精讲精练·专项突破 第一章《空间向量与几何》单元能力提升（含详细解析） (1)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高二上学期人教版（2019）
第一章 《空间向量与几何》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2020高二上·威海期末）已知向量 ，若 ， ， 共面，则实数m的值为（　　）
A． B．-1 C．12 D．1
【答案】B
【考点】共线向量与共面向量
【解析】【解答】设 ，所以 ，所以 ，
所以 。
故答案为：B.
【分析】设 ，利用已知条件结合向量共面的判断方法，从而解方程组求出x,y的值，进而求出实数m的值。
2．（2021高二上·宁波期中）若平面 的一个法向量为 ，点 ， ， ， ， 到平面 的距离为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【考点】平面的法向量；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解： ， ， ， ，
∴ 为平面 的一条斜线，且
∴ 点 到平面 的距离：
故答案为：B.
【分析】由已知条件求出向量的坐标，再由空间的距离公式结合数量积的运算公式代入数值计算出结果即可。
3．（2020高二上·湖州期末）在空间直角坐标系中，若直线l的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则（　　）
A． B．
C． 或 D．l与 斜交
【答案】C
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面的法向量
【解析】【解答】直线l的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，
因为 ，
所以 ，
所以 或 ，
故答案为：C.
【分析】根据题意首先求出直线与平面的法向量，再由数量积的坐标运算性质计算出结果即可得出，结合法向量的定义即可得出直线与平面的位置关系。
4．（2021·铁岭模拟）如图在底圆半径和高均为 的圆锥中， 、 是过底圆圆 的两条互相垂直的直径， 是母线 的中点，已知过 与 的平面与圆锥侧面的交线是以 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点 的距离等于（　　）．
A． B．1 C． D．
【答案】A
【考点】抛物线的简单性质；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】如图所示，过点 做 ，垂足为 ．
∵ 是母线 的中点，圆锥的底面半径和高均为 ，
∴ ．∴ ．
在平面 内建立直角坐标系如图．
设抛物线的方程为 ， 为抛物线的焦点．
，所以 ，解得 ，
即 ， ， ，
该抛物线的焦点 到圆锥顶点 的距离为 ，
故答案为：A
【分析】根据题意由已知条件建立直角坐标系设出抛物线的方程，由此求出焦点的坐标结合两点间的距离公式计算出距离即可。
5．（2020高二上·大连期末）在直三棱柱 中， ， ，设点 是棱 的中点，点 在底面 所在平面内，若平面 分别与平面 和平面 所成的锐二面角相等，则点 到点 的最短距离是（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【考点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】设 在平面 上的射影为 ， 在平面 中的射影为 ，平面 与平面 和平面 与平面 成的锐二面角分别为 ，
因为二面角的余弦值=射影面积÷底面积，
， ，又 ， ，故 ，
因为 ，设点 到 的垂直距离为 ，
则 ，在 中， ，所以， ，故点 到点 的最短距离为 时，即点 到点 的最短距离为
故答案为：A
【分析】设 在平面 上的射影为 ， 在平面 中的射影为 ，平面 与平面 和平面 与平面 成的锐二面角分别为 ，得 ， ，设点 到 的垂直距离为 ， ，可求出h，即可求出答案。
6．（2021高二上·广州期中）在四面体 中，PA，PB，PC两两垂直，设 ，则点P到平面ABC的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【考点】棱锥的结构特征；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解： 在四面体 中，PA，PB，PC两两垂直， ，
则，
如图，取BC中点D，连结AD，作PO平面ABC ,交AD于O，
则 ，
则，
则点P到平面ABC的距离 ．
故选：B．
【分析】根据四面体的结构特征，结合点到平面的距离求解即可.
7．如图，点 为矩形 所在平面外一点， 平面 ， 为 的中点， ， ， ，则点 到平面 的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【考点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】如图，分别以 ， ， 所在直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ，
， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ， ，∴ ，
∴点 到平面 的距离 。
故答案为：B.
【分析】分别以 ， ， 所在直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合空间向量的方法结合数量积求点到平面的距离公式，进而求出点 到平面 的距离 。
8．（2020高二上·吕梁期末）如图，在正三棱柱 中， ， ，则点C到平面 的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：在正三棱柱 中， ， ，
， ，
，
设点 到平面 的距离为 ，
由 ，可得 ，得 ．
故答案为：D．
【分析】根据题意由正三棱锥的几何性质结合三角形中的几何计算关系即可求出边的大小以及三角形的面积，再由题意设出点到平面的距离，由等体积法代入数值计算出结果即可。
二、多选题
9．（2021高二上·山东月考）设 是空间的一组基底，则下列结论正确的是（　　）
A．基底 中的向量可以为任意向量.
B．空间中任一向量 ，存在唯一有序实数组 ，使
C．若 ， ，则
D． 也可以构成空间的一组基底.
【答案】B,D
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；空间向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】对A， 是空间的一组基底，则 不共面，不能为任意向量，A不符合题意；
根据空间向量基本定理可知B符合题意；
对C，由 ， 可得 垂直于 所确定的平面，但 不一定垂直，C不符合题意；
对D， ，令 ，则 ，
于是 ，则 不共面，所以 可以构成空间的一组基底.
故答案为：BD.
【分析】利用已知条件结合基底的判断方法、平面向量基本定理、数量积为0两向量垂直的等价关系，从而找出结论正确的选项。
10．（2021高二上·烟台期中）如图，在长方体 中， ，点P满足 ， ， ， ，则下列结论正确的有（　　）
A．当 时，
B．当 时， 平面
C．当 ， 时，三棱锥 的体积为定值
D．当 ， 时， 与平面 所成角的正切值为
【答案】B,C,D
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面平行的性质；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【解答】以 为坐标原点， 为 轴可建立如图所示空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ， ， ，则 ， ， ；
对于A，设 ，则 ，
又 ， ， 不恒成立，A不符合题意；
对于B，当 时， 四点共面，即 平面 ；
， 平面 ， 平面 ， 平面 ，
同理可得： 平面 ，又 ， 平面 ，
平面 平面 ， 平面 ，B符合题意；
对于C，设 ，则 ，
设 ，则 ， ， ， ，
， ；
平面 ， 平面 的一个法向量为 ，
点 到平面 的距离 ，又 ，
，即三棱锥 的体积为定值 ，C符合题意；
对于D，当 ， 时， ，
设 ，则 ， ， ， ，
， ，
平面 ， 平面 的一个法向量 ，
设 与平面 所成角为 ，则 ，
，即 与平面 所成角的正切值为 ，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】以 为坐标原点， 为 轴可建立如图所示空间直角坐标系，当 时，得，可判断A选项的正误；当 时， 四点共面，由面面平行的性质可得 平面 ，可判断B选项的正误； 当 ， 时，利用点到面的向量求法可求得点 到平面 的距离，利用棱锥的体积公式可得，可判断C选项的正误；当 ， 时，利用线面角的向量求法求得，进而得到，可判断D选项的正误。
11．（2021高一下·湖北期末）如图，正方体 的棱长为2，则下列四个命题正确的是（　　）
A．直线 与平面 所成的角等于
B．点 到面 的距离为
C．两条异面直线 和 所成的角为
D．三棱柱 外接球表面积为
【答案】B,C
【考点】棱柱的结构特征；球的体积和表面积；异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】由题意，正方体 的棱长为2，
对于A中，连接 ，设 与 交于点 ，
因为 ，可得证得 平面 ，
所以 即为直线 与平面 所成的角，且 ，所以A不正确；
对于B中，连接 ，设 与 交于点 ，可得证得 平面 ，
即 即为点 到面 的距离，可得 ，
即点 到面 的距离为 ，所以B符合题意；
对于C中，在正方体 中，连接 ，可得 ，
所以两条异面直线 和 所成的角，即为相交直线 与 所成的角，
又因为 为等边三角形，可得 ，
即两条异面直线 和 所成的角为 ，所以C符合题意；
对于D中，三棱柱 外接球与正方体的外接球为同一个球，
由正方体的性质，可得外接球的半径为 ，
所以外接球的表面积为 ，所以D不正确.
故答案为：BC.
【分析】利用已知条件结合正方体的结构特征，再利用线面角的求解方法、点到平面的距离求解方法、异面直线所成的角的求解方法、三棱柱和外接球的位置关系结合球的表面积公式，从而求出三棱柱外接球的表面积，进而找出命题正确的选项。
12．（2021高二上·重庆市月考）已知，，平面，则（　　）
A．点A到平面的距离为
B．与平面所成角的正弦值为
C．点A到平面的距离为
D．与平面所成角的正弦值为
【答案】B,C
【考点】点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【解答】因为平面，所以是平面的一个法向量，
所以点A到平面的距离为，A不符合题意，C符合题意；
与平面所成角的正弦值为，B符合题意，D不符合题意．
故答案为：BC.
【分析】利用已知条件平面，所以是平面的一个法向量，再结合数量积求出点A到平面的距离，再利用已知条件结合数量积求向量夹角公式，进而求出直线与平面所成角的正弦值，从而找出正确的选项。
三、填空题
13．已知空间向量 ， ，设 ， ， 与 垂直， ， ，则 　 　．
【答案】0°
【考点】空间向量的数量积运算；空间向量的夹角与距离求解公式；向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】∵ ，∴ ，化简得 ，
又∵ ，
，
，
∴ ，∴ ．
故答案为：0°.
【分析】首先由向量垂直与数量积之间的关系即可得出，再由向量和数量积的运算性质整理即可求出夹角的余弦值，由此得出角的大小。
14．已知空间向量 ， ， ， ， ，则 　 　．
【答案】
【考点】空间向量的数量积运算；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】∵ ，∴ ．
故答案为： .
【分析】由数量积的运算公式代入数值计算出夹角的余弦值，由此求出角的大小。
15．（2020高二上·枣庄期末）在长方体 中， ，点 分别是 的中点，则点 到直线 的距离为　 　.
【答案】
【考点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，0， ， ，2， ， ，1， ，
， ， ， ，1， ，
点 到直线 的距离：
．
点 到直线 的距离为 ．
故答案为： ．
【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点 到直线 的距离。
16．（2021高二上·丰台期中）已知正方体 的棱长为1，给出下列四个命题：
① ；
② ；
③点 到面 的距离为 ；
④点 在正方体 的侧面 及其边界上运动，并保持 ，则 的取值范围是
其中正确结论的序号是　 　．
【答案】①②④
【考点】平面向量数量积的运算；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】在正方体 中，
，故①正确；
因为 ，
则
，故②正确；
设点 到面 的距离为 ，则 ，
，
又 ，则 ，
所以 ，所以 ，
即点 到面 的距离为 ，故③错误；
对于④，连接 ，
在正方体 中，
平面 ，又 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
同理 ，
又 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
因为点 在正方体 的侧面 及其边界上运动，并保持 ，
所以点 的轨迹为线段 ，
所以 的取值范围是 ，故④正确.
故答案为：①②④.
【分析】在正方体 中，利用三角形法则和相等向量的定义，从而得出 ；再利用 结合三角形法则和数量积的运算法则，从而得出 ； 利用已知条件结合等体积法和拆分法，再结合三棱锥的体积公式和求和法，从而求出的值，再利用 结合三角形的面积公式，得出 的值，进而求出点 到面 的距离；连接 ，在正方体 中， ， 平面 ，再结合线面垂直的定义，从而推出线线垂直，所以 ，再利用线线垂直证出线面垂直，所以 平面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以 ，同理 ，再利用线线垂直证出线面垂直，所以 平面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以 ，再结合点 在正方体 的侧面 及其边界上运动，并保持 ，所以点 的轨迹为线段 ，从而求出 的取值范围，进而找出正确结论的序号。
四、解答题
17．（2022·贵州模拟）如图，在三棱柱中，点在底面内的射影恰好是点C，点D是的中点，且.
（1）证明：；
（2）已知，，，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：∵点在底面内的射影是点C，
∴平面，∵平面，∴.
在中，，∴，
∵，∴平面.
∵平面，∴.
（2）解：在平面内，过点B作，则平面，
以B为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，故，.
设平面的法向量为，
可取.
又，∴，
∴直线与平面所成角的正弦值为.
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1）由题意可得平面 ，即可得 ，又 可证 ，即可证 平面，从而解决问题；
（2）如图建立空间直角坐标系，利用线面夹角的计算公式即可求解。
18．（2022高二上·南山期末）图1是由等边三角形 和等腰直角三角形 组成的一个平面图形，其中 ．若 ，将 沿 折起，连接 ，如图2．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
【答案】（1）证明：如图，取 的中点E，连接 ，
，
为等边三角形， 为等腰直角三角形，
，又 ，即 ，
又 平面 平面 ，
又 平面 平面 平面 ．
（2）解：（解法一）由（1）知 平面 平面
过点E作 交 于点H以点E为坐标原点， 所在的直线分别为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
易得 ，
则有， ，
设 为平面 的一个法向量，
则 ．即
以 ，则
易知， 为平面 的一个法向量， ，
由图可知，二面角 为锐角， 二面角 的余弦值为 ．
（解法二）过D作 于F，由（1）知 平面
平面 ，又 平面 是二面角 的平面角，
又
在 中，由余弦定理得，
∴二面角 的余弦值为 ．
【考点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）根据直线与平面垂直的判定定理，结合平面与平面垂直的判定定理求解即可；
（2）建立恰当的空间直角坐标系，利用向量法直接求解即可.
19．（2021·浙江模拟）如图，四边形 中，满足 ， ， ， ， ，将 沿 翻折至 ，使得 .
（Ⅰ）求证：平面 平面 ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（Ⅰ）过 作 ，垂足为 ，连 ， ，则 ，
作 ，垂足为 ，则 ， ，
所以 ，即
又 ，所以 平面 ，
又 平面 ，
所以平面 平面 ；
（Ⅱ）以 为坐标原点， ， 所在的直线为 ， 轴建立空间直角坐标系
则 ， ， ， ，
，
设平面 的法向量为 ，则
取法向量 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 .
【考点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1） 过 作 ，垂足为 ，连 ， ，则 ，作 ，垂足为 ，根据勾股定理可证得 ，再根据线面面垂直的判定定理即可证出；
（2） 以 为坐标原点， ， 所在的直线为 ， 轴建立空间直角坐标系 ，根据向量法即可求出直线 与平面 所成角的正弦值。
20．（2021高三上·绍兴期末）如图，在四棱台中，底面为矩形，平面平面，.
（1）求证：；
（2）求直线和平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：∵底面为矩形，∴AD⊥DC,
又∵平面平面，
且平面平面，平面，
∴AD⊥平面，
取CD,C1D1,AB中点O，E,G,OD中点F，连接OG,OE,D1F，
由底面ABCD为矩形，可得OG//AD，∴OG⊥DC,OG⊥平面，
又∵OE 平面，∴OG⊥OE,
∵为四棱台，∴DC//D1C1，
又∵，
∴为等腰梯形，∴OE⊥OC,
∴OC,OE,OG两两垂直，分别以射线OG,OC,OE为x,y,z轴，建立空间直角坐标系如图所示.
由于棱台的上下底面相似，且，∴,
又∵，
∴，
∴,
∴,
∴
∴.
（2）解：由于棱台的上下底面相似，且，
∴,∴，，
∴,
设平面ABB1D1的法向量为,
则,∴,
取,则，得.
∵，
设直线和平面所成角为，则
.
直线和平面所成角的正弦值为.
【考点】向量语言表述线线的垂直、平行关系；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】(1) 利用底面为矩形，所以AD⊥DC,再利用平面平面结合面面垂直的 性质定理得出线面垂直，所以直线AD⊥平面，取CD,C1D1,AB中点O，E,G,OD中点F，连接OG,OE,D1F，由底面ABCD为矩形，可得OG//AD，所以OG⊥DC,OG⊥平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以OG⊥OE,再利用为四棱台，所以DC//D1C1，再利用，所以为等腰梯形，所以OE⊥OC,所以OC,OE,OG两两垂直，分别以射线OG,OC,OE为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，由于棱台的上下底面相似，且，再利用向量共线定理结合中点的性质，得出,再利用已知条件结合勾股定理得出的长，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积的坐标表示结合数量积为0两向量垂直的等价关系，从而证出。
（2） 由于棱台的上下底面相似，且，再利用向量共线定理得出,进而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用平面的法向量求解方法得出平面ABB1D1的法向量，再利用结合数量积求向量夹角公式和诱导公式，进而得出直线和平面所成角的正弦值。
21．（2021高二上·烟台期中）如图，边长为 的菱形 中， ， 分别为 的中点，沿 将 折起，使得平面 平面 ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）在棱 上是否存在一点 ，使得直线 与平面 所成的角最大？若存在，求 的长度，若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明：在菱形 中， ， 为 的中点， ，
平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ，
平面 ，又 平面 ， 平面 平面 ．
（2）解：由（1）知： 两两互相垂直，则以 为坐标原点，射线 分别为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ，
，设 ，
， ，
轴 平面 ， 平面 的一个法向量 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，则 ，
， 当 时， 取得最小值， 取得最大值 ，
又 在 上单调递增， 当 时， 取得最大值，
此时 ，即 的长度为 ．
【考点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1）证明 平面 ，再利用面面垂直的判定定理可证得平面 平面 ；
（2） 以 为坐标原点，射线 分别为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 求出平面 的一个法向量，利用向量法即可求出直线 与平面 所成的角的正弦值，进而求出 的长度 。
22．（2021高二下·广州期中）如图，在三棱柱 中， 、 分别为 、 的中点， ， ， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
【答案】（1）证明：连接 ．
∵ ， 为 的中点，∴ ．
∵ ， ，∴ ．
∵ ， 为 的中点，∴ ．
∵ ， ，∴ ．
∵ ，故 ，∴ ．
∵ ， ，∴ 平面
（2）解：以 为坐标原点， ， ， 所在的直线分别为 ， ， 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．
则 ， ， ．
则 ， ．
设平面 的法向量 ，
则 ．
令 ，则 ， ，则 ．
易证 平面 ，故取平面 的法向量 ．
．
因为二面角 的平面角 为锐角，所以
【考点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形中线的性质，可得 ，再根据勾股定理可得 ，由线面垂直的判定定理即可求证 平面 ；
（2）建立适当的空间直角坐标系，利用向量法直接求解即可.
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