精讲精练·专项突破 第一章《空间向量与几何》单元能力提升（含详细解析）（4）

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高二上学期人教版（2019）
第一章 《空间向量与几何》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021高二上·辽宁期中）已知正方体的棱长为，点为线段上一点，，则点到平面的距离为（　　）
A． B． C．3 D．4
【答案】B
【考点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】连接，过作于，如图，
设，
因为正方体的棱长为1，所以，，
因为平面，，所以平面，
所以点到平面的距离为的长度，
因为，
所以。
故答案为：B
【分析】连接，过作于，设，再利用正方体的棱长为1，所以，，再结合平面，，所以平面，所以点到平面的距离为的长度，再利用正弦函数的定义，从而求出PO的长。
2．（2021高三上·金台月考）在长方体中，，，点在上，点在上，，则直线与所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】数量积的坐标表达式；空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】以为坐标原点，以，，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，， ，
则，，所以．
所以直线与所成角的余弦值为，
故答案为：A．
【分析】根据题意建立空间直角坐标系，由此求出各个点以及向量的坐标，然后由数量积的坐标公式代入数值计算出结果即可。
3．若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则可能使 的是
A． ，0， ， ，0，
B． ，3， ， ，0，
C． ，2， ， ，0，
D． ， ， ， ，3，
【答案】D
【考点】向量方法证明线、面的位置关系定理
【解析】【解答】解：若 ，则 ，
而 中 ，不满足条件；
中 ，不满足条件；
中 ，不满足条件；
中 ，满足条件．
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合空间向量的方法，再结合方向向量和法向量的求解方法，再利用数量积的坐标表示结合若 ，则 ，从而找出正确答案。
4．（2022·桂林模拟）已知直线的方向向量是，平面的法向量是，则与的位置关系是（　　）
A． B．
C．与相交但不垂直 D．或
【答案】D
【考点】直线与平面平行的判定；直线的方向向量；平面的法向量
【解析】【解答】，，或.
故答案为：D.
【分析】根据题意由数量积的坐标公式，计算出向量垂直，由平面的法向量的性质，即可得出直线与平面的位置关系。
5．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为(　　)
A．10 B．3 C． D．
【答案】D
【考点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】 ＝(1,2，－4)，又平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，
所以P到α的距离为 ＝ 。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合空间向量的方法，再结合数量积求点到平面的距离公式，进而求出点 P(－2,1,4)到α的距离 。
6．在空间直角坐标系中，定义：平面 的一般方程为 （ ，且A，B，C不同时为零），点 到平面 的距离 ，则在底面边长与高都为2的正四棱锥 中，底面中心O到侧面 的距离d等于（　　）
A． B． C．2 D．5
【答案】B
【考点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】以底面中心 为原点，建立空间直角坐标系 ，如图所示：
则 ，
设平面 的方程为 ，将点A，B，P的坐标代入计算得 ， ， ，所以方程可化为 ，即 ，
所以 。
故答案为：B.
【分析】以底面中心 为原点，建立空间直角坐标系 ，进而求出点的坐标，再利用已知条件结合点到直线的距离公式，进而求出底面中心O到侧面 的距离d的值。
7．（2020高二上·南阳期末）已知空间向量 ， ，则下列结论不正确的是（　　）
A．
B．
C．
D． 与 夹角的余弦值为
【答案】A
【考点】向量的模；数量积表示两个向量的夹角；空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】因为 ， ，而 ，A不正确；
因为 ， ，所以 ，B符合题意；
因为 ，C符合题意；
又 ，D符合题意.
故答案为：A
【分析】由空间共线向量的坐标公式代入计算出结果由此判断出选项A正确；再由向量模的公式计算出选项B错误；根据题意由数量积的坐标公式计算出选项C错误；由夹角的数量积公式代入数值计算出结果由此判断出选项D错误，由此得出答案。
8．（2021·淄博模拟）四棱锥 中，侧面 为等边三角形，底面 为矩形， ， ，点 是棱 的中点，顶点 在底面 的射影为 ，则下列结论正确的是（　　）
A．棱 上存在点 使得 面
B．当 落在 上时， 的取值范围是
C．当 落在 上时，四棱锥 的体积最大值是2
D．存在 的值使得点 到面 的距离为
【答案】A
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】对于A：取BC的中点E，连结DE，取SC中点P，连结PE、PD，
∵PE为△BCS的中位线，∴ PE∥BS，
又 面BFS， 面BFS，∴PE∥面BFS；
在矩形ABCD中，E、F分别为BC、AD的中点，∴DE∥BF,
又 面BFS， 面BFS，∴DE面BFS；
又 ,∴面PDE∥面BFS，∴ 面 ，
A符合题意；
对于B：∵ 为等边三角形， ，∴，
当 时，S与H重合，图形不能构成四棱锥，与已知条件相悖，B不符合题意；
对于C：在Rt△SHE中， ，∴，
当且仅当 时， 的最大值为1.C不符合题意；
对于D:由C的推导可知：当 的最大时，点B到面 的距离d最大，
，
此时 ，
∴，
∴ ，D不符合题意。
故答案为：A
【分析】在四棱锥 中，侧面 为等边三角形，底面 为矩形， ， ，点 是棱 的中点，顶点 在底面 的射影为 ， 再利用等边三角形的性质结合矩形的结构特征，再结合中点的性质和射影定理，再结合线面平行的判定定理、四棱锥的体积公式、点到平面的距离公式，进而找出结论正确的选项。
二、多选题
9．（2021高一下·盐城期末）如图，在菱形 中， ， ，将 沿对角线 翻折到 位置，则在翻折的过程中，下列说法正确的（　　）
A．存在某个位置，使得
B．存在某个位置，使得
C．存在某个位置，使得 ， ， ， 四点落在半径为 的球面上
D．存在某个位置，使得点 到平面 的距离为
【答案】A,B,C
【考点】平面与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：对于A，假设存在，
如图，取 得中点 ，连接 ，
根据题意得： ，故 即为二面角 得平面角，
， ，
在 中， ，
当 时， ，即 ，
所以当二面角 为 时， ，所以A符合题意；
对于B，假设存在，
如图，取 的中点 ，连接 ，
在菱形 中， ， ，则 为等边三角形，
所以 ，
又因 ，且 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
在 中，因为 为 的中点，所以 ，
所以 ，又 ，
故当点 在使得 为等边三角形的位置时， ，即B符合题意；
对于C，假设存在，
由对称性可知四面体的外接球的球心，在过底面三角形 的中心且垂直底面三角形 的直线上，底面三角形的外接圆半径为： ，
如图，结合A、B，设 交于点 ，过点 作 平面 ， 为三棱锥 外接球的球心，则 ，
因为 ，所以存在某个位置，使得 ， ， ， 四点落在半径为 的球面上，C符合题意；
对于D， 点 到 的距离为 ，点 到 的距离为 ，
若 到平面 的距离为 ，则平面 平面 ．平面 平面 ，
则有 平面 ，即 ，与 是等边三角形矛盾．D不符合题意.
故答案为：ABC．
【分析】 A,判断菱形的对角线AC的长度,即可判断选项的正误；B,当点P在平面BCD内的投影为△BCD的重心点Q时，可得PB C平面PBQ，PB⊥CD,即可判断；C,求出底面三角形的外接圆的半径，然后判断外接球的半径与外接球的半径的关系，即可判断C的正误；D,若B到平面PDC的距离为 ,则有DB平面PCD，即 ，与 是等边三角形矛盾.
10．（2021高一下·安吉期末）正方体 的棱长为 分别为 的中点.则（　　）
A．直线 与直线AF垂直
B．直线 与平面AEF平行
C．平面AEF截正方体所得的截面面积为
D．点 和点D到平面AEF的距离相等
【答案】B,C,D
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；点、线、面间的距离计算；三角形中的几何计算
【解析】【解答】因为 ，而 与 显然不垂直，因此 与 不垂直，A不符合题意；取 中点 ，连接 ， ，由 分别是 中点，得 ，
又 ， ， 是平行四边形，所以 ， ， 平面 ，所以 平面 ， 平面 ，
而 ， 平面 ，所以平面 平面 ，
又 平面 ，所以 平面 ．B符合题意；
由正方体性质，连接 ，则截面 即为四边形 ，它是等腰梯形，
， ，等腰梯形的高为 ，
截面面积为 ，C符合题意，
设 ，易知 是 的中点，所以 两点到平面 的距离相等．D符合题意．
故答案为：BCD．
【分析】利用已知条件结合正方体的结构特征，再结合中点的性质和线线垂直的判断方法、线面平行的判定定理、平面截正方体所得截面的方法结合三角形的面积公式、点到平面的距离求解方法，从而找出正确的选项。
11．（2021高二上·台州期末）下列说法正确的是（　　）
A．若G是四面体OABC的底面三角形ABC的重心，则
B．在四面体OABC中，若，则A，B，C，G四点共面
C．已知平行六面体的棱长均为1，且，则对角线的长为
D．若向量，则称（m，n，k）为在基底下的坐标．已知向量在单位正交基底下的坐标为（1，2，3），则在基底下的坐标为
【答案】A,C,D
【考点】平面向量的基本定理及其意义；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；共线向量与共面向量
【解析】【解答】A：令，，，，又G是底面三角形ABC的重心，
∴，，，，，
∴成立，正确；
B：由，而，A，B，C，G四点不共面，错误；
C：如下图，
，
∴，又且棱长为1，
∴，则，正确；
D：在基底下坐标为，则，故在基底下坐标为（1，2，3），正确.
故答案为：ACD.
【分析】令，，，，再利用点G是底面三角形ABC的重心结合重心求解公式得出点G的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再由平面向量基本定理得出；由，而结合四点共面的判断方法，得出A，B，C，G四点不共面；再利用平面向量基本定理和数量积的运算法则以及数量积的定义，再结合已知条件和数量积求模公式得出对角线的长；利用在基底下坐标为，再结合平面向量基本定理得出，进而得出向量在基底下坐标，进而找出说法正确的选项。
12．（2020高二上·汕尾期末）如图，在棱长为2的平行六面体 中， ，点 分别是 的中点，对角线 与平面 交于点 ，下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．直线 和直线 所成角的余弦值等于
D．三棱锥 的体积是平行四六面体 的体积的
【答案】A,B
【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【解答】解：依题意以 ， ， 作为空间的一组基底，则
所以
所以 ，A符合题意；
设直线 和直线 所成的角为 ，则 ，C不符合题意；
因为 ，所以
，即 ，同理可证 ， ， 面 ，所以 面 ，即 面 ，即 为正三棱锥 的高，因为 ，所以 ，所以 ，B符合题意； ，其中 ，所以 ，D不符合题意；
故答案为：AB
【分析】以 ， ， 作为空间的一组基底，利用空间向量判断选项A和选项C，利用空间向量法可得面PMN，再求正三棱锥A-PMN的高AH，即可判断选项B，利用割补法判断选项D。
三、填空题
13．在空间直角坐标系 中，已知 ， ，则向量 与平面 的法向量的夹角的正弦值为　 　.
【答案】
【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】平面 的一个法向量为 ， ，
所以 ，
∵ ，
∴ 。
故答案为： 。
【分析】 在空间直角坐标系 中，已知 ， ， 再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合空间向量的方法结合数量积求向量夹角公式，从而求出向量 与平面 的法向量的夹角的余弦值，再利用向量 与平面 的法向量的夹角的取值范围，进而结合同角三角函数基本关系式，从而求出向量 与平面 的法向量的夹角的正弦值。
14．（2020高二上·揭阳期末）在长方体 中， ， ，且 与底面 所成角为60°，则直线 与平面 所成的角的正弦值为　 　．
【答案】
【考点】用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【解答】 长方体 中， 平面面 ，
即为 与底面 所成角， ，
， ，
以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则 ，
则 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，则 ，即 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 .
故答案为： .
【分析】 可得AD=AA1=，以D为原点, DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则，求得平面 的法向量，由，即可求解.
15．（2021高二下·芜湖期中）如图所示，长方体中，，，点是线段的中点，点是正方形的中心，则直线与直线所成角的余弦值为　 　
【答案】
【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】如下图所示，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则点 、 、 、 ，
， ， ，
因此，直线 与直线 所成角的余弦值为 .
故答案为： .
【分析】如图建立空间直角坐标系，求出两直线的方向向量，代入夹角公式即可求解。
16．（2021高二上·砀山月考）如图，正方体 的棱长为2，E，F分别为 ， 的中点，则以下说法错误的是　 　（写序号）
①N为 上一点，则平面 与平面 所成二面角的大小与点N位置无关
② 存在上一点P，使得 平面
③ 三棱锥 和 体积相等
④ 上存在一点M，使得
【答案】②
【考点】反证法的应用；棱柱、棱锥、棱台的体积；向量的数量积判断向量的共线与垂直；点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】解：对于①，因为N为 上一点，所以平面 与平面 所成二面角α即为平面 与平面 BCC1B1所成二面角β，显然β是固定角，故①正确；
对于②，假设BB上存在点P，使得C1P⊥平面EFB1C，则C1P⊥FB1，而FB1⊥B1C1，所以FB1⊥平面BB1C1C，显然错误，故②错误；
对于③，，又，
所以，而，
连接DA1，则F到平面DB1C的距离即为F到A1D的距离，所以,
所以
所以，故③正确；
对于④，以D1为原点，分别以D1A1，D1D，D1C1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
则C(0，2，2),F(2，0，1),M(x,0,0)，
则
当，即，即时，，
此时 ，故④正确
故答案为：②
【分析】根据二面角的平面角的定义可判断①，运用反证法结合直线与平面垂直的判定定理可判断②，根据棱锥的体积公式，结合点到平面的距离，运用等体积法可判断③，利用向量法结合向量数量积运算的坐标表示可判断④.
四、解答题
17．（2020高二上·赣县期末）如图，在三棱柱 中，已知 是直角三角形，侧面 是矩形，AB＝BC＝1，BB1＝2， ．
（1）证明：BC1⊥AC．
（2）E是棱CC1的中点，求直线B1C与平面ABE所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：因为 是直角三角形，所以AB⊥BC．
因为侧面 是矩形，所以AB⊥BB1．
因为BC∩BB1＝B，所以AB⊥平面BCC1B1，
又因为 平面BCC1B1，
所以AB⊥BC1．
因为BC＝1，BB1＝CC1＝2， ，
所以 ，所以BC⊥BC1．
因为BC∩AB＝B，所以BC1⊥平面ABC．
因为 平面ABC．所以BC1⊥AC．
（2）解：由（1）知，BC，BA，BC1两两垂直，故以B为坐标原点，分别以BC，BA，BC1为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示：
则B（0，0，0），C（1，0，0），A（0，1，0）， ， ．
， （2，0， ），
设面ABE的法向量为 ，由 ，得 ，
令z1＝1，得 ．
设直线B1C与平面ABE所成角的大小为θ，则 ，
所以直线B1C与平面ABE所成角的正弦值为 ．
【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1）推导出 AB⊥BC ， AB⊥BB1 从而 AB⊥平面BCC1B1 ，进而 AB⊥BC1 推导出 BC⊥BC1 ，从而 BC1⊥平面ABC ，由此能证明 BC1⊥AC ；
（2） 以B为坐标原点，分别以BC，BA，BC1为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线B1C与平面ABE所成角的正弦值。
18．（2020高一上·开封期末）如图，在直四棱柱 中，底面 为直角梯形， ， ， ， .
（1）求证： 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离.
【答案】（1）证明：∵底面 为直角梯形，
， ， ， ，
∴
∴
∵直四棱柱
∴ 底面
∵ 平面
∴
∵ ， ， ， 平面 ，
∴ 平面
（2）解：在 中，
在 中，
设 到平面 的距离为
在 中，
在 中，
，
由 ，则 ，解得
故点 到平面 的距离为 .
【考点】直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1） 利用底面 为直角梯形，所以 ， ， ， ，所以，所以 ，再利用直四棱柱 ，所以 底面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用 ， 结合线线垂直证出线面垂直，从而证出 平面 。
（2） 在 中， ，在 中， ，再利用四棱锥的体积公式，从而求出的值，在 中， ，在 中， ，再结合三角形的面积公式结合三棱锥的体积公式，从而结合等体积法得出点 到平面 的距离。
19．（2021高二上·湖南月考）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）如图，以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，．
因为，，
所以，即；
（2）设平面的法向量为
因为，
由，得，令，则
所以平面的一个法向量为，又
所以
故直线与平面所成角的正弦值为．
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1） 以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示，从而证出。
（2） 利用已知条件结合法向量的定义，从而求出平面的法向量，再利用结合数量积求向量夹角公式得出直线与平面所成角的余弦值，再结合诱导公式得出直线与平面所成角的正弦值。
20．（2021高二下·怀化期末）如图①所示，在边长为12的正方形 中，点 ， 在线段 上，且 ， ．作 ．分别交 ， 于点 ， ；作 ，分别交 ， 于点 ， ．现将该正方形沿 ， 折叠，使得 与 重合，构成如图②所示的三棱柱 ．
（1）在三棱柱 中，求证： ；
（2）求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值．
【答案】（1）因为 ， ，
所以图②中 ，
从而有 ，即 ．
又因为 ，
所以 平面 ，由 平面 ，
故 ．
（2）如图，建立空间直角坐标系．
由图①可知
设平面 的法向量为 ，则有
所有可取
又平面 的法向量为
设平面 与平面 所成的锐二面角为 ，
从而
故平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 ．
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1） 因为 ， ，再利用勾股定理，所以图②中 ，再利用勾股定理，则 ，又因为 ，再利用线线垂直证出线面垂直，所以 平面 ，再利用线面垂直的定义，从而证出线线垂直，即证出 。
（2） 利用已知条件，建立空间直角坐标系，由图①可知 进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式，从而求出平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值。
21．（2022·齐齐哈尔模拟）已知平面四边形由等腰和组成，，O为上的点且（如图1所示），将等腰沿折起，点M折至点D位置，使得平面平面（如图2所示）.
（1）求证：；
（2）若点E在棱上，且满足，平面和平面所成锐二面角的余弦值为，求四面体的体积.
【答案】（1）证明：因为，所以在中，.
又因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，又因为平面，所以.
（2）解：在平面内过点O作的垂线，建立空间直角坐标系如图所示：
设，则，
.
设平面的一个法向量，
则，即，解得，
不妨取，则.结合（1）知，平面，
取平面的一个法向量，
则，解得.
在中，因为，所以，
所以的面积为，
所以四面体的体积为.
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）先通过面面垂直的性质证明平面 ，进而证明 ；
（2） 建立空间直角坐标系 ，求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量法表示出锐二面角的余弦值求出参数，进而计算出四面体的体积.
22．（2021·龙岩模拟）如图，四棱锥 中，底面 为矩形，侧面 为等腰直角三角形， ， ，F是 的中点，二面角 的大小为120°，设平面 与平面 的交线为l.
（1）在线段 上是否存在点E，使 平面 若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由；
（2）若点Q在l上，直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求线段 的长.
【答案】（1）在线段 上存在点E满足题意，且E为 中点，
连接 ， ， ， 底面 为矩形， ，
又E，F分别是 ， 中点， ，
又侧面 为等腰直角三角形， ， ，
平面 .
因为 ， 面 ， 面 ，
所以 面 ，
又因为 面 ，面 面 ，所以 ，
又因为 平面 ，所以 平面 ，
所以在线段 上存在点E满足 平面 ，且E为 中点，
（2）以E为原点， 方向为x轴，EF方向为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由(1)知， 为二面角 的一个平面角，
所以 ，因为侧面 为等腰直角三角形， ，
所以 ， ， ， ,
设
， ， ，
设平面 的法向量为 ，则
由 ，得 ，取 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，得 ，
所以 ，又因为 ，所以 .
【考点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】(1) 在线段 上存在点E满足题意，且E为 中点 ，通过证明l的平行线 平面 即可得到 平面 。
(2) 以E为原点， 方向为x轴，EF方向为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，求解平面 的法向量， 利用 求解t，进而计算出Q的坐标，再利用两点间的距离公式求解线段 的长.
25精讲精练·专项突破
2021-2022学年高二上学期人教版（2019）
第一章 《空间向量与几何》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021高二上·辽宁期中）已知正方体的棱长为，点为线段上一点，，则点到平面的距离为（　　）
A． B． C．3 D．4
2．（2021高三上·金台月考）在长方体中，，，点在上，点在上，，则直线与所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
3．若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则可能使 的是
A． ，0， ， ，0，
B． ，3， ， ，0，
C． ，2， ， ，0，
D． ， ， ， ，3，
4．（2022·桂林模拟）已知直线的方向向量是，平面的法向量是，则与的位置关系是（　　）
A． B．
C．与相交但不垂直 D．或
5．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为(　　)
A．10 B．3 C． D．
6．在空间直角坐标系中，定义：平面 的一般方程为 （ ，且A，B，C不同时为零），点 到平面 的距离 ，则在底面边长与高都为2的正四棱锥 中，底面中心O到侧面 的距离d等于（　　）
A． B． C．2 D．5
7．（2020高二上·南阳期末）已知空间向量 ， ，则下列结论不正确的是（　　）
A．
B．
C．
D． 与 夹角的余弦值为
8．（2021·淄博模拟）四棱锥 中，侧面 为等边三角形，底面 为矩形， ， ，点 是棱 的中点，顶点 在底面 的射影为 ，则下列结论正确的是（　　）
A．棱 上存在点 使得 面
B．当 落在 上时， 的取值范围是
C．当 落在 上时，四棱锥 的体积最大值是2
D．存在 的值使得点 到面 的距离为
二、多选题
9．（2021高一下·盐城期末）如图，在菱形 中， ， ，将 沿对角线 翻折到 位置，则在翻折的过程中，下列说法正确的（　　）
A．存在某个位置，使得
B．存在某个位置，使得
C．存在某个位置，使得 ， ， ， 四点落在半径为 的球面上
D．存在某个位置，使得点 到平面 的距离为
10．（2021高一下·安吉期末）正方体 的棱长为 分别为 的中点.则（　　）
A．直线 与直线AF垂直
B．直线 与平面AEF平行
C．平面AEF截正方体所得的截面面积为
D．点 和点D到平面AEF的距离相等
11．（2021高二上·台州期末）下列说法正确的是（　　）
A．若G是四面体OABC的底面三角形ABC的重心，则
B．在四面体OABC中，若，则A，B，C，G四点共面
C．已知平行六面体的棱长均为1，且，则对角线的长为
D．若向量，则称（m，n，k）为在基底下的坐标．已知向量在单位正交基底下的坐标为（1，2，3），则在基底下的坐标为
12．（2020高二上·汕尾期末）如图，在棱长为2的平行六面体 中， ，点 分别是 的中点，对角线 与平面 交于点 ，下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．直线 和直线 所成角的余弦值等于
D．三棱锥 的体积是平行四六面体 的体积的
三、填空题
13．在空间直角坐标系 中，已知 ， ，则向量 与平面 的法向量的夹角的正弦值为　 　.
14．（2020高二上·揭阳期末）在长方体 中， ， ，且 与底面 所成角为60°，则直线 与平面 所成的角的正弦值为　 　．
15．（2021高二下·芜湖期中）如图所示，长方体中，，，点是线段的中点，点是正方形的中心，则直线与直线所成角的余弦值为　 　
16．（2021高二上·砀山月考）如图，正方体 的棱长为2，E，F分别为 ， 的中点，则以下说法错误的是　 　（写序号）
①N为 上一点，则平面 与平面 所成二面角的大小与点N位置无关
② 存在上一点P，使得 平面
③ 三棱锥 和 体积相等
④ 上存在一点M，使得
四、解答题
17．（2020高二上·赣县期末）如图，在三棱柱 中，已知 是直角三角形，侧面 是矩形，AB＝BC＝1，BB1＝2， ．
（1）证明：BC1⊥AC．
（2）E是棱CC1的中点，求直线B1C与平面ABE所成角的正弦值．
18．（2020高一上·开封期末）如图，在直四棱柱 中，底面 为直角梯形， ， ， ， .
（1）求证： 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离.
19．（2021高二上·湖南月考）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
20．（2021高二下·怀化期末）如图①所示，在边长为12的正方形 中，点 ， 在线段 上，且 ， ．作 ．分别交 ， 于点 ， ；作 ，分别交 ， 于点 ， ．现将该正方形沿 ， 折叠，使得 与 重合，构成如图②所示的三棱柱 ．
（1）在三棱柱 中，求证： ；
（2）求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值．
21．（2022·齐齐哈尔模拟）已知平面四边形由等腰和组成，，O为上的点且（如图1所示），将等腰沿折起，点M折至点D位置，使得平面平面（如图2所示）.
（1）求证：；
（2）若点E在棱上，且满足，平面和平面所成锐二面角的余弦值为，求四面体的体积.
22．（2021·龙岩模拟）如图，四棱锥 中，底面 为矩形，侧面 为等腰直角三角形， ， ，F是 的中点，二面角 的大小为120°，设平面 与平面 的交线为l.
（1）在线段 上是否存在点E，使 平面 若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由；
（2）若点Q在l上，直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求线段 的长.
答案解析部分
1．【答案】B
【考点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】连接，过作于，如图，
设，
因为正方体的棱长为1，所以，，
因为平面，，所以平面，
所以点到平面的距离为的长度，
因为，
所以。
故答案为：B
【分析】连接，过作于，设，再利用正方体的棱长为1，所以，，再结合平面，，所以平面，所以点到平面的距离为的长度，再利用正弦函数的定义，从而求出PO的长。
2．【答案】A
【考点】数量积的坐标表达式；空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】以为坐标原点，以，，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，， ，
则，，所以．
所以直线与所成角的余弦值为，
故答案为：A．
【分析】根据题意建立空间直角坐标系，由此求出各个点以及向量的坐标，然后由数量积的坐标公式代入数值计算出结果即可。
3．【答案】D
【考点】向量方法证明线、面的位置关系定理
【解析】【解答】解：若 ，则 ，
而 中 ，不满足条件；
中 ，不满足条件；
中 ，不满足条件；
中 ，满足条件．
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合空间向量的方法，再结合方向向量和法向量的求解方法，再利用数量积的坐标表示结合若 ，则 ，从而找出正确答案。
4．【答案】D
【考点】直线与平面平行的判定；直线的方向向量；平面的法向量
【解析】【解答】，，或.
故答案为：D.
【分析】根据题意由数量积的坐标公式，计算出向量垂直，由平面的法向量的性质，即可得出直线与平面的位置关系。
5．【答案】D
【考点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】 ＝(1,2，－4)，又平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，
所以P到α的距离为 ＝ 。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合空间向量的方法，再结合数量积求点到平面的距离公式，进而求出点 P(－2,1,4)到α的距离 。
6．【答案】B
【考点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】以底面中心 为原点，建立空间直角坐标系 ，如图所示：
则 ，
设平面 的方程为 ，将点A，B，P的坐标代入计算得 ， ， ，所以方程可化为 ，即 ，
所以 。
故答案为：B.
【分析】以底面中心 为原点，建立空间直角坐标系 ，进而求出点的坐标，再利用已知条件结合点到直线的距离公式，进而求出底面中心O到侧面 的距离d的值。
7．【答案】A
【考点】向量的模；数量积表示两个向量的夹角；空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】因为 ， ，而 ，A不正确；
因为 ， ，所以 ，B符合题意；
因为 ，C符合题意；
又 ，D符合题意.
故答案为：A
【分析】由空间共线向量的坐标公式代入计算出结果由此判断出选项A正确；再由向量模的公式计算出选项B错误；根据题意由数量积的坐标公式计算出选项C错误；由夹角的数量积公式代入数值计算出结果由此判断出选项D错误，由此得出答案。
8．【答案】A
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】对于A：取BC的中点E，连结DE，取SC中点P，连结PE、PD，
∵PE为△BCS的中位线，∴ PE∥BS，
又 面BFS， 面BFS，∴PE∥面BFS；
在矩形ABCD中，E、F分别为BC、AD的中点，∴DE∥BF,
又 面BFS， 面BFS，∴DE面BFS；
又 ,∴面PDE∥面BFS，∴ 面 ，
A符合题意；
对于B：∵ 为等边三角形， ，∴，
当 时，S与H重合，图形不能构成四棱锥，与已知条件相悖，B不符合题意；
对于C：在Rt△SHE中， ，∴，
当且仅当 时， 的最大值为1.C不符合题意；
对于D:由C的推导可知：当 的最大时，点B到面 的距离d最大，
，
此时 ，
∴，
∴ ，D不符合题意。
故答案为：A
【分析】在四棱锥 中，侧面 为等边三角形，底面 为矩形， ， ，点 是棱 的中点，顶点 在底面 的射影为 ， 再利用等边三角形的性质结合矩形的结构特征，再结合中点的性质和射影定理，再结合线面平行的判定定理、四棱锥的体积公式、点到平面的距离公式，进而找出结论正确的选项。
9．【答案】A,B,C
【考点】平面与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：对于A，假设存在，
如图，取 得中点 ，连接 ，
根据题意得： ，故 即为二面角 得平面角，
， ，
在 中， ，
当 时， ，即 ，
所以当二面角 为 时， ，所以A符合题意；
对于B，假设存在，
如图，取 的中点 ，连接 ，
在菱形 中， ， ，则 为等边三角形，
所以 ，
又因 ，且 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
在 中，因为 为 的中点，所以 ，
所以 ，又 ，
故当点 在使得 为等边三角形的位置时， ，即B符合题意；
对于C，假设存在，
由对称性可知四面体的外接球的球心，在过底面三角形 的中心且垂直底面三角形 的直线上，底面三角形的外接圆半径为： ，
如图，结合A、B，设 交于点 ，过点 作 平面 ， 为三棱锥 外接球的球心，则 ，
因为 ，所以存在某个位置，使得 ， ， ， 四点落在半径为 的球面上，C符合题意；
对于D， 点 到 的距离为 ，点 到 的距离为 ，
若 到平面 的距离为 ，则平面 平面 ．平面 平面 ，
则有 平面 ，即 ，与 是等边三角形矛盾．D不符合题意.
故答案为：ABC．
【分析】 A,判断菱形的对角线AC的长度,即可判断选项的正误；B,当点P在平面BCD内的投影为△BCD的重心点Q时，可得PB C平面PBQ，PB⊥CD,即可判断；C,求出底面三角形的外接圆的半径，然后判断外接球的半径与外接球的半径的关系，即可判断C的正误；D,若B到平面PDC的距离为 ,则有DB平面PCD，即 ，与 是等边三角形矛盾.
10．【答案】B,C,D
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；点、线、面间的距离计算；三角形中的几何计算
【解析】【解答】因为 ，而 与 显然不垂直，因此 与 不垂直，A不符合题意；取 中点 ，连接 ， ，由 分别是 中点，得 ，
又 ， ， 是平行四边形，所以 ， ， 平面 ，所以 平面 ， 平面 ，
而 ， 平面 ，所以平面 平面 ，
又 平面 ，所以 平面 ．B符合题意；
由正方体性质，连接 ，则截面 即为四边形 ，它是等腰梯形，
， ，等腰梯形的高为 ，
截面面积为 ，C符合题意，
设 ，易知 是 的中点，所以 两点到平面 的距离相等．D符合题意．
故答案为：BCD．
【分析】利用已知条件结合正方体的结构特征，再结合中点的性质和线线垂直的判断方法、线面平行的判定定理、平面截正方体所得截面的方法结合三角形的面积公式、点到平面的距离求解方法，从而找出正确的选项。
11．【答案】A,C,D
【考点】平面向量的基本定理及其意义；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；共线向量与共面向量
【解析】【解答】A：令，，，，又G是底面三角形ABC的重心，
∴，，，，，
∴成立，正确；
B：由，而，A，B，C，G四点不共面，错误；
C：如下图，
，
∴，又且棱长为1，
∴，则，正确；
D：在基底下坐标为，则，故在基底下坐标为（1，2，3），正确.
故答案为：ACD.
【分析】令，，，，再利用点G是底面三角形ABC的重心结合重心求解公式得出点G的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再由平面向量基本定理得出；由，而结合四点共面的判断方法，得出A，B，C，G四点不共面；再利用平面向量基本定理和数量积的运算法则以及数量积的定义，再结合已知条件和数量积求模公式得出对角线的长；利用在基底下坐标为，再结合平面向量基本定理得出，进而得出向量在基底下坐标，进而找出说法正确的选项。
12．【答案】A,B
【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【解答】解：依题意以 ， ， 作为空间的一组基底，则
所以
所以 ，A符合题意；
设直线 和直线 所成的角为 ，则 ，C不符合题意；
因为 ，所以
，即 ，同理可证 ， ， 面 ，所以 面 ，即 面 ，即 为正三棱锥 的高，因为 ，所以 ，所以 ，B符合题意； ，其中 ，所以 ，D不符合题意；
故答案为：AB
【分析】以 ， ， 作为空间的一组基底，利用空间向量判断选项A和选项C，利用空间向量法可得面PMN，再求正三棱锥A-PMN的高AH，即可判断选项B，利用割补法判断选项D。
13．【答案】
【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】平面 的一个法向量为 ， ，
所以 ，
∵ ，
∴ 。
故答案为： 。
【分析】 在空间直角坐标系 中，已知 ， ， 再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合空间向量的方法结合数量积求向量夹角公式，从而求出向量 与平面 的法向量的夹角的余弦值，再利用向量 与平面 的法向量的夹角的取值范围，进而结合同角三角函数基本关系式，从而求出向量 与平面 的法向量的夹角的正弦值。
14．【答案】
【考点】用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【解答】 长方体 中， 平面面 ，
即为 与底面 所成角， ，
， ，
以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则 ，
则 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，则 ，即 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 .
故答案为： .
【分析】 可得AD=AA1=，以D为原点, DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则，求得平面 的法向量，由，即可求解.
15．【答案】
【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】如下图所示，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则点 、 、 、 ，
， ， ，
因此，直线 与直线 所成角的余弦值为 .
故答案为： .
【分析】如图建立空间直角坐标系，求出两直线的方向向量，代入夹角公式即可求解。
16．【答案】②
【考点】反证法的应用；棱柱、棱锥、棱台的体积；向量的数量积判断向量的共线与垂直；点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】解：对于①，因为N为 上一点，所以平面 与平面 所成二面角α即为平面 与平面 BCC1B1所成二面角β，显然β是固定角，故①正确；
对于②，假设BB上存在点P，使得C1P⊥平面EFB1C，则C1P⊥FB1，而FB1⊥B1C1，所以FB1⊥平面BB1C1C，显然错误，故②错误；
对于③，，又，
所以，而，
连接DA1，则F到平面DB1C的距离即为F到A1D的距离，所以,
所以
所以，故③正确；
对于④，以D1为原点，分别以D1A1，D1D，D1C1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
则C(0，2，2),F(2，0，1),M(x,0,0)，
则
当，即，即时，，
此时 ，故④正确
故答案为：②
【分析】根据二面角的平面角的定义可判断①，运用反证法结合直线与平面垂直的判定定理可判断②，根据棱锥的体积公式，结合点到平面的距离，运用等体积法可判断③，利用向量法结合向量数量积运算的坐标表示可判断④.
17．【答案】（1）证明：因为 是直角三角形，所以AB⊥BC．
因为侧面 是矩形，所以AB⊥BB1．
因为BC∩BB1＝B，所以AB⊥平面BCC1B1，
又因为 平面BCC1B1，
所以AB⊥BC1．
因为BC＝1，BB1＝CC1＝2， ，
所以 ，所以BC⊥BC1．
因为BC∩AB＝B，所以BC1⊥平面ABC．
因为 平面ABC．所以BC1⊥AC．
（2）解：由（1）知，BC，BA，BC1两两垂直，故以B为坐标原点，分别以BC，BA，BC1为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示：
则B（0，0，0），C（1，0，0），A（0，1，0）， ， ．
， （2，0， ），
设面ABE的法向量为 ，由 ，得 ，
令z1＝1，得 ．
设直线B1C与平面ABE所成角的大小为θ，则 ，
所以直线B1C与平面ABE所成角的正弦值为 ．
【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1）推导出 AB⊥BC ， AB⊥BB1 从而 AB⊥平面BCC1B1 ，进而 AB⊥BC1 推导出 BC⊥BC1 ，从而 BC1⊥平面ABC ，由此能证明 BC1⊥AC ；
（2） 以B为坐标原点，分别以BC，BA，BC1为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线B1C与平面ABE所成角的正弦值。
18．【答案】（1）证明：∵底面 为直角梯形，
， ， ， ，
∴
∴
∵直四棱柱
∴ 底面
∵ 平面
∴
∵ ， ， ， 平面 ，
∴ 平面
（2）解：在 中，
在 中，
设 到平面 的距离为
在 中，
在 中，
，
由 ，则 ，解得
故点 到平面 的距离为 .
【考点】直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1） 利用底面 为直角梯形，所以 ， ， ， ，所以，所以 ，再利用直四棱柱 ，所以 底面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用 ， 结合线线垂直证出线面垂直，从而证出 平面 。
（2） 在 中， ，在 中， ，再利用四棱锥的体积公式，从而求出的值，在 中， ，在 中， ，再结合三角形的面积公式结合三棱锥的体积公式，从而结合等体积法得出点 到平面 的距离。
19．【答案】（1）如图，以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，．
因为，，
所以，即；
（2）设平面的法向量为
因为，
由，得，令，则
所以平面的一个法向量为，又
所以
故直线与平面所成角的正弦值为．
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1） 以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示，从而证出。
（2） 利用已知条件结合法向量的定义，从而求出平面的法向量，再利用结合数量积求向量夹角公式得出直线与平面所成角的余弦值，再结合诱导公式得出直线与平面所成角的正弦值。
20．【答案】（1）因为 ， ，
所以图②中 ，
从而有 ，即 ．
又因为 ，
所以 平面 ，由 平面 ，
故 ．
（2）如图，建立空间直角坐标系．
由图①可知
设平面 的法向量为 ，则有
所有可取
又平面 的法向量为
设平面 与平面 所成的锐二面角为 ，
从而
故平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 ．
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1） 因为 ， ，再利用勾股定理，所以图②中 ，再利用勾股定理，则 ，又因为 ，再利用线线垂直证出线面垂直，所以 平面 ，再利用线面垂直的定义，从而证出线线垂直，即证出 。
（2） 利用已知条件，建立空间直角坐标系，由图①可知 进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式，从而求出平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值。
21．【答案】（1）证明：因为，所以在中，.
又因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，又因为平面，所以.
（2）解：在平面内过点O作的垂线，建立空间直角坐标系如图所示：
设，则，
.
设平面的一个法向量，
则，即，解得，
不妨取，则.结合（1）知，平面，
取平面的一个法向量，
则，解得.
在中，因为，所以，
所以的面积为，
所以四面体的体积为.
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）先通过面面垂直的性质证明平面 ，进而证明 ；
（2） 建立空间直角坐标系 ，求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量法表示出锐二面角的余弦值求出参数，进而计算出四面体的体积.
22．【答案】（1）在线段 上存在点E满足题意，且E为 中点，
连接 ， ， ， 底面 为矩形， ，
又E，F分别是 ， 中点， ，
又侧面 为等腰直角三角形， ， ，
平面 .
因为 ， 面 ， 面 ，
所以 面 ，
又因为 面 ，面 面 ，所以 ，
又因为 平面 ，所以 平面 ，
所以在线段 上存在点E满足 平面 ，且E为 中点，
（2）以E为原点， 方向为x轴，EF方向为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由(1)知， 为二面角 的一个平面角，
所以 ，因为侧面 为等腰直角三角形， ，
所以 ， ， ， ,
设
， ， ，
设平面 的法向量为 ，则
由 ，得 ，取 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，得 ，
所以 ，又因为 ，所以 .
【考点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】(1) 在线段 上存在点E满足题意，且E为 中点 ，通过证明l的平行线 平面 即可得到 平面 。
(2) 以E为原点， 方向为x轴，EF方向为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，求解平面 的法向量， 利用 求解t，进而计算出Q的坐标，再利用两点间的距离公式求解线段 的长.
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