精讲精练·专项突破
2021-2022学年高二上学期人教版（2019）
第一章 《空间向量与几何》 单元能力提升（含详细解析）教师版
一、单选题
1．（2020高二上·甘肃期末）空间直角坐标系中，点 关于平面 对称的点 的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【考点】空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】点 关于平面 对称的点，横坐标变为点P横坐标的相反数，
即 .
故答案为：B
【分析】由点关于平面的对称性质，计算出点的坐标即可。
2．（2021高二上·河北期中）已知 ，则点A到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】点到直线的距离公式；空间向量运算的坐标表示；向量的投影
【解析】【解答】由 ，可得 ，
则向量 在 方向上的投影为 ，
所以点A到直线 的距离 ．
故答案为：A.
【分析】根据题意由点的坐标求出向量的坐标，然后由投影公式计算出投影的值，再由点到直线的距离公式计算出结果即可。
3．（2021高二上·河东期中）已知直线 的一个方向向量 ，且直线 过 和 两点，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．3
【答案】D
【考点】空间向量运算的坐标表示；直线的方向向量
【解析】【解答】∵ 和 ， ，
∵直线 的一个方向向量为 ，故设 ，
∴ ，即 ， ，∴ ，
故答案为：D.
【分析】 由已知条件即可得出先求出，由直线方向向量的定义列出方程，求出a，b的值，由此求出a+b的值。
4．若向量 、 、 的起点与终点 、 、 、 互不重合且无三点共线，且满足下列关系（ 是空间任一点），则能使向量 、 、 成为空间一组基底的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【考点】空间向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】A中，因为 ，所以 、 、 、 共面，所以向量 、 、 不能成为空间的一组基底；
B中， ，但可能 ，即 、 、 、 可能共面，所以向量 、 、 不一定能成为空间的一组基底；
D中，∵ ，∴ 、 、 、 共面，所以向量 、 、 不能成为空间的一组基底，
故答案为：C．
【分析】由空间向量基底的定义：三个向量不共线对选项逐一判断即可得出答案。
5．（2021高二上·和平期末）如图所示，正方体中，点分别在上，，，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】数量积的坐标表达式；数量积表示两个向量的夹角；异面直线及其所成的角；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
设正方体边长为3，则
，设EF与所成的角为，
则
故答案为：C
【分析】根据题意建立空间直角坐标系，求出各个点以及向量的坐标，再由数量积的坐标公式代入数值计算出结果即可。
6．在棱长为2的正方体中，E为底面正方形对角线的交点，P为棱上的动点（不包括端点），则下列说法不正确的是（ ）
A．平面
B．
C．当平面时，P为的中点
D．的取值范围为
【答案】D
【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】对于A，∵四边形为正方形，∴；
由正方体的性质知：平面，又平面，∴，
∵平面，，∴平面，A符合题意；
对于B，，B符合题意；
对于C，当平面时，，可得P为的中点，C符合题意；
对于D， 因为，所以三角形是等腰三角形，而E为底面正方形对角线的交点，所以，
，由，有，可得，∴，D不正确.
故答案为：D.
【分析】根据题意由已知条件结合正方体的几何性质，结合线面垂直的判定定理即可得证出结论由此判断出选项A正确；由已知条件结合勾股定理代入数值计算出结果，由此判断出选项B正确；结合正方体的几何性质由线面平行的判定定理以及中点的性质，即可得出线线平行，再由线面平行的判定定理即可判断出选项C正确；结合三角形的几何性质由平行关系即可得出角的大小，再由正切函数的单调性即可得出取值范围，由此判断出选项D错误，由此即可得出答案。
7．直三棱柱 的侧棱 ，底面 中， ， ，则点 到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】因为三棱柱 是直三棱锥，所以 平面 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
因为 ，
所以 平面 ，
所以 ，
因为 ， ， ，所以 平面 ，
所以 ， ， ，
设点 到平面 的距离为 ，
则 ，即 ，
所以 ，
所以点 到平面 的距离为 ，
故答案为：D
【分析】利用求解即可得到答案。
8．（2021高二上·浙江月考）如图，在长方体 中， ， ， ， 是 的中点，求 到面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【考点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】连接 ，则 ，
由题设知： ， ，
∴△ 中， 上的高为 ，则 ，
又 ， ，即 ，若 到面 的距离为 ，
∴ ，得 。
故答案为：B
【分析】连接 ，再利用等体积法结合三棱锥的体积公式和三角形面积公式，从而结合已知条件求出点 到面 的距离。
二、多选题
9．（2021高二上·湖南月考）在正方体中，下列结论正确的有（ ）
A．是平面A1B1C1D1的一个法向量
B．是平面的一个法向量
C．
D．
【答案】A,B,D
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；平面的法向量
【解析】【解答】如图，
由正方体中的线面位置关系，可知平面1B1C1D1，平面，
平面，所以ABD符合题意，
因为与所成的角为60°，所以C不符合题意，
故答案为：ABD
【分析】利用已知条件结合正方体的结构特征，再结合平面的法向量的定义，从而求出 是平面A1B1C1D1的一个法向量和 是平面的一个法向量，再利用线线垂直的判断方法，从而推出，进而找出结论正确的选项。
10．已知正方体 ，则下列各式运算结果是 的为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】A,B,C
【考点】向量的线性运算性质及几何意义；空间向量的加减法
【解析】【解答】A中， ；
B中， ；
C中， ；
D中， .
故答案为：ABC.
【分析】根据题意由向量加法的线性运算法则对选项逐一判断即可得出答案。
11．（2021高二上·浙江月考）以下说法正确的是（ ）
A．设 、 是两个空间向量，则 、 一定共面
B．设 、 是两个空间向量，则
C．设 、 、 是三个空间向量，则 、 、 一定不共面
D．设 、 、 是三个空间向量，则
【答案】A,B,D
【考点】平面向量数量积的运算；共线向量与共面向量
【解析】【解答】对于A选项，任意两个空间向量都共面，A对；
对于B选项，由空间向量数量积的定义可知 ，B对；
对于C选项，在 中， ， ， ，则 、 、 共面，C不符合题意；
对于D选项，由空间向量数量积的运算性质可得 ，D对.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件结合向量共面的判断方法、数量积的定义、数量积的运算法则，从而找出说法正确的选项。
12．（2021高三上·深圳月考）已知正方体 中，点 为棱 的中点，点 是线段 上的动点， ，则下列选项正确的是（ ）
A．直线 与 是异面直线
B．点 到平面 的距离是一个常数
C．过点 作平面 的垂线，与平面 交于点 ，若 ，则
D．若面 内有一点 ，它到 距离与到 的距离相等，则 轨迹为一条直线
【答案】A,B,C
【考点】向量的共线定理；与直线有关的动点轨迹方程；异面直线的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】对于 ，如图， 平面 ， 平面 ，
故直线 与 不平行，且 ，
故直线 与 不相交，所以直线 与 是异面直线，故答案为：项 正确；
对于 ，在正方体中， ，因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 ，
故点 到平面 的距离是一个常数，故答案为：项 正确；
对于 ，以点 为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则 ，0， ， ，2， ， ，0， ， ，2， ，
所以 ，
因为 ，则 ，所以 ，
设存在 ，设 ，
则 ，
故 ，
因为 平面 ，
所以 ，即 ，解得 ，
则 ，满足条件，故答案为：项 正确；
对于 ，因为 平面 ，又 平面 ，
所以 ，即 为点 到 的距离，
根据抛物线的定义可知， 的轨迹为抛物线的一部分，故答案为：项 错误．
故答案为：ABC．
【分析】利用已知条件结合正方体的结构特征，再结合中点的性质，从而结合异面直线的判断方法，从而推出直线 与 是异面直线；再利用已知条件结合点到平面的距离的求解方法，从而推出 点 到平面 的距离是一个常数；利用过点 作平面 的垂线，与平面 交于点 ，再结合 ，从而利用向量共线定理结合元素与集合的关系，从而推出；利用 平面 ，再利用线面垂直证出线线垂直，所以 ，即 为点 到 的距离，根据抛物线的定义可知，得出 的轨迹为抛物线的一部分，从而找出正确选项。
三、填空题
13．（2021高二上·湖州期中）已知向量 ， ， ，若 ， ， 共面，则实数 ＝ .
【答案】4
【考点】共线向量与共面向量
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，且 ， ， 共面，
设，
∴(3,2,λ)=(2m-n,-m+4n,3m-2n)
∴
解得m=2,n=1,λ=4
故答案为：4．
【分析】根据向量共面的判定定理求解即可.
14．（2021高二上·重庆月考）如图，在四棱柱 中，底面ABCD和侧面 都是矩形，E是CD的中点， ， 若平面 与平面 所成的锐二面角的大小为 ，则线段 的长度为 ．
【答案】1
【考点】用空间向量求平面间的夹角
【解析】【解答】利用 底面ABCD和侧面 是矩形， ， ，
又 ， 平面 ，
平面 ， ；
又 ，且 ，
平面ABCD．
以E为坐标原点，过E作 交 于 ，以 分别为 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则E(0,0，0)，B(1,1，0)，C(0,1，0)，F(1,0，0)．
设D1E=a，则D1(0,0，a)，C1(0,2，a)．
设平面 的一个法向量为 y， ，
1， ， 0， ，
由 ，
令 ，得 ；
设平面 的一个法向量为 ，
0， ， 1， ，
由 ，
令 ，得 ．
由平面 与平面 所成的锐二面角的大小为 ，
得 ，解得 ，
。
故答案为：1。
【分析】利用底面ABCD和侧面 是矩形，所以 ， ，再利用线线垂直证出线面垂直，所以 平面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以 ，再利用 结合线线垂直证出线面垂直，从而证出 平面ABCD，以E为坐标原点，过E作 交 于 ，以 分别为 轴正方向，建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求夹角公式，从而求出平面 与平面 所成的锐二面角的大小，再利用平面 与平面 所成的锐二面角的大小为 ，从而求出线段 的长度。
15．（2021高二上·河北月考）攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖．如图属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则侧面与底面的夹角为 ．
【答案】60
【考点】空间向量的数量积运算；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【解答】设此四棱锥P-ABCD底面边长为 ，斜高为 ，连结AC、BD交于点O，连结OP.则 ， ， ．
以O为原点， 为x、y、z轴正半轴建立空间直角坐标系．
则 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
显然平面 的法向量为 ．
所以 ，
所以侧面与底面的夹角为60 ．
故答案为：60 .
【分析】根据题意由已知条件建立空间直角坐标系，求出点以及向量的坐标，然后设出平面的法向量，结合数量积的坐标公式计算出法向量的坐标，同理即可求出面 的法向量，再由数量积的夹角公式计算出夹角的余弦值，由此即可得到夹角的大小。
16．（2020高二上·景德镇期末）已知正四面体 的棱长为 ， 为 的中心， 为 上一点且满足 、 、 两两垂直.过点 作平面 ，其中 、 、 位于平面 的同一侧， 是平面 的单位法向量且指向另外一侧， 、 两点到平面 的距离分别为1和 .以 为坐标原点， 、 、 为 、 、 轴建立空间直角坐标系（如图所示），则 的坐标为 .
【答案】
【考点】空间向量的数量积运算；平面的法向量
【解析】【解答】 、 、 两两垂直，棱长为 ，
,
而 、 两点到平面 的距离分别为1和 ，
所以点 在平面 上，
设 ，
则 ，即 ，
解得 或 ，
由题意知 指向z轴负方向，
则
故答案为：
【分析】根据题意建立空间直角坐标系由点到平面的距离即可得点在平面 上，由此设出法向量结合数量积的坐标运算性质即可求出平面的法向量，进而求出平面的单位向量。
四、解答题
17．（2021高二上·朝阳期中）如图，在长方体 中，底面ABCD是边长为1的正方形， ，点E，F分别为棱 ， 的中点.
（1）求证： 平面BDE；
（2）求直线 到平面BDE的距离.
【答案】（1）证明：如图所示：
取 的中点G，连接 ，
因为 ，
所以 ，
所以四边形 是平行四边形，
所以 ，又 平面BDE， 平面BDE，
所以 平面BDE
（2）解：由（1）知： 平面BDE，则 上任意一点到平面的距离相等，
设 到平面BDE，的距离为d，
因为底面ABCD是边长为1的正方形， ，
所以 ，
则 ，
因为 ，即 ，
所以 .
【考点】平面与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明；（2）由线面平行把直线到平面的距离转化为点到平面的距离，再利用等体积法求点到平面的距离。
18．（2021·丰台模拟）如图，在多面体 中，四边形 和 都是直角梯形， ， ， ， ， ，点M为棱 上一点，平面 与棱 交于点N．
（1）求证： 平面 ；
（2）求证： ；
（3）若平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ，求 的值．
【答案】（1）证明：因为 ，
所以 ，
又因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）证明：因为 ， ， ，
所以 是平行四边形，则 ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因为平面 平面 ，
所以 ；
（3）解：以点 为原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系，
如图所示：设 ，
则 ，
依题意有 ， ， ，
， ，则 ，
， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
取 则 ，则 ，
因为 平面 ，
所以平面 的一个法向量为 ，
平面 与平面 所成锐二面角为 ，
则 ，
解得 ，所以 ，
故 ．
【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件即可得到线线垂直，再由线面垂直的判定定理得证出结论即可。
(2)首先由线线平行即可得出 是平行四边，进而得出在意线面平行的判定定理即可得证出结论。
(3)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到平面 与平面 所成锐二面角的余弦值，由此解已知条件即可求出从而求出答案。
19．（2021·晋中模拟）现有两个全等的等腰直角三角板，直角边长为2，将它们的一直角边重合，若将其中一个三角板沿直角边折起形成三棱锥 ，如图所示，其中 ，点E，F，G分别是 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
【答案】（1）证明：根据已知得 ，又G为 的中点，所以 ，
因为 ，G为 的中点，所以 ，
又 ，所以 平面 ．
又因为 ，所以 平面
（2）解：因为 ，所以 平面 ，取 中点H，连接 ，则 平面 ，又 ，所以以H为原点，以 所在直线分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
所以 ．
设平面 的法向量为 ，
则 即
令 ，得 ．
设平面 的法向量为 ，
则 即
令 ，得 ．
所以 ，所以二面角 的余弦值为
【考点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1） 根据已知得 ，又因为点G为 的中点，再结合等腰三角形三线合一，所以 ，因为 ，G为 的中点，再结合等腰三角形三线合一，所以 ，再利用线线垂直证出线面垂直，即 平面 ．又因为 ，进而证出 平面 。
（2） 因为 ，再利用线线垂直证出线面垂直，所以 平面 ，取 中点H，连接 ，则 平面 ，又因为 ，所以以H为原点，以 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系， 进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而求出二面角 的余弦值。
20．（2021·林芝模拟）如图，在四面体中，，二面角是直二面角，为的中点，点为线段上一点，且.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的平面角的余弦值.
【答案】（1）证明：，为的中点.
又因为直二面角即平面平面，平面平面
平面.
平面.
又因，，平面，平面，
平面
（2）解：连接，为的中点，
.由(1)平面
可以分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图，
又
，
.
由（1）可知平面为平面的一个法向量，.
设平面的一个法向量为，则.，可取.
设平面与平面所成锐二面角的平面角为，则
.
.
【考点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）利用，为的中点结合等腰三角形三线合一得出，再利用直二面角即为平面平面，再结合面面垂直的性质定理证出线面垂直，所以
平面 .，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以 ，再利用 结合线线垂直证出线面垂直，从而证出 平面 。
（2） 连接 ，为的中点，再结合等腰三角形和等边三角形三线合一，得出，由(1)中平面结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，可以分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式得出平面与平面所成锐二面角的平面角的余弦值。
21．（2021·贵州模拟）三棱锥 中， ， ， ， 平面 ， ， 为 中点，点 在棱 上(端点除外).过直线 的平面 与平面 垂直，平面 与此三棱锥的面相交，交线围成一个四边形.
（1）在图中画出这个四边形，并写出作法(不要求证明)；
（2）若 .求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）解：作法：①过 作 交 于 ；②过 作 交 于 ；③连接 ，则四边形 为所作图形.
（2）解：以点 为坐标原点，以 的方向为 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ，
由题知 ， 分别为 与 的中点，
故 ， ，
又由 得 ，设 ，
所以 ，
即 ，解得 ，
所以 ，
故 ，
，
设平面 的法向量 ，
由 ，得 ，
取 ，又 ，
所以 与平面 所成角 的正弦值为 .
【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】 （1）根据题意取AB的中点M，连结DM，DE，作MF∥DE交PB于点F，连结MF，EF，则四边形DMFE即为所求；
（2）结合已知条件建立合适的空间直角坐标系，求出所需各点的坐标和向量的坐标，利用待定系数法求出平面α的法向量，然后利用点到面的距离公式计算即可．
22．（2022·武昌模拟）如图，在几何体中，平面，平面，，，又，．
（1）求 与平面所成角的正弦值；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
【答案】（1）解：设平面的法向量为，
∵，
则有，取，
得，又，
设与平面所成角为，
则，
故 与平面所成角的正弦值为.
（2）解：设平面的法向量为，
∵，，
则有，取，得，
∴，
故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1)设平面SAB的法向量为，利用 得 ， 设与平面所成角为，通过，求出与平面所成角的正弦值 ；
(2) 设平面的法向量为 ，利用 得，利用，求出平面与平面所成的锐二面角的余弦值。
25精讲精练·专项突破
2021-2022学年高二上学期人教版（2019）
第一章 《空间向量与几何》 单元能力提升（含详细解析）学生版
一、单选题
1．（2020高二上·甘肃期末）空间直角坐标系中，点 关于平面 对称的点 的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021高二上·河北期中）已知 ，则点A到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021高二上·河东期中）已知直线 的一个方向向量 ，且直线 过 和 两点，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．3
4．若向量 、 、 的起点与终点 、 、 、 互不重合且无三点共线，且满足下列关系（ 是空间任一点），则能使向量 、 、 成为空间一组基底的关系是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021高二上·和平期末）如图所示，正方体中，点分别在上，，，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．在棱长为2的正方体中，E为底面正方形对角线的交点，P为棱上的动点（不包括端点），则下列说法不正确的是（ ）
A．平面
B．
C．当平面时，P为的中点
D．的取值范围为
7．直三棱柱 的侧棱 ，底面 中， ， ，则点 到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021高二上·浙江月考）如图，在长方体 中， ， ， ， 是 的中点，求 到面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2021高二上·湖南月考）在正方体中，下列结论正确的有（ ）
A．是平面A1B1C1D1的一个法向量
B．是平面的一个法向量
C．
D．
10．已知正方体 ，则下列各式运算结果是 的为（ ）.
A． B．
C． D．
11．（2021高二上·浙江月考）以下说法正确的是（ ）
A．设 、 是两个空间向量，则 、 一定共面
B．设 、 是两个空间向量，则
C．设 、 、 是三个空间向量，则 、 、 一定不共面
D．设 、 、 是三个空间向量，则
12．（2021高三上·深圳月考）已知正方体 中，点 为棱 的中点，点 是线段 上的动点， ，则下列选项正确的是（ ）
A．直线 与 是异面直线
B．点 到平面 的距离是一个常数
C．过点 作平面 的垂线，与平面 交于点 ，若 ，则
D．若面 内有一点 ，它到 距离与到 的距离相等，则 轨迹为一条直线
三、填空题
13．（2021高二上·湖州期中）已知向量 ， ， ，若 ， ， 共面，则实数 ＝ .
14．（2021高二上·重庆月考）如图，在四棱柱 中，底面ABCD和侧面 都是矩形，E是CD的中点， ， 若平面 与平面 所成的锐二面角的大小为 ，则线段 的长度为 ．
15．（2021高二上·河北月考）攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖．如图属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则侧面与底面的夹角为 ．
16．（2020高二上·景德镇期末）已知正四面体 的棱长为 ， 为 的中心， 为 上一点且满足 、 、 两两垂直.过点 作平面 ，其中 、 、 位于平面 的同一侧， 是平面 的单位法向量且指向另外一侧， 、 两点到平面 的距离分别为1和 .以 为坐标原点， 、 、 为 、 、 轴建立空间直角坐标系（如图所示），则 的坐标为 .
四、解答题
17．（2021高二上·朝阳期中）如图，在长方体 中，底面ABCD是边长为1的正方形， ，点E，F分别为棱 ， 的中点.
（1）求证： 平面BDE；
（2）求直线 到平面BDE的距离.
18．（2021·丰台模拟）如图，在多面体 中，四边形 和 都是直角梯形， ， ， ， ， ，点M为棱 上一点，平面 与棱 交于点N．
（1）求证： 平面 ；
（2）求证： ；
（3）若平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ，求 的值．
19．（2021·晋中模拟）现有两个全等的等腰直角三角板，直角边长为2，将它们的一直角边重合，若将其中一个三角板沿直角边折起形成三棱锥 ，如图所示，其中 ，点E，F，G分别是 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
20．（2021·林芝模拟）如图，在四面体中，，二面角是直二面角，为的中点，点为线段上一点，且.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的平面角的余弦值.
21．（2021·贵州模拟）三棱锥 中， ， ， ， 平面 ， ， 为 中点，点 在棱 上(端点除外).过直线 的平面 与平面 垂直，平面 与此三棱锥的面相交，交线围成一个四边形.
（1）在图中画出这个四边形，并写出作法(不要求证明)；
（2）若 .求直线 与平面 所成角的正弦值.
22．（2022·武昌模拟）如图，在几何体中，平面，平面，，，又，．
（1）求 与平面所成角的正弦值；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
答案解析部分
1．【答案】B
【考点】空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】点 关于平面 对称的点，横坐标变为点P横坐标的相反数，
即 .
故答案为：B
【分析】由点关于平面的对称性质，计算出点的坐标即可。
2．【答案】A
【考点】点到直线的距离公式；空间向量运算的坐标表示；向量的投影
【解析】【解答】由 ，可得 ，
则向量 在 方向上的投影为 ，
所以点A到直线 的距离 ．
故答案为：A.
【分析】根据题意由点的坐标求出向量的坐标，然后由投影公式计算出投影的值，再由点到直线的距离公式计算出结果即可。
3．【答案】D
【考点】空间向量运算的坐标表示；直线的方向向量
【解析】【解答】∵ 和 ， ，
∵直线 的一个方向向量为 ，故设 ，
∴ ，即 ， ，∴ ，
故答案为：D.
【分析】 由已知条件即可得出先求出，由直线方向向量的定义列出方程，求出a，b的值，由此求出a+b的值。
4．【答案】C
【考点】空间向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】A中，因为 ，所以 、 、 、 共面，所以向量 、 、 不能成为空间的一组基底；
B中， ，但可能 ，即 、 、 、 可能共面，所以向量 、 、 不一定能成为空间的一组基底；
D中，∵ ，∴ 、 、 、 共面，所以向量 、 、 不能成为空间的一组基底，
故答案为：C．
【分析】由空间向量基底的定义：三个向量不共线对选项逐一判断即可得出答案。
5．【答案】C
【考点】数量积的坐标表达式；数量积表示两个向量的夹角；异面直线及其所成的角；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
设正方体边长为3，则
，设EF与所成的角为，
则
故答案为：C
【分析】根据题意建立空间直角坐标系，求出各个点以及向量的坐标，再由数量积的坐标公式代入数值计算出结果即可。
6．【答案】D
【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】对于A，∵四边形为正方形，∴；
由正方体的性质知：平面，又平面，∴，
∵平面，，∴平面，A符合题意；
对于B，，B符合题意；
对于C，当平面时，，可得P为的中点，C符合题意；
对于D， 因为，所以三角形是等腰三角形，而E为底面正方形对角线的交点，所以，
，由，有，可得，∴，D不正确.
故答案为：D.
【分析】根据题意由已知条件结合正方体的几何性质，结合线面垂直的判定定理即可得证出结论由此判断出选项A正确；由已知条件结合勾股定理代入数值计算出结果，由此判断出选项B正确；结合正方体的几何性质由线面平行的判定定理以及中点的性质，即可得出线线平行，再由线面平行的判定定理即可判断出选项C正确；结合三角形的几何性质由平行关系即可得出角的大小，再由正切函数的单调性即可得出取值范围，由此判断出选项D错误，由此即可得出答案。
7．【答案】D
【考点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】因为三棱柱 是直三棱锥，所以 平面 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
因为 ，
所以 平面 ，
所以 ，
因为 ， ， ，所以 平面 ，
所以 ， ， ，
设点 到平面 的距离为 ，
则 ，即 ，
所以 ，
所以点 到平面 的距离为 ，
故答案为：D
【分析】利用求解即可得到答案。
8．【答案】B
【考点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】连接 ，则 ，
由题设知： ， ，
∴△ 中， 上的高为 ，则 ，
又 ， ，即 ，若 到面 的距离为 ，
∴ ，得 。
故答案为：B
【分析】连接 ，再利用等体积法结合三棱锥的体积公式和三角形面积公式，从而结合已知条件求出点 到面 的距离。
9．【答案】A,B,D
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；平面的法向量
【解析】【解答】如图，
由正方体中的线面位置关系，可知平面1B1C1D1，平面，
平面，所以ABD符合题意，
因为与所成的角为60°，所以C不符合题意，
故答案为：ABD
【分析】利用已知条件结合正方体的结构特征，再结合平面的法向量的定义，从而求出 是平面A1B1C1D1的一个法向量和 是平面的一个法向量，再利用线线垂直的判断方法，从而推出，进而找出结论正确的选项。
10．【答案】A,B,C
【考点】向量的线性运算性质及几何意义；空间向量的加减法
【解析】【解答】A中， ；
B中， ；
C中， ；
D中， .
故答案为：ABC.
【分析】根据题意由向量加法的线性运算法则对选项逐一判断即可得出答案。
11．【答案】A,B,D
【考点】平面向量数量积的运算；共线向量与共面向量
【解析】【解答】对于A选项，任意两个空间向量都共面，A对；
对于B选项，由空间向量数量积的定义可知 ，B对；
对于C选项，在 中， ， ， ，则 、 、 共面，C不符合题意；
对于D选项，由空间向量数量积的运算性质可得 ，D对.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件结合向量共面的判断方法、数量积的定义、数量积的运算法则，从而找出说法正确的选项。
12．【答案】A,B,C
【考点】向量的共线定理；与直线有关的动点轨迹方程；异面直线的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】对于 ，如图， 平面 ， 平面 ，
故直线 与 不平行，且 ，
故直线 与 不相交，所以直线 与 是异面直线，故答案为：项 正确；
对于 ，在正方体中， ，因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 ，
故点 到平面 的距离是一个常数，故答案为：项 正确；
对于 ，以点 为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则 ，0， ， ，2， ， ，0， ， ，2， ，
所以 ，
因为 ，则 ，所以 ，
设存在 ，设 ，
则 ，
故 ，
因为 平面 ，
所以 ，即 ，解得 ，
则 ，满足条件，故答案为：项 正确；
对于 ，因为 平面 ，又 平面 ，
所以 ，即 为点 到 的距离，
根据抛物线的定义可知， 的轨迹为抛物线的一部分，故答案为：项 错误．
故答案为：ABC．
【分析】利用已知条件结合正方体的结构特征，再结合中点的性质，从而结合异面直线的判断方法，从而推出直线 与 是异面直线；再利用已知条件结合点到平面的距离的求解方法，从而推出 点 到平面 的距离是一个常数；利用过点 作平面 的垂线，与平面 交于点 ，再结合 ，从而利用向量共线定理结合元素与集合的关系，从而推出；利用 平面 ，再利用线面垂直证出线线垂直，所以 ，即 为点 到 的距离，根据抛物线的定义可知，得出 的轨迹为抛物线的一部分，从而找出正确选项。
13．【答案】4
【考点】共线向量与共面向量
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，且 ， ， 共面，
设，
∴(3,2,λ)=(2m-n,-m+4n,3m-2n)
∴
解得m=2,n=1,λ=4
故答案为：4．
【分析】根据向量共面的判定定理求解即可.
14．【答案】1
【考点】用空间向量求平面间的夹角
【解析】【解答】利用 底面ABCD和侧面 是矩形， ， ，
又 ， 平面 ，
平面 ， ；
又 ，且 ，
平面ABCD．
以E为坐标原点，过E作 交 于 ，以 分别为 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则E(0,0，0)，B(1,1，0)，C(0,1，0)，F(1,0，0)．
设D1E=a，则D1(0,0，a)，C1(0,2，a)．
设平面 的一个法向量为 y， ，
1， ， 0， ，
由 ，
令 ，得 ；
设平面 的一个法向量为 ，
0， ， 1， ，
由 ，
令 ，得 ．
由平面 与平面 所成的锐二面角的大小为 ，
得 ，解得 ，
。
故答案为：1。
【分析】利用底面ABCD和侧面 是矩形，所以 ， ，再利用线线垂直证出线面垂直，所以 平面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以 ，再利用 结合线线垂直证出线面垂直，从而证出 平面ABCD，以E为坐标原点，过E作 交 于 ，以 分别为 轴正方向，建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求夹角公式，从而求出平面 与平面 所成的锐二面角的大小，再利用平面 与平面 所成的锐二面角的大小为 ，从而求出线段 的长度。
15．【答案】60
【考点】空间向量的数量积运算；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【解答】设此四棱锥P-ABCD底面边长为 ，斜高为 ，连结AC、BD交于点O，连结OP.则 ， ， ．
以O为原点， 为x、y、z轴正半轴建立空间直角坐标系．
则 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
显然平面 的法向量为 ．
所以 ，
所以侧面与底面的夹角为60 ．
故答案为：60 .
【分析】根据题意由已知条件建立空间直角坐标系，求出点以及向量的坐标，然后设出平面的法向量，结合数量积的坐标公式计算出法向量的坐标，同理即可求出面 的法向量，再由数量积的夹角公式计算出夹角的余弦值，由此即可得到夹角的大小。
16．【答案】
【考点】空间向量的数量积运算；平面的法向量
【解析】【解答】 、 、 两两垂直，棱长为 ，
,
而 、 两点到平面 的距离分别为1和 ，
所以点 在平面 上，
设 ，
则 ，即 ，
解得 或 ，
由题意知 指向z轴负方向，
则
故答案为：
【分析】根据题意建立空间直角坐标系由点到平面的距离即可得点在平面 上，由此设出法向量结合数量积的坐标运算性质即可求出平面的法向量，进而求出平面的单位向量。
17．【答案】（1）证明：如图所示：
取 的中点G，连接 ，
因为 ，
所以 ，
所以四边形 是平行四边形，
所以 ，又 平面BDE， 平面BDE，
所以 平面BDE
（2）解：由（1）知： 平面BDE，则 上任意一点到平面的距离相等，
设 到平面BDE，的距离为d，
因为底面ABCD是边长为1的正方形， ，
所以 ，
则 ，
因为 ，即 ，
所以 .
【考点】平面与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明；（2）由线面平行把直线到平面的距离转化为点到平面的距离，再利用等体积法求点到平面的距离。
18．【答案】（1）证明：因为 ，
所以 ，
又因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）证明：因为 ， ， ，
所以 是平行四边形，则 ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因为平面 平面 ，
所以 ；
（3）解：以点 为原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系，
如图所示：设 ，
则 ，
依题意有 ， ， ，
， ，则 ，
， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
取 则 ，则 ，
因为 平面 ，
所以平面 的一个法向量为 ，
平面 与平面 所成锐二面角为 ，
则 ，
解得 ，所以 ，
故 ．
【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件即可得到线线垂直，再由线面垂直的判定定理得证出结论即可。
(2)首先由线线平行即可得出 是平行四边，进而得出在意线面平行的判定定理即可得证出结论。
(3)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到平面 与平面 所成锐二面角的余弦值，由此解已知条件即可求出从而求出答案。
19．【答案】（1）证明：根据已知得 ，又G为 的中点，所以 ，
因为 ，G为 的中点，所以 ，
又 ，所以 平面 ．
又因为 ，所以 平面
（2）解：因为 ，所以 平面 ，取 中点H，连接 ，则 平面 ，又 ，所以以H为原点，以 所在直线分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
所以 ．
设平面 的法向量为 ，
则 即
令 ，得 ．
设平面 的法向量为 ，
则 即
令 ，得 ．
所以 ，所以二面角 的余弦值为
【考点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1） 根据已知得 ，又因为点G为 的中点，再结合等腰三角形三线合一，所以 ，因为 ，G为 的中点，再结合等腰三角形三线合一，所以 ，再利用线线垂直证出线面垂直，即 平面 ．又因为 ，进而证出 平面 。
（2） 因为 ，再利用线线垂直证出线面垂直，所以 平面 ，取 中点H，连接 ，则 平面 ，又因为 ，所以以H为原点，以 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系， 进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而求出二面角 的余弦值。
20．【答案】（1）证明：，为的中点.
又因为直二面角即平面平面，平面平面
平面.
平面.
又因，，平面，平面，
平面
（2）解：连接，为的中点，
.由(1)平面
可以分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图，
又
，
.
由（1）可知平面为平面的一个法向量，.
设平面的一个法向量为，则.，可取.
设平面与平面所成锐二面角的平面角为，则
.
.
【考点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）利用，为的中点结合等腰三角形三线合一得出，再利用直二面角即为平面平面，再结合面面垂直的性质定理证出线面垂直，所以
平面 .，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以 ，再利用 结合线线垂直证出线面垂直，从而证出 平面 。
（2） 连接 ，为的中点，再结合等腰三角形和等边三角形三线合一，得出，由(1)中平面结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，可以分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式得出平面与平面所成锐二面角的平面角的余弦值。
21．【答案】（1）解：作法：①过 作 交 于 ；②过 作 交 于 ；③连接 ，则四边形 为所作图形.
（2）解：以点 为坐标原点，以 的方向为 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ，
由题知 ， 分别为 与 的中点，
故 ， ，
又由 得 ，设 ，
所以 ，
即 ，解得 ，
所以 ，
故 ，
，
设平面 的法向量 ，
由 ，得 ，
取 ，又 ，
所以 与平面 所成角 的正弦值为 .
【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】 （1）根据题意取AB的中点M，连结DM，DE，作MF∥DE交PB于点F，连结MF，EF，则四边形DMFE即为所求；
（2）结合已知条件建立合适的空间直角坐标系，求出所需各点的坐标和向量的坐标，利用待定系数法求出平面α的法向量，然后利用点到面的距离公式计算即可．
22．【答案】（1）解：设平面的法向量为，
∵，
则有，取，
得，又，
设与平面所成角为，
则，
故 与平面所成角的正弦值为.
（2）解：设平面的法向量为，
∵，，
则有，取，得，
∴，
故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1)设平面SAB的法向量为，利用 得 ， 设与平面所成角为，通过，求出与平面所成角的正弦值 ；
(2) 设平面的法向量为 ，利用 得，利用，求出平面与平面所成的锐二面角的余弦值。
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