精讲精练·专项突破
2021-2022学年高二上学期人教版（2019）
第一章 《空间向量与几何》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021高二下·洛阳期末）如图，在直三棱柱 中， ， ， ， ，则 与 所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】异面直线及其所成的角；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】如图，以 为坐标原点， ， ， 分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
所以 ， ，
所以 ，
所以直线 与 所成角的余弦值为 ．
故答案为：A.
【分析】根据题意建立空间直角坐标系，并求出各个点以及向量的坐标，然后结合数量积的坐标公式计算出夹角的余弦值由此即可得出 与 所成的角的余弦值 。
2．（2021高二上·海淀期中）过点 且与向量 垂直的向量（ ）
A．有且只有一个 B．有无数个且共面
C．只有两个且方向相反 D．有无数个且共线
【答案】B
【考点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】由题意可知，以向量 为法向量，且过点 的平面有且只有一个，设为平面 ，
则平面 内过点 的向量都与向量 垂直，这样的向量有无数个且共面。
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合法向量的定义和向量垂直数量积为0的等价关系，从而得出过点 且与向量 垂直的向量有无数个且共面。
3．（2021高二上·湖北月考）若 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）．
A． 、 、 B． 、 、
C． 、 、 D． 、 、
【答案】C
【考点】空间向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】对于A选项， ，所以， 、 、 共面，A选项不满足条件；
对于B选项， ，所以， 、 、 共面，B选项不满足条件；
对于C选项，假设 、 、 共面，则 ，
从而可知 、 、 共面，矛盾，C选项满足条件；
对于D选项， ，故 、 、 共面，D选项不满足条件.
故答案为：C.
【分析】由平面向量的基本定理，对选项逐一判断即可得出答案。
4．（2021高二上·深圳期中）已知 ＝(2,－3,1)，则下列向量中与 平行的是（ ）
A．(1,1,1) B．(－2,－3,5) C．(2,－3,5) D．(－4,6,－2)
【答案】D
【考点】共线向量与共面向量；空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】要使向量 与 平行，则 且 ，
∴A：若 ＝(1,1,1)，不存在 使 成立；
B：若 ＝(－2,－3,5)，不存在 使 成立；
C：若 ＝(2,－3,5)，不存在 使 成立；
D：若 ＝(－4,6,－2)，则有 成立；
故答案为：D
【分析】利用向量共线定理，对选项逐一判断即可得出答案。
5．（2021高二上·太原期中）已知平面 经过点 和 ， 是平面 的法向量，则实数 （ ）
A．3 B．-1 C．-2 D．-3
【答案】B
【考点】数量积的坐标表达式；空间向量的数量积运算；平面的法向量
【解析】【解答】解： ，
因为 是平面 的法向量，
所以 ，
即 ，解得 .
故答案为：B.
【分析】由已知条件即可得出平面的法向量，再由数量积的坐标公式，代入数值计算出结果即可。
6．（2021高二上·山东月考）在下列四个命题中：
①若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；②向量，若与的夹角为钝角，则实数m的取值范围为；③直线的一个方向向量为；④若存在不全为0的实数使得，则共面．其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【考点】异面直线的判定；共线向量与共面向量；平面的法向量；直线的向量方程
【解析】【解答】对于①，因为向量是自由向量，所以空间中任意两个向量都共面，所以①错误，
对于②，当与的夹角为钝角时，可得，且与不共线，若，则，得，若与共线，则，得，所以当与的夹角为钝角时，且，所以②错误，
对于③，直线可化为，所以直线的一个方向向量为，所以③正确，
对于④，由于实数不全为零，所以不妨设，则由，可得，所以由共面向量定理可知共面，所以④共面，
故答案为：C
【分析】由异面直线的定义结合向量共面的定义，即可判断出①错误；由数量积的坐标运算性质，结合题意即可判断出②错误；利用直线的方向向量的定义，即可得出答案，由此判断出③正确；利用共面向量定理，结合题意即可判断出④共面；由此即可得出答案。
7．（2021高二上·河北期中）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，PA＝AB＝2，以B为原点，分别以 的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设平面PAB和平面PBC的一个法向量分别为 ，则下列结论中正确的是（ ）
A．点P的坐标为（0，0，2） B．
C． D．
【答案】D
【考点】空间向量的数量积运算；空间向量的夹角与距离求解公式；空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】建立空间直角坐标系如图：
由题意可得 ， ， ， ，
所以 ， .
设 ，则 ，
取 ，可得 .
因为 ， ，所以 平面PAB，所以平面 平面PAB，
所以 ，所以 .
综上所述，A，B，C不符合题意，D符合题意.
故答案为：D
【分析】根据题意建立空间直角坐标系，由此求出点以及向量的坐标，然后由数量积的坐标公式代入计算出平面的法向量，由此即可判断出直线与平面垂直，结合面面垂直的判定定理即可得出，由此对选项逐一判断即可得出答案。
8．（2021高二上·重庆市月考）在空间直角坐标系中，，，平面的一个法向量为，则平面与平面夹角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】用空间向量求平面间的夹角
【解析】【解答】设平面的法向量为，则，令，得，令平面与平面夹角为，则，，所以平面与平面夹角的正弦值为。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合空间向量数量积求夹角公式，从而求出平面与平面夹角的余弦值，再结合同角三角函数基本关系式，从而求出平面与平面夹角的正弦值，进而求出平面与平面夹角的正弦值。
二、多选题
9．（2021·广东模拟）正方体 的棱长为 ， ， ， 分别为 ， ， 的中点，则（ ）
A．直线 与直线 垂直
B．平面 截正方体所得的截面面积为
C．三棱锥 的体积为
D．点 与点 到平面 的距离相等
【答案】B,D
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】如图所示：
A.建立如图所示空间直角坐标系，则 ，而 ，所以直线 与直线 不垂直，故错误；
B.如图所示：因为 ，所以截面为等腰梯形 ，所以截面面积为 ,故正确；
C. ，故错误；
D. 因为 ， 平面 ，即 平面 ,所以点 与点 到平面 的距离相等，故正确；
故答案为：BD
【分析】 利用反证法证明A错误；求出平面AEF截正方体所得的截面面积判断B正确；求出三棱锥 的体积判断C；证明面面平行判断D.
10．（2021高二上·温州期中）已知点 在平面 内，平面 法向量 ， 则下列点在 内的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【考点】平面向量数量积的运算；平面的法向量
【解析】【解答】对于A选项，记点 ， ， ，点 在平面 内；
对于B选项，记点 ， ， ，点 不在平面 内；
对于C选项，记点 ， ， ，点 在平面 内；
对于D选项，记点 ， ， ，点 不在平面 内.
故答案为：AC.
【分析】验证各选项中的点与点P连线的方向向量是否与 垂直，由此可得答案。
11．（2021高二上·河北月考）已知正方体的棱长为1，点，，分别为棱，，的中点，下列结论正确的是（ ）
A．四面体的体积等于
B．平面
C．平面与平面夹角余弦值为
D．平面
【答案】A,B,C
【考点】棱锥的结构特征；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【解答】对于A，四面体的体积为，A符合题意；
对于B，正方体中，∵，，又，
∴平面，∵平面，∴，
同理，，又，∴平面，B符合题意；
对于C，以为原点，建立空间直角坐标系如图，
，，，，，
设平面的法向量，
则
取，得，
又平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则
∴平面与平面的夹角的余弦值为，
C符合题意；
对于D，，，，
由C选项可知，平面的一个法向量，
∵，∴与平面不平行，D不符合题意.
故答案为：ABC
【分析】利用已知条件结合正方体的结构特征，再利用三棱锥的体积公式，进而求出四面体的体积；在正方体中，得出，，再结合线线垂直证出线面垂直，所以直线平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，同理，，再利用线线垂直证出线面垂直，从而证出直线平面；以为原点，建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而结合余弦函数的定义，进而求出平面与平面夹角余弦值，再利用法向量的求解方法，进而求出平面的一个法向量，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系，从而判断出直线与平面不平行，从而找出结论正确的选项。
12．（2021高三上·苏州开学考）在棱长固定的正方体 中，点E，F分别满足 ， ，则（ ）
A．当 时，三棱锥 的体积为定值
B．当 时，存在 使得 平面
C．当 时，点A，B到平面 的距离相等
D．当 时，总有
【答案】A,C,D
【考点】向量的共线定理；棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】不妨设正方体的棱长为1，如图，
对于
对于B：要使 平面 ，则必须 ，又 ，所以需要 ，所以E在 中点，因为 ，所以 与 不垂直，所以不存在，错误；
对于C：因为 ，所以正确；
对于D：建立如图所示空间直角坐标系，设 ，则 ， ，
， ，所以 ， ，因为 ，所以 ，D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】不妨设正方体的棱长为1，再利用正方体的结构特征和向量共线定理和 ，再结合三棱锥的体积公式，进而求出三棱锥 的体积为定值；再利用线线垂直证出线面垂直，得出要使 平面 ，则必须 ，再利用 ，所以需要 ，所以E在 中点，再利用 ，所以 与 不垂直，所以不存在，使得 平面 ； 再利用，得出当 时，点A，B到平面 的距离相等；建立空间直角坐标系，设 ，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示，进而证出 ，从而选出正确的选项。
三、填空题
13．已知空间向量 ， ， 满足 ， ， ， ，则 的值为 ．
【答案】-13
【考点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
故答案为：-13
【分析】结合向量以及数量积的运算性质代入数值计算出结果即可。
14．正方体 的棱长为 ， ， 分别是 ， 的中点，则点 到平面 的距离为 .
【答案】
【考点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】建立空间直角坐标系，如图所示，则 ， ， ， .设平面 的法向量为 ，
则 ，
即 ，
∴ ，∴ .令 ，得 .
又∵ ，
∴点 到平面 的距离 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件建立空间直角坐标系，进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合空间向量的方法结合数量积求点到平面的距离公式，进而求出点 到平面 的距离。
15．（2021高二上·山西月考）如图，四棱锥的底面ABCD是边长为2的正方形，，且，为的中点，则点到平面的距离为 .
【答案】
【考点】数量积的坐标表达式；空间向量的夹角与距离求解公式；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】因为，，
由勾股定理可知，，，
所以直线两两垂直.
以为原点，所在的直线分别为轴 轴 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，.
设平面的法向量为，则，
令，得，所以点到平面的距离.
故答案为：.
【分析】由已知条件结合勾股定理计算出线线垂直，由此建立空间直角坐标系即可求出点和向量的坐标，由数量积的坐标公式计算出平面的法向量，结合点到直线的距离公式代入数值计算出结果即可。。
16．（2021高一下·锦州期末）已知点 在正方体 的侧面 内（含边界）， 是 的中点， ，则 的最大值为 ；最小值为 .
【答案】1；
【考点】三角函数的最值；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】设正方体棱长为2，如图以点 为原点，建立空间直角坐标系，
， ， ， ， ，
， ，
，
，得 ， ，
平面 ， ，
当 时， 取得最大值是1，当 时， 取得最小值是 .
故答案为：1；
【分析】根据题意建立直角坐标系求出各个点以及向量的坐标，结合数量积的坐标公式计算出，，然后由线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，结合三角形的几何性质由正切函数的公式计算出结果即可。
四、解答题
17．（2021高二上·西青期末）如图，平面，，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角的余弦值为，求线段的长.
【答案】解：依题意，可以建立以A为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系(如图)，
可得.
设，则.
(Ⅰ)依题意，是平面ADE的法向量，
又，可得，
又因为直线平面，所以平面.
(Ⅱ)依题意，，
设为平面BDE的法向量，
则，即，
不妨令z=1，可得，
因此有.
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
(Ⅲ)设为平面BDF的法向量，则，即.
不妨令y=1，可得.
由题意，有，解得.
经检验，符合题意
所以，线段的长为.
【考点】直线与平面平行的判定；用空间向量求直线与平面的夹角；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1） 依题意，可以建立以A为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系，从而求出点的坐标，设，则，再利用平面的法向量求解方法得出平面ADE的法向量，再利用向量的坐标表示得出向量坐标，即 ， 再利用数量积的坐标表示得出 ， 从而结合两向量垂直数量积为0的等价关系，从而证出线线垂直，再利用线线垂直证出线面平行，进而证出 平面。
（2）依题意，可以建立以A为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合平面法向量求解方法，进而求出平面BDE的法向量， 再利用数量积求向量夹角公式，进而结合诱导公式，从而求出直线与平面所成角的正弦值 。
（3） 依题意，可以建立以A为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合平面法向量求解方法，从而求出平面BDF的法向量，再利用数量积求向量夹角公式结合已知条件，进而求出线段的长。
18．（2021高二上·兰溪期中）如图，在四棱锥 中，底面ABCD是正方形，侧棱 底面ABCD， ，E是PC的中点.
（1）求证： 平面PBD；
（2）求PB与平面BDE所成角的正弦值；
（3）求点A到平面BDE的距离.
【答案】（1）证明：∵ 底面ABCD，且 底面ABCD,∴ ,
又∵底面ABCD是正方形，所以 ，且 ,
∴ 平面PBD
（2）解：如图建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
, ,设平面BED法向量 ，
所以 ，取 ，则平面BED法向量
PB与平面BDE所成角的正弦值
（3）解： ，则 ,
根据点到平面距离的公式 ，
所以点A到平面BDE的距离为 .
【考点】直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1）利用 底面ABCD结合线面垂直的定义，从而证出线线垂直，所以 ,再利用底面ABCD是正方形，所以 ，再利用线线垂直证出线面垂直，从而证出 平面PBD。
（2） 利用已知条件建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示，从而求出向量的坐标，再结合数量积求夹角公式，从而利用诱导公式求出直线 PB与平面BDE所成角的正弦值 。
（3） 利用已知条件建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示，从而求出向量的坐标，再结合数量积求点到平面距离的公式，从而求出点A到平面BDE的距离。
19．（2021高二上·深圳期中）如图，四棱锥 中，底面 为直角梯形， , ， ,侧面 面 ， 为正三角形， 为 中点．
（1）求证： 面 ；
（2）求 与平面 所成的角的大小．
【答案】（1）证明：取 中点 ，连 ，
则 且 ，
又 且 ， 且 ，
四边形 为平行四边形， ，
又 平面 ， 平面 ， 平面 ；
（2）取 中点 ，由 为正三角形可知 ，
又侧面 平面 ，侧面 平面 ， 平面 ，
以 为 轴，过 平行于 的直线为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系如下图所示，
设 ，
设平面 的法向量 ，且 ，
又 ，所以 ，令 ，则 ，
设 与平面 所成的角的大小为 ，因为 ，
所以 ，即
所以直线 与平面 所成的角的大小为 .
【考点】直线与平面平行的性质；空间向量的数量积运算；直线与平面所成的角；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】(1)根据题意作出辅助线，由中点的性质即可得出线线平行，由此即可得到四边形 为平行四边形，从而得到线线平行，然后由线面平行的判定定理即可得证出结论。
(2)由已知条件结合线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，由此根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，由线面角与向量夹角之间的关系，结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到直线 与平面 所成的角正弦值，从而求出角的大小。
20．（2021高二上·大连期末）如图，直三棱柱中，，，，且.
（1）求平面BDC与平面所成角的余弦值；
（2）求点到平面BDC距离.
【答案】（1）解：依题意两两互相垂直，以C为原点.的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
设平面BDC的一个法向量为，则令，则得，此时.
设平面的一个法向量为则
令则得此时
因为,
所以平面BDC与平面所成角的余弦值为.
（2）解：因为,
点到平面BDC距离为.
【考点】数量积表示两个向量的夹角；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1)由已知条件建立空间直角坐标系，由此求出各个点以及向量的坐标，然后由数量积的坐标公式计算出平面的法向量，再把结果代入到数量积的夹角公式，计算出结果即可。
(2)由已知条件即可得出点的坐标，然后由距离公式代入计算出结果即可。
21．（2021·兰州模拟）在三棱锥 中， 是 的中点， ， .
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，求二面角 的余弦值.
【答案】（1）证明：由题可知 是 的中点， ， 中 .
所以 为直角三角形， 即 .
由题可知 ，
则有
所以 平面
（2）解：法一：由（1）可知 平面 ，取 中点为 ，连接 ，则有 ，
所以 平面 ，作 ，交 于 ，
连接 ，则 即为二面角的平面角.
由题可知 ，则 ，
直角三角形 中， ，
则 ，
所以二面角 的余弦值为 .
法二：由（1）可知 平面 ，如图以 为坐标原点， ，垂直于平面 的直线，分别为 轴，建立空间直角坐标系，
， , ，
则 ，
设平面 的一个法向量 ，
则 ，即 ，令 ，得 ，
平面 的一个法向量 ，设二面角 的大小为 ，
则 .
如图所示二面角为锐角，则二面角 的余弦值为 .
【考点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】 （1）在△CBD中，证明BC⊥BD，再利用勾股定理证明BC⊥PB，由线面垂直的判定定理证明即可；
（2）建立合适的空间直角坐标系，利用待定系数法求出平面PBA的法向量，求出平面PBD的法向量，利用二面角的计算公式求解即可．
22．（2021高三上·湖南月考）如图，已知 是平面 外一点， ， ， .
（1）四点 ， ， ， 在同一平面内吗？说明理由；
（2）若 ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）解：分别设线段 ， 的中点分别为 ， ，分别连接 ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴四边形 和四边形 都是平行四边形，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ，即四边形 是平行四边形，
∴ ，∴ ，
所以，四点 ， ， ， 在同一平面内；
（2）∵ ， ， 与 是平面 内两相交直线，
∴ 平面 ，
分别以直线 ， 为 轴和 轴，以过点 垂直于平面 的直线为 轴，
建立如图所示的空间直线坐标系 ，
设 ，由于 ， ，
所以 ， ， ， ， ，
∴ ， ， ， ，
设 和 分别是平面 和平面 的一个法向量，
则 ， ， ， ，
∴ ， ，
不妨取 ， 得， ， ，
∴ ，
所以，平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ．
【考点】共线向量与共面向量；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1） 分别设线段 ， 的中点分别为 ， ，分别连接 ， ， ，再结合中点作中位线的方法结合中位线的性质，所以 ，再利用已知条件结合向量共线定理和平行四边形的定义，得出四边形 和四边形 都是平行四边形，再结合平行四边形的性质结合平行的传递性，得出 ， ，即四边形 是平行四边形，再结合平行四边形的性质，得出 ，再结合平行的传递性，所以 ，从而推出四点 ， ， ， 在同一平面内。
（2）利用 ， ， 再利用线线垂直证出线面垂直，所以 平面 ，分别以直线 ， 为 轴和 轴，以过点 垂直于平面 的直线为 轴，建立空间直线坐标系 ，再利用已知条件求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，从而求出平面 与平面 所成锐二面角的余弦值。
22精讲精练·专项突破
2021-2022学年高二上学期人教版（2019）
第一章 《空间向量与几何》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021高二下·洛阳期末）如图，在直三棱柱 中， ， ， ， ，则 与 所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021高二上·海淀期中）过点 且与向量 垂直的向量（ ）
A．有且只有一个 B．有无数个且共面
C．只有两个且方向相反 D．有无数个且共线
3．（2021高二上·湖北月考）若 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）．
A． 、 、 B． 、 、
C． 、 、 D． 、 、
4．（2021高二上·深圳期中）已知 ＝(2,－3,1)，则下列向量中与 平行的是（ ）
A．(1,1,1) B．(－2,－3,5) C．(2,－3,5) D．(－4,6,－2)
5．（2021高二上·太原期中）已知平面 经过点 和 ， 是平面 的法向量，则实数 （ ）
A．3 B．-1 C．-2 D．-3
6．（2021高二上·山东月考）在下列四个命题中：
①若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；②向量，若与的夹角为钝角，则实数m的取值范围为；③直线的一个方向向量为；④若存在不全为0的实数使得，则共面．其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（2021高二上·河北期中）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，PA＝AB＝2，以B为原点，分别以 的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设平面PAB和平面PBC的一个法向量分别为 ，则下列结论中正确的是（ ）
A．点P的坐标为（0，0，2） B．
C． D．
8．（2021高二上·重庆市月考）在空间直角坐标系中，，，平面的一个法向量为，则平面与平面夹角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2021·广东模拟）正方体 的棱长为 ， ， ， 分别为 ， ， 的中点，则（ ）
A．直线 与直线 垂直
B．平面 截正方体所得的截面面积为
C．三棱锥 的体积为
D．点 与点 到平面 的距离相等
10．（2021高二上·温州期中）已知点 在平面 内，平面 法向量 ， 则下列点在 内的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2021高二上·河北月考）已知正方体的棱长为1，点，，分别为棱，，的中点，下列结论正确的是（ ）
A．四面体的体积等于
B．平面
C．平面与平面夹角余弦值为
D．平面
12．（2021高三上·苏州开学考）在棱长固定的正方体 中，点E，F分别满足 ， ，则（ ）
A．当 时，三棱锥 的体积为定值
B．当 时，存在 使得 平面
C．当 时，点A，B到平面 的距离相等
D．当 时，总有
三、填空题
13．已知空间向量 ， ， 满足 ， ， ， ，则 的值为 ．
14．正方体 的棱长为 ， ， 分别是 ， 的中点，则点 到平面 的距离为 .
15．（2021高二上·山西月考）如图，四棱锥的底面ABCD是边长为2的正方形，，且，为的中点，则点到平面的距离为 .
16．（2021高一下·锦州期末）已知点 在正方体 的侧面 内（含边界）， 是 的中点， ，则 的最大值为 ；最小值为 .
四、解答题
17．（2021高二上·西青期末）如图，平面，，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角的余弦值为，求线段的长.
18．（2021高二上·兰溪期中）如图，在四棱锥 中，底面ABCD是正方形，侧棱 底面ABCD， ，E是PC的中点.
（1）求证： 平面PBD；
（2）求PB与平面BDE所成角的正弦值；
（3）求点A到平面BDE的距离.
19．（2021高二上·深圳期中）如图，四棱锥 中，底面 为直角梯形， , ， ,侧面 面 ， 为正三角形， 为 中点．
（1）求证： 面 ；
（2）求 与平面 所成的角的大小．
20．（2021高二上·大连期末）如图，直三棱柱中，，，，且.
（1）求平面BDC与平面所成角的余弦值；
（2）求点到平面BDC距离.
21．（2021·兰州模拟）在三棱锥 中， 是 的中点， ， .
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，求二面角 的余弦值.
22．（2021高三上·湖南月考）如图，已知 是平面 外一点， ， ， .
（1）四点 ， ， ， 在同一平面内吗？说明理由；
（2）若 ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
答案解析部分
1．【答案】A
【考点】异面直线及其所成的角；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】如图，以 为坐标原点， ， ， 分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
所以 ， ，
所以 ，
所以直线 与 所成角的余弦值为 ．
故答案为：A.
【分析】根据题意建立空间直角坐标系，并求出各个点以及向量的坐标，然后结合数量积的坐标公式计算出夹角的余弦值由此即可得出 与 所成的角的余弦值 。
2．【答案】B
【考点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】由题意可知，以向量 为法向量，且过点 的平面有且只有一个，设为平面 ，
则平面 内过点 的向量都与向量 垂直，这样的向量有无数个且共面。
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合法向量的定义和向量垂直数量积为0的等价关系，从而得出过点 且与向量 垂直的向量有无数个且共面。
3．【答案】C
【考点】空间向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】对于A选项， ，所以， 、 、 共面，A选项不满足条件；
对于B选项， ，所以， 、 、 共面，B选项不满足条件；
对于C选项，假设 、 、 共面，则 ，
从而可知 、 、 共面，矛盾，C选项满足条件；
对于D选项， ，故 、 、 共面，D选项不满足条件.
故答案为：C.
【分析】由平面向量的基本定理，对选项逐一判断即可得出答案。
4．【答案】D
【考点】共线向量与共面向量；空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】要使向量 与 平行，则 且 ，
∴A：若 ＝(1,1,1)，不存在 使 成立；
B：若 ＝(－2,－3,5)，不存在 使 成立；
C：若 ＝(2,－3,5)，不存在 使 成立；
D：若 ＝(－4,6,－2)，则有 成立；
故答案为：D
【分析】利用向量共线定理，对选项逐一判断即可得出答案。
5．【答案】B
【考点】数量积的坐标表达式；空间向量的数量积运算；平面的法向量
【解析】【解答】解： ，
因为 是平面 的法向量，
所以 ，
即 ，解得 .
故答案为：B.
【分析】由已知条件即可得出平面的法向量，再由数量积的坐标公式，代入数值计算出结果即可。
6．【答案】C
【考点】异面直线的判定；共线向量与共面向量；平面的法向量；直线的向量方程
【解析】【解答】对于①，因为向量是自由向量，所以空间中任意两个向量都共面，所以①错误，
对于②，当与的夹角为钝角时，可得，且与不共线，若，则，得，若与共线，则，得，所以当与的夹角为钝角时，且，所以②错误，
对于③，直线可化为，所以直线的一个方向向量为，所以③正确，
对于④，由于实数不全为零，所以不妨设，则由，可得，所以由共面向量定理可知共面，所以④共面，
故答案为：C
【分析】由异面直线的定义结合向量共面的定义，即可判断出①错误；由数量积的坐标运算性质，结合题意即可判断出②错误；利用直线的方向向量的定义，即可得出答案，由此判断出③正确；利用共面向量定理，结合题意即可判断出④共面；由此即可得出答案。
7．【答案】D
【考点】空间向量的数量积运算；空间向量的夹角与距离求解公式；空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】建立空间直角坐标系如图：
由题意可得 ， ， ， ，
所以 ， .
设 ，则 ，
取 ，可得 .
因为 ， ，所以 平面PAB，所以平面 平面PAB，
所以 ，所以 .
综上所述，A，B，C不符合题意，D符合题意.
故答案为：D
【分析】根据题意建立空间直角坐标系，由此求出点以及向量的坐标，然后由数量积的坐标公式代入计算出平面的法向量，由此即可判断出直线与平面垂直，结合面面垂直的判定定理即可得出，由此对选项逐一判断即可得出答案。
8．【答案】A
【考点】用空间向量求平面间的夹角
【解析】【解答】设平面的法向量为，则，令，得，令平面与平面夹角为，则，，所以平面与平面夹角的正弦值为。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合空间向量数量积求夹角公式，从而求出平面与平面夹角的余弦值，再结合同角三角函数基本关系式，从而求出平面与平面夹角的正弦值，进而求出平面与平面夹角的正弦值。
9．【答案】B,D
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】如图所示：
A.建立如图所示空间直角坐标系，则 ，而 ，所以直线 与直线 不垂直，故错误；
B.如图所示：因为 ，所以截面为等腰梯形 ，所以截面面积为 ,故正确；
C. ，故错误；
D. 因为 ， 平面 ，即 平面 ,所以点 与点 到平面 的距离相等，故正确；
故答案为：BD
【分析】 利用反证法证明A错误；求出平面AEF截正方体所得的截面面积判断B正确；求出三棱锥 的体积判断C；证明面面平行判断D.
10．【答案】A,C
【考点】平面向量数量积的运算；平面的法向量
【解析】【解答】对于A选项，记点 ， ， ，点 在平面 内；
对于B选项，记点 ， ， ，点 不在平面 内；
对于C选项，记点 ， ， ，点 在平面 内；
对于D选项，记点 ， ， ，点 不在平面 内.
故答案为：AC.
【分析】验证各选项中的点与点P连线的方向向量是否与 垂直，由此可得答案。
11．【答案】A,B,C
【考点】棱锥的结构特征；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【解答】对于A，四面体的体积为，A符合题意；
对于B，正方体中，∵，，又，
∴平面，∵平面，∴，
同理，，又，∴平面，B符合题意；
对于C，以为原点，建立空间直角坐标系如图，
，，，，，
设平面的法向量，
则
取，得，
又平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则
∴平面与平面的夹角的余弦值为，
C符合题意；
对于D，，，，
由C选项可知，平面的一个法向量，
∵，∴与平面不平行，D不符合题意.
故答案为：ABC
【分析】利用已知条件结合正方体的结构特征，再利用三棱锥的体积公式，进而求出四面体的体积；在正方体中，得出，，再结合线线垂直证出线面垂直，所以直线平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，同理，，再利用线线垂直证出线面垂直，从而证出直线平面；以为原点，建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而结合余弦函数的定义，进而求出平面与平面夹角余弦值，再利用法向量的求解方法，进而求出平面的一个法向量，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系，从而判断出直线与平面不平行，从而找出结论正确的选项。
12．【答案】A,C,D
【考点】向量的共线定理；棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】不妨设正方体的棱长为1，如图，
对于
对于B：要使 平面 ，则必须 ，又 ，所以需要 ，所以E在 中点，因为 ，所以 与 不垂直，所以不存在，错误；
对于C：因为 ，所以正确；
对于D：建立如图所示空间直角坐标系，设 ，则 ， ，
， ，所以 ， ，因为 ，所以 ，D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】不妨设正方体的棱长为1，再利用正方体的结构特征和向量共线定理和 ，再结合三棱锥的体积公式，进而求出三棱锥 的体积为定值；再利用线线垂直证出线面垂直，得出要使 平面 ，则必须 ，再利用 ，所以需要 ，所以E在 中点，再利用 ，所以 与 不垂直，所以不存在，使得 平面 ； 再利用，得出当 时，点A，B到平面 的距离相等；建立空间直角坐标系，设 ，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示，进而证出 ，从而选出正确的选项。
13．【答案】-13
【考点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
故答案为：-13
【分析】结合向量以及数量积的运算性质代入数值计算出结果即可。
14．【答案】
【考点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】建立空间直角坐标系，如图所示，则 ， ， ， .设平面 的法向量为 ，
则 ，
即 ，
∴ ，∴ .令 ，得 .
又∵ ，
∴点 到平面 的距离 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件建立空间直角坐标系，进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合空间向量的方法结合数量积求点到平面的距离公式，进而求出点 到平面 的距离。
15．【答案】
【考点】数量积的坐标表达式；空间向量的夹角与距离求解公式；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】因为，，
由勾股定理可知，，，
所以直线两两垂直.
以为原点，所在的直线分别为轴 轴 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，.
设平面的法向量为，则，
令，得，所以点到平面的距离.
故答案为：.
【分析】由已知条件结合勾股定理计算出线线垂直，由此建立空间直角坐标系即可求出点和向量的坐标，由数量积的坐标公式计算出平面的法向量，结合点到直线的距离公式代入数值计算出结果即可。。
16．【答案】1；
【考点】三角函数的最值；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】设正方体棱长为2，如图以点 为原点，建立空间直角坐标系，
， ， ， ， ，
， ，
，
，得 ， ，
平面 ， ，
当 时， 取得最大值是1，当 时， 取得最小值是 .
故答案为：1；
【分析】根据题意建立直角坐标系求出各个点以及向量的坐标，结合数量积的坐标公式计算出，，然后由线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，结合三角形的几何性质由正切函数的公式计算出结果即可。
17．【答案】解：依题意，可以建立以A为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系(如图)，
可得.
设，则.
(Ⅰ)依题意，是平面ADE的法向量，
又，可得，
又因为直线平面，所以平面.
(Ⅱ)依题意，，
设为平面BDE的法向量，
则，即，
不妨令z=1，可得，
因此有.
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
(Ⅲ)设为平面BDF的法向量，则，即.
不妨令y=1，可得.
由题意，有，解得.
经检验，符合题意
所以，线段的长为.
【考点】直线与平面平行的判定；用空间向量求直线与平面的夹角；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1） 依题意，可以建立以A为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系，从而求出点的坐标，设，则，再利用平面的法向量求解方法得出平面ADE的法向量，再利用向量的坐标表示得出向量坐标，即 ， 再利用数量积的坐标表示得出 ， 从而结合两向量垂直数量积为0的等价关系，从而证出线线垂直，再利用线线垂直证出线面平行，进而证出 平面。
（2）依题意，可以建立以A为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合平面法向量求解方法，进而求出平面BDE的法向量， 再利用数量积求向量夹角公式，进而结合诱导公式，从而求出直线与平面所成角的正弦值 。
（3） 依题意，可以建立以A为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合平面法向量求解方法，从而求出平面BDF的法向量，再利用数量积求向量夹角公式结合已知条件，进而求出线段的长。
18．【答案】（1）证明：∵ 底面ABCD，且 底面ABCD,∴ ,
又∵底面ABCD是正方形，所以 ，且 ,
∴ 平面PBD
（2）解：如图建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
, ,设平面BED法向量 ，
所以 ，取 ，则平面BED法向量
PB与平面BDE所成角的正弦值
（3）解： ，则 ,
根据点到平面距离的公式 ，
所以点A到平面BDE的距离为 .
【考点】直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1）利用 底面ABCD结合线面垂直的定义，从而证出线线垂直，所以 ,再利用底面ABCD是正方形，所以 ，再利用线线垂直证出线面垂直，从而证出 平面PBD。
（2） 利用已知条件建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示，从而求出向量的坐标，再结合数量积求夹角公式，从而利用诱导公式求出直线 PB与平面BDE所成角的正弦值 。
（3） 利用已知条件建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示，从而求出向量的坐标，再结合数量积求点到平面距离的公式，从而求出点A到平面BDE的距离。
19．【答案】（1）证明：取 中点 ，连 ，
则 且 ，
又 且 ， 且 ，
四边形 为平行四边形， ，
又 平面 ， 平面 ， 平面 ；
（2）取 中点 ，由 为正三角形可知 ，
又侧面 平面 ，侧面 平面 ， 平面 ，
以 为 轴，过 平行于 的直线为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系如下图所示，
设 ，
设平面 的法向量 ，且 ，
又 ，所以 ，令 ，则 ，
设 与平面 所成的角的大小为 ，因为 ，
所以 ，即
所以直线 与平面 所成的角的大小为 .
【考点】直线与平面平行的性质；空间向量的数量积运算；直线与平面所成的角；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】(1)根据题意作出辅助线，由中点的性质即可得出线线平行，由此即可得到四边形 为平行四边形，从而得到线线平行，然后由线面平行的判定定理即可得证出结论。
(2)由已知条件结合线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，由此根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，由线面角与向量夹角之间的关系，结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到直线 与平面 所成的角正弦值，从而求出角的大小。
20．【答案】（1）解：依题意两两互相垂直，以C为原点.的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
设平面BDC的一个法向量为，则令，则得，此时.
设平面的一个法向量为则
令则得此时
因为,
所以平面BDC与平面所成角的余弦值为.
（2）解：因为,
点到平面BDC距离为.
【考点】数量积表示两个向量的夹角；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1)由已知条件建立空间直角坐标系，由此求出各个点以及向量的坐标，然后由数量积的坐标公式计算出平面的法向量，再把结果代入到数量积的夹角公式，计算出结果即可。
(2)由已知条件即可得出点的坐标，然后由距离公式代入计算出结果即可。
21．【答案】（1）证明：由题可知 是 的中点， ， 中 .
所以 为直角三角形， 即 .
由题可知 ，
则有
所以 平面
（2）解：法一：由（1）可知 平面 ，取 中点为 ，连接 ，则有 ，
所以 平面 ，作 ，交 于 ，
连接 ，则 即为二面角的平面角.
由题可知 ，则 ，
直角三角形 中， ，
则 ，
所以二面角 的余弦值为 .
法二：由（1）可知 平面 ，如图以 为坐标原点， ，垂直于平面 的直线，分别为 轴，建立空间直角坐标系，
， , ，
则 ，
设平面 的一个法向量 ，
则 ，即 ，令 ，得 ，
平面 的一个法向量 ，设二面角 的大小为 ，
则 .
如图所示二面角为锐角，则二面角 的余弦值为 .
【考点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】 （1）在△CBD中，证明BC⊥BD，再利用勾股定理证明BC⊥PB，由线面垂直的判定定理证明即可；
（2）建立合适的空间直角坐标系，利用待定系数法求出平面PBA的法向量，求出平面PBD的法向量，利用二面角的计算公式求解即可．
22．【答案】（1）解：分别设线段 ， 的中点分别为 ， ，分别连接 ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴四边形 和四边形 都是平行四边形，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ，即四边形 是平行四边形，
∴ ，∴ ，
所以，四点 ， ， ， 在同一平面内；
（2）∵ ， ， 与 是平面 内两相交直线，
∴ 平面 ，
分别以直线 ， 为 轴和 轴，以过点 垂直于平面 的直线为 轴，
建立如图所示的空间直线坐标系 ，
设 ，由于 ， ，
所以 ， ， ， ， ，
∴ ， ， ， ，
设 和 分别是平面 和平面 的一个法向量，
则 ， ， ， ，
∴ ， ，
不妨取 ， 得， ， ，
∴ ，
所以，平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ．
【考点】共线向量与共面向量；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1） 分别设线段 ， 的中点分别为 ， ，分别连接 ， ， ，再结合中点作中位线的方法结合中位线的性质，所以 ，再利用已知条件结合向量共线定理和平行四边形的定义，得出四边形 和四边形 都是平行四边形，再结合平行四边形的性质结合平行的传递性，得出 ， ，即四边形 是平行四边形，再结合平行四边形的性质，得出 ，再结合平行的传递性，所以 ，从而推出四点 ， ， ， 在同一平面内。
（2）利用 ， ， 再利用线线垂直证出线面垂直，所以 平面 ，分别以直线 ， 为 轴和 轴，以过点 垂直于平面 的直线为 轴，建立空间直线坐标系 ，再利用已知条件求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，从而求出平面 与平面 所成锐二面角的余弦值。
22
