北师大版八年级数学下册4. 角平分线 教学设计

《角的平分线的性质》教学设计
教学目标
（一）知识与技能
1.会用尺规作已知角的平分线，知道作法的合理性；
2.探索并能利用三角形全等证明角的平分线的性质；
3.了解角的平分线的性质,会利用角的平分线的性质解决证明与计算等简单问题.
（二）过程与方法
在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中培养几何直觉，提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力，进一步发展学生的推理证明意识和能力.
（三）情感、态度与价值观
在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神,增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验，逐步培养学生的理性精神.
教学重点、难点
重点：探索并证明角平分线的性质及角平分线的性质的应用；
难点：（1）角的平分线的作图方法的提炼；
（2）证明以文字命题形式给出的角平分线的性质.　
教法学法
操作演示，自主探索,合作讨论交流，讲练结合.
教学过程
一．复习提问，创设情境
1：什么叫角平分线？
2：若已知一个角平分线，能得出什么结论？角平分线还有哪些性质,怎样作一个角的平分线是本节课主要内容。
二、尺规作角的平分线
1：在练习本上画一个角，怎样得到这个角的平分线？ （度量法；折纸法）
2：你能评价这些方法吗？在生产生活中，这些方法是否可行呢？（有误差；限于材质）
3：工人师傅常常用角平分仪平分一个角，下图就是一个平分角的仪器，观察并说说这个仪器有什么构造特点？（AB =AD，BC =DC）
4：你知道怎样利用角平分仪平分一个角的吗？
（将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE，AE 就是∠DAB 的平分线．）
5：你能说明它的道理吗？
【设计意图】
帮助学生体验从生产生活中分离，抽象出数学模型，并主动运用所学知识来解决问题．
6：从平分角的仪器平分角地过程中，你受到哪些启发？你能用角平分仪平分角的原理用尺规作一个角的平分线？自己动手做做看．然后与同伴交流操作心得．
学生作图有困难时，教师可启发学生：
（1）把平分角的仪器放角的两边，且仪器的两边相等，从几何角度怎么画呢？
（2）仪器的另外两边相等,从几何角度怎么画呢？
7：从上面的探究中，你能得到已知角平分线的作法吗？
尺规作已知角的平分线的方法：
已知：∠AOB．
求作：∠AOB的平分线．
作法：
【设计意图】
教师根据学生的叙述，教师演示角平分线的尺规作图，使学生能更直观地理解画法．
议一议：
(1)在上面作法的第二步中，去掉“大于MN的长”这个条件行吗？
(2)第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？
【设计意图】
设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培养数学严密性的良好学习习惯.
8：你能说明为什么射线OC 是∠AOB 的平分线吗？
【设计意图】
让学生运用全等三角形的知识解释平分角的仪器的工作原理，让学生在简单推理的过程中明确作图理论依据，体会作法的合理性．
9：练一练：任意画一钝角和平角∠AOB，作它的平分线．
（1）反向延长射线OC得到直线CD.直线CD与直线AB是什么关系？
（2）你能总结出“过直线上一点作这条直线的垂线”的方法吗？
角的平分线的性质
（1）创设情境、引入新知
有两条小河交汇形成的三角区，土壤肥沃，气候宜人，有一头小牛的家就建在小河交汇所成的角平分线上的A处。勤劳的小牛准备开垦这块土地，为了便于取水灌溉，小牛想从自己的家（Ａ处）修建两条小路分别通向两条小河。可小牛不知道怎样修才能使两条小路最短？并且想知道它们又有怎样的数量关系？你愿意帮助小牛解决问题吗？
【设计意图】
为培养学生运用数学知识，解决实际问题的意识，从学生的生活出发，设计这样一个实际问题,给学生创造一个自由思考的空间，激发学生的学习兴趣，激活学生的思维，让学生的思维目标首先着眼于画最短的路线（垂线段的长），复习了点到直线的距离，并从实际问题抽象出“点到直线的距离，垂线段最短”这一数学建模，使学生学习本节知识有了一个有效的切入点。
（2）折一折
大家刚才想到的解决方案和结论是否正确呢？试用折纸的方法得出小牛需要的路径，看看路径和两条小河的位置关系？我们不妨先去做一个小活动去验证一下。
做一做：学生拿出准备好的三角形纸片，带着问题去折叠。
1、在三角形纸片中，选定其中一个角，折出表示角平分线折痕.（把纸片对折，使角的两边叠合在一起）
2、折出表示最短距离的折痕.(把对折后的纸片继续折一次，使第一条折痕为斜边，折出一个直角三角形)
3、将折叠好的纸片展开，观察两次折叠所形成的三条折痕.
问题1：第一次的折痕和角有什么关系？为什么？
问题2：第二次折叠形成的两条折痕(路径）与角的两边（小河）有何关系，它们的（路径）长度有何关系？
（3）量一量 按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE的长度，它们有什么关系？
或者如图，任意作一个角∠AOB，作出∠A的平分线OC，在OC 上任取一点P，过点P 画出OA，OB 的垂线，分别记垂足为D，E，测量 PD，PE 并作比较，你得到什么结论？在OC 上再取几个点试一试．通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？
猜一猜
角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
【设计意图】
学生经历动手折叠的过程，激发学习的兴趣，充分地挖掘学生潜力，培养学生的动手操作能力和观察能力，在不断探究中使新知有效生成，为下面进一步揭示角平分线的性质作好铺垫．
证一证
你能用数学知识严格的逻辑推理来证明你的结论吗？
已知:一个点在一个角的平分线上.
结论:这个点到这个角两边的距离相等.
已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E.
求证: PD=PE.
【设计意图】
让学生通过实验发现、分析概括、推理证明角的平分线的性质，体会研究几何问题的基本思路.
追问2：由角的平分线的性质的证明过程，你能概括出证明几何命题的一般步骤吗？
（1）明确命题中的已知和求证；
（2）画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
（3）分析并找出求证的途径，写证明过程．
强调经过证明正确的命题可作为定理．
符号语言：
∵∠AOC=∠BOC, PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E.（已知）
∴ PD=PE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）
【设计意图】
实践→猜想→证明→归纳的过程，符合学生的认知规律，尤其是对于结论的验证，信息技术在此体现其不可替代性，从而更利于学生的直观体验上升到理性思维．
追问3：角的平分线的性质的作用是什么？与利用全等证边相等你有什么看法？
【设计意图】
反思性质，可以让学生进一步体会到证明两条线段相等时利用角的平分线的性质比先证明两个三角形全等更简捷.
四、解决简单问题，巩固角的平分线的性质
练习1：列结论一定成立的是 ．
（1）如图，OC 平分∠AOB，点P 在OC 上，D，E 分 别为OA，OB 上的点，则PD =PE．
（2）如图，点P 在OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则PD =PE．
（3） 如图，OC 平分∠AOB，点P 在OC 上，PD⊥OA，垂足为D．若PD =3，则点P 到OB 的距离为3．
问题：角的平分线的性质在应用时应该注意什么问题
练习2：如图，△ABC中，∠B =∠C，AD 是∠BAC的平分线， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：EB =FC．在此题的已知条件下，你还能得到哪些结论？
变式：把上题中的条件∠B =∠C改为BD=CD，其余条件不变，原结论还成立吗？试说明理由。
师生活动 学生独立完成，并找学生板演练习2的证明，师个别指导，师生共同评价.
进一步提出：
（1）思考 不改变已知条件：
①图中还有哪些线段相等？
②图中有那些全等的三角形 ？
【设计意图】
本例对学生来说更具挑战性，既含新知又有旧知，帮助学生更好的理解角平分线的性质，并达到能熟练运用的程度．培养学生的综合运用能力、推理能力和数学思维的周密性；另外对一题的引申变化能激发学生对数学知识的深入探究；使教学达到举一反三，事半功倍的效果。让学生学会引申、变更问题，以培养学生发现问题、提出问题的创造性能力；使他们认识学数学不是题海战术而是思维的革命。
课堂小结
谈谈你的收获和体会
1、这节课你有哪些收获，还有什么困惑？
2、通过本节课你了解了哪些思考问题的方法？
思考题
有两条小河交汇形成的三角区，土地肥沃，气候宜人，有一头勤劳的小牛准备开垦这块土地。它想先在这块地上建造一座小房子，并且为了便于灌溉，想要使小房子到两条小河的距离恰恰相等。但是，这头小牛也犯难了，不知道该把房子建在何处.你来想一想？
【设计意图】
通过实际问题情境为下节课角平分线的判定埋下伏笔。
布置作业
必做题 课本P50 练习2、P51 习题第1、2题 2.选做题：P52 习题第7题
如图，在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；
求证：CF=EB
【本课设计意图】
本节课紧紧围绕“创设问题情境——建立数学模型——解释、应用、拓展”基本思路展开教学。课堂以老师为主导，学生为主体，师生共同合作，来完成教学任务。
在教学过程中，为了突出重点，突破难点，我采用了首先思路分解，引着学生小心的尝试，慢慢求索。初步成型后，大胆放手，使学生都有一个体验经历的过程和感受。在此期间，方式不拘一格，或个体思索，或组组合作探讨，或师生互动，集体协作。多种方式，使之充分激起了学生的参与意识，调动了学生学习的积极性，点燃探索的热情，全身心的投入到学习中去。
板书设计
11.3 角的平分线的性质
1. 尺规作角平分线 2. 角的平分线的性质： 3.证明几何命题的步骤：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等. （1)明确命题中的已知和求证；
已知：∠MAN 已知：
求作：∠MAN的角平分线 如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上， （2）画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足分别为点D、E.
求证: PD=PE.
(3)分析并找出求证的途径，
写证明过程．
作法： 证明：
∴ 射线AC即为所求. 符号语言： ∵∠AOC=∠BOC, PD⊥OA，PE⊥OB，
垂足分别为点D、E.
∴ PD=PE