精讲精练·专项突破
2021-2022学年高二上学期人教版（2019）
第一章 《空间向量与几何》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021高二上·安徽月考）已知平面 内有一点 ，平面 的一个法向量 ，则下列各点在平面 内的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】数量积的坐标表达式；空间中的点的坐标；平面的法向量
【解析】【解答】解：设点 在平面 内， ，因为平面 的一个法向量 ，所以 ，即 ，满足该条件的只有D选项.
故答案为：D.
【分析】首先由点的坐标求出向量的坐标，再由平面法向量的定义求出平面 的法向量，然后由数量积的坐标公式代入计算出结果由此得到答案。
2．（2021高二上·沈阳月考）已知向量 是空间向量的一组基底，向量 是空间向量的另外一组基底，若一向量 在基底 下的坐标为 ，则向量 在基底 下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【考点】空间向量的正交分解及其坐标表示
【解析】【解答】设向量 在基底 下的坐标为 ，
则 ，
所以 解得
故 在基底 下的坐标为 。
故答案为：B
【分析】设向量 在基底 下的坐标为 ，再利用平面向量基本定理，从而解方程组求出向量 在基底 下的坐标。
3．（2021高二下·丽水期末）已知菱形 ， ， 为边 上的点（不包括 ），将 沿对角线 翻折，在翻折过程中，记直线 与 所成角的最小值为 ，最大值为 （ ）
A． 均与 位置有关
B． 与 位置有关， 与 位置无关
C． 与 位置无关， 与 位置有关
D． 均与 位置无关
【答案】C
【考点】空间点、线、面的位置
【解析】【解答】作 // 交 于点 ，分别取 的中点
连接 ，如图，
由翻折前该四边形为菱形，且 ，所以 为等边三角形
同时 点在 上，由 平面
所以 平面 ,又 // ，所以 平面 ，所以
直线 与 所成角即直线 与 所成角，该角为
所以 ,由点 不与 重合，
所以当点 翻折到与点 重合时， 最小， 为最小与点 位置无关；
当没有翻折时， 最大， 最大，则 最大，与点 位置有关
故答案为：C
【分析】作 // 交 于点 ，分别取 的中点 ，连接 ，利用数形结合法,结合线面垂直的判定定;理得到EF⊥CP,直线 与 所成角即直线 与 所成角，该角为 ，表示出,通过讨论点C的位置进行分析，即可得到答案.
4．（2021高二上·浙江期中）如图，在直三棱柱 中， ， 分别是棱 的中点，则异面直线 与 所成角的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】B
【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】由题意以 为 轴建立空间直角坐标系，如图，
则 ， ． ， ， ，
， ，
，
所以 ，即异面直线 与 所成角是45 ．
故答案为：B．
【分析】以 为 轴建立空间直角坐标系，用向量法求异面直线所成的角。
5．（2020高二上·漳州期末）已知正三棱锥 的侧面 上动点Q的轨迹是以P为焦点， 为准线的抛物线，若点Q到底面 的距离为d，且 ，点H为棱 的中点，则直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】设△ABC的中心为O，如图示：以 为x轴，过O平行于BC的 为y轴， 为z轴建立空间直角坐标系，
不妨设|BC|=2，则有：
过Q作QD⊥底面ABC于D,QE⊥AB于E，由抛物线的定义知：|QE|=|PD|=2d，|QD|=d.
在Rt△QDE中，∠QDE=90°，所以 ，
即侧面于底面所成的二面角为30°.
设 则有 ，
所以
设直线 与 所成角为θ，则
即直线BH与AC所成角的余弦值为
故答案为：C
【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求直线 与 所成角的余弦值。
6．（2022·昆明模拟）在棱长为 的正方体 中， 是棱 的中点， 在线段 上，且 ，则三棱锥 的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】数量积的坐标表达式；棱柱、棱锥、棱台的体积；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】如图，以 为原点，分别以 所在的直线为 轴建立空间直角坐标系，
则 ，所以 ，
设 ，则 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，所以点 到平面 的距离为 ，
所以
故答案为：C
【分析】由已知条件建立空间直角坐标系，由此求出各个点以及向量的坐标，然后由数量积的坐标公式结合已知条件计算出的取值，再正方体的几何性质计算出点到平面的距离，结合等体积法，代入整理计算出结果即可。
7．（2020高二上·天津期末）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体 中， ， ， ，则异面直线 与 之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】空间向量的数量积运算；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，
则 ，
则 ， ，
设 和 的公垂线的方向向量 ，
则 ，即 ，令 ，则 ，
，
.
故答案为：D.
【分析】根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出 和 的公垂线的方向向量的坐标，结合空间向量数量积的运算公式根据题意即可求出异面直线之间的距离。
8．（2022·石家庄模拟）《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右，是当时世界上最简练有效的应用数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.在《九章算术》，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知在“堑堵”中，，，动点在“堑堵”的侧面上运动，且，则的最大值为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【考点】余弦函数的定义域和值域；余弦函数的单调性；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】由题意可知三棱柱为直三棱柱，且，
以 为坐标原点， 分别为 轴，建立如图所示的直角坐标系，如下图所示：
因为 ，则 ，
由于动点 在“堑堵”的侧面 上运动，则存在实数 使得 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
化简可得 ，即 ，
又 ，
又 ，所以 ， ,
所以 ，
又 ，函数 在 上单调递减，且 ，
所以 的最大值为 .
故答案为：B.
【分析】如图建立空间直角坐标系，设 ，由，列出方程化简可得，由此可确定范围，由即可求解。
二、多选题
9．（2021高一下·宁波期末）正方体 棱长为 ，若 是空间异于 的一个动点，且 ，则下列正确的是（ ）
A． 平面
B．存在唯一一点 ，使
C．存在无数个点 ，使
D．若 ，则点 到直线 的最短距离为
【答案】A,C,D
【考点】反证法的应用；直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：对于A，因为 平面 ，所以点 在平面 上，又因为平面 ∥平面 ，所以 平面 ，所以A符合题意，
对于B，假设存在点 ，使得 ，因为 ∥ ，所以 ∥ ，这与 在平面 外矛盾，所以假设不成立，即点 不存在，所以B不符合题意，
对于C，如图，因为 平面 ，平面 平面 ，所以当点 在直线 上时，恒有 ，所以C符合题意，
如图，若 ，则点 在以 为球心， （ ）为半径的球面上，设 平面 ，则 点到平面 的距离为 ，所以 点到平面 的距离为 ，所以平面 被球面截得的圆的半径为 ，且圆心为 中点，设为 ，则在等边三角形 中， 到直线 的距离为 ，所以点 到直线 的距离的最小值为 ，所以D符合题意，
故答案为：ACD
【分析】A选项，由面面平行进行判断; B选项，利用反证法和平行的传递性进行判断; C选项,将异面垂直转化为线面垂直,找到B1C的垂面进行判断;D选项由得P点也在球面上，所以P点是球面与平面的交线，可得答案。
10．（2021高一下·惠州期末）如图，正三棱柱 的底面边长为2，侧棱长为 ， 为 的中点，则正确的结论有（ ）
A． 平面
B． 与平面 所成的角为
C．三棱锥 的体积为
D． 到平面 的距离为
【答案】A,D
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】对于A：连接 交 于点 ，连接 ，点 为 中点，点 为 中点，∴ ，∵ 面 ， 面 ，∴ 面 ，A符合题意；
对于B：三棱柱 为正三棱柱， 是边长为2的等边三角形，∴平面 平面 ，取 的中点 ，连结 ， 则 ，∴ 平面 ，故 为直线 与平面 所成的角，
在三角形 中易得 ，∴ ， ，在直角三角形 中 ，B不符合题意；
对于C： ，C不符合题意；
对于D：设 到平面 的距离为 ，由题意可得 ，∴ ，∴ ,∴ ，∴ ，D符合题意。
故答案为：AD．
【分析】利用已知条件结合正三棱柱的结构特征，再利用中点作中位线的方法结合中位线的性质，从而推出线线平行，再利用线线平行证出线面平行，即 面 ；利用已知条件结合线面角的求解方法，进而求出直线 与平面 所成的角；利用已知条件结合三棱锥的体积公式，进而求出三棱锥 的体积；利用已知条件结合三棱锥的体积公式，从而求出点 到平面 的距离，进而找出结论正确的选项。
11．（2021高二上·肥城期中）已知正方体 的棱长为1，点 是线段 的中点，点 是线段 上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．点 到直线 的距离为
B． 与平面 所成角为
C． 面
D．三棱柱 的外接球半径为
【答案】B,C
【考点】球的体积和表面积；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】对A，取 中点 ，则 ， ，则 ，
则 ，则点 到 的距离为 ，设点 到直线 的距离为 ，
则 ，解得 ，A不符合题意；
对B，平面 即平面 ，设直线 与 交于 ，连接 ，可得 ，因为 平面ABCD，则 ，所以 平面 ，则 即为 与平面 所成角，则 ，则 ，B符合题意；
对C，连接 交 于E，连接 ， , 四边形 为平行四边形， ，因为 为中点， ，则四边形 为平行四边形， ，因为 在平面 外 ， 平面 ，所以 平面 ，C符合题意；
对D，三棱柱 的外接球等价于正方体的外接球，球半径为 ，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】对于A选项，点 到直线 的距离为 ，根据面积公式求解即可；对于B选项，设直线 与 交于 ，连接 ， 即为 与平面 所成角，再结合几何关系求解即可；对于C选项，连接 交 于E，连接 ，证明 即可判断；对于D选项，转化为正方体的外接球求解即可.
12．（2021高三上·苏州开学考）在棱长固定的正方体 中，点E，F分别满足 ， ，则（ ）
A．当 时，三棱锥 的体积为定值
B．当 时，存在 使得 平面
C．当 时，点A，B到平面 的距离相等
D．当 时，总有
【答案】A,C,D
【考点】向量的共线定理；棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】不妨设正方体的棱长为1，如图，
对于
对于B：要使 平面 ，则必须 ，又 ，所以需要 ，所以E在 中点，因为 ，所以 与 不垂直，所以不存在，错误；
对于C：因为 ，所以正确；
对于D：建立如图所示空间直角坐标系，设 ，则 ， ，
， ，所以 ， ，因为 ，所以 ，D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】不妨设正方体的棱长为1，再利用正方体的结构特征和向量共线定理和 ，再结合三棱锥的体积公式，进而求出三棱锥 的体积为定值；再利用线线垂直证出线面垂直，得出要使 平面 ，则必须 ，再利用 ，所以需要 ，所以E在 中点，再利用 ，所以 与 不垂直，所以不存在，使得 平面 ； 再利用，得出当 时，点A，B到平面 的距离相等；建立空间直角坐标系，设 ，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示，进而证出 ，从而选出正确的选项。
三、填空题
13．如图，在直三棱柱 中，若 ，则 ．（用 表示）
【答案】
【考点】空间向量的加减法
【解析】【解答】在直三棱柱 中，若 ，
则
故答案为：
【分析】由向量的加、减法运算法则计算出结果即可。
14．（2021高二下·安徽月考）如图，二面角 为 ， ， ，过 ， 分别作 的垂线，垂足分别为 ， ，若 ， ， ，则 的长度为 .
【答案】3
【考点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】因为 ， ， ，所以
，又因为二面角 为 ，所以 ，所以 .
故答案为：3.
【分析】 ， ， ，结合空间向量距离公式，转化求解即可．
15．已知空间向量 ， ， ， ， ，则使向量 与 的夹角为钝角的实数 的取值范围是 ．
【答案】
【考点】空间向量的数量积运算；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】因为向量 与 的夹角为钝角，
所以 ，
即 ，
则 ，
解得 ．
故答案为：
【分析】由题意夹角为钝角，结合数量积的运算公式即可得出关于的不等式求解出取值范围即可。
16．（2021高二上·聊城期中）如图，平面平面，四边形是正方形，四边形是矩形，，是的中点，则与平面所成角的正弦值为 .
【答案】
【考点】用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【解答】由于平面平面，四边形是正方形，四边形是矩形，故两两垂直，以点为原点建立空间直角坐标系如图所示，
由，则，所以.设平面的法向量为，则，令可得平面的法向量坐标为，
于是所求线面角的正弦值为。
故答案为：。
【分析】由于平面平面，四边形是正方形，四边形是矩形，故两两垂直，以点为原点建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求夹角公式，进而求出线面角的正弦值。
四、解答题
17．（2021·芜湖模拟）如图，在圆柱 中，矩形 是圆柱 的轴截面，点 在上底面圆周上（异于 ， ），点 为下底面圆弧 的中点，点 与点 在平面 的同侧，圆柱 的底面半径为1，高为2．
（1）若点 是圆弧 的中点，证明：平面 平面 ；
（2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）解：因为点 为下底面圆弧 的中点，点 为上底面圆弧 的中点，所以 ，
因为 是圆 的直径，所以 ，即 ，
因为 圆面 ，所以 ，
又因为 ，且 平面 ，所以 平面 ，
因为 面 ，所以平面 平面 ．
（2）解：以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立如图所示的空间坐标系 ，
则 ， ， ，
因为 ，可得 ， ，
， ，
设 为平面 的法向量，
则 ，即 ，可取 ，
设直线 与平面 所成角是 ，故 ．
【考点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1）由圆的性质得到 ，证得 ，得到 ，再因为 圆面 得到 ，利用线面垂直的判定定理，证得 平面 ，进而得到 平面 平面 ；
（2） 以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立如图所示的空间坐标系 ， 求得 和平面 的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解。
18．（2021·蚌埠模拟）如图，已知四边形 和 均为直角梯形， ∥ ， ∥ ，且 ， ， ．
（1）求证： ∥平面 ；
（2）求点 到平面 的距离．
【答案】（1）证明：在平面 中，过 作 于 ，交 于 ，连接 ，
由题意知 ， 且 ，
∴ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
又 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ．
（2）解： ， ， 平面 ，
∴ 平面 ，∵ 平面
∴平面 平面 ，
在平面 内过 点作 交 于 ，
则 平面 ，
∵ ，
∴ ， ，
设点 到平面 的距离为 ，
则由 得 ，
由题意知 ， ，
，
代入 ，
解得 ，即点 到平面 的距离为
【考点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1） 在平面 中，过 作 于 ，交 于 ，连接 ，由题意知 ， 且 ，所以 ， ，再利用平行四边形的定义判断出四边形 为平行四边形，所以 ，再利用线线平行证出线面平行，即证出 ∥平面 。
（2）利用 ， 结合线线垂直证出线面垂直，即 平面 ，再利用线面垂直证出面面垂直，即平面 平面 ，再利用面面垂直的性质定理证出线面垂直，即 平面 ，因为 ，所以 ，再利用正弦函数的定义得出 ，设点 到平面 的距离为 ，再利用三棱锥的体积公式结合等体积法，再利用三角形的面积公式，进而求出点 到平面 的距离。
19．（2021高一下·抚州期末）如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， 是棱 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）若 平面 ， ， ，求点B到平面 的距离．
【答案】（1）连接 交 于点 ，因为底面 为菱形，所以 为 中点；
连接 ，因为M是棱 的中点，
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）因为 平面 ，所以 ， ，
因为 ， ，所以 ， ， ，
则 ， ，
所以 ，则 ，
设点B到平面 的距离为 ，
由 可得 ，
则 ，
即点B到平面 的距离为 ．
【考点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】 (1)连结OM，推导出OM // PB，由此能证明 平面 ；
(2)推导出 ， ， 从而 ， ， ，设点B到平面 的距离为 ，由 可得 。
20．（2022·漳州模拟）如图，圆柱的轴截面是一个边长为2的正方形，点D为棱的中点，为弧上一点，且
（1）求三棱锥的体积；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）解：过作交于点E，因为，，
所以为正三角形，所以E为中点，即,
又因为平面平面，面面，，面，所以面，即面，
因为D为的中点，所以，又，
即，即，则的面积为1，
（2）解：因为在圆柱中，轴截面是正方形，取弧的中点C，
所以两两垂直，以，，为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示.
由题意知，，，，
，，
设平面的法向量，
则，即 ,
取，则，，则，
平面的法向量可取
所以，
设二面角为，则为锐角，
所以，
所以二面角的余弦值为.
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）根据 ，求出三棱锥C1-DOO1的高和底面积，即可求得答案；
（2）建立空间直角坐标，求出相关各点的坐标，再求出相关向量的坐标，从而求出平面 和平面的法向量，根据向量的夹角公式，可求得答案.
21．（2021高二下·温州期末）如图，已知四棱锥 ，底面是边长为2的正方形， 是以 为斜边的等腰直角三角形， ， 、 分别为 ， 中点．
（1）求证： 面
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：连接 AC，因为 为正方形， 分别为 中点，所以O为 AC 中点，故 ，因为 面 ， 面 ，所以 面 ．
（2）AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，过点A且垂直底面ABCD的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系：
， ， ， ，
设 ，因为 为等腰直角三角形，且斜边 ，所以
由 ，
即 ，
故点 ，
设平面 的法向量为： ，
由
所以 ，令 ，则 ，
所以 ，
设直线PC与平面 所成角为 ，
即 ．
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ；
【考点】直线与平面平行的判定；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】 （1）连接 AC，利用 为正方形， 分别为 中点，所以O为 AC 中点，故 ，再利用线线平行证出线面平行，从而证出直线 面 。
（2） 以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，过点A且垂直底面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量的夹角公式，进而结合诱导公式求出直线 与平面 所成角的正弦值。
22．（2021高二下·弥勒月考）如图3，在四棱柱 中，底面 是等腰梯形， ， ， ，顶点D1在底面 内的射影恰为点 ．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）若直线 与底面 所成的角为 ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
【答案】（Ⅰ）证明：如图，连接 ，则 平面 ，
∵ 平面 ，
∴ ．
在等腰梯形 中，连接 ，
过点 作 于点 ，
∵ ， ， ，
则 ， ， ，
∴ ．
因此满足 ，∴ ，
又 ， 平面 ， ，
∴ 平面 ．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知 ， ， 两两垂直，
∵ 平面 ，∴ ，∴ ．
以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
∴ ， ．
设平面 的法向量 ，
由 ，得
可得平面 的一个法向量 ．
又 为平面 的一个法向量，
设平面 与平面 所成锐二面角为 ，
则 ，
因此平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ．
【考点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1） 连接 ，则 平面 ，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，所以 ，在等腰梯形 中，连接 ，过点 作 于点 ，因为 ， ， ，则 ， ，再利用勾股定理求出 的长 ，再结合勾股定理求出AC的长，因此满足 ，再利用勾股定理推出线线垂直，所以 ，再利用线线垂直证出线面垂直，从而证出 平面 。
（2）由（1）知 ， ， 两两垂直，因为 平面 ，所以 ，所以 ，以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，得出平面 与平面 所成锐二面角的余弦值。
26精讲精练·专项突破
2021-2022学年高二上学期人教版（2019）
第一章 《空间向量与几何》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021高二上·安徽月考）已知平面 内有一点 ，平面 的一个法向量 ，则下列各点在平面 内的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021高二上·沈阳月考）已知向量 是空间向量的一组基底，向量 是空间向量的另外一组基底，若一向量 在基底 下的坐标为 ，则向量 在基底 下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021高二下·丽水期末）已知菱形 ， ， 为边 上的点（不包括 ），将 沿对角线 翻折，在翻折过程中，记直线 与 所成角的最小值为 ，最大值为 （ ）
A． 均与 位置有关
B． 与 位置有关， 与 位置无关
C． 与 位置无关， 与 位置有关
D． 均与 位置无关
4．（2021高二上·浙江期中）如图，在直三棱柱 中， ， 分别是棱 的中点，则异面直线 与 所成角的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
5．（2020高二上·漳州期末）已知正三棱锥 的侧面 上动点Q的轨迹是以P为焦点， 为准线的抛物线，若点Q到底面 的距离为d，且 ，点H为棱 的中点，则直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·昆明模拟）在棱长为 的正方体 中， 是棱 的中点， 在线段 上，且 ，则三棱锥 的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2020高二上·天津期末）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体 中， ， ， ，则异面直线 与 之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·石家庄模拟）《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右，是当时世界上最简练有效的应用数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.在《九章算术》，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知在“堑堵”中，，，动点在“堑堵”的侧面上运动，且，则的最大值为（ ）.
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2021高一下·宁波期末）正方体 棱长为 ，若 是空间异于 的一个动点，且 ，则下列正确的是（ ）
A． 平面
B．存在唯一一点 ，使
C．存在无数个点 ，使
D．若 ，则点 到直线 的最短距离为
10．（2021高一下·惠州期末）如图，正三棱柱 的底面边长为2，侧棱长为 ， 为 的中点，则正确的结论有（ ）
A． 平面
B． 与平面 所成的角为
C．三棱锥 的体积为
D． 到平面 的距离为
11．（2021高二上·肥城期中）已知正方体 的棱长为1，点 是线段 的中点，点 是线段 上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．点 到直线 的距离为
B． 与平面 所成角为
C． 面
D．三棱柱 的外接球半径为
12．（2021高三上·苏州开学考）在棱长固定的正方体 中，点E，F分别满足 ， ，则（ ）
A．当 时，三棱锥 的体积为定值
B．当 时，存在 使得 平面
C．当 时，点A，B到平面 的距离相等
D．当 时，总有
三、填空题
13．如图，在直三棱柱 中，若 ，则 ．（用 表示）
14．（2021高二下·安徽月考）如图，二面角 为 ， ， ，过 ， 分别作 的垂线，垂足分别为 ， ，若 ， ， ，则 的长度为 .
15．已知空间向量 ， ， ， ， ，则使向量 与 的夹角为钝角的实数 的取值范围是 ．
16．（2021高二上·聊城期中）如图，平面平面，四边形是正方形，四边形是矩形，，是的中点，则与平面所成角的正弦值为 .
四、解答题
17．（2021·芜湖模拟）如图，在圆柱 中，矩形 是圆柱 的轴截面，点 在上底面圆周上（异于 ， ），点 为下底面圆弧 的中点，点 与点 在平面 的同侧，圆柱 的底面半径为1，高为2．
（1）若点 是圆弧 的中点，证明：平面 平面 ；
（2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
18．（2021·蚌埠模拟）如图，已知四边形 和 均为直角梯形， ∥ ， ∥ ，且 ， ， ．
（1）求证： ∥平面 ；
（2）求点 到平面 的距离．
19．（2021高一下·抚州期末）如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， 是棱 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）若 平面 ， ， ，求点B到平面 的距离．
20．（2022·漳州模拟）如图，圆柱的轴截面是一个边长为2的正方形，点D为棱的中点，为弧上一点，且
（1）求三棱锥的体积；
（2）求二面角的余弦值.
21．（2021高二下·温州期末）如图，已知四棱锥 ，底面是边长为2的正方形， 是以 为斜边的等腰直角三角形， ， 、 分别为 ， 中点．
（1）求证： 面
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
22．（2021高二下·弥勒月考）如图3，在四棱柱 中，底面 是等腰梯形， ， ， ，顶点D1在底面 内的射影恰为点 ．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）若直线 与底面 所成的角为 ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
答案解析部分
1．【答案】D
【考点】数量积的坐标表达式；空间中的点的坐标；平面的法向量
【解析】【解答】解：设点 在平面 内， ，因为平面 的一个法向量 ，所以 ，即 ，满足该条件的只有D选项.
故答案为：D.
【分析】首先由点的坐标求出向量的坐标，再由平面法向量的定义求出平面 的法向量，然后由数量积的坐标公式代入计算出结果由此得到答案。
2．【答案】B
【考点】空间向量的正交分解及其坐标表示
【解析】【解答】设向量 在基底 下的坐标为 ，
则 ，
所以 解得
故 在基底 下的坐标为 。
故答案为：B
【分析】设向量 在基底 下的坐标为 ，再利用平面向量基本定理，从而解方程组求出向量 在基底 下的坐标。
3．【答案】C
【考点】空间点、线、面的位置
【解析】【解答】作 // 交 于点 ，分别取 的中点
连接 ，如图，
由翻折前该四边形为菱形，且 ，所以 为等边三角形
同时 点在 上，由 平面
所以 平面 ,又 // ，所以 平面 ，所以
直线 与 所成角即直线 与 所成角，该角为
所以 ,由点 不与 重合，
所以当点 翻折到与点 重合时， 最小， 为最小与点 位置无关；
当没有翻折时， 最大， 最大，则 最大，与点 位置有关
故答案为：C
【分析】作 // 交 于点 ，分别取 的中点 ，连接 ，利用数形结合法,结合线面垂直的判定定;理得到EF⊥CP,直线 与 所成角即直线 与 所成角，该角为 ，表示出,通过讨论点C的位置进行分析，即可得到答案.
4．【答案】B
【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】由题意以 为 轴建立空间直角坐标系，如图，
则 ， ． ， ， ，
， ，
，
所以 ，即异面直线 与 所成角是45 ．
故答案为：B．
【分析】以 为 轴建立空间直角坐标系，用向量法求异面直线所成的角。
5．【答案】C
【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】设△ABC的中心为O，如图示：以 为x轴，过O平行于BC的 为y轴， 为z轴建立空间直角坐标系，
不妨设|BC|=2，则有：
过Q作QD⊥底面ABC于D,QE⊥AB于E，由抛物线的定义知：|QE|=|PD|=2d，|QD|=d.
在Rt△QDE中，∠QDE=90°，所以 ，
即侧面于底面所成的二面角为30°.
设 则有 ，
所以
设直线 与 所成角为θ，则
即直线BH与AC所成角的余弦值为
故答案为：C
【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求直线 与 所成角的余弦值。
6．【答案】C
【考点】数量积的坐标表达式；棱柱、棱锥、棱台的体积；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】如图，以 为原点，分别以 所在的直线为 轴建立空间直角坐标系，
则 ，所以 ，
设 ，则 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，所以点 到平面 的距离为 ，
所以
故答案为：C
【分析】由已知条件建立空间直角坐标系，由此求出各个点以及向量的坐标，然后由数量积的坐标公式结合已知条件计算出的取值，再正方体的几何性质计算出点到平面的距离，结合等体积法，代入整理计算出结果即可。
7．【答案】D
【考点】空间向量的数量积运算；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，
则 ，
则 ， ，
设 和 的公垂线的方向向量 ，
则 ，即 ，令 ，则 ，
，
.
故答案为：D.
【分析】根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出 和 的公垂线的方向向量的坐标，结合空间向量数量积的运算公式根据题意即可求出异面直线之间的距离。
8．【答案】B
【考点】余弦函数的定义域和值域；余弦函数的单调性；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】由题意可知三棱柱为直三棱柱，且，
以 为坐标原点， 分别为 轴，建立如图所示的直角坐标系，如下图所示：
因为 ，则 ，
由于动点 在“堑堵”的侧面 上运动，则存在实数 使得 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
化简可得 ，即 ，
又 ，
又 ，所以 ， ,
所以 ，
又 ，函数 在 上单调递减，且 ，
所以 的最大值为 .
故答案为：B.
【分析】如图建立空间直角坐标系，设 ，由，列出方程化简可得，由此可确定范围，由即可求解。
9．【答案】A,C,D
【考点】反证法的应用；直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：对于A，因为 平面 ，所以点 在平面 上，又因为平面 ∥平面 ，所以 平面 ，所以A符合题意，
对于B，假设存在点 ，使得 ，因为 ∥ ，所以 ∥ ，这与 在平面 外矛盾，所以假设不成立，即点 不存在，所以B不符合题意，
对于C，如图，因为 平面 ，平面 平面 ，所以当点 在直线 上时，恒有 ，所以C符合题意，
如图，若 ，则点 在以 为球心， （ ）为半径的球面上，设 平面 ，则 点到平面 的距离为 ，所以 点到平面 的距离为 ，所以平面 被球面截得的圆的半径为 ，且圆心为 中点，设为 ，则在等边三角形 中， 到直线 的距离为 ，所以点 到直线 的距离的最小值为 ，所以D符合题意，
故答案为：ACD
【分析】A选项，由面面平行进行判断; B选项，利用反证法和平行的传递性进行判断; C选项,将异面垂直转化为线面垂直,找到B1C的垂面进行判断;D选项由得P点也在球面上，所以P点是球面与平面的交线，可得答案。
10．【答案】A,D
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】对于A：连接 交 于点 ，连接 ，点 为 中点，点 为 中点，∴ ，∵ 面 ， 面 ，∴ 面 ，A符合题意；
对于B：三棱柱 为正三棱柱， 是边长为2的等边三角形，∴平面 平面 ，取 的中点 ，连结 ， 则 ，∴ 平面 ，故 为直线 与平面 所成的角，
在三角形 中易得 ，∴ ， ，在直角三角形 中 ，B不符合题意；
对于C： ，C不符合题意；
对于D：设 到平面 的距离为 ，由题意可得 ，∴ ，∴ ,∴ ，∴ ，D符合题意。
故答案为：AD．
【分析】利用已知条件结合正三棱柱的结构特征，再利用中点作中位线的方法结合中位线的性质，从而推出线线平行，再利用线线平行证出线面平行，即 面 ；利用已知条件结合线面角的求解方法，进而求出直线 与平面 所成的角；利用已知条件结合三棱锥的体积公式，进而求出三棱锥 的体积；利用已知条件结合三棱锥的体积公式，从而求出点 到平面 的距离，进而找出结论正确的选项。
11．【答案】B,C
【考点】球的体积和表面积；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】对A，取 中点 ，则 ， ，则 ，
则 ，则点 到 的距离为 ，设点 到直线 的距离为 ，
则 ，解得 ，A不符合题意；
对B，平面 即平面 ，设直线 与 交于 ，连接 ，可得 ，因为 平面ABCD，则 ，所以 平面 ，则 即为 与平面 所成角，则 ，则 ，B符合题意；
对C，连接 交 于E，连接 ， , 四边形 为平行四边形， ，因为 为中点， ，则四边形 为平行四边形， ，因为 在平面 外 ， 平面 ，所以 平面 ，C符合题意；
对D，三棱柱 的外接球等价于正方体的外接球，球半径为 ，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】对于A选项，点 到直线 的距离为 ，根据面积公式求解即可；对于B选项，设直线 与 交于 ，连接 ， 即为 与平面 所成角，再结合几何关系求解即可；对于C选项，连接 交 于E，连接 ，证明 即可判断；对于D选项，转化为正方体的外接球求解即可.
12．【答案】A,C,D
【考点】向量的共线定理；棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】不妨设正方体的棱长为1，如图，
对于
对于B：要使 平面 ，则必须 ，又 ，所以需要 ，所以E在 中点，因为 ，所以 与 不垂直，所以不存在，错误；
对于C：因为 ，所以正确；
对于D：建立如图所示空间直角坐标系，设 ，则 ， ，
， ，所以 ， ，因为 ，所以 ，D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】不妨设正方体的棱长为1，再利用正方体的结构特征和向量共线定理和 ，再结合三棱锥的体积公式，进而求出三棱锥 的体积为定值；再利用线线垂直证出线面垂直，得出要使 平面 ，则必须 ，再利用 ，所以需要 ，所以E在 中点，再利用 ，所以 与 不垂直，所以不存在，使得 平面 ； 再利用，得出当 时，点A，B到平面 的距离相等；建立空间直角坐标系，设 ，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示，进而证出 ，从而选出正确的选项。
13．【答案】
【考点】空间向量的加减法
【解析】【解答】在直三棱柱 中，若 ，
则
故答案为：
【分析】由向量的加、减法运算法则计算出结果即可。
14．【答案】3
【考点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】因为 ， ， ，所以
，又因为二面角 为 ，所以 ，所以 .
故答案为：3.
【分析】 ， ， ，结合空间向量距离公式，转化求解即可．
15．【答案】
【考点】空间向量的数量积运算；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】因为向量 与 的夹角为钝角，
所以 ，
即 ，
则 ，
解得 ．
故答案为：
【分析】由题意夹角为钝角，结合数量积的运算公式即可得出关于的不等式求解出取值范围即可。
16．【答案】
【考点】用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【解答】由于平面平面，四边形是正方形，四边形是矩形，故两两垂直，以点为原点建立空间直角坐标系如图所示，
由，则，所以.设平面的法向量为，则，令可得平面的法向量坐标为，
于是所求线面角的正弦值为。
故答案为：。
【分析】由于平面平面，四边形是正方形，四边形是矩形，故两两垂直，以点为原点建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求夹角公式，进而求出线面角的正弦值。
17．【答案】（1）解：因为点 为下底面圆弧 的中点，点 为上底面圆弧 的中点，所以 ，
因为 是圆 的直径，所以 ，即 ，
因为 圆面 ，所以 ，
又因为 ，且 平面 ，所以 平面 ，
因为 面 ，所以平面 平面 ．
（2）解：以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立如图所示的空间坐标系 ，
则 ， ， ，
因为 ，可得 ， ，
， ，
设 为平面 的法向量，
则 ，即 ，可取 ，
设直线 与平面 所成角是 ，故 ．
【考点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1）由圆的性质得到 ，证得 ，得到 ，再因为 圆面 得到 ，利用线面垂直的判定定理，证得 平面 ，进而得到 平面 平面 ；
（2） 以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立如图所示的空间坐标系 ， 求得 和平面 的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解。
18．【答案】（1）证明：在平面 中，过 作 于 ，交 于 ，连接 ，
由题意知 ， 且 ，
∴ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
又 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ．
（2）解： ， ， 平面 ，
∴ 平面 ，∵ 平面
∴平面 平面 ，
在平面 内过 点作 交 于 ，
则 平面 ，
∵ ，
∴ ， ，
设点 到平面 的距离为 ，
则由 得 ，
由题意知 ， ，
，
代入 ，
解得 ，即点 到平面 的距离为
【考点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1） 在平面 中，过 作 于 ，交 于 ，连接 ，由题意知 ， 且 ，所以 ， ，再利用平行四边形的定义判断出四边形 为平行四边形，所以 ，再利用线线平行证出线面平行，即证出 ∥平面 。
（2）利用 ， 结合线线垂直证出线面垂直，即 平面 ，再利用线面垂直证出面面垂直，即平面 平面 ，再利用面面垂直的性质定理证出线面垂直，即 平面 ，因为 ，所以 ，再利用正弦函数的定义得出 ，设点 到平面 的距离为 ，再利用三棱锥的体积公式结合等体积法，再利用三角形的面积公式，进而求出点 到平面 的距离。
19．【答案】（1）连接 交 于点 ，因为底面 为菱形，所以 为 中点；
连接 ，因为M是棱 的中点，
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）因为 平面 ，所以 ， ，
因为 ， ，所以 ， ， ，
则 ， ，
所以 ，则 ，
设点B到平面 的距离为 ，
由 可得 ，
则 ，
即点B到平面 的距离为 ．
【考点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】 (1)连结OM，推导出OM // PB，由此能证明 平面 ；
(2)推导出 ， ， 从而 ， ， ，设点B到平面 的距离为 ，由 可得 。
20．【答案】（1）解：过作交于点E，因为，，
所以为正三角形，所以E为中点，即,
又因为平面平面，面面，，面，所以面，即面，
因为D为的中点，所以，又，
即，即，则的面积为1，
（2）解：因为在圆柱中，轴截面是正方形，取弧的中点C，
所以两两垂直，以，，为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示.
由题意知，，，，
，，
设平面的法向量，
则，即 ,
取，则，，则，
平面的法向量可取
所以，
设二面角为，则为锐角，
所以，
所以二面角的余弦值为.
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）根据 ，求出三棱锥C1-DOO1的高和底面积，即可求得答案；
（2）建立空间直角坐标，求出相关各点的坐标，再求出相关向量的坐标，从而求出平面 和平面的法向量，根据向量的夹角公式，可求得答案.
21．【答案】（1）证明：连接 AC，因为 为正方形， 分别为 中点，所以O为 AC 中点，故 ，因为 面 ， 面 ，所以 面 ．
（2）AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，过点A且垂直底面ABCD的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系：
， ， ， ，
设 ，因为 为等腰直角三角形，且斜边 ，所以
由 ，
即 ，
故点 ，
设平面 的法向量为： ，
由
所以 ，令 ，则 ，
所以 ，
设直线PC与平面 所成角为 ，
即 ．
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ；
【考点】直线与平面平行的判定；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】 （1）连接 AC，利用 为正方形， 分别为 中点，所以O为 AC 中点，故 ，再利用线线平行证出线面平行，从而证出直线 面 。
（2） 以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，过点A且垂直底面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量的夹角公式，进而结合诱导公式求出直线 与平面 所成角的正弦值。
22．【答案】（Ⅰ）证明：如图，连接 ，则 平面 ，
∵ 平面 ，
∴ ．
在等腰梯形 中，连接 ，
过点 作 于点 ，
∵ ， ， ，
则 ， ， ，
∴ ．
因此满足 ，∴ ，
又 ， 平面 ， ，
∴ 平面 ．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知 ， ， 两两垂直，
∵ 平面 ，∴ ，∴ ．
以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
∴ ， ．
设平面 的法向量 ，
由 ，得
可得平面 的一个法向量 ．
又 为平面 的一个法向量，
设平面 与平面 所成锐二面角为 ，
则 ，
因此平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ．
【考点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1） 连接 ，则 平面 ，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，所以 ，在等腰梯形 中，连接 ，过点 作 于点 ，因为 ， ， ，则 ， ，再利用勾股定理求出 的长 ，再结合勾股定理求出AC的长，因此满足 ，再利用勾股定理推出线线垂直，所以 ，再利用线线垂直证出线面垂直，从而证出 平面 。
（2）由（1）知 ， ， 两两垂直，因为 平面 ，所以 ，所以 ，以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，得出平面 与平面 所成锐二面角的余弦值。
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