目中的“锐角α”改为“钝角α”， sin α=？
变式2、若将题目中的“锐角” 去掉， sin α=？
变式3、若将题目中的“单位圆” 去掉， sin α=？
变式4、若将题目中的“锐角” 去掉，加上条件“m＜0” ，sin α=？
3.单位圆与正(余)弦函数值的符号
根据正(余)弦函数的定义，设角α的终边与单位圆的交点是P(u，v).
(1)当点P在第一、二象限或y轴正半轴时，sin α＞0；当点P在x轴上时，sin α＝0；当点P在第三、四象限或y轴负半轴时，sin α＜0.
(2)当点P在第一、四象限或x轴正半轴时，cos α＞0；当点P在y轴上时，cos α＝0；当点P在第二、三象限或x轴的负半轴时，cos α＜0.
例6、角α的终边过点P(－3a，4a)，a≠0，则cos α＝________.
解：由题意可得
|OP|＝＝5|a|，且a≠0.
当a＞0时，|OP|＝5a，则cos α＝＝－.
当a＜0时，|OP|＝－5a，则cos α＝＝.
总结：在利用三角函数的定义解决问题时，如果终边上一点的坐标中含有参数，那么要注意对其进行分类讨论，以免丢解！
例7、已知角α的终边在直线上，求的值.
已知角α终边所在直线求三角函数值
解：设角α的终边上任意一点为，则||.
(1)当时，，是第四象限角，
==,
==,=;
所以10＋＝10×(-)＋3＝－3＋3＝0.
(2)当k＜0时，r＝－k，α是第二象限角，
＝＝＝，
＝＝＝－，
所以＋＝10× ＋3×(－)
＝3－3＝0.
综上所述， ＋ ＝0.
[规律方法]
在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标，则对应角的三角函数值分别为，，tan α＝.

1.单位圆与任意角的正(余)弦函数的定义
设角α的终边与单位圆交点为P(u，v)，则v＝sin α，u＝cos α.
正弦函数、余弦函数分别是以角α的大小(用弧度表示)为自变量，以单位圆上的点的纵坐标、横坐标为函数值的函数.
2.由正(余)弦函数值的符号确定角的终边的位置时，不仅要考虑象限角，而且还要考虑不属于任何象限的角.
课堂小结
感谢大家聆听！