精讲精练·专项突破
2021-2022学年高二上学期人教版（2019）
第二章 《直线与圆的方程》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021高一下·贵州期末）已知直线 ，直线 ，则 与 之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·厦门模拟）点在抛物线上，为焦点，直线与准线相交于点，则（ ）
A． B． C．4 D．
3．（2021高二上·河北期中）△ABC的三个顶点是A（4，0），B（6，7），C（0，3），则边BC上的高所在直线的方程为（ ）
A．5x＋y﹣20＝0 B．3x＋2y﹣12＝0
C．3x＋2y﹣19＝0 D．3x﹣2y﹣12＝0
4．（2020高二上·迁安期末）倾斜角为135 ,在 轴上的截距为-1的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021高二上·舟山期末）下列对动直线的四种表述不正确的是（ ）
A．与曲线C：可能相离，相切，相交
B．恒过定点
C．时，直线斜率是0
D．时，直线的倾斜角是135°
6．（2021·玉溪模拟）已知直线l： 与圆O： 相交于M，N两点，且 的面积 ，则 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
7．两个圆 与 的公切线恰好有2条，则 的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
8．（2021·桂林模拟）已知椭圆 的两个焦点分别为 ， ，过 的直线与 交于 ， 两点．若 ， ，则椭圆 的方程为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2021高二上·湖北月考）设椭圆 的左右焦点为 ， ， 是 上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．离心率
C． 面积的最大值为
D．以线段 为直径的圆与直线 相切
10．（2021高二上·河源月考）已知圆 ，点 是圆M上的动点，则下列说法正确的有（ ）
A．圆M关于直线 对称 B．直线 与M的相交弦长为
C． 的最大值为 D． 的最小值为
11．（2021高二上·湖南月考）下列说法正确的是（ ）
A．在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程 表示
B．方程 表示的直线斜率一定存在
C．经过点 ，倾斜角为 的直线方程为
D．经过两点 的直线方程为
12．（2021高二上·朝阳期中）已知圆 ， 为圆心）直线 ，点 在直线 上运动，直线PA，PB分别于圆 切于点 ， ．则下列说法正确的是（ ）
A．四边形 的面积最小值为
B． 最短时，弦 长为
C． 最短时，弦 直线方程为
D．直线 过定点为 ，
三、填空题
13．直线 和 及 轴所围成的三角形的面积为 .
14．（2021高二上·嘉兴期末）以点 为圆心且与直线 相切的圆的方程是 .
15．（2021高二下·河南月考）已知点 为双曲线 在第一象限上一点，点 为双曲线 的右焦点， 为坐标原点，4 ，则双曲线 的渐近线方程为 ，若MF MO分别交双曲线 于 两点，记直线 与 的斜率分别为 ，则
16．（2021·宁波模拟）直线 与圆 相交于A，B两点，弦长 的最小值为 ，若 的面积为 ，则m的值为 ．
四、解答题
17．设直线 的方程为 ，根据下列条件分别确定 的值．
（1）直线 在 轴上的截距为-3；
（2）直线 的倾斜角为 ．
18．（2020高二上·柯桥期末）已知直线l： ，圆C： .
（1）当 时，试判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由；
（2）若直线l被圆C截得的弦长恰好为 ，求k的值.
19．（2021·包头模拟）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点O为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ．
（1）求C的普通方程和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到直线l距离的最大值．
20．（2020高二上·越秀期末）已知椭圆 的两个焦点是 、 ，点 在椭圆 上，且 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设点 关于 轴的对称点为 ， 是椭圆 上一点，直线 和 与 轴分别相交于点 和点 ， 为坐标原点．证明： 为定值．
21．（2021高二上·温州期中）已知点 ，圆 ．
（1）若直线 过点 ，且圆 上任意一点关于直线 的对称点也在圆 上，求直线 的方程；
（2）若直线 过点 ，且直线 与圆 交于 两点，若 ，求直线 的方程．
22．（2021高二上·鸡东期中）已知双曲线 经过点（2，3），两条渐近线的夹角为 ，直线 交双曲线于A,B两点.
（1）求双曲线C的方程.
（2）若直线l过双曲线的右焦点 ，在x轴上是否存在点 ，使得直线 绕点 无论怎样转动，都有 成立？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【考点】两条平行直线间的距离
【解析】【解答】直线 的方程可化为 ，
则 与 之间的距离 。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合平行直线距离公式，从而求出两直线 与 之间的距离。
2．【答案】C
【考点】两点间的距离公式；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】由已知可得，可得，则抛物线的方程为，则点，
该抛物线的准线方程为 ，
，则直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ，即点 ，
因此， .
故答案为：C.
【分析】求出抛物线的方程，可得出点F的坐标，求出直线MF的方程，可求得点N的坐标，然后利用两点间的距离公式可求得结果.
3．【答案】B
【考点】直线的斜率；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；直线的点斜式方程
【解析】【解答】由题意， ，所以BC上的高所在直线的斜率为 ，其方程为： .
故答案为：B.
【分析】首先由直线的斜率公式代入数值计算出结果，再由点斜式求出直线的方程即可。
4．【答案】D
【考点】直线的一般式方程
【解析】【解答】倾斜角 ， ，直线方程截距式
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合直线的倾斜角与直线的斜率的关系式，从而求出直线的斜率，再利用斜截式求出直线的方程，再转化为直线的一般式方程。
5．【答案】A
【考点】直线的倾斜角；直线的斜率；恒过定点的直线；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】直线可化为，
令，，解得，，
所以直线恒过定点，
而该定点在圆C：内部，
所以必与该圆相交，
当时，直线方程为，故斜率为0，
当时，直线方程为，故斜率为-1，倾斜角为135°。
故答案为：A
【分析】将直线化为，令，，从而解方程组求出直线恒过定点坐标，再利用该定点在圆C：内部，所以必与该圆相交，再利用分类讨论的方法得出直线的方程，进而求出直线的斜率，从而结合直线的斜率与倾斜角的关系式，进而求出直线的倾斜角，从而找出不正确的选项。
6．【答案】D
【考点】点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】根据题意，圆O： 的圆心为 ，半径为 ，
设圆心到直线 的距离为 ，则弦长 ，
又 的面积 ，则 ，
解得： 或 ，
当 时，有 ，可得 ，
当 时，有 ，可得 ，
综合可得： 或 ，
故答案为：D.
【分析】首先由直线与圆的位置关系结合三角形内的几何计算关系即可得出的值，再把上式代入到三角形的面积公式求解出d的值，再由圆心到直线的距离公式计算出不同情况下k的取值即可。
7．【答案】B
【考点】两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】两个圆化为标准方程可得 ， ，
圆 的圆心为 ，半径 ，圆 的圆心为 ，半径 ，
圆心距 ，
因为两圆的公切线恰好有2条，
所以两圆相交，则 ，解得 .
故答案为：B
【分析】利用两圆的方程求出两圆的圆心和半径，将问题转化为两圆相交，利用圆与圆的位置关系求解即可。
8．【答案】D
【考点】两点间的距离公式；椭圆的标准方程
【解析】【解答】 ，所以可得 ，
又因为 ，
所以可得 ，即 为短轴的顶点，
设 为短轴的上顶点 ， ， ，
所以 ，
所以直线 的方程为： ，
由题意设椭圆的方程为： ，则 ，
联立 ，整理可得： ，
即 ，可得 ，
代入直线的方程可得 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，整理可得： ，
解得： ，可得 ，
所以椭圆的方程为： ，
故答案为：D．
【分析】由题意可知可得 ，又因为 ，可得 ，设 为短轴的上顶点 ，所以 ，直线 的方程为： ，与椭圆方程联立可计算出B点的坐标，进而求解出 ，再根据关系式 求解a值，进而求解出B值和椭圆方程。
9．【答案】A,D
【考点】点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系；椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意，椭圆 ，可得 ，可得 ，
所以焦点为 ,
根据椭圆的定义 ，所以A符合题意；
椭圆的离心率为 ，所以B不符合题意；
其中 面积的最大值为 ，所以C不符合题意；
由原点 到直线 的距离 ，
所以以线段 为直径的圆与直线 相切，所以D符合题意.
故答案为：AD
【分析】根据题意由椭圆的 a、b 、c 三者的关系，结合题意计算出a、b、c的值，由此得出焦点的坐标，由椭圆的定义即可判断出选项A正确；由椭圆的简单性质即可判断出选项B错误；根据题意由三角形的面积公式代入数值计算出面积，由此判断出选项C错误；由点到直线的距离公式计算出原点 到直线 的距离，结合已知条件由直线与圆的位置关系即可判断出选项D正确，由此得出答案。
10．【答案】A,C,D
【考点】两点间距离公式的应用；点到直线的距离公式；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】圆M的标准方程是 ， ，半径为 ，
易得M点在直线 上，A正确；
点M到直线 的距离为 ，弦长为 ，B错；
由 得 代入圆的方程整理得 ，
， ，所以 的最大值是 ，C正确；
， ，所以 的最小值是 ，D正确．
故答案为：ACD.
【分析】根据直线与圆的位置关系可判断A，根据点到直线的距离公式结合圆的弦长公式可判断B，根据根据曲线与圆的位置关系结合判别式可判断C，根据两点间距离公式可判断D.
11．【答案】B,D
【考点】直线的点斜式方程；直线的两点式方程；直线的截距式方程
【解析】【解答】A选项中直线 在两坐标轴上的截距相等，但不能用 表示，所以A选项错误；
B选项，方程 表示的直线斜率为 ，所以B选项正确.
C选项中若 则直线斜率不存在，直线不能用点斜式表示，C不符合题意.
D选项，结合直线方程两点式可知，D选项正确.
故答案为：BD
【分析】直线 在两坐标轴上的截距相等，但不能用 表示，可判断A选项的正误；方程 表示的直线斜率为 ，可判断B选项的正误； ，直线不能用点斜式表示，可判断C选项的正误；结合直线方程两点式方程可判断D选项的正误。
12．【答案】A,B,D
【考点】恒过定点的直线；圆的切线方程；直线与圆相交的性质；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】 选项，四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和，
即 ，
又因切线长定理可知，即 ，
当 最短时，四边形面积最小．
又 与 及半径 构成直角三角形，
最短时， 最短，
即 ，
，
，
故 正确．
由上述可知， 时， 最短，
由等面积法可知， ．
得 ，
故 正确．
， ， ，
，
可设 的直线方程为 ，
由半弦长、半径、弦心距构成直角三角形可知，弦心距 ，
圆心 到直线 的距离 ，
解得 ，
即直线 的方程为 ．
故 错误．
设圆上一点 为 ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
易知 ，
同理 ，
．
，
原式 ，
将 ， 代入得 等号成立，
故直线 过定点为 ， ， 正确．
故答案为：ABD．
【分析】将四边形的面积分解成两个直角三角形面积和，从而得到 最短时，四边形面积最小，结合等面积法可以算出此时的长度；，从而得到直线AB的斜率，在根据圆心到AB的距离求出直线AB的截距，从而得到直线AB的方程。利用切点弦方程，再结合点P在直线l上，把点P纵坐标用横坐标表示，可得判断切点弦AB恒过定点。
13．【答案】9
【考点】确定直线位置的几何要素；两条直线的交点坐标
【解析】【解答】由 得交点坐标为：
又两条直线与 轴交点分别为： ，
所求三角形面积为：
故答案为：9
【分析】首先联立直线的方程求出交点的坐标，再由直线截距的定义计算出点的坐标由此计算出三角形的面积。
14．【答案】
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由点到直线的距离公式得 ，
所以圆的方程为 .
故答案为： .
【分析】直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，所以利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离，即为所求圆的半径r，然后由圆心和求出的r写出圆的标准方程即可.
15．【答案】；15
【考点】直线的斜率；双曲线的简单性质
【解析】【解答】设 ，则 ，
则 ， ，
即 ，将其代入双曲线方程得： ，
即 ，
又 ，
∴
，
,
∴ ， ,
∴渐进线方程为 ；
设 ，又 ，
则 ，
将点 、 的坐标分别代入双曲线方程得 ，
两式作差得： ，
故 .
故答案为： ；15.
【分析】 根据题意设出点由已知得 将其代入双曲线方程得，利用的关系，化简整理，分解因式可求得，进而得到新近线的方程；设，又，则表示，利用代点平方差法求解即得结果。
16．【答案】2；
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】直线 恒过圆 内的定点 ， ，
圆心C到直线的距离 ,所以 ，
即弦长 的最小值为2；由 ,
即 或 ．若 ，则圆心到弦AB的距离
，故不符合题意；当 时，圆心到直线的距离为
,设弦AB的中点为N，又 ，故 ，
即直线 的倾斜角为 或 ，则m的值为 .
故答案为2，
【分析】根据点到直线的距离公式和勾股定理、面积公式可得。
17．【答案】（1）解：由题意可知 ，
令 ，可得 ，
又直线 在 轴上的截距为-3，即 ；
所以
解得 所以 ．
故当 时，直线 在 轴上的截距为-3
（2）解：由题意得 ，即
解得 ，所以 ．
故当 时，直线 的倾斜角为
【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；直线的截距式方程
【解析】【分析】(1)根据题意求出直线截距关于m的代数式结合已知条件计算出m的值即可。
(2)根据题意由直线斜率与倾斜角的关系得到关于m的方程组求解出m的值进而求出倾斜角的大小。
18．【答案】（1）解：圆C： 的圆心为 ，半径为2，
当 时，线l： ，
则圆心到直线的距离为 ，
直线l与圆C相离
（2）解：圆心到直线的距离为 ，
弦长为 ，则 ，解得 或
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【分析】(1)根据题意首先求出圆的圆心坐标以及半径，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，由此即可判断出直线与圆的位置关系。
(2)利用直线与圆的位置关系结合点到直线的距离公式以及勾股定理即可得到关于k的方程求解出结果即可。
19．【答案】（1）因为 ，且 ，
所以 的普通方程为 （ ）．
将 代入 ，
可得 的直角坐标方程为 ．
（2）由（1）可知，设C上任一点P的坐标为 ，
则点P到l的距离为 ，
当 ，即 时， 取得最大值 ，
故C上的点到l距离的最大值为 ．
【考点】三角函数的最值；点到直线的距离公式；点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合极坐标与直角坐标的互化公式和参数方程与普通方程的转化方法，从而求出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程。
（2） 由（1）可知，设C上任一点P的坐标为 ，再利用点到直线的距离公式和辅助角公式，求出点P到l的距离为 ，再利用正弦型函数的图像结合绝对值的定义，从而求出当 时， 取得最大值，从而求出曲线C上的点到l距离的最大值。
20．【答案】（1）解：由椭圆定义可得 ，则 ，
将点 的坐标代入椭圆 的方程可得 ，解得 ，
因此，椭圆 的方程为
（2）解：设点 ，则 ，
直线 的斜率为 ，直线 的方程为 ，
令 ，可得 ，即点 ，
直线 的斜率为 ，直线 的方程为 ，
令 ，可得 ，即点 ，
所以， .
所以， 为定值.
【考点】直线的点斜式方程；椭圆的定义
【解析】【分析】 (1) 由椭圆定义可得 ，则 ，将点 的坐标代入椭圆 的方程可得 ，解得 ，即可求得椭圆C的方程；
(2)由题意可知: 设点 ，则 ，直线MP的方程为 ，令y=0,得 ，从而点 ，同理即可求得点 ，进而求出 ，证得 为定值．
21．【答案】（1）解：由圆 可得圆心 ，半径 ，
若圆 上任意一点关于直线 的对称点也在圆 上，所以圆心 在直线 上，
所以直线斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，化简得： ．
（2）解：由 及 ，所以 ，
所以圆心 到直线 的距离为 ，
设直线 的方程为 ，
所以圆心 到直线 的距离 ，
解得： ，所以直线 的方程为 ．
【考点】斜率的计算公式；点到直线的距离公式
【解析】【分析】（1）求出圆心的坐标，由题意可得圆心 在直线 上，由点P，C两点坐标可得直线 的方程；
（2）由 结合半径可得弦长 ，进而可得圆心 到直线 的距离 ， 设直线 的方程为 ，由圆心到直线的距离列方程求出m的值，即可求出直线 的方程．
22．【答案】（1）双曲线的渐近线方程为 .因为两条渐近线的夹角为 ,
所以渐近线 的倾斜角为 或 ，所以 或 .
又点（2,3）在双曲线C上，所以 ，
故 或 ，
解得 ，所以双曲线C的方程为 .
（2）双曲线的右焦点为 .
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 ，
设 ，因为 ，所以 ，
整理得 ①，
由 ，可得 .
因为直线l与双曲线有两个不同的交点，
所以 ，且 ，所以 .
由题设知①对任意的 均成立，又 ，
所以①可转化为 ，
整理得 对任意的 均成立，
故 ，所以 .
当直线l的斜率不存在时， ，
此时 或 ，
则 ，解得 .
综上，存在点 ，使 恒成立.
【考点】直线的点斜式方程；双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据双曲线的简单性质与标准方程，结合直线的斜率与倾斜角的关系求解即可；
（2）由题，当直线l的斜率不存在时，易得m=-1，再求解当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x-2)，结合韦达定理和向量的数量积运算得3(m2-1)+(5+4m-m2)k2=0对任意的 均成立，进而得 ，解方程即可得结论.
17精讲精练·专项突破
2021-2022学年高二上学期人教版（2019）
第二章 《直线与圆的方程》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021高一下·贵州期末）已知直线 ，直线 ，则 与 之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】两条平行直线间的距离
【解析】【解答】直线 的方程可化为 ，
则 与 之间的距离 。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合平行直线距离公式，从而求出两直线 与 之间的距离。
2．（2022·厦门模拟）点在抛物线上，为焦点，直线与准线相交于点，则（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】C
【考点】两点间的距离公式；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】由已知可得，可得，则抛物线的方程为，则点，
该抛物线的准线方程为 ，
，则直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ，即点 ，
因此， .
故答案为：C.
【分析】求出抛物线的方程，可得出点F的坐标，求出直线MF的方程，可求得点N的坐标，然后利用两点间的距离公式可求得结果.
3．（2021高二上·河北期中）△ABC的三个顶点是A（4，0），B（6，7），C（0，3），则边BC上的高所在直线的方程为（ ）
A．5x＋y﹣20＝0 B．3x＋2y﹣12＝0
C．3x＋2y﹣19＝0 D．3x﹣2y﹣12＝0
【答案】B
【考点】直线的斜率；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；直线的点斜式方程
【解析】【解答】由题意， ，所以BC上的高所在直线的斜率为 ，其方程为： .
故答案为：B.
【分析】首先由直线的斜率公式代入数值计算出结果，再由点斜式求出直线的方程即可。
4．（2020高二上·迁安期末）倾斜角为135 ,在 轴上的截距为-1的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】直线的一般式方程
【解析】【解答】倾斜角 ， ，直线方程截距式
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合直线的倾斜角与直线的斜率的关系式，从而求出直线的斜率，再利用斜截式求出直线的方程，再转化为直线的一般式方程。
5．（2021高二上·舟山期末）下列对动直线的四种表述不正确的是（ ）
A．与曲线C：可能相离，相切，相交
B．恒过定点
C．时，直线斜率是0
D．时，直线的倾斜角是135°
【答案】A
【考点】直线的倾斜角；直线的斜率；恒过定点的直线；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】直线可化为，
令，，解得，，
所以直线恒过定点，
而该定点在圆C：内部，
所以必与该圆相交，
当时，直线方程为，故斜率为0，
当时，直线方程为，故斜率为-1，倾斜角为135°。
故答案为：A
【分析】将直线化为，令，，从而解方程组求出直线恒过定点坐标，再利用该定点在圆C：内部，所以必与该圆相交，再利用分类讨论的方法得出直线的方程，进而求出直线的斜率，从而结合直线的斜率与倾斜角的关系式，进而求出直线的倾斜角，从而找出不正确的选项。
6．（2021·玉溪模拟）已知直线l： 与圆O： 相交于M，N两点，且 的面积 ，则 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【考点】点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】根据题意，圆O： 的圆心为 ，半径为 ，
设圆心到直线 的距离为 ，则弦长 ，
又 的面积 ，则 ，
解得： 或 ，
当 时，有 ，可得 ，
当 时，有 ，可得 ，
综合可得： 或 ，
故答案为：D.
【分析】首先由直线与圆的位置关系结合三角形内的几何计算关系即可得出的值，再把上式代入到三角形的面积公式求解出d的值，再由圆心到直线的距离公式计算出不同情况下k的取值即可。
7．两个圆 与 的公切线恰好有2条，则 的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【考点】两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】两个圆化为标准方程可得 ， ，
圆 的圆心为 ，半径 ，圆 的圆心为 ，半径 ，
圆心距 ，
因为两圆的公切线恰好有2条，
所以两圆相交，则 ，解得 .
故答案为：B
【分析】利用两圆的方程求出两圆的圆心和半径，将问题转化为两圆相交，利用圆与圆的位置关系求解即可。
8．（2021·桂林模拟）已知椭圆 的两个焦点分别为 ， ，过 的直线与 交于 ， 两点．若 ， ，则椭圆 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】两点间的距离公式；椭圆的标准方程
【解析】【解答】 ，所以可得 ，
又因为 ，
所以可得 ，即 为短轴的顶点，
设 为短轴的上顶点 ， ， ，
所以 ，
所以直线 的方程为： ，
由题意设椭圆的方程为： ，则 ，
联立 ，整理可得： ，
即 ，可得 ，
代入直线的方程可得 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，整理可得： ，
解得： ，可得 ，
所以椭圆的方程为： ，
故答案为：D．
【分析】由题意可知可得 ，又因为 ，可得 ，设 为短轴的上顶点 ，所以 ，直线 的方程为： ，与椭圆方程联立可计算出B点的坐标，进而求解出 ，再根据关系式 求解a值，进而求解出B值和椭圆方程。
二、多选题
9．（2021高二上·湖北月考）设椭圆 的左右焦点为 ， ， 是 上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．离心率
C． 面积的最大值为
D．以线段 为直径的圆与直线 相切
【答案】A,D
【考点】点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系；椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意，椭圆 ，可得 ，可得 ，
所以焦点为 ,
根据椭圆的定义 ，所以A符合题意；
椭圆的离心率为 ，所以B不符合题意；
其中 面积的最大值为 ，所以C不符合题意；
由原点 到直线 的距离 ，
所以以线段 为直径的圆与直线 相切，所以D符合题意.
故答案为：AD
【分析】根据题意由椭圆的 a、b 、c 三者的关系，结合题意计算出a、b、c的值，由此得出焦点的坐标，由椭圆的定义即可判断出选项A正确；由椭圆的简单性质即可判断出选项B错误；根据题意由三角形的面积公式代入数值计算出面积，由此判断出选项C错误；由点到直线的距离公式计算出原点 到直线 的距离，结合已知条件由直线与圆的位置关系即可判断出选项D正确，由此得出答案。
10．（2021高二上·河源月考）已知圆 ，点 是圆M上的动点，则下列说法正确的有（ ）
A．圆M关于直线 对称 B．直线 与M的相交弦长为
C． 的最大值为 D． 的最小值为
【答案】A,C,D
【考点】两点间距离公式的应用；点到直线的距离公式；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】圆M的标准方程是 ， ，半径为 ，
易得M点在直线 上，A正确；
点M到直线 的距离为 ，弦长为 ，B错；
由 得 代入圆的方程整理得 ，
， ，所以 的最大值是 ，C正确；
， ，所以 的最小值是 ，D正确．
故答案为：ACD.
【分析】根据直线与圆的位置关系可判断A，根据点到直线的距离公式结合圆的弦长公式可判断B，根据根据曲线与圆的位置关系结合判别式可判断C，根据两点间距离公式可判断D.
11．（2021高二上·湖南月考）下列说法正确的是（ ）
A．在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程 表示
B．方程 表示的直线斜率一定存在
C．经过点 ，倾斜角为 的直线方程为
D．经过两点 的直线方程为
【答案】B,D
【考点】直线的点斜式方程；直线的两点式方程；直线的截距式方程
【解析】【解答】A选项中直线 在两坐标轴上的截距相等，但不能用 表示，所以A选项错误；
B选项，方程 表示的直线斜率为 ，所以B选项正确.
C选项中若 则直线斜率不存在，直线不能用点斜式表示，C不符合题意.
D选项，结合直线方程两点式可知，D选项正确.
故答案为：BD
【分析】直线 在两坐标轴上的截距相等，但不能用 表示，可判断A选项的正误；方程 表示的直线斜率为 ，可判断B选项的正误； ，直线不能用点斜式表示，可判断C选项的正误；结合直线方程两点式方程可判断D选项的正误。
12．（2021高二上·朝阳期中）已知圆 ， 为圆心）直线 ，点 在直线 上运动，直线PA，PB分别于圆 切于点 ， ．则下列说法正确的是（ ）
A．四边形 的面积最小值为
B． 最短时，弦 长为
C． 最短时，弦 直线方程为
D．直线 过定点为 ，
【答案】A,B,D
【考点】恒过定点的直线；圆的切线方程；直线与圆相交的性质；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】 选项，四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和，
即 ，
又因切线长定理可知，即 ，
当 最短时，四边形面积最小．
又 与 及半径 构成直角三角形，
最短时， 最短，
即 ，
，
，
故 正确．
由上述可知， 时， 最短，
由等面积法可知， ．
得 ，
故 正确．
， ， ，
，
可设 的直线方程为 ，
由半弦长、半径、弦心距构成直角三角形可知，弦心距 ，
圆心 到直线 的距离 ，
解得 ，
即直线 的方程为 ．
故 错误．
设圆上一点 为 ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
易知 ，
同理 ，
．
，
原式 ，
将 ， 代入得 等号成立，
故直线 过定点为 ， ， 正确．
故答案为：ABD．
【分析】将四边形的面积分解成两个直角三角形面积和，从而得到 最短时，四边形面积最小，结合等面积法可以算出此时的长度；，从而得到直线AB的斜率，在根据圆心到AB的距离求出直线AB的截距，从而得到直线AB的方程。利用切点弦方程，再结合点P在直线l上，把点P纵坐标用横坐标表示，可得判断切点弦AB恒过定点。
三、填空题
13．直线 和 及 轴所围成的三角形的面积为 .
【答案】9
【考点】确定直线位置的几何要素；两条直线的交点坐标
【解析】【解答】由 得交点坐标为：
又两条直线与 轴交点分别为： ，
所求三角形面积为：
故答案为：9
【分析】首先联立直线的方程求出交点的坐标，再由直线截距的定义计算出点的坐标由此计算出三角形的面积。
14．（2021高二上·嘉兴期末）以点 为圆心且与直线 相切的圆的方程是 .
【答案】
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由点到直线的距离公式得 ，
所以圆的方程为 .
故答案为： .
【分析】直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，所以利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离，即为所求圆的半径r，然后由圆心和求出的r写出圆的标准方程即可.
15．（2021高二下·河南月考）已知点 为双曲线 在第一象限上一点，点 为双曲线 的右焦点， 为坐标原点，4 ，则双曲线 的渐近线方程为 ，若MF MO分别交双曲线 于 两点，记直线 与 的斜率分别为 ，则
【答案】；15
【考点】直线的斜率；双曲线的简单性质
【解析】【解答】设 ，则 ，
则 ， ，
即 ，将其代入双曲线方程得： ，
即 ，
又 ，
∴
，
,
∴ ， ,
∴渐进线方程为 ；
设 ，又 ，
则 ，
将点 、 的坐标分别代入双曲线方程得 ，
两式作差得： ，
故 .
故答案为： ；15.
【分析】 根据题意设出点由已知得 将其代入双曲线方程得，利用的关系，化简整理，分解因式可求得，进而得到新近线的方程；设，又，则表示，利用代点平方差法求解即得结果。
16．（2021·宁波模拟）直线 与圆 相交于A，B两点，弦长 的最小值为 ，若 的面积为 ，则m的值为 ．
【答案】2；
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】直线 恒过圆 内的定点 ， ，
圆心C到直线的距离 ,所以 ，
即弦长 的最小值为2；由 ,
即 或 ．若 ，则圆心到弦AB的距离
，故不符合题意；当 时，圆心到直线的距离为
,设弦AB的中点为N，又 ，故 ，
即直线 的倾斜角为 或 ，则m的值为 .
故答案为2，
【分析】根据点到直线的距离公式和勾股定理、面积公式可得。
四、解答题
17．设直线 的方程为 ，根据下列条件分别确定 的值．
（1）直线 在 轴上的截距为-3；
（2）直线 的倾斜角为 ．
【答案】（1）解：由题意可知 ，
令 ，可得 ，
又直线 在 轴上的截距为-3，即 ；
所以
解得 所以 ．
故当 时，直线 在 轴上的截距为-3
（2）解：由题意得 ，即
解得 ，所以 ．
故当 时，直线 的倾斜角为
【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；直线的截距式方程
【解析】【分析】(1)根据题意求出直线截距关于m的代数式结合已知条件计算出m的值即可。
(2)根据题意由直线斜率与倾斜角的关系得到关于m的方程组求解出m的值进而求出倾斜角的大小。
18．（2020高二上·柯桥期末）已知直线l： ，圆C： .
（1）当 时，试判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由；
（2）若直线l被圆C截得的弦长恰好为 ，求k的值.
【答案】（1）解：圆C： 的圆心为 ，半径为2，
当 时，线l： ，
则圆心到直线的距离为 ，
直线l与圆C相离
（2）解：圆心到直线的距离为 ，
弦长为 ，则 ，解得 或
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【分析】(1)根据题意首先求出圆的圆心坐标以及半径，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，由此即可判断出直线与圆的位置关系。
(2)利用直线与圆的位置关系结合点到直线的距离公式以及勾股定理即可得到关于k的方程求解出结果即可。
19．（2021·包头模拟）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点O为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ．
（1）求C的普通方程和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到直线l距离的最大值．
【答案】（1）因为 ，且 ，
所以 的普通方程为 （ ）．
将 代入 ，
可得 的直角坐标方程为 ．
（2）由（1）可知，设C上任一点P的坐标为 ，
则点P到l的距离为 ，
当 ，即 时， 取得最大值 ，
故C上的点到l距离的最大值为 ．
【考点】三角函数的最值；点到直线的距离公式；点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合极坐标与直角坐标的互化公式和参数方程与普通方程的转化方法，从而求出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程。
（2） 由（1）可知，设C上任一点P的坐标为 ，再利用点到直线的距离公式和辅助角公式，求出点P到l的距离为 ，再利用正弦型函数的图像结合绝对值的定义，从而求出当 时， 取得最大值，从而求出曲线C上的点到l距离的最大值。
20．（2020高二上·越秀期末）已知椭圆 的两个焦点是 、 ，点 在椭圆 上，且 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设点 关于 轴的对称点为 ， 是椭圆 上一点，直线 和 与 轴分别相交于点 和点 ， 为坐标原点．证明： 为定值．
【答案】（1）解：由椭圆定义可得 ，则 ，
将点 的坐标代入椭圆 的方程可得 ，解得 ，
因此，椭圆 的方程为
（2）解：设点 ，则 ，
直线 的斜率为 ，直线 的方程为 ，
令 ，可得 ，即点 ，
直线 的斜率为 ，直线 的方程为 ，
令 ，可得 ，即点 ，
所以， .
所以， 为定值.
【考点】直线的点斜式方程；椭圆的定义
【解析】【分析】 (1) 由椭圆定义可得 ，则 ，将点 的坐标代入椭圆 的方程可得 ，解得 ，即可求得椭圆C的方程；
(2)由题意可知: 设点 ，则 ，直线MP的方程为 ，令y=0,得 ，从而点 ，同理即可求得点 ，进而求出 ，证得 为定值．
21．（2021高二上·温州期中）已知点 ，圆 ．
（1）若直线 过点 ，且圆 上任意一点关于直线 的对称点也在圆 上，求直线 的方程；
（2）若直线 过点 ，且直线 与圆 交于 两点，若 ，求直线 的方程．
【答案】（1）解：由圆 可得圆心 ，半径 ，
若圆 上任意一点关于直线 的对称点也在圆 上，所以圆心 在直线 上，
所以直线斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，化简得： ．
（2）解：由 及 ，所以 ，
所以圆心 到直线 的距离为 ，
设直线 的方程为 ，
所以圆心 到直线 的距离 ，
解得： ，所以直线 的方程为 ．
【考点】斜率的计算公式；点到直线的距离公式
【解析】【分析】（1）求出圆心的坐标，由题意可得圆心 在直线 上，由点P，C两点坐标可得直线 的方程；
（2）由 结合半径可得弦长 ，进而可得圆心 到直线 的距离 ， 设直线 的方程为 ，由圆心到直线的距离列方程求出m的值，即可求出直线 的方程．
22．（2021高二上·鸡东期中）已知双曲线 经过点（2，3），两条渐近线的夹角为 ，直线 交双曲线于A,B两点.
（1）求双曲线C的方程.
（2）若直线l过双曲线的右焦点 ，在x轴上是否存在点 ，使得直线 绕点 无论怎样转动，都有 成立？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）双曲线的渐近线方程为 .因为两条渐近线的夹角为 ,
所以渐近线 的倾斜角为 或 ，所以 或 .
又点（2,3）在双曲线C上，所以 ，
故 或 ，
解得 ，所以双曲线C的方程为 .
（2）双曲线的右焦点为 .
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 ，
设 ，因为 ，所以 ，
整理得 ①，
由 ，可得 .
因为直线l与双曲线有两个不同的交点，
所以 ，且 ，所以 .
由题设知①对任意的 均成立，又 ，
所以①可转化为 ，
整理得 对任意的 均成立，
故 ，所以 .
当直线l的斜率不存在时， ，
此时 或 ，
则 ，解得 .
综上，存在点 ，使 恒成立.
【考点】直线的点斜式方程；双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据双曲线的简单性质与标准方程，结合直线的斜率与倾斜角的关系求解即可；
（2）由题，当直线l的斜率不存在时，易得m=-1，再求解当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x-2)，结合韦达定理和向量的数量积运算得3(m2-1)+(5+4m-m2)k2=0对任意的 均成立，进而得 ，解方程即可得结论.
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