精讲精练·专项突破
2021-2022学年高二上学期人教版（2019）
第三章 《圆锥曲线的方程》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2020高二上·景德镇期末）方程 表示的曲线为（ ）
A．抛物线与一条直线
B．上半抛物线（除去顶点）与一条直线
C．抛物线与一条射线
D．上半抛物线（除去顶点）与一条射线
【答案】B
【考点】抛物线的标准方程；圆锥曲线的综合
【解析】【解答】由 可得 或 ，
所以，方程 表示的曲线为上半抛物线（除去顶点）与一条直线，
故答案为：B.
【分析】首先整理曲线的方程再结合抛物线以及直线的方程即可得出曲线为上半抛物线（除去顶点）与一条直线，由此得出答案。
2．（2021高二上·大同期末）与椭圆焦点相同，离心率互为倒数的双曲线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由椭圆，得，，焦点在轴上．
由题意得双曲线，焦点在轴上，，
所以，，
所以．
所以双曲线方程为．
故答案为：D
【分析】首先由椭圆和双曲线的简单性质，即可得出双曲线的焦点位置，结合离心率公式代入数值计算出a与b的取值，由此即可得出双曲线的方程。
3．（）设 、 分别为双曲线 的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点 ，满足 ，且 到直线 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】依题意 ，可知三角形 是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知 ，
根据双曲定义可知 ，整理得 ，
代入 整理得 ，求得 ；
∴ ．
故答案为：D．
【分析】 利用已知条件和双曲线性质，结合三角形的几何性质，由此得出a与b之间的关系，再由椭圆的 a、b 、c 三者的关系以及离心率公式，计算出结果即可。
4．已知 分别为椭圆 的左，右焦点， 为上顶点，则 的面积为（ ）
A．6 B．15 C． D．
【答案】D
【考点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由椭圆方程 得 ， ．
，
故答案为：D
【分析】首先由椭圆方程的性质即可求出顶点、焦点的坐标以及焦距，结合三角形的面积公式代入数值计算出结果即可。
5．（2022·重庆模拟）已知 ，以双曲线 的右焦点为圆心 离心率为半径的圆与双曲线 的渐近线相切，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】点到直线的距离公式；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题设，圆心为 ，半径为 ，且双曲线的渐近线方程为 ，
∴根据已知相切关系，有 ，可得 .
故答案为：D.
【分析】利用直线与双曲线相切的几何性质，由点到直线的距离公式整理化简计算出m的取值。
6．（2020高二上·桂林期末）椭圆 的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】因为椭圆的标准方程为 ，
所以其焦点在 轴上，且 ，
则 ，
所以椭圆 的焦点坐标是 ，
故答案为：A.
【分析】利用椭圆的标准方程确定焦点的位置，进而求出焦点的坐标。
7．（2021高三上·湛江月考）已知双曲线 ： 的离心率为2， 的左 右焦点分別为 ， ，点 在 的右支上， 的中点 在圆 ： 上，其中 为半焦距，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；余弦定理
【解析】【解答】连接 ，则有 是 的中位线，因为 ，所以 ，
所以由双曲线的定义可得 ，
因为双曲线 ： 的离心率为2，所以 ，
所以 ，在 中由余弦定理可得 ，
所以 。
故答案为：A
【分析】连接 ，则有 是 的中位线，再利用 结合中位线的性质，所以 ，由双曲线的定义可得 ，再利用双曲线 ： 的离心率为2结合双曲线的离心率公式，从而推出a,c的关系式，进而求出 ，在 中，由余弦定理可得 的值，再结合同角三角函数基本关系式，从而求出 的值 。
8．已知椭圆的焦点为（﹣1，0）和（1，0），点P（2，0）在椭圆上，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】椭圆的标准方程
【解析】【解答】设椭圆方程为 ＝1（a＞b＞0），椭圆的焦点为（﹣1，0）和（1，0），得c＝1，
且点P（2，0）在椭圆上，得a＝2，所以b＝ ，即有椭圆方程为 ．
故答案为：A．
【分析】 设椭圆方程为 ＝1（a＞b＞0），由题意可得c=1，a=2，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程．
二、多选题
9．（2021高二上·衡阳月考）已知椭圆的焦距为4，则（ ）
A．椭圆C的焦点在x轴上 B．
C．椭圆C的离心率为 D．椭圆C的短轴长为
【答案】B,C,D
【考点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】因为，所以，所以焦点在轴上，A不符合题意；
又因为焦距为4，所以，所以，所以，B符合题意；
因为，，所以离心率，C符合题意；
因为，短轴长，D符合题意；
故答案为：BCD
【分析】根据题意由椭圆的简单性质，以及椭圆方程的几何性质对选项逐一判断即可得出答案。
10．（2021高二下·重庆期末）已知圆锥曲线C： ，若三个数1， ，7成等差数列，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【考点】等差数列的性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由三个数1， ，7成等差数列，得 ，解得 ．若 ，则圆锥曲线C： 即为椭圆C： ，可得离心率为 ；若 ，则圆锥曲线C： 即为双曲线C： ，可得离心率为 .
故答案为：BC．
【分析】 利用等差数列求解b,然后求解椭圆或双曲线的离心率即可.
11．（2021高三上·沧县月考）已知直线 与抛物线 交于 两点，若线段 的中点是 ，则（ ）
A．
B．
C．
D．点 在以 为直径的圆内
【答案】A,B
【考点】抛物线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】对于A，设 ， ，
由 得： ， ，
又线段 的中点为 ， ，解得： ，A符合题意；
对于B， 在直线 上， ，B符合题意；
对于C， 过点 ， 为抛物线 的焦点，
，C不符合题意；
对于D，设 ，则 ，又 ，
， ， 在以 为直径的圆上，D不符合题意.
故答案为：AB.
【分析】由设而不求法设出点的坐标,并由斜截式设出直线的方程再联立直线与抛物线的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于t的两根之和与两根之积的代数式，结合中点的坐标公式计算出t的值，由此即可判断出选项A正确；把点的坐标代入计算出m的值即可判断出选项B正确；由A的结论结合弦长公式代入数值计算出结果由此即可判断出选项C错误；由两点间的距离公式，代入数值计算出结果由此判断出选项D错误，从而得出答案。
12．（2021高二上·如皋月考）已知P为椭圆 上一点， ， 为椭圆C的上焦点和下焦点，若 为直角三角形，则P点坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,D
【考点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】椭圆 中 ，
由 为直角三角形，则直角顶点可能为
设 ，
若 为直角顶点，则 ，所以 ，得
若 为直角顶点，则 ，所以 ，得
若 为直角顶点，则 在圆 上
由 ，解得
故答案为：AD
【分析】首先由椭圆的方程求出焦点的坐标，再由三角形中的几何计算关系，设出点的坐标结合直角三角形的形状，计算出点P的坐标，由此对选项逐一判断即可得出答案。
三、填空题
13．（2021·南京模拟）在平面直角坐标系 中，设抛物线 与 在第一象限的交点为A，若 的斜率为2，则 .
【答案】
【考点】直线的斜率；抛物线的简单性质
【解析】【解答】设 ，
由 ，
则 ，故得
代入抛物线得 .
故答案为：
【分析】根据题意把点的坐标代入到抛物线的方程结合直线的斜率计算出答案即可。
14．已知椭圆 的焦点为 ，点 为椭圆上的动点，当 为直角时，点 的横坐标是 ．
【答案】
【考点】椭圆的定义；椭圆的标准方程
【解析】【解答】由题意得 ，所以 ，所以 ．设 ，令 的坐标为 的坐标为 ．
因为 ，所以在 中， ，
即 ，化简得 ．又 ，所以 ，
所以 ，解得 ．
所以点 的横坐标为 ．
【分析】由椭圆上的动点P满足 为直角可得与联立解出点P的横坐标。
15．（2022高三上·揭阳期末）如图所示，已知是双曲线右支上任意一点，双曲线在点处的切线分别与两条渐近线交于两点，则 .
【答案】1
【考点】平面向量数量积的运算；双曲线的简单性质
【解析】【解答】如下图所示，设双曲线渐近线上的点，点，
当时，过点的切线方程为，
当时，设过点的切线方程为，即，
代入双曲线方程化简为，
则且，
因为，所以，所以，
在点处的切线方程为，当也符合；
且点A，B又在切线l上
，
故答案为：1
【分析】根据切线方程及渐进线方程，计算出关于点A,B的表达式，再利用向量的数量积的坐标运算即可求出 的值 。
16．（2022高三上·浦东模拟）已知实数满足，则的取值范围是 .
【答案】
【考点】椭圆的应用；双曲线的应用
【解析】【解答】因为实数满足，
当时，方程为的图象为椭圆在第一象限的部分；
当时，方程为的图象为双曲线在第四象限的部分；
当时，方程为的图象为双曲线在第二象限的部分；
当时，方程为的图象不存在；
在同一坐标系中作出函数的图象如图所示，
根据双曲线的方程可得，两条双曲线的渐近线均为，
令，即，与双曲线渐近线平行，
当最大时，直线与椭圆相切，
联立方程组，得，
，
解得，
又因为椭圆的图象只有第一象限的部分，
所以，
当直线与双曲线渐近线重合时，z最小但取不到最小值，即，所以
综上所述，，
所以，
即。
故答案为：。
【分析】利用分类讨论的方法结合绝对值的定义，再利用圆锥曲线的定义和图像以及性质，从而结合几何法，进而用线性规划的方法求出 的取值范围 。
四、解答题
17．（2021·邯郸模拟）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，且点 在C上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设过 的直线l与C交于A，B两点，若 ，求 ．
【答案】（1）解：因为椭圆C过点 ，
所以 ．①
又椭圆C的离心率为 ，所以 ，
故 ．②
联立①②得 解得 故椭圆C的标准方程为
（2）解：当直线l的斜率不存在时， ，所以 ，
故直线l的斜率存在，设直线 ．
联立 消去y并整理得 ，
则 ．
，
同理 ．
因为 ，解得 ，
所以 ，
又因为 ，所以
【考点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)首先根据题设出点的坐标意再把点的坐标代入到椭圆的方程求解出，结合离心率的公式以及椭圆的 a、b 、c 三者的关系即可求出a与b的值，从而得出椭圆的方程。
(2)根据已知条件即可得出直线的斜率存在由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于k的两根之和与两根之积的代数式，再把结果代入到两点间的距离公式整理得出求解出k的值，由此即可得出从而得出答案。
18．（2020高二上·日喀则期末）已知抛物线 的顶点为 ，焦点坐标为 ．
（1）求抛物线方程；
（2）过点 且斜率为1的直线 与抛物线交于 ， 两点，求线段 的值．
【答案】（1）解：∵ 焦点坐标为
∴ ， ，
∴抛物线的方程为 ．
（2）解：设直线 方程为 ，设 ， ，
联立
消元得 ，
∴ ， ， ，
∴
．
∴线段 的值为 ．
【考点】抛物线的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)由抛物线的定义可知抛物线的的焦点坐标求出抛物线的方程；
(2)设直线 的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而求出纵坐标之差的绝对值，代入 即可求出线段 的值．
19．（2021·吉林模拟）已知椭圆的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆的上顶点，过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，且，求证：直线过定点.
【答案】（1）解：∵等轴双曲线的离心率为，∴椭圆的离心率，
又∵直线与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切，
∴，即，
可得，即，
则椭圆的方程为：；
（2）证明：①若直线的斜率不存在，设方程为，
则点，，，，
由，即，解得，此时直线的方程为；
②若直线的斜率存在，设的方程为，由题意可得，
设，，，，
则，整理可得：，
，
且，，
由，可得，即，
即，，，
故直线的方程为，即直线过定点，
综上所述：直线过定点．
【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由已知条件得到 ，由此能求出椭圆C的方程；
(2) ①若直线的斜率不存在，设方程为，则点，，，，由已知条件推导出 ， ②若直线的斜率存在，设的方程为 ， ，，，，由 ，整理可得：，利用韦达定理结合已知条件能证明直线AB过定点 ．
20．（2021·全国乙卷）已知抛物线C： (p>0)的焦点F到准线的距离为2.
（1）求C的方程.
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 ，求直线OQ斜率的最大值.
【答案】（1）抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为 ，
所以该抛物线的方程为 ；
（2）设 ，则 ，
所以 ，
由 在抛物线上可得 ，即 ，
所以直线 的斜率 ，
当 时， ；
当 时， ，
当 时，因为 ，
此时 ，当且仅当 ，即 时，等号成立；
当 时， ；
综上，直线 的斜率的最大值为 .
【考点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）根据抛物线的几何性质，可求得P的值，就可以写出抛物线的方程；
（2）先设出Q的坐标M(x0,y0),在代入已知等式 ，用(x0,yO)表示出 ，再 代入抛物线方程，推导出x0，y0的关系，再表示出OQ的斜率。再利用基本不等式，求出斜率最大值即可。
21．（2021高三上·包头开学考）已知椭圆 过点 ，点 为其左顶点，且 的斜率为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）点 为椭圆 上任意一点，求 的面积的最大值.
【答案】（1）解：依题意，可知 ，解得 ，
把 ，及 点坐标 代入 中，得 .
所以椭圆 的方程为 .
（2）设与直线 平行且和椭圆 相切的直线为 ，
则 的方程可设为 ，
联立方程组 得 ，
此方程的判别式 ，
令 ，解得 ， .
所以直线 的方程为 ，
又 的方程为 ，
其中直线 到直线 的距离最大，
其最大距离
又 ，
故 的面积的最大值为 .
（注：也可以用椭圆的参数方程求解）
【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 依题意， 的斜率为 结合两点求斜率公式，从而求出a的值，再利用a的值结合
点 的坐标为 ，再由代入法得出b的值，从而求出椭圆的标准方程。
（2） 设与直线 平行且和椭圆 相切的直线为 ，则直线 的斜截式方程可设为 ，再利用直线于椭圆相交，联立二者方程，联立直线与椭圆的方程结合判别式法，从而求出m的值，进而求出直线l的斜截式方程，再利用 的方程为 结合直线 到直线 的距离最大，从而利用点到直线的距离公式，从而求出其最大距离，再利用两点距离公式，从而求出P,Q两点的距离，再利用三角形的面积公式，从而求出三角形 的面积的最大值。
22．（2020高二上·百色期末）已知椭圆 的左 右焦点分别是 ，且离心率为 ，点 为椭圆下上动点， 面积的最大值为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若 是椭圆 的上顶点，直线 交椭圆 于点 ，过点 的直线 (直线 的斜率不为1)与椭圆 交于 两点，点 在点 的上方．若 ，求直线 的方程．
【答案】（1）解： 面积的最
又 ，所以 ，解得 ．
即 ，故椭圆C的标准方程为
（2）解：由题可得直线 的方程为 ，
联立 ，得 ，则 ，
因为 ，则 ，
得 ，
当直线 的斜率为0时，不符合题意，
故设直线 的方程为 ，由点P在点Q的上方，则
联立 ，得 ，则
得 ，则 ，得
又 ，则 ，不符合题意，所以
故直线 的方程为
【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意由三角形的面积公式整理即可得出b与c的关系再由离心率的公式即可求出b与c的值，由此得到椭圆的方程。
(2)根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m的两根之和与两根之积的代数式，结合题意即可得出整理即可得到关于m的方程，求解出m的结果由此即可得到直线的方程。
16精讲精练·专项突破
2021-2022学年高二上学期人教版（2019）
第三章 《圆锥曲线的方程》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2020高二上·景德镇期末）方程 表示的曲线为（ ）
A．抛物线与一条直线
B．上半抛物线（除去顶点）与一条直线
C．抛物线与一条射线
D．上半抛物线（除去顶点）与一条射线
2．（2021高二上·大同期末）与椭圆焦点相同，离心率互为倒数的双曲线方程是（ ）
A． B． C． D．
3．（）设 、 分别为双曲线 的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点 ，满足 ，且 到直线 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率 为（ ）
A． B． C． D．
4．已知 分别为椭圆 的左，右焦点， 为上顶点，则 的面积为（ ）
A．6 B．15 C． D．
5．（2022·重庆模拟）已知 ，以双曲线 的右焦点为圆心 离心率为半径的圆与双曲线 的渐近线相切，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2020高二上·桂林期末）椭圆 的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021高三上·湛江月考）已知双曲线 ： 的离心率为2， 的左 右焦点分別为 ， ，点 在 的右支上， 的中点 在圆 ： 上，其中 为半焦距，则 （ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆的焦点为（﹣1，0）和（1，0），点P（2，0）在椭圆上，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2021高二上·衡阳月考）已知椭圆的焦距为4，则（ ）
A．椭圆C的焦点在x轴上 B．
C．椭圆C的离心率为 D．椭圆C的短轴长为
10．（2021高二下·重庆期末）已知圆锥曲线C： ，若三个数1， ，7成等差数列，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．（2021高三上·沧县月考）已知直线 与抛物线 交于 两点，若线段 的中点是 ，则（ ）
A．
B．
C．
D．点 在以 为直径的圆内
12．（2021高二上·如皋月考）已知P为椭圆 上一点， ， 为椭圆C的上焦点和下焦点，若 为直角三角形，则P点坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．（2021·南京模拟）在平面直角坐标系 中，设抛物线 与 在第一象限的交点为A，若 的斜率为2，则 .
14．已知椭圆 的焦点为 ，点 为椭圆上的动点，当 为直角时，点 的横坐标是 ．
15．（2022高三上·揭阳期末）如图所示，已知是双曲线右支上任意一点，双曲线在点处的切线分别与两条渐近线交于两点，则 .
16．（2022高三上·浦东模拟）已知实数满足，则的取值范围是 .
四、解答题
17．（2021·邯郸模拟）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，且点 在C上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设过 的直线l与C交于A，B两点，若 ，求 ．
18．（2020高二上·日喀则期末）已知抛物线 的顶点为 ，焦点坐标为 ．
（1）求抛物线方程；
（2）过点 且斜率为1的直线 与抛物线交于 ， 两点，求线段 的值．
19．（2021·吉林模拟）已知椭圆的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆的上顶点，过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，且，求证：直线过定点.
20．（2021·全国乙卷）已知抛物线C： (p>0)的焦点F到准线的距离为2.
（1）求C的方程.
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 ，求直线OQ斜率的最大值.
21．（2021高三上·包头开学考）已知椭圆 过点 ，点 为其左顶点，且 的斜率为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）点 为椭圆 上任意一点，求 的面积的最大值.
22．（2020高二上·百色期末）已知椭圆 的左 右焦点分别是 ，且离心率为 ，点 为椭圆下上动点， 面积的最大值为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若 是椭圆 的上顶点，直线 交椭圆 于点 ，过点 的直线 (直线 的斜率不为1)与椭圆 交于 两点，点 在点 的上方．若 ，求直线 的方程．
答案解析部分
1．【答案】B
【考点】抛物线的标准方程；圆锥曲线的综合
【解析】【解答】由 可得 或 ，
所以，方程 表示的曲线为上半抛物线（除去顶点）与一条直线，
故答案为：B.
【分析】首先整理曲线的方程再结合抛物线以及直线的方程即可得出曲线为上半抛物线（除去顶点）与一条直线，由此得出答案。
2．【答案】D
【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由椭圆，得，，焦点在轴上．
由题意得双曲线，焦点在轴上，，
所以，，
所以．
所以双曲线方程为．
故答案为：D
【分析】首先由椭圆和双曲线的简单性质，即可得出双曲线的焦点位置，结合离心率公式代入数值计算出a与b的取值，由此即可得出双曲线的方程。
3．【答案】D
【考点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】依题意 ，可知三角形 是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知 ，
根据双曲定义可知 ，整理得 ，
代入 整理得 ，求得 ；
∴ ．
故答案为：D．
【分析】 利用已知条件和双曲线性质，结合三角形的几何性质，由此得出a与b之间的关系，再由椭圆的 a、b 、c 三者的关系以及离心率公式，计算出结果即可。
4．【答案】D
【考点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由椭圆方程 得 ， ．
，
故答案为：D
【分析】首先由椭圆方程的性质即可求出顶点、焦点的坐标以及焦距，结合三角形的面积公式代入数值计算出结果即可。
5．【答案】D
【考点】点到直线的距离公式；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题设，圆心为 ，半径为 ，且双曲线的渐近线方程为 ，
∴根据已知相切关系，有 ，可得 .
故答案为：D.
【分析】利用直线与双曲线相切的几何性质，由点到直线的距离公式整理化简计算出m的取值。
6．【答案】A
【考点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】因为椭圆的标准方程为 ，
所以其焦点在 轴上，且 ，
则 ，
所以椭圆 的焦点坐标是 ，
故答案为：A.
【分析】利用椭圆的标准方程确定焦点的位置，进而求出焦点的坐标。
7．【答案】A
【考点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；余弦定理
【解析】【解答】连接 ，则有 是 的中位线，因为 ，所以 ，
所以由双曲线的定义可得 ，
因为双曲线 ： 的离心率为2，所以 ，
所以 ，在 中由余弦定理可得 ，
所以 。
故答案为：A
【分析】连接 ，则有 是 的中位线，再利用 结合中位线的性质，所以 ，由双曲线的定义可得 ，再利用双曲线 ： 的离心率为2结合双曲线的离心率公式，从而推出a,c的关系式，进而求出 ，在 中，由余弦定理可得 的值，再结合同角三角函数基本关系式，从而求出 的值 。
8．【答案】A
【考点】椭圆的标准方程
【解析】【解答】设椭圆方程为 ＝1（a＞b＞0），椭圆的焦点为（﹣1，0）和（1，0），得c＝1，
且点P（2，0）在椭圆上，得a＝2，所以b＝ ，即有椭圆方程为 ．
故答案为：A．
【分析】 设椭圆方程为 ＝1（a＞b＞0），由题意可得c=1，a=2，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程．
9．【答案】B,C,D
【考点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】因为，所以，所以焦点在轴上，A不符合题意；
又因为焦距为4，所以，所以，所以，B符合题意；
因为，，所以离心率，C符合题意；
因为，短轴长，D符合题意；
故答案为：BCD
【分析】根据题意由椭圆的简单性质，以及椭圆方程的几何性质对选项逐一判断即可得出答案。
10．【答案】B,C
【考点】等差数列的性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由三个数1， ，7成等差数列，得 ，解得 ．若 ，则圆锥曲线C： 即为椭圆C： ，可得离心率为 ；若 ，则圆锥曲线C： 即为双曲线C： ，可得离心率为 .
故答案为：BC．
【分析】 利用等差数列求解b,然后求解椭圆或双曲线的离心率即可.
11．【答案】A,B
【考点】抛物线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】对于A，设 ， ，
由 得： ， ，
又线段 的中点为 ， ，解得： ，A符合题意；
对于B， 在直线 上， ，B符合题意；
对于C， 过点 ， 为抛物线 的焦点，
，C不符合题意；
对于D，设 ，则 ，又 ，
， ， 在以 为直径的圆上，D不符合题意.
故答案为：AB.
【分析】由设而不求法设出点的坐标,并由斜截式设出直线的方程再联立直线与抛物线的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于t的两根之和与两根之积的代数式，结合中点的坐标公式计算出t的值，由此即可判断出选项A正确；把点的坐标代入计算出m的值即可判断出选项B正确；由A的结论结合弦长公式代入数值计算出结果由此即可判断出选项C错误；由两点间的距离公式，代入数值计算出结果由此判断出选项D错误，从而得出答案。
12．【答案】A,D
【考点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】椭圆 中 ，
由 为直角三角形，则直角顶点可能为
设 ，
若 为直角顶点，则 ，所以 ，得
若 为直角顶点，则 ，所以 ，得
若 为直角顶点，则 在圆 上
由 ，解得
故答案为：AD
【分析】首先由椭圆的方程求出焦点的坐标，再由三角形中的几何计算关系，设出点的坐标结合直角三角形的形状，计算出点P的坐标，由此对选项逐一判断即可得出答案。
13．【答案】
【考点】直线的斜率；抛物线的简单性质
【解析】【解答】设 ，
由 ，
则 ，故得
代入抛物线得 .
故答案为：
【分析】根据题意把点的坐标代入到抛物线的方程结合直线的斜率计算出答案即可。
14．【答案】
【考点】椭圆的定义；椭圆的标准方程
【解析】【解答】由题意得 ，所以 ，所以 ．设 ，令 的坐标为 的坐标为 ．
因为 ，所以在 中， ，
即 ，化简得 ．又 ，所以 ，
所以 ，解得 ．
所以点 的横坐标为 ．
【分析】由椭圆上的动点P满足 为直角可得与联立解出点P的横坐标。
15．【答案】1
【考点】平面向量数量积的运算；双曲线的简单性质
【解析】【解答】如下图所示，设双曲线渐近线上的点，点，
当时，过点的切线方程为，
当时，设过点的切线方程为，即，
代入双曲线方程化简为，
则且，
因为，所以，所以，
在点处的切线方程为，当也符合；
且点A，B又在切线l上
，
故答案为：1
【分析】根据切线方程及渐进线方程，计算出关于点A,B的表达式，再利用向量的数量积的坐标运算即可求出 的值 。
16．【答案】
【考点】椭圆的应用；双曲线的应用
【解析】【解答】因为实数满足，
当时，方程为的图象为椭圆在第一象限的部分；
当时，方程为的图象为双曲线在第四象限的部分；
当时，方程为的图象为双曲线在第二象限的部分；
当时，方程为的图象不存在；
在同一坐标系中作出函数的图象如图所示，
根据双曲线的方程可得，两条双曲线的渐近线均为，
令，即，与双曲线渐近线平行，
当最大时，直线与椭圆相切，
联立方程组，得，
，
解得，
又因为椭圆的图象只有第一象限的部分，
所以，
当直线与双曲线渐近线重合时，z最小但取不到最小值，即，所以
综上所述，，
所以，
即。
故答案为：。
【分析】利用分类讨论的方法结合绝对值的定义，再利用圆锥曲线的定义和图像以及性质，从而结合几何法，进而用线性规划的方法求出 的取值范围 。
17．【答案】（1）解：因为椭圆C过点 ，
所以 ．①
又椭圆C的离心率为 ，所以 ，
故 ．②
联立①②得 解得 故椭圆C的标准方程为
（2）解：当直线l的斜率不存在时， ，所以 ，
故直线l的斜率存在，设直线 ．
联立 消去y并整理得 ，
则 ．
，
同理 ．
因为 ，解得 ，
所以 ，
又因为 ，所以
【考点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)首先根据题设出点的坐标意再把点的坐标代入到椭圆的方程求解出，结合离心率的公式以及椭圆的 a、b 、c 三者的关系即可求出a与b的值，从而得出椭圆的方程。
(2)根据已知条件即可得出直线的斜率存在由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于k的两根之和与两根之积的代数式，再把结果代入到两点间的距离公式整理得出求解出k的值，由此即可得出从而得出答案。
18．【答案】（1）解：∵ 焦点坐标为
∴ ， ，
∴抛物线的方程为 ．
（2）解：设直线 方程为 ，设 ， ，
联立
消元得 ，
∴ ， ， ，
∴
．
∴线段 的值为 ．
【考点】抛物线的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)由抛物线的定义可知抛物线的的焦点坐标求出抛物线的方程；
(2)设直线 的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而求出纵坐标之差的绝对值，代入 即可求出线段 的值．
19．【答案】（1）解：∵等轴双曲线的离心率为，∴椭圆的离心率，
又∵直线与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切，
∴，即，
可得，即，
则椭圆的方程为：；
（2）证明：①若直线的斜率不存在，设方程为，
则点，，，，
由，即，解得，此时直线的方程为；
②若直线的斜率存在，设的方程为，由题意可得，
设，，，，
则，整理可得：，
，
且，，
由，可得，即，
即，，，
故直线的方程为，即直线过定点，
综上所述：直线过定点．
【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由已知条件得到 ，由此能求出椭圆C的方程；
(2) ①若直线的斜率不存在，设方程为，则点，，，，由已知条件推导出 ， ②若直线的斜率存在，设的方程为 ， ，，，，由 ，整理可得：，利用韦达定理结合已知条件能证明直线AB过定点 ．
20．【答案】（1）抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为 ，
所以该抛物线的方程为 ；
（2）设 ，则 ，
所以 ，
由 在抛物线上可得 ，即 ，
所以直线 的斜率 ，
当 时， ；
当 时， ，
当 时，因为 ，
此时 ，当且仅当 ，即 时，等号成立；
当 时， ；
综上，直线 的斜率的最大值为 .
【考点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）根据抛物线的几何性质，可求得P的值，就可以写出抛物线的方程；
（2）先设出Q的坐标M(x0,y0),在代入已知等式 ，用(x0,yO)表示出 ，再 代入抛物线方程，推导出x0，y0的关系，再表示出OQ的斜率。再利用基本不等式，求出斜率最大值即可。
21．【答案】（1）解：依题意，可知 ，解得 ，
把 ，及 点坐标 代入 中，得 .
所以椭圆 的方程为 .
（2）设与直线 平行且和椭圆 相切的直线为 ，
则 的方程可设为 ，
联立方程组 得 ，
此方程的判别式 ，
令 ，解得 ， .
所以直线 的方程为 ，
又 的方程为 ，
其中直线 到直线 的距离最大，
其最大距离
又 ，
故 的面积的最大值为 .
（注：也可以用椭圆的参数方程求解）
【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 依题意， 的斜率为 结合两点求斜率公式，从而求出a的值，再利用a的值结合
点 的坐标为 ，再由代入法得出b的值，从而求出椭圆的标准方程。
（2） 设与直线 平行且和椭圆 相切的直线为 ，则直线 的斜截式方程可设为 ，再利用直线于椭圆相交，联立二者方程，联立直线与椭圆的方程结合判别式法，从而求出m的值，进而求出直线l的斜截式方程，再利用 的方程为 结合直线 到直线 的距离最大，从而利用点到直线的距离公式，从而求出其最大距离，再利用两点距离公式，从而求出P,Q两点的距离，再利用三角形的面积公式，从而求出三角形 的面积的最大值。
22．【答案】（1）解： 面积的最
又 ，所以 ，解得 ．
即 ，故椭圆C的标准方程为
（2）解：由题可得直线 的方程为 ，
联立 ，得 ，则 ，
因为 ，则 ，
得 ，
当直线 的斜率为0时，不符合题意，
故设直线 的方程为 ，由点P在点Q的上方，则
联立 ，得 ，则
得 ，则 ，得
又 ，则 ，不符合题意，所以
故直线 的方程为
【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意由三角形的面积公式整理即可得出b与c的关系再由离心率的公式即可求出b与c的值，由此得到椭圆的方程。
(2)根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m的两根之和与两根之积的代数式，结合题意即可得出整理即可得到关于m的方程，求解出m的结果由此即可得到直线的方程。
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