精讲精练·专项突破
2021-2022学年高二上学期人教版（2019）
第一章 《空间向量与几何》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021高二上·肇东月考）已知 ， ， 与 共线，则 （ ）
A．5 B．6 C．3 D．9
2．（2021高二上·广东期中）如图，在直三棱柱 中，D为棱 的中点， ， ， ，则异面直线CD与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021高二上·辽宁月考）若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则（ ）
A． B．
C． D． 与 斜交
4．（2021高三上·揭东期中）已知向量 ， ，则( )
A． B．若 ，则
C．若 ，则 D．
5．（2022高二下·杭州开学考）已知向量n＝(2，0，1)为平面a的法向量，点A(－1，2，1)在α内，则点P(1，2，2)到平面α的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．（2020高二上·海东期末）如图，四边形 和 都是正方形， 为 的中点， ，则直线 与平面 所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021高二上·丰台期中）如图，在四面体 中， ， ， 两两垂直，已知 ， ，则直线 与平面 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022高三上·沧州月考）在正三棱锥中，AB，AC，AD两两垂直，E，F分别是AB，AD的中点，过E，F的平面与棱AC交于点G，且（V表示体积），则AC与平面EFG所成角的正切值等于（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022高二上·南山期末）以下命题正确的是（ ）
若 是平面 的一个法向量， 是平面 的一个法向量， 是直线b上不同的两点，则（ ）
A．
B．
C． ，使得
D．设 与 的夹角为 ，则 ．
10．（2022·漳州模拟）已知正方体的边长为2，为的中点，为侧面上的动点，且满足平面，则下列结论正确的是（ ）
A． B．平面
C．动点的轨迹长为 D．与所成角的余弦值为
11．（2021高二上·山东月考）给出下列命题，其中正确的命题为（ ）
A．若 ，则一定有点 与点 重合，点 与点 重合.
B．若 为钝角，则
C．若 为直线 的方向向量，则 且 ，也是直线 的方向向量
D．非零向量 ， ， 满足 与 ， 与 ， 与 都是共面向量，则 ， ， 必共面.
12．（2021高二上·洮南月考）如图，AE⊥平面ABCD，CF//AE，AD// BC，AD⊥AB，AE= BC=2，AB=AD=1， ，则（ ）
A．BD⊥EC
B．BF//平面ADE
C．二面角E- BD-F的余弦值为
D．直线CE与平面BDE所成角的正弦值为
三、填空题
13．（2021·江西模拟）在棱长为2的正方体 中，点P是直线 上的一个动点，点Q在平面 上，则 的最小值为 .
14．（2021高三上·湖北期中）如图，已如平面四边形ABCD， ， ， ， .沿直线AC将 翻折成 ，则 ；当平面 平面ABC时，则异面直线AC与 所成角余弦值是 .
15．（2021高二上·东城期末）已知点，平面过，，三点，则点到平面的距离为 .
16．（2021高二上·房山期中）如图，在正方体 中，点E，F分别是棱 ， 上的动点.给出下面四个命题：
①点B，D到平面ACE的距离相等；
②点E，F到直线AC的距离相等；
③直线AF与直线CE所成角的最大值是 ；
④平面CDF与平面ACE所成角的最大值是 .
其中，真命题的序号为 .
四、解答题
17．（2020高二上·溧阳期末）如图，在四边形ABCD中， ，且 ， ，点E是线段AB上靠近点A的一个三等分点，以DE为折痕将 折起，使点A到达点 的位置，且 .
（1）证明：平面 平面BCD；
（2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
18．（2020高二上·晋中期末）已知矩形 所在平面与直角梯形 所在的平面垂直，交线为 ， ， ，且 ， ，点 是棱 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
19．（2020高二上·海东期末）如图， 平面 ，四边形 为直角梯形， ， ， .
（1）证明： .
（2）若 ，点E在线段 上，且 ，求二面角 的余弦值.
20．（2021高一下·山西期末）如图，已知四棱锥 ， 为等边三角形，直线 ， ， 两两垂直，且 ， 为线段 上的一点.
（1）若平面 平面 ，求 ；
（2）若三棱锥 的体积为四棱锥 体积的 ，求点 到平面 的距离.
21．如图，在直三棱柱 中， ， ， . 是线段 的中点， 是侧棱 上的一点.若 ，试求：
（1） 与底面 的夹角的正切值；
（2）BD与侧面AOO'A' 的夹角的余弦值.
22．（2020高二上·汕尾期末）如图，在四棱锥 中， 底面 ， 是直角梯形， ， ， ，点E是 的中点.
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ，求二面角 的余弦值.
答案解析部分
1．【答案】D
【考点】共线向量与共面向量
【解析】【解答】解：由题意得，则，解得，则x-y=9.
故答案为：D
【分析】根据空间向量的共线定理求解即可.
2．【答案】A
【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】以C为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
由已知可得 ， ， ， ，则 ， ，
所以 ，
又因为异面直线所成的角的范围为 ，所以异面直线 与 所成角的余弦值为 。
故答案为：A.
【分析】以C为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，由已知可得点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，得出的值 ，再利用异面直线所成的角的取值范围，从而得出异面直线 与 所成角的余弦值。
3．【答案】D
【考点】向量方法证明线、面的位置关系定理
【解析】【解答】 所以 与 不平行也不垂直，所以 与 斜交。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合方向向量的定义和法向量的定义，再结合线面的位置关系判断方法，从而找出正确的选项。
4．【答案】D
【考点】共线向量与共面向量；空间向量的数量积运算；空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】A：由相等向量的概念可知， ，则方程组无解，A不符合题意；
B：若 ，则 ，解得 或 ，B不符合题意；
C：若 ，则 ，解得 ，C不符合题意；
D：因为 ，
所以 ，
当且仅当 时，不等式取等号，从而 ，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据椭圆由空间的相等向量、共线向量以及向量模的公式，结合基本不等式然后对选项逐一判断即可得出答案。
5．【答案】B
【考点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：因为A(-1，2，1) ， P(1，2，2)
所以 ，
因为平面 α 的法向量，
所以点 P(1，2，2) 到平面 α 的距离 .
故选：B
【分析】利用点到面的距离的向量求法直接求解即可.
6．【答案】C
【考点】用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【解答】以 为原点，以 、 的方向分别为 、 轴的正方向，过 作垂直平面 的直线作 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ．
设 ，得 、 、 、 ，
则 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，则 ， ，
所以，平面 的一个法向量为 ，
从而 ，
故直线 与平面 所成角的余弦值是 .
故答案为：C.
【分析】 以 为原点，以 、 的方向分别为 、 轴的正方向，过 作垂直平面 的直线作 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ，求出 ,平面AGE的法向量，利用空间向量的数量积求解直线BG与平面AGE所成角的余弦值即可.
7．【答案】D
【考点】用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【解答】以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系（如图所示），
则 ， ，
， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ， ，
所以平面 的一个法向量为 ；
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
即直线 与平面 所成角的正弦值为 。
故答案为：D.
【分析】以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式，从而求出直线 与平面 所成角的正弦值。
8．【答案】D
【考点】数量积表示两个向量的夹角；空间向量的数量积运算；直线与平面所成的角
【解析】【解答】由条件将正三棱锥补形成正方体，如图
分别以为轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2
由，则
所以
即，则
所以,,
, ,
设平面的法向量为
则,即 ，取
设与平面成角，则
所以 所以
故答案为：D
【分析】根据题意建立空间直角坐标系，由此即可求出点以及平面法向量的坐标，然后由数量积的坐标公式代入计算出直线与平面所成角的正弦值，结合线面角与向量夹角的关系，计算出结果由此即可得出答案。
9．【答案】B,C,D
【考点】向量语言表述线面的垂直、平行关系；向量语言表述面面的垂直、平行关系；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【解答】解：对于A，当 且AB￠平面α时，满足b//α ，故A错误；
对于B：若，则 ，若则，即可得到，故B正确；
对于C：若α//β ，则 ，则 ，使得 ，若，使得，则 ，所以α//β，故C正确；
对于D：设α与β的夹角为θ，则 ，所以 ，故D正确；
故选：BCD
【分析】根据空间向量与空间位置关系一一判断即可；
10．【答案】B,C
【考点】用向量证明垂直；向量语言表述线面的垂直、平行关系；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，
则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ，
由 平面 ，
得 ，即 ，化简可得 ，
所以动点 在直线 上，
A选项： ， ， ，所以 与 不垂直，所以A选项错误；
B选项： ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，B选项正确；
C选项：动点 在直线 上，且 为侧面 上的动点，则 在线段 上， ，所以 ，C选项正确；
D选项： ， ，D选项错误；
故答案为：BC.
【分析】建立空间直角坐标系，结合向量法判断各选项.
11．【答案】B,C
【考点】相等向量与相反向量；数量积表示两个向量的夹角；共线向量与共面向量；直线的方向向量
【解析】【解答】A、在平行四边形 中，有 ，但是 与点 不重合，点 与点 不重合，A不符合题意；
B、因为 为钝角，所以 ，则 ，B符合题意；
C、因为 且 与 共线，由直线的方向向量的概念可知C符合题意；
D、如图：
在三棱柱中，满足 与 ， 与 ， 与 都是共面向量，但是 ， ， 不共面，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】在平行四边形 中，有 ，但是 与点 不重合，点 与点 不重合；再利用数量积求向量夹角公式结合向量的夹角为钝角，从而推出数量积为负；再利用已知条件结合方向向量的定义和共线定理，从而推出向量 为直线 的方向向量，则 且 ，也是直线 的方向向量；再利用已知条件结合共面向量的判断方法，从而推出在三棱柱中，满足 与 ， 与 ， 与 都是共面向量，但是 ， ， 不共面，从而找出正确的命题的选项。
12．【答案】B,C
【考点】向量语言表述线线的垂直、平行关系；向量语言表述线面的垂直、平行关系；用空间向量求直线与平面的夹角；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【解答】解：以A为原点，分别以ABADAE的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，
如图所示，
可得A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，1，0),E(0，0，2)，，
则，则BD，EC不垂直，则A错误;
是平面ADE的法向量，又，可得，又因为，所以BF//平面ADE，则B正确;
设为平面BDF的一个法向量，则 即
令b=1，可得
依题意
设为平面BDE的法向量，则,即，
令z=1,可得)，所以，则C正确;
，则D错误
【分析】根据题意，建立恰当的空间直角坐标系，利用向量法逐项判断即可求解.
13．【答案】
【考点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】因为 ，且 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，所以 的最小值为点 到平面 的距离，设 到平面 的距离为 ，
则 ，所以 ，
即 ，解得 ，
故答案为： .
【分析】根据题意由正方体的几何性质利用等体积法代入数值计算出结果即可。
14．【答案】2；
【考点】数量积表示两个向量的夹角；异面直线及其所成的角；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】因为 ， ， ，由勾股定理得： ，因为 ，所以三角形ABC为等腰三角形
取AC的中点O，则OB⊥AC，以O为原点，OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，垂直于平面ABC为z轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，所以 ， ，则 ；当平面 平面ABC时， 在yoz平面上，则 ，
设异面直线AC与 所成角为 ，则
异面直线AC与 所成角余弦值是
故答案为：2，
【分析】首先由折叠问题即可得出线线垂直，由此建立空间直角坐标系，从而求出点以及向量的坐标，再由数量积的坐标公式代入数值计算出结果即可；再由题意结合异面直线的定义求出异面直线所成角，然后由夹角的数量积公式代入数值计算出结果即可。
15．【答案】
【考点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】因为，，，，
所以，
设平面ABC的一个法向量为，
则，即，
令，则，
所以则点到平面的距离为，
故答案为：
【分析】先求得平面ABC的一个法向量，然后由，即可求出点到平面的距离。
16．【答案】①③④
【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直；点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【解答】对①如图，连接BD，则线段BD的中点在线段AC上，
又 面ACE，则点B，D到平面ACE的距离相等，①正确
对②，若点E，F到直线AC的距离相等，则必有 ，
但点E，F分别是棱 ， 上的动点，则 不一定与 平行，②错误；
对③如图建立空间直角坐标系，设正方体 的棱长为2，
则 ，设 ，
，
当 时， 取最小值 ，
此时直线AF与直线CE所成角的最大值是 ，③正确；
对④，设平面CDF的法向量为 ，
又 ，
则 ，则平面CDF的一个法向量为 ，
设平面ACE的法向量为 ，
又 ，
则 ，则平面CDF的一个法向量为 ，
设平面CDF与平面ACE所成角为 ，
则 ，
当 时， ，此时 ，
故平面CDF与平面ACE所成角的最大值是 ，④正确.
故答案为：①③④.
【分析】由正方体的几何性质，结合线线平行的几何意义即可判断出①正确、②错误；根据题意建立空间直角坐标系，求出各个点以及向量的坐标，由此点到平面的法向量结合数量积的坐标公式，计算出线线角和二面角的最大值，从而判断出③正确、④正确；由此即可得出答案。
17．【答案】（1）证明：由题意，四边形BCDE为菱形，连接CE，取DE的中点O，
连接 ，OC，如图所示，
在 中， ，且 ， ，可得， ，
则 ，则 ，
即 ，即 .
因为O是DE的中点，所以 ，
因为 ，所以 为等边三角形，
所以 ，且 ，
所以 ，所以 ，即 .
又因为 ，且 ，所以 平面 ，
又因为 平面BCD，所以平面 平面BCD
（2）解：以 的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
则 ， ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，可得 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，得 .
因为 .
所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为
【考点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；空间向量的数量积运算；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1)根据题意作出辅助线，由中点的性质结合三角形中的几何计算关系，代入数值计算出边的大小以及线线垂直，从而得出三角形的形状利用勾股定理计算出线线垂直，然后由线面垂直以及面面垂直的判定定理即可得证出结论。
(2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到 平面 与平面 所成锐二面角的余弦值 。
18．【答案】（1）证明：因为矩形 所在平面与直角梯形 所在的平面垂直，平面 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 两两垂直，
所以如图，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ，
平面 的一个法向量 ，
∵
∴ ，
∴ 平面 .
（2）解： ， ，平面 的一个法向量 ，
由 得 ，令 ，则 ， ，
∴ ，
平面 的一个法向量 ，
∴ ，
∵二面角 为钝二面角，
∴二面角 的余弦值为 .
【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质；空间向量的数量积运算；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1)根据题意由面面垂直的性质定理即可得出线面垂直，然后由线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，由此建立空间直角坐标系求解出各个点以及向量的坐标，结合数量积的坐标公式代入计算出向量垂直，由此即可得出线面平行。
(2)据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到二面角 的余弦值 。
19．【答案】（1）证明：如图所示：
由题意易知 .
作 ，垂足为H，则 ，
所以 .
因为 ，
所以 .
因为 平面 平面 ，
所以 .
因为 平面 平面 ，且 ，
所以 平面 .
因为 平面 ，
所以 .
（2）解：因为 ，且 ，所以 .
以A为原点，分别以 的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 .
则 ，
从而 .
设平面 的一个法向量为 .
则 ，令 ，得 .
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，得 .
设二面角 为 ，由图可知 为锐角，
则 .
【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】 (1)作CH⊥AD,垂足为H,利用勾股定理证明AC⊥CD,证明AP⊥CD,推出CD⊥平面
APC,然后证明CD⊥PC；
(2) 以A为原点，分别以 的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ， 求出平面APE的法向量，平面PCE的法向量,利用空间向量的数量积求解二面角A-PE-C的余弦函数值即可.
20．【答案】（1）解：连接 交 于点 ，易知 为线段 的垂直平分线，
且 为 在平面 上的投影，所以 ，
连接 ，则 ，又因为平面 平面 ，
平面 平面 ，而 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，
因为等腰直角三角形中 ，等边三角形中 ，故 ，
又因为 ，即 ，
所以 ；
（2）设 到平面 的距离为d，
∵ ，∴ .
其中 ， .
，
∴∴ ，
即点 到平面 距离为 .
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1） 连接 交 于点 ，易知 为线段 的垂直平分线，且 为 在平面 上的投影，所以 ，由平面 平面 可得 平面 ，再根据比值的关系列等式即可求出 的值；
（2） 设 到平面 的距离为d，由 得出 ，根据棱锥的体积公式即可求出点 到平面 距离 。
21．【答案】（1）解：如图，以 为原点建立空间直角坐标系.由题意，得 ， .
设 ，则 ， .
∵ ，∴ ，解得 .
∴ .
∵ 平面 ，∴ 是 与底面 的夹角.
∵ ，
∴ 与底面 的夹角的正切值是
（2）解：∵ ，且 平面 ，
∴平面 的一个法向量为 .又∵ ，
∴ .
又∵ ， ，
∴ .
∴ 与侧面 的夹角的余弦值为
【考点】用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1） 以 为原点建立空间直角坐标系结合已知条件求出点B,D的坐标，再设 结合向量的坐标表示，进而求出向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0等价关系，再结合数量积的坐标表示，进而求出z的值，从而求出点P的坐标，再利用线面垂直得出 是 与底面 的夹角，再结合正切函数的定义，进而求出直线 与底面 的夹角的正切值。
（2） 以 为原点建立空间直角坐标系结合已知条件求出点的坐标，再结合向量的坐标表示，进而求出向量的坐标，再利用空间向量的方法结合数量积求向量夹角公式求出直线 与侧面 的夹角的余弦值 。
22．【答案】（1）证明：∵ 平面 ， 平面
∴
∵ ， ， ，
∴ ，∴
∵ ， 平面 ， 平面
∴ 平面 ，
∵ 平面 ，∴平面 平面 .
（2）解： 平面 ， 平面 ，所以 .
又 ，所以 ，
取 的中点G，连结 ，以点C为坐标原点，分别以 、 、 所在直线
为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
∴ ， ， .
设 为平面 的法向量，
则 ，即 ，
取 ，得 ， ，
∴
设 为平面 的法向量，
则 ，即
取 ，得 ，
∴ .
∴
又 所求二面角 为锐角，所以二面角 的余弦值为 .
【考点】平面与平面垂直的判定；空间向量运算的坐标表示；平面的法向量；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）由和，可证平面PBC，即可证平面EAC平面PBC；
（2）取AB的中点G,连接CG以C为坐标原点，分别以CG、CD、CP所在直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，代入数值分别求出两个平面的法向量，即可求得该二面角的余弦值。
25精讲精练·专项突破
2021-2022学年高二上学期人教版（2019）
第一章 《空间向量与几何》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021高二上·肇东月考）已知 ， ， 与 共线，则 （ ）
A．5 B．6 C．3 D．9
【答案】D
【考点】共线向量与共面向量
【解析】【解答】解：由题意得，则，解得，则x-y=9.
故答案为：D
【分析】根据空间向量的共线定理求解即可.
2．（2021高二上·广东期中）如图，在直三棱柱 中，D为棱 的中点， ， ， ，则异面直线CD与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】以C为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
由已知可得 ， ， ， ，则 ， ，
所以 ，
又因为异面直线所成的角的范围为 ，所以异面直线 与 所成角的余弦值为 。
故答案为：A.
【分析】以C为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，由已知可得点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，得出的值 ，再利用异面直线所成的角的取值范围，从而得出异面直线 与 所成角的余弦值。
3．（2021高二上·辽宁月考）若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则（ ）
A． B．
C． D． 与 斜交
【答案】D
【考点】向量方法证明线、面的位置关系定理
【解析】【解答】 所以 与 不平行也不垂直，所以 与 斜交。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合方向向量的定义和法向量的定义，再结合线面的位置关系判断方法，从而找出正确的选项。
4．（2021高三上·揭东期中）已知向量 ， ，则( )
A． B．若 ，则
C．若 ，则 D．
【答案】D
【考点】共线向量与共面向量；空间向量的数量积运算；空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】A：由相等向量的概念可知， ，则方程组无解，A不符合题意；
B：若 ，则 ，解得 或 ，B不符合题意；
C：若 ，则 ，解得 ，C不符合题意；
D：因为 ，
所以 ，
当且仅当 时，不等式取等号，从而 ，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据椭圆由空间的相等向量、共线向量以及向量模的公式，结合基本不等式然后对选项逐一判断即可得出答案。
5．（2022高二下·杭州开学考）已知向量n＝(2，0，1)为平面a的法向量，点A(－1，2，1)在α内，则点P(1，2，2)到平面α的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【考点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：因为A(-1，2，1) ， P(1，2，2)
所以 ，
因为平面 α 的法向量，
所以点 P(1，2，2) 到平面 α 的距离 .
故选：B
【分析】利用点到面的距离的向量求法直接求解即可.
6．（2020高二上·海东期末）如图，四边形 和 都是正方形， 为 的中点， ，则直线 与平面 所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【解答】以 为原点，以 、 的方向分别为 、 轴的正方向，过 作垂直平面 的直线作 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ．
设 ，得 、 、 、 ，
则 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，则 ， ，
所以，平面 的一个法向量为 ，
从而 ，
故直线 与平面 所成角的余弦值是 .
故答案为：C.
【分析】 以 为原点，以 、 的方向分别为 、 轴的正方向，过 作垂直平面 的直线作 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ，求出 ,平面AGE的法向量，利用空间向量的数量积求解直线BG与平面AGE所成角的余弦值即可.
7．（2021高二上·丰台期中）如图，在四面体 中， ， ， 两两垂直，已知 ， ，则直线 与平面 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【解答】以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系（如图所示），
则 ， ，
， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ， ，
所以平面 的一个法向量为 ；
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
即直线 与平面 所成角的正弦值为 。
故答案为：D.
【分析】以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式，从而求出直线 与平面 所成角的正弦值。
8．（2022高三上·沧州月考）在正三棱锥中，AB，AC，AD两两垂直，E，F分别是AB，AD的中点，过E，F的平面与棱AC交于点G，且（V表示体积），则AC与平面EFG所成角的正切值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】数量积表示两个向量的夹角；空间向量的数量积运算；直线与平面所成的角
【解析】【解答】由条件将正三棱锥补形成正方体，如图
分别以为轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2
由，则
所以
即，则
所以,,
, ,
设平面的法向量为
则,即 ，取
设与平面成角，则
所以 所以
故答案为：D
【分析】根据题意建立空间直角坐标系，由此即可求出点以及平面法向量的坐标，然后由数量积的坐标公式代入计算出直线与平面所成角的正弦值，结合线面角与向量夹角的关系，计算出结果由此即可得出答案。
二、多选题
9．（2022高二上·南山期末）以下命题正确的是（ ）
若 是平面 的一个法向量， 是平面 的一个法向量， 是直线b上不同的两点，则（ ）
A．
B．
C． ，使得
D．设 与 的夹角为 ，则 ．
【答案】B,C,D
【考点】向量语言表述线面的垂直、平行关系；向量语言表述面面的垂直、平行关系；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【解答】解：对于A，当 且AB￠平面α时，满足b//α ，故A错误；
对于B：若，则 ，若则，即可得到，故B正确；
对于C：若α//β ，则 ，则 ，使得 ，若，使得，则 ，所以α//β，故C正确；
对于D：设α与β的夹角为θ，则 ，所以 ，故D正确；
故选：BCD
【分析】根据空间向量与空间位置关系一一判断即可；
10．（2022·漳州模拟）已知正方体的边长为2，为的中点，为侧面上的动点，且满足平面，则下列结论正确的是（ ）
A． B．平面
C．动点的轨迹长为 D．与所成角的余弦值为
【答案】B,C
【考点】用向量证明垂直；向量语言表述线面的垂直、平行关系；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，
则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ，
由 平面 ，
得 ，即 ，化简可得 ，
所以动点 在直线 上，
A选项： ， ， ，所以 与 不垂直，所以A选项错误；
B选项： ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，B选项正确；
C选项：动点 在直线 上，且 为侧面 上的动点，则 在线段 上， ，所以 ，C选项正确；
D选项： ， ，D选项错误；
故答案为：BC.
【分析】建立空间直角坐标系，结合向量法判断各选项.
11．（2021高二上·山东月考）给出下列命题，其中正确的命题为（ ）
A．若 ，则一定有点 与点 重合，点 与点 重合.
B．若 为钝角，则
C．若 为直线 的方向向量，则 且 ，也是直线 的方向向量
D．非零向量 ， ， 满足 与 ， 与 ， 与 都是共面向量，则 ， ， 必共面.
【答案】B,C
【考点】相等向量与相反向量；数量积表示两个向量的夹角；共线向量与共面向量；直线的方向向量
【解析】【解答】A、在平行四边形 中，有 ，但是 与点 不重合，点 与点 不重合，A不符合题意；
B、因为 为钝角，所以 ，则 ，B符合题意；
C、因为 且 与 共线，由直线的方向向量的概念可知C符合题意；
D、如图：
在三棱柱中，满足 与 ， 与 ， 与 都是共面向量，但是 ， ， 不共面，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】在平行四边形 中，有 ，但是 与点 不重合，点 与点 不重合；再利用数量积求向量夹角公式结合向量的夹角为钝角，从而推出数量积为负；再利用已知条件结合方向向量的定义和共线定理，从而推出向量 为直线 的方向向量，则 且 ，也是直线 的方向向量；再利用已知条件结合共面向量的判断方法，从而推出在三棱柱中，满足 与 ， 与 ， 与 都是共面向量，但是 ， ， 不共面，从而找出正确的命题的选项。
12．（2021高二上·洮南月考）如图，AE⊥平面ABCD，CF//AE，AD// BC，AD⊥AB，AE= BC=2，AB=AD=1， ，则（ ）
A．BD⊥EC
B．BF//平面ADE
C．二面角E- BD-F的余弦值为
D．直线CE与平面BDE所成角的正弦值为
【答案】B,C
【考点】向量语言表述线线的垂直、平行关系；向量语言表述线面的垂直、平行关系；用空间向量求直线与平面的夹角；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【解答】解：以A为原点，分别以ABADAE的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，
如图所示，
可得A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，1，0),E(0，0，2)，，
则，则BD，EC不垂直，则A错误;
是平面ADE的法向量，又，可得，又因为，所以BF//平面ADE，则B正确;
设为平面BDF的一个法向量，则 即
令b=1，可得
依题意
设为平面BDE的法向量，则,即，
令z=1,可得)，所以，则C正确;
，则D错误
【分析】根据题意，建立恰当的空间直角坐标系，利用向量法逐项判断即可求解.
三、填空题
13．（2021·江西模拟）在棱长为2的正方体 中，点P是直线 上的一个动点，点Q在平面 上，则 的最小值为 .
【答案】
【考点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】因为 ，且 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，所以 的最小值为点 到平面 的距离，设 到平面 的距离为 ，
则 ，所以 ，
即 ，解得 ，
故答案为： .
【分析】根据题意由正方体的几何性质利用等体积法代入数值计算出结果即可。
14．（2021高三上·湖北期中）如图，已如平面四边形ABCD， ， ， ， .沿直线AC将 翻折成 ，则 ；当平面 平面ABC时，则异面直线AC与 所成角余弦值是 .
【答案】2；
【考点】数量积表示两个向量的夹角；异面直线及其所成的角；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】因为 ， ， ，由勾股定理得： ，因为 ，所以三角形ABC为等腰三角形
取AC的中点O，则OB⊥AC，以O为原点，OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，垂直于平面ABC为z轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，所以 ， ，则 ；当平面 平面ABC时， 在yoz平面上，则 ，
设异面直线AC与 所成角为 ，则
异面直线AC与 所成角余弦值是
故答案为：2，
【分析】首先由折叠问题即可得出线线垂直，由此建立空间直角坐标系，从而求出点以及向量的坐标，再由数量积的坐标公式代入数值计算出结果即可；再由题意结合异面直线的定义求出异面直线所成角，然后由夹角的数量积公式代入数值计算出结果即可。
15．（2021高二上·东城期末）已知点，平面过，，三点，则点到平面的距离为 .
【答案】
【考点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】因为，，，，
所以，
设平面ABC的一个法向量为，
则，即，
令，则，
所以则点到平面的距离为，
故答案为：
【分析】先求得平面ABC的一个法向量，然后由，即可求出点到平面的距离。
16．（2021高二上·房山期中）如图，在正方体 中，点E，F分别是棱 ， 上的动点.给出下面四个命题：
①点B，D到平面ACE的距离相等；
②点E，F到直线AC的距离相等；
③直线AF与直线CE所成角的最大值是 ；
④平面CDF与平面ACE所成角的最大值是 .
其中，真命题的序号为 .
【答案】①③④
【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直；点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【解答】对①如图，连接BD，则线段BD的中点在线段AC上，
又 面ACE，则点B，D到平面ACE的距离相等，①正确
对②，若点E，F到直线AC的距离相等，则必有 ，
但点E，F分别是棱 ， 上的动点，则 不一定与 平行，②错误；
对③如图建立空间直角坐标系，设正方体 的棱长为2，
则 ，设 ，
，
当 时， 取最小值 ，
此时直线AF与直线CE所成角的最大值是 ，③正确；
对④，设平面CDF的法向量为 ，
又 ，
则 ，则平面CDF的一个法向量为 ，
设平面ACE的法向量为 ，
又 ，
则 ，则平面CDF的一个法向量为 ，
设平面CDF与平面ACE所成角为 ，
则 ，
当 时， ，此时 ，
故平面CDF与平面ACE所成角的最大值是 ，④正确.
故答案为：①③④.
【分析】由正方体的几何性质，结合线线平行的几何意义即可判断出①正确、②错误；根据题意建立空间直角坐标系，求出各个点以及向量的坐标，由此点到平面的法向量结合数量积的坐标公式，计算出线线角和二面角的最大值，从而判断出③正确、④正确；由此即可得出答案。
四、解答题
17．（2020高二上·溧阳期末）如图，在四边形ABCD中， ，且 ， ，点E是线段AB上靠近点A的一个三等分点，以DE为折痕将 折起，使点A到达点 的位置，且 .
（1）证明：平面 平面BCD；
（2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明：由题意，四边形BCDE为菱形，连接CE，取DE的中点O，
连接 ，OC，如图所示，
在 中， ，且 ， ，可得， ，
则 ，则 ，
即 ，即 .
因为O是DE的中点，所以 ，
因为 ，所以 为等边三角形，
所以 ，且 ，
所以 ，所以 ，即 .
又因为 ，且 ，所以 平面 ，
又因为 平面BCD，所以平面 平面BCD
（2）解：以 的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
则 ， ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，可得 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，得 .
因为 .
所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为
【考点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；空间向量的数量积运算；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1)根据题意作出辅助线，由中点的性质结合三角形中的几何计算关系，代入数值计算出边的大小以及线线垂直，从而得出三角形的形状利用勾股定理计算出线线垂直，然后由线面垂直以及面面垂直的判定定理即可得证出结论。
(2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到 平面 与平面 所成锐二面角的余弦值 。
18．（2020高二上·晋中期末）已知矩形 所在平面与直角梯形 所在的平面垂直，交线为 ， ， ，且 ， ，点 是棱 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
【答案】（1）证明：因为矩形 所在平面与直角梯形 所在的平面垂直，平面 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 两两垂直，
所以如图，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ，
平面 的一个法向量 ，
∵
∴ ，
∴ 平面 .
（2）解： ， ，平面 的一个法向量 ，
由 得 ，令 ，则 ， ，
∴ ，
平面 的一个法向量 ，
∴ ，
∵二面角 为钝二面角，
∴二面角 的余弦值为 .
【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质；空间向量的数量积运算；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1)根据题意由面面垂直的性质定理即可得出线面垂直，然后由线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，由此建立空间直角坐标系求解出各个点以及向量的坐标，结合数量积的坐标公式代入计算出向量垂直，由此即可得出线面平行。
(2)据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到二面角 的余弦值 。
19．（2020高二上·海东期末）如图， 平面 ，四边形 为直角梯形， ， ， .
（1）证明： .
（2）若 ，点E在线段 上，且 ，求二面角 的余弦值.
【答案】（1）证明：如图所示：
由题意易知 .
作 ，垂足为H，则 ，
所以 .
因为 ，
所以 .
因为 平面 平面 ，
所以 .
因为 平面 平面 ，且 ，
所以 平面 .
因为 平面 ，
所以 .
（2）解：因为 ，且 ，所以 .
以A为原点，分别以 的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 .
则 ，
从而 .
设平面 的一个法向量为 .
则 ，令 ，得 .
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，得 .
设二面角 为 ，由图可知 为锐角，
则 .
【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】 (1)作CH⊥AD,垂足为H,利用勾股定理证明AC⊥CD,证明AP⊥CD,推出CD⊥平面
APC,然后证明CD⊥PC；
(2) 以A为原点，分别以 的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ， 求出平面APE的法向量，平面PCE的法向量,利用空间向量的数量积求解二面角A-PE-C的余弦函数值即可.
20．（2021高一下·山西期末）如图，已知四棱锥 ， 为等边三角形，直线 ， ， 两两垂直，且 ， 为线段 上的一点.
（1）若平面 平面 ，求 ；
（2）若三棱锥 的体积为四棱锥 体积的 ，求点 到平面 的距离.
【答案】（1）解：连接 交 于点 ，易知 为线段 的垂直平分线，
且 为 在平面 上的投影，所以 ，
连接 ，则 ，又因为平面 平面 ，
平面 平面 ，而 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，
因为等腰直角三角形中 ，等边三角形中 ，故 ，
又因为 ，即 ，
所以 ；
（2）设 到平面 的距离为d，
∵ ，∴ .
其中 ， .
，
∴∴ ，
即点 到平面 距离为 .
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1） 连接 交 于点 ，易知 为线段 的垂直平分线，且 为 在平面 上的投影，所以 ，由平面 平面 可得 平面 ，再根据比值的关系列等式即可求出 的值；
（2） 设 到平面 的距离为d，由 得出 ，根据棱锥的体积公式即可求出点 到平面 距离 。
21．如图，在直三棱柱 中， ， ， . 是线段 的中点， 是侧棱 上的一点.若 ，试求：
（1） 与底面 的夹角的正切值；
（2）BD与侧面AOO'A' 的夹角的余弦值.
【答案】（1）解：如图，以 为原点建立空间直角坐标系.由题意，得 ， .
设 ，则 ， .
∵ ，∴ ，解得 .
∴ .
∵ 平面 ，∴ 是 与底面 的夹角.
∵ ，
∴ 与底面 的夹角的正切值是
（2）解：∵ ，且 平面 ，
∴平面 的一个法向量为 .又∵ ，
∴ .
又∵ ， ，
∴ .
∴ 与侧面 的夹角的余弦值为
【考点】用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1） 以 为原点建立空间直角坐标系结合已知条件求出点B,D的坐标，再设 结合向量的坐标表示，进而求出向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0等价关系，再结合数量积的坐标表示，进而求出z的值，从而求出点P的坐标，再利用线面垂直得出 是 与底面 的夹角，再结合正切函数的定义，进而求出直线 与底面 的夹角的正切值。
（2） 以 为原点建立空间直角坐标系结合已知条件求出点的坐标，再结合向量的坐标表示，进而求出向量的坐标，再利用空间向量的方法结合数量积求向量夹角公式求出直线 与侧面 的夹角的余弦值 。
22．（2020高二上·汕尾期末）如图，在四棱锥 中， 底面 ， 是直角梯形， ， ， ，点E是 的中点.
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ，求二面角 的余弦值.
【答案】（1）证明：∵ 平面 ， 平面
∴
∵ ， ， ，
∴ ，∴
∵ ， 平面 ， 平面
∴ 平面 ，
∵ 平面 ，∴平面 平面 .
（2）解： 平面 ， 平面 ，所以 .
又 ，所以 ，
取 的中点G，连结 ，以点C为坐标原点，分别以 、 、 所在直线
为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
∴ ， ， .
设 为平面 的法向量，
则 ，即 ，
取 ，得 ， ，
∴
设 为平面 的法向量，
则 ，即
取 ，得 ，
∴ .
∴
又 所求二面角 为锐角，所以二面角 的余弦值为 .
【考点】平面与平面垂直的判定；空间向量运算的坐标表示；平面的法向量；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）由和，可证平面PBC，即可证平面EAC平面PBC；
（2）取AB的中点G,连接CG以C为坐标原点，分别以CG、CD、CP所在直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，代入数值分别求出两个平面的法向量，即可求得该二面角的余弦值。
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