北师大版八年级数学下册 1.1 等边三角形的判定 教案

1.1 等边三角形的判定
一、教学内容
北师大版《义务教育教科书·数学》八年级下册第一章第一节《等腰三角形》第四课时。
二、教材分析
（一）教材的地位与作用
等边三角形与含30°角的直角三角形是基本的几何图形，它在生活中有着十分广泛的应用，这不仅表现在日常生活中有许多它们的图案，还包括其性质在生产、生活各领域的实际应用。
本节课既是等腰三角形性质和判定、全等三角形等知识的延续和深化，也是后续学习直角三角形、平行四边形、多边形等知识的坚实基础，在教材中起着承上启下的作用。等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质还为今后证明角相等、线段相等提供新的方法和依据，拓宽了学生的解题思路。
另外本节课在探究等边三角形与含30°角的直角三角形的过程中，学生经历观察、实验、猜想、验证、推理、交流等数学活动，对于培养学生的动手、动脑、动口、合作交流能力，加强学生猜想、演绎、类比、归纳、转化等数学思想、方法的领会掌握以及探究能力和创新精神的培养起着重要的作用。
（二）教学目标
1、证明和掌握等边三角形的判定定理及含30°的直角三角形的性质定理，培养学生初步应用这些知识解决问题。
2、通过观察、实验、猜想、验证、推理、交流等数学活动进一步发展学生的演绎推理能力和发散思维能力，渗透转化、分类讨论的数学思想。
3、培养学生独立思考的习惯与合作交流的意识，在这个过程中互相尊重、互相关心、互相帮助、和睦友好，践行社会主义核心价值观中的新型人际关系。激发学生探索数学的兴趣，体验探索成功后的快乐，培养学生科学的学习态度。
（三）教学重点、难点
教学重点：让学生亲历等边三角形判定定理、含30°角的直角三角形性质定理的“观察——猜想——验证”过程，理解定理，并学会用它们解决相关问题。
教学难点：通过判定定理及性质定理的探求，培养学生独立思考、自主探索的精神，提高分析问题和解决问题的能力。
（四）教材处理：
在教材内容的整合上，充分体现“创造性地使用教材”和“真正地以学生为本”的教学理念。
（1）为能更好地体现知识结构的完整性和系统性，本节课分为探索等边三角形的判定、含30°角的直角三角形的性质以及定理的应用这样三部分。
（2）针对八年级学生的知识结构和心理特征，采用开放式教学，始终突出学生的主体地位，通过观察、实验操作、探究猜想，归纳应用，让学生充分感受到知识的产生和发展过程，使学生真正成为实践的探索者、知识的构建者、愉快的收获者。整个教学过程遵循了数学发现的思想规律和学生的认知规律的和谐统一。
总之，教材处理力求在深挖定理的内涵与外延，在深化练习效用的过程中达到培养学生创新意识、实践能力，并在这个过程中践行社会主义核心价值观中新型人际关系的教学目的，同时让学生充分感受到数学带来的乐趣。
三、教学方法与手段
（1）本节课在教法上体现教师的“启发引导”，帮助学生实现认识上与态度上的跨越；在学法上突出学生的“探索发现”。
（2）借助多媒体课件、几何画板，使师生之间具备更好的交互性。数学理论的表述往往是抽象的，而图形则以其生动、直观的形象展现于学生的面前，以帮助理解、记忆抽象的数学内容。通过几何画板，将等边三角形的判定定理的探究从静态变为动态，实现有形、有变化过程的“活”的图形的数形结合。抽象变为形象，利于抽象思维能力的培养，同时使探索过程更形象、更逼真，以此激发学生的学习兴趣，激励学生探究。不仅改进了问题的呈现方式，更使教学更富有趣味性、生动性和互动性，从而激发学生的主动参与热情，更好的实现教学目标。
（3）借助三角板，通过拼图游戏和探究活动，自然而然地将两个含30°角的直角三角板拼成等边三角形，为含30°角的直角三角形的性质的探究服务。
四、教学程序
教学环节 设计意图
复习回顾导入新课 师：在前面三节课，我们学习了等腰三角形的什么？生：性质和判定。师：又学习了等边三角形的？生：性质。教师点拨：那么等边三角形作为特殊的等腰三角形，自身具有哪些判定呢？今天，我们就来共同研究等边三角形的判定。首先来看下本节课的学习目标。 复习回顾，开门见山。学习了等腰三角形的性质、判定，等边三角形的性质，学生自然急切想知道怎样去判定一个三角形是等边三角形，通过复习两者之间的关系，为学习等边三角形的判定做铺垫。明确学习目标，学习更有针对性。
实践探究交流新知实践探究交流新知实践探究交流新知 活动一：开放探究等边三角形的判定条件问题1：什么是等边三角形？定义是从三角形的哪个角度（元素）出发给出的？教师留意观察，学生思考问题，并回答出等边三角形的定义是从“边”的角度给出的。问题2：判段一个三角形是不是等边三角形能不能从“角”的角度出发呢？教师打开几何画板，学生通过调整一个任意三角形的一个顶点使三角形三条边的长度相等得到等边三角形。得出猜想：三个角都相等的三角形是等边三角形。问题3：等边三角形是一个特殊的等腰三角形。那么从等腰三角形出发，能否得到等边三角形？学生思考问题，可能会回答出等腰三角形的腰等于底（边的角度）；等腰三角形的一个角等于60度（角的角度）。教师打开几何画板，学生通过调整一个等腰三角形的一个顶角或底角，使得三角形三条边的长度相等（或三个角相等）得到等边三角形。得出猜想：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。教师总结：通过大家的猜想还有刚才的操作我们得出了有关等边三角形的两个结论：三个角都相等的三角形是等边三角形；等腰三角形的一个角等于60度（角的角度）。那么你能证明吗？学生分小组讨论，派代表到黑板上画图，写出已知求证，并口述证明过程。教师强调并板书定理的几何语言。活动二：拼图游戏活动要求：请你拿出两个含30°角的全等三角尺；采用拼图方法拼出不同的图形；通过小组合作探究含30°角的直角三角形有哪些性质；结论写在白纸上。大家先看清要求，再动手操作，结论写在记录板上。2、学生利用学具（两个含30°角的全等的直角三角尺）小组合作探究。教师以合作者的身份深入到各小组中，了解学生的探究过程并适当予以指导。3、汇报：学生展示拼图过程，相互补充探究得出结论。教师要引导学生将拼出的图形与等边三角形联系起来，使知识的呈现具有延续性、条理性。请大家思考一下，利用我们学习的几何知识能够验证含30°角的直角三角形的性质吗？还有其他方法吗？ 教师小结：延长直角三角形的一条直角边，它构造出两个全等的三角形，从而将直角三角形问题转化为熟悉的全等三角形问题。或者构造等腰三角形同样能够将问题转化。这些充分体现了由未知转化为已知，由繁化简的数学思想。5、总结：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。教师小结：教师强调并板书定理的几何语言。我们用不同的方法，从不同的角度，通过实验、说理得到了含30°直角三角形的性质。它为我们得到线段相等提供了新的方法和依据。 鼓励学生从定义中寻找探究渠道，区别于定义，从“角”的角度出发进行探究。激发学生强烈的好奇心和求知欲，满足学生的多样化学习需求，提高学生的学习兴趣和积极性。鼓励学生从任意三角形和等腰三角形的“角”的角度出发，通过几何画板，以动态的方式展示三角形内角的变化过程，探究等边三角形的判定。实现有形、有变化过程的“活”的图形的数形结合。将抽象变为形象，利于抽象思维能力的培养，同时使探索过程更形象、更逼真，以此激发学生的学习兴趣，激励学生探究。在比较中学习，能够加深学生对等边三角形的判定的本质的理解。提醒学生注意，思考问题要全面。把几何论证作为探究活动的自然延续和必然发展．提高实践精神，证明意识。学生在拼图活动中可以获得丰富的感知，经历和体验图形的变化过程，引导学生感悟知识的生成、发展和变化。通过拼图游戏，让学生在经历了等边三角形判定的探究过程后，自然而然地形成含30°角的直角三角形的性质，符合学生的认知规律。在这一过程中，让学生体悟到学习方式的转变，不但完成了学习任务，而且还学会了与人交流沟通的本领，互相尊重、互相关心、互相帮助、和睦友好。真正体现了新课程理念中“以人为本，促进学生终身发展”的教学理念。同时以实际行动践行社会主义核心价值观。通过动手拼图操作获得了丰富的直观体验，直接帮助学生连接辅助线证明30°角的直角三角形的性质。注重直观操作和简单推理的有机结合。把几何论证作为探究活动的自然延续和必然发展。使学生的实践精神，创新意识和自觉说理意识得到提高。在开放式探究含30°角的直角三角形的性质的活动后，再引导学生总结归纳，由此达到数学教学的新境界——提升思维品质，形成数学素养。
巩固训练
体现应用巩固训练体现应用 1．已知：如图，△ABC是等边三角形，与BC平行的直线分别交AB与AC于点D、E，求证：△ABC是等边三角形。2．求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半。 巩固训练，体现了教学的连贯性，也体现出数学知识的实用性。 加深对等边三角形判定的理解，培养学生的应用意识。学以致用的体验，使学生感受到数学学习是有趣的、丰富的、有价值的。本题不仅涉及到了含30°角的直角三角形的性质，还有等腰三角形的性质、三角形的外角等知识，训练了学生综合运用知识解决实际问题的能力。这组练习有效地促进学生对本节课所学习的判定定理与性质定理进行更加深刻的理解与掌握。
反思小结持续发展 以师生共同小结的方式进行：（1）回顾知识（2）总结方法（3）提炼思想 本节课，我们通过实验得到了等边三角形的判定、含30°角的直角三角形的性质，又从理论上进行了验证。希望大家在今后的学习生活中要掌握好这些思想和方法，灵活地运用到将来的生活和学习中。 对整个课堂的学习过程进行反思，能够促进理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展，更好地进行知识建构，实现良性循环。培养学生自我反馈、自主发展的意识。
作业布置 必做题：教材 习题1.4 1、2选做题：教材 习题1.4 3、4、5 题目由浅入深，培养学生自己发现问题、分析问题和解决问题的能力，使学生真正成为知识的主动建构者。在全体学生获得必要发展的前提下，不同的学生还可以获得不同的体验。
板书设计 1.1 等边三角形的判定1、等边三角形的判定含30°角的直角三角形的性质应用
设计说明
本节课的设计，以建构主义理论为基础，以问题为载体，以学生的动手实践、自主探索、合作交流为主要的学习方式。在教学过程中，实施开放式教学，创设民主、宽松的教学氛围，最大限度地调动学生的积极性，激发他们的学习兴趣，引导他们多角度、多方位、多层次地思考问题，使他们有足够的的机会显示灵性、展示个性。教师成为课堂问题的激发者、有序探究的组织者、学生错误的澄清者、多角度思考的促进者，使师生成为“数学学习的共同体”。
一、复习回顾，把学生置于问题的延续过程
本节课复习回顾，开门见山。学习了等腰三角形的性质、判定，等边三角形的性质，学生自然急切想知道怎样去判定一个三角形是等边三角形，通过复习两者之间的关系，为学习等边三角形的判定做铺垫。激起学生强烈的好奇心和求知欲。使学生不知不觉走入数学问题的延续过程。
二、实践探究，把学生置于结论的发现过程
首先，提前备好几何画板、PPT等多媒体课件，最大限度助力教学，将枯燥的判定定理教学至于交互性强大的几何画板中，使教学内容更生动、更鲜活，具有更强的互动性和趣味性。实现有形、有变化过程的“活”的图形的数形结合，以此激发学生的学习兴趣、主动参与热情。而信息技术的合理应用，能够最大程度的助力实现教学目标。
其次，通过拼图游戏，让学生经历了等边三角形的形成过程，自然而然地得到含30°角的直角三角形的性质，符合学生的认知规律。为学生提供了自主合作探究、思维发散的广阔空间，激发了学生思维创新、增强了自信心。
三、巩固训练，把学生置于创新思维的深入培养过程
练习的设计做到源于教材，活于教材。培养学生思维的严谨性、发散性、灵活性，达到举一反三的作用。最大限度地发挥学生的潜能，活跃思维，培养学生的合作意识、创新精神。
四、反思小结，把学生置于知识系统建立的过程中
这节课的结尾，既有对课堂知识的系统小结，又有对思想方法的高度凝炼，提升学生思维品质，让学生获得可持续发展的动力。板书设计充分体现了本节课的学习要点，给学生留下清晰的记忆。
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