精讲精练·专项突破
2021-2022学年高二上学期人教版（2019）
第一章 《空间向量与几何》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2020高二上·济南期末）已知向量 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】向量的模；空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】
故
故答案为：C
【分析】由向量加法的坐标公式结合向量模的定义即可得出答案。
2．（2021高二上·河东期中）在长方体 中，可以作为空间向量一个基底的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】C
【考点】空间向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】如图所示：
A. 因为 ， ， ，所以 ， ， 共面，故错误；
B. 因为 = + ，所以 ， ， 共面，故错误；
C. 因为 ， ， 不共面，故正确；
D. 因为 ， ， 共面，故错误；
故答案为：C
【分析】 根据题意由空间向量基底的定义，对选项逐一判断即可得出答案。
3．（2020高二上·朝阳期末）已知直线l的方向向量为 ，平面α的法向量为 ，若 ， ，则直线l与平面α（ ）
A．垂直 B．平行
C．相交但不垂直 D．位置关系无法确定
【答案】A
【考点】空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】 ， ，即 ， ，
故直线l与平面α垂直.
故答案为：A.
【分析】由空间共线向量的坐标公式代入数值计算出结果即可。
4．（2021高二上·滕州期中）已知，，，若，，共面，则z的值是（ ）
A．-5 B．5 C．-9 D．9
【答案】D
【考点】共线向量与共面向量
【解析】【解答】∵，，，，，共面，
∴，即，
∴，解得。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合，，共面，从而结合向量共面的判断方法，再利用平面向量基本定理结合向量的坐标运算，进而解方程组求出x,y,z的值。
5．（2021高二上·绵阳月考）点 关于 轴的对称点为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【考点】空间点、线、面的位置
【解析】【解答】因为点 关于 轴的对称点为 ,
所以由对称性知 ，解得 ，
故答案为：D
【分析】 利用空间点的对称性，列出方程组，求解即可.
6．（2021高二上·山东月考）已知空间四点 ， ， ， 共面，则 的值为（ ）
A．1 B．3 C．11 D．5
【答案】C
【考点】空间向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】由于 ， ， ， ，
所以 , , ，
而空间四点 ， ， ， 共面，
所以结合空间向量基本定理可知 ，
故 ，故 ，解得 。
故答案为：C
【分析】利用点的坐标结合已知条件和向量的坐标表示，从而求出向量的坐标，再结合空间四点 ， ， ， 共面，所以结合空间向量基本定理可知 ，再利用向量的坐标运算，从而解方程组求出m,n,z的值。
7．有下列说法：
①若 ，则 与 ， 共面；②若 与 ， 共面，则 ；③若 ，则 共面；④若 共面，
则 .其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．②④
【答案】C
【考点】共线向量与共面向量
【解析】【解答】解：①若 ， 中有一个为 ，则 与 ， 共面；若 ， 均不为为 ，则根据平面向量基本定理可知， 与 ， 共面，所以①正确；②若 ， 则 不一定能用 ， 表示，所以②不正确；③与①等同，根据平面向量基本定理可知，③正确；④与②类似，当 三点共线时，点 不在此直线上，则 就不成立；
故答案为：C.
【分析】利用向量共线定理、向量共面基本定理即可判断出结论．
8．（2021高二上·龙江期中）下列命题中正确的是( )
A． ， ， ， 是空间中的四点，若 ， ， 构成空间基底，则 ， ， ， 共面
B．已知 为空间的一个基底，若 ，则 也是空间的基底
C．若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则直线
D．若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则直线 与平面 所成角的正弦值为
【答案】B
【考点】直线与平面平行的判定；共线向量与共面向量；直线的方向向量；平面的法向量；直线与平面所成的角
【解析】【解答】对于A： ， ， ， 是空间中的四点，若 ， ， 构成空间基底，则 ， ， 不共面，则 ， ， ， 不共面，故 错误；
对于B：已知 为空间的一个基底，则 ， ， 不共面，
若 ，则 ， ， 也不共面，则 也是空间的基底，故 正确；
对于C：因为 ，则 ，
若 ，则 ，但选项中没有 ，有可能会出现 ，故 错误；
对于D：因为 ，
则直线 与平面 所成角的正弦值为 ，故 错误．
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合空间向量的基底的判断方法和四点共面的判断方法，从而推出 ， ， ， 是空间中的四点，若 ， ， 构成空间基底，则 ， ， 不共面，则 ， ， ， 不共面；再利用已知条件结合空间向量的基底的判断方法和平面向量基本定理，从而判断出 为空间的一个基底，若 ，则 也是空间的基底；利用已知条件结合方向向量和法向量的定义，从而结合线面平行的判定定理，从而推出直线l与平面的位置关系；再利用已知条件结合方向向量和法向量的定义，从而结合数量积求向量夹角的公式，进而利用诱导公式求出直线 与平面 所成角的正弦值，从而找出真命题的选项。
二、多选题
9．（2021·湖南模拟）在直四棱柱 中，四边形 为菱形， ， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A．直线 平面
B．直线 与平面 所成角的正切值为
C．过 作与 平行的平面 ，则平面 截直四棱柱 的截面面积为
D．点 为棱 上任意一点，直线 与直线 所成角的正切值的取值范围是
【答案】B,C,D
【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的性质；空间向量的数量积运算；直线与平面所成的角
【解析】【解答】连接 交于点 ，连接 交于点 ，
四边形 为菱形， ，
又四棱柱 为直四棱柱， 平面 ，
则以 为坐标原点， 的正方向为 轴建立如图所示空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ， ， ；
对于A， ， ， ，
即 不垂直于 ， 与平面 不垂直，A不符合题意；
对于B， ， ， ，
设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，则 ， ， ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ， ，B符合题意；
对于C，连接 交 于 ，取 中点 ，连接 ，
由直四棱柱特点知：四边形 为矩形， 为 中点， ，
又 平面 ， 平面 ， 平面 ，
可知过 作与 平行的平面 ，平面 截直四棱柱 所得的截面为 ；
在 中，由余弦定理得： ， ；
又 ， ， ， ，
，即所求截面面积为 ，C符合题意；
对于D，设 ，且 ，
又 ， ， ， ， ，
则 ，又 ，
设直线 与 所成角为 ，
， ，
又 ， ，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】根据题意由四棱柱的几何性质即可得出线面垂直，再由余弦定理计算出边的大小，然后由数量积的坐标公式代入数值求出夹角的余弦值，由此求出由已知条件即可求出，对选项逐一判断即可得出答案。
10．（2020高二上·济南期末）已知正方体 的棱长为 ，点 ， 在平面 内，若 ， ，则（ ）
A．点 的轨迹是一个圆
B．点 的轨迹是一个圆
C． 的最小值为
D． 与平面 所成角的正弦值的最大值为
【答案】A,C,D
【考点】轨迹方程；直线与平面所成的角；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】 对于A：在正方体ABCD-A1B1C1D1中， AA1⊥平面A1B1C1D1 , A1E 平面A1B1C1D1 ,
所以AA1⊥A1E
故AE2=AA12+A1E2.
则有A1E=1 ,
所以点E的轨迹是以A1为圆心， 1为半径的圆；A符合题意；
对于B: 正方体 中，AC⊥BD，又 ，且BD∩DF=D，所以 ，所以点F在 上，即F的轨迹为线段 ，B不符合题意；
对于C:在平面 内，
到直线 的距离为 当点 ， 落在 上时， ；C符合题意；
对于D:
建立如图示的坐标系，则
因为点E为在面 内，以 为圆心、半径为1 的圆上，可设
所以
设平面 的法向量 ，则有
不妨令x=1，则 ，
设 与平面 所成角为α，则：
当且仅当 时， 有最大值 ，
D符合题意
故答案为：ACD
【分析】根据题意由元的几何意义即可判断出选项a错误；结合题意由正方体的性质即可得出点F的轨迹为直线由此判断出选项B错误；由截面图结合三角形内的几何计算关系即可判断出选项C正确；建立空间直角坐标系求出各个点以及向量的坐标，由数量积的坐标公式求出夹角的余弦值，再由诱导公式即可求出角的正弦值，由此即可判断出选项D正确；由此得出答案。
11．（2021·唐山模拟）三棱锥 的三视图如图，图中所示顶点为棱锥对应顶点的投影，正视图与侧视图是全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为 的正方形，则（ ）
A．该棱锥各面都是直角三角形
B．直线 与 所成角为
C．点 到底面 的距离为
D．该棱锥的外接球的表面积为
【答案】C,D
【考点】由三视图还原实物图；球的体积和表面积；异面直线及其所成的角；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】由三视图可知三棱锥 的底面为直角边长为1的等腰直角三角形，且 ，如图，
其中 为等边三角形，A不符合题意；
由侧视图可知直线 与 所成角为 ，B不符合题意；
由正视图，侧视图可知点 到底面 的距离为 ，C符合题意；
由条件可知三棱锥外接球的直径为 ，所以 ，D符合题意.
故答案为：CD
【分析】由三视图可知三棱锥 的底面为直角边长为1的等腰直角三角形，且 ，其中 为等边三角形,再利用异面直线所成的角求解方法，点到平面的距离求解方法和棱锥外接球的表面积求解方法，进二找出正确的选项。
12．（）如图，在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点(含边界)，则下列说法中正确的是( )
A．若平面，则动点Q的轨迹是一条线段
B．存在Q点，使得平面
C．当且仅当Q点落在棱上某点处时，三棱锥的体积最大
D．若，那么Q点的轨迹长度为
【答案】A,C,D
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；空间点、线、面的位置
【解析】【解答】取、中点，连接、、PF，
由PF∥ ∥ 且PF＝ 知 是平行四边形，
∴∥ ，∵平面 ， 平面 ， ∥平面 ，
同理可得EF∥平面 ，∵EF∩ ＝F，
∴平面 ∥平面 ，则 点的轨迹为线段 ，A选项正确；
如图，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ，设 ，
则 ， ，
设 为平面 的一个法向量，
则 即 得 取 ，则 .
若 平面 ，则 ∥ ，即存在 ，使得 ，则 ，解得 ，故不存在点 使得 平面 ，B选项错误；
的面积为定值， 当且仅当 到平面 的距离d最大时，三棱锥 的体积最大.
，
， ，则当 时，d有最大值1；
②， ，则当 时，d有最大值 ；
综上，当 ，即 和 重合时，三棱锥 的体积最大，C选项正确；
平面 ， ，
， ，Q点的轨迹是半径为 ，圆心角为 的圆弧，轨迹长度为 ，D选项正确.
故答案为：ACD.
【分析】如图建立空间直角坐标系，逐项判断即可。
三、填空题
13．（2021高二上·越秀期末）在长方体中，，则点到平面的距离为 ．
【答案】
【考点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】建立如图所示的空间直角坐标系，
则，所以，设平面的一个法向量为，则，，则点到平面的距离为.
故答案为：
【分析】根据题意建立空间直角坐标系，由此即可求出各个点以及向量的坐标，然后由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量，结合点到平面的距离公式，代入计算出结果即可。
14．已知向量 ，且 ，则 ．
【答案】3
【考点】向量的模；空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
可得 ，
因为 ，解得 ，故答案为3.
【分析】由空间向量的坐标运算求出。再结合结合向量模的定义计算出结果即可。
15．（2020高二上·漳州期末）在直三棱柱 中， ， ，点E为棱 上一点，且异面直线 与 所成角的余弦值为 ，则 的长为 .
【答案】
【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】设 ，则 ， ，
， ， .
,
因为异面直线 与 所成角的余弦值为 ，所以 .
解得 ，所以 .
故答案为： .
【分析】利用基向量表示出 结合异面直线所成角，确定点E的位置，从而可求C1E的长，也可以
建立空间坐标系，利用空间向量坐标求解。
16．（2021高三上·浙江期末）如图，已知菱形，，沿直线将翻折成，分别为的中点，与平面ABC所成角的正弦值为，为线段上一点（含端点），则AE与平面EFM所成角的正弦值的最大值为 .
【答案】
【考点】用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【解答】解：设顶点在平面ABC内的射影为点O，
因为与平面所成角的正弦值为，，所以，
因为，所以，
又因为，所以，如图1，在平面中，为等边三角形，≌，
所以OB平分，即，
所以在中，，解得，（舍），
所以点O为的中心，故三棱锥是棱长为2的正四面体，
故如图2，以AB中点为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标
则，
设，
则，，
设平面EFM的一个法向量为，
则，即，令，得，
因为，设AE与平面EFM所成角为，
所以，
令，则，因为函数在上单调递增，
所以在上单调递减，
所以当时，AE与平面EFM所成角的正弦值最大，最大值为
故答案为：
【分析】 根据题意，进而得到，再根据底面ABC为等边三角形，OB平分∠ABC，进而得，点O为△A BC的中心，故三棱锥S一ABC是棱长为2的正四面体，再建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AE与平面EFM所成角的正弦值的最大值.
四、解答题
17．（2021·和平模拟）如图，在四棱柱 中，已知侧棱 底面 ，侧面 是正方形， 与 交于点 ， ， ， ， .
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）若点 在线段 上，且 ，求二面角 的正弦值.
【答案】（1）证明：分别取线段 ， 的中点 ， ，连接 ， ， ．
则 ， ， ， ．可知四边形 和四边形 均为平行四边形，所以 ．
又 平面 ，所以 平面 ．
（2）解：依题意，以 为原点，分别以 ， ， 的方向为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)，可得 ， ， ， ， .所以 ， ， .
设平面 的一个法向量 ，则 ，不妨设 ，解得 ， ，所以 .
于是 .
所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 .
（3）解：依题意， ， ，设 ， ， ，由 ，得 ， ， ，从而 ，所以 .
设平面 的一个法向量为 ，则 ，不妨设 ，解得 ， ，所以 .
因此有 ．
于是
所以，二面角 的正弦值为 ．
【考点】直线与平面平行的判定；用空间向量求直线与平面的夹角；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1） 分别取线段 ， 的中点 ， ，连接 ， ， ， 则 ， ， ， ，可知四边形 和四边形 均为平行四边形，再利用平行四边形的结构特征，进而推出线线平行， 所以 ，再利用线线平行证出线面平行，即证出 平面 。
（2） 依题意，以 为原点，分别以 ， ， 的方向为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系， 进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而结合诱导公式求出直线 与平面 所成角的正弦值。
（3） 依题意，以 为原点，分别以 ， ， 的方向为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系， 进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而结合同角三角函数基本关系式，从而求出二面角 的正弦值。
18．（2022高二下·桐乡开学考）如图所示，在直三棱柱 中， 是边长为 的等边三角形， 分别为 的中点.
（1）证明： 平面
（2）若 ，求 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：取BC1的中点F，连接DF，EF，
∵E为BC中点，∴ ， 又∵D为AA1的中点， ， ，∴ ， ∴四边形ADFE为平行四边形，∴ DF，∵AE 平面BDC1，DF 平面BDC1，∴ 平面BDC1.
（2）解：由（1）及题设可知，BC，EA，EF两两互相垂直，则以点E为坐标原点，EC，EA，
EF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由 ，则 ，
所以 ，
设平面 的法向量为
由 ，得 ，令 ，则 ，
又 ，
所以 ，
设DE与平面 所成角为 ，则 ，
∴DE与平面 所成角的正弦值为 .
【考点】直线与平面平行的判定；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】(1)根据直线与平面平行的判定定理求解即可；
(2)建立恰当的空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
19．（2020高二上·溧阳期末）如图，在四枝锥 中， 为直角梯形， ， ，平面 平面 ， 是以 为斜边的等腰直角三角形， ， 为线段 上一点， .
（1）若 ，证明： 平面 ；
（2）若二面角 的余弦值为 ，求 的值.
【答案】（1）证明：因为平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ， ，
所以 平面 .
以 为坐标原点， ， 所在的方向分别为 轴、 轴的正方向，
与 ， 均垂直的方向作为 轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标.
由 知
， ， ， ，
， .
当 时， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，得 ，
令 ，得 ， ，于是 .
所以 ，所以 .
又因为 平面 ，所以 平面
（2）解：由 ， ，及 知，
， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，得 ， ，于是 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，得 ， ，于是 ，
设二面角 的平面角的大小为 ，
则 ，
解得 或 .
当 时， ， ，
此时 的方向指向二面角 的内部，
的方向指向二面角 的外部，
与 相等， .
当 时， ， ，
此时 的方向指向二面角 的内部，
的方向指向二面角 的外部，
与 相等， ，不合题意.
因此， .
【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1)根据题意由面面垂直的性质定理即可得出线面垂直，再由线面垂直的性质即可得出线线垂直由此建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出，从而即可得出，由此即可得出答案。
(2)建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出，由此结合充分和必要条件的定义即可得出的取值，代入结合二面角的定义验证即可得出满足题意的的取值。
20．（2021·南充模拟）已知四棱锥 的底面为直角梯形， ， ， ，且 ， ，点 在线段 上， .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：设 ，则 ， 知
，故
又 ， ， ， 平面 ，故 平面 .
平面 ，则 .
又在直角梯形 中，易求得 ，所以 ，故 .
又 ， ， 平面 ，故 平面 .
又 平面 ，故平面 平面
（2）解：由 ， ， 知 平面 ，
建立如图所示的空间直角坐标系 ，
设 ，则 ， ， ， ， ， ，
设 是平面 的一个法向量
则 ，即 ，令 得
又 ，
记直线 与平面 所成的角为 ，
则 ，
即直线 与平面 所成角的正弦值为
【考点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1） 设 ，则 ， ，再结合勾股定理得出，再利用结合线线垂直证出线面垂直，故 平面 ，再利用线面垂直的定义，从而证出线线垂直，则 ，再利用在直角梯形 中，易求得 ，再结合勾股定理，得出 ，再利用线线垂直证出线面垂直，故 平面 ，再结合线面垂直证出面面垂直，从而证出平面 平面 。
（2） 由 ， 结合线线垂直证出线面垂直，所以 平面 ，从而建立空间直角坐标系 ，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式，从而利用诱导公式求出直线 与平面 所成角的正弦值。
21．（2021高三上·汉中月考）如图，在四棱锥中，，面面，M为的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）（1）记的中点为，连接．
，．
面面，面面，，面．
为的中点， ，
面，，又
面，．
（Ⅱ）面，又，
，故可如图建系,
不妨设，则，
由等边三角形AED可知，,，，
则有，， ,
设平面的一个法向量，
由,即，
令，则，，
所以平面的一个法向量．
则
所以直线与平面所成角的正弦值为
【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】(1)记AE的中点为F,连接MF、DF，证明AE⊥DF，推出AB⊥面ADE，然后证明MF⊥AE，得到AE⊥面DFM，即可证明 ；
(2)建立直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用向量法即可求出直线与平面所成角的正弦值 .
22．（2021高二下·保山期末）如图，四边形 是矩形，平面 平面 ， 为 的中点， ， ， ．
（1）在直线 上是否存在一点 ，使得 平面 ？若存在，试确定点 的位置并证明，若不存在，请说明理由；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）存在．
当 为 中点时， 平面 ．
证明：∵ 分别为 ， 中点，∴ ，
又∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ．
（2）如图，过 作 交 于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵平面 平面 且平面 平面 ，
又四边形 为矩形，
∴ 则 平面 ，
则 ， ， 垂直，以 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系．
∵ ， ．
∴ ， ， ， ，
因为D为B，C的中点，所以 ，
， ， ，
设平面 的法向量为 ，
，即
∴ ．
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
又∵线面角的范围是 ，
∴直线 与平面 所成角正弦值为 ．
【考点】直线与平面平行的判定；用空间向量求直线与平面的夹角；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1） 在直线 上存在一点 ， 当 为 中点时， 平面 。利用中点作中位线的方法结合中位线的性质，从而推出线线平行，再利用线线平行证出线面平行，从而证出直线 平面 。
（2） 过 作 交 于点 ，利用 ， ，所以 ，再利用面面垂直的性质定理结合矩形的结构特征，推出线线垂直，再利用线线垂直证出线面垂直，则 平面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以 ， ， 两两垂直，所以以 为坐标原点建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式，从而结合诱导公式求出直线 与平面 所成角的正弦值。
26精讲精练·专项突破
2021-2022学年高二上学期人教版（2019）
第一章 《空间向量与几何》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2020高二上·济南期末）已知向量 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2021高二上·河东期中）在长方体 中，可以作为空间向量一个基底的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
3．（2020高二上·朝阳期末）已知直线l的方向向量为 ，平面α的法向量为 ，若 ， ，则直线l与平面α（ ）
A．垂直 B．平行
C．相交但不垂直 D．位置关系无法确定
4．（2021高二上·滕州期中）已知，，，若，，共面，则z的值是（ ）
A．-5 B．5 C．-9 D．9
5．（2021高二上·绵阳月考）点 关于 轴的对称点为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021高二上·山东月考）已知空间四点 ， ， ， 共面，则 的值为（ ）
A．1 B．3 C．11 D．5
7．有下列说法：
①若 ，则 与 ， 共面；②若 与 ， 共面，则 ；③若 ，则 共面；④若 共面，
则 .其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．②④
8．（2021高二上·龙江期中）下列命题中正确的是( )
A． ， ， ， 是空间中的四点，若 ， ， 构成空间基底，则 ， ， ， 共面
B．已知 为空间的一个基底，若 ，则 也是空间的基底
C．若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则直线
D．若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则直线 与平面 所成角的正弦值为
二、多选题
9．（2021·湖南模拟）在直四棱柱 中，四边形 为菱形， ， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A．直线 平面
B．直线 与平面 所成角的正切值为
C．过 作与 平行的平面 ，则平面 截直四棱柱 的截面面积为
D．点 为棱 上任意一点，直线 与直线 所成角的正切值的取值范围是
10．（2020高二上·济南期末）已知正方体 的棱长为 ，点 ， 在平面 内，若 ， ，则（ ）
A．点 的轨迹是一个圆
B．点 的轨迹是一个圆
C． 的最小值为
D． 与平面 所成角的正弦值的最大值为
11．（2021·唐山模拟）三棱锥 的三视图如图，图中所示顶点为棱锥对应顶点的投影，正视图与侧视图是全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为 的正方形，则（ ）
A．该棱锥各面都是直角三角形
B．直线 与 所成角为
C．点 到底面 的距离为
D．该棱锥的外接球的表面积为
12．（）如图，在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点(含边界)，则下列说法中正确的是( )
A．若平面，则动点Q的轨迹是一条线段
B．存在Q点，使得平面
C．当且仅当Q点落在棱上某点处时，三棱锥的体积最大
D．若，那么Q点的轨迹长度为
三、填空题
13．（2021高二上·越秀期末）在长方体中，，则点到平面的距离为 ．
14．已知向量 ，且 ，则 ．
15．（2020高二上·漳州期末）在直三棱柱 中， ， ，点E为棱 上一点，且异面直线 与 所成角的余弦值为 ，则 的长为 .
16．（2021高三上·浙江期末）如图，已知菱形，，沿直线将翻折成，分别为的中点，与平面ABC所成角的正弦值为，为线段上一点（含端点），则AE与平面EFM所成角的正弦值的最大值为 .
四、解答题
17．（2021·和平模拟）如图，在四棱柱 中，已知侧棱 底面 ，侧面 是正方形， 与 交于点 ， ， ， ， .
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）若点 在线段 上，且 ，求二面角 的正弦值.
18．（2022高二下·桐乡开学考）如图所示，在直三棱柱 中， 是边长为 的等边三角形， 分别为 的中点.
（1）证明： 平面
（2）若 ，求 与平面 所成角的正弦值.
19．（2020高二上·溧阳期末）如图，在四枝锥 中， 为直角梯形， ， ，平面 平面 ， 是以 为斜边的等腰直角三角形， ， 为线段 上一点， .
（1）若 ，证明： 平面 ；
（2）若二面角 的余弦值为 ，求 的值.
20．（2021·南充模拟）已知四棱锥 的底面为直角梯形， ， ， ，且 ， ，点 在线段 上， .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
21．（2021高三上·汉中月考）如图，在四棱锥中，，面面，M为的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
22．（2021高二下·保山期末）如图，四边形 是矩形，平面 平面 ， 为 的中点， ， ， ．
（1）在直线 上是否存在一点 ，使得 平面 ？若存在，试确定点 的位置并证明，若不存在，请说明理由；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
答案解析部分
1．【答案】C
【考点】向量的模；空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】
故
故答案为：C
【分析】由向量加法的坐标公式结合向量模的定义即可得出答案。
2．【答案】C
【考点】空间向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】如图所示：
A. 因为 ， ， ，所以 ， ， 共面，故错误；
B. 因为 = + ，所以 ， ， 共面，故错误；
C. 因为 ， ， 不共面，故正确；
D. 因为 ， ， 共面，故错误；
故答案为：C
【分析】 根据题意由空间向量基底的定义，对选项逐一判断即可得出答案。
3．【答案】A
【考点】空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】 ， ，即 ， ，
故直线l与平面α垂直.
故答案为：A.
【分析】由空间共线向量的坐标公式代入数值计算出结果即可。
4．【答案】D
【考点】共线向量与共面向量
【解析】【解答】∵，，，，，共面，
∴，即，
∴，解得。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合，，共面，从而结合向量共面的判断方法，再利用平面向量基本定理结合向量的坐标运算，进而解方程组求出x,y,z的值。
5．【答案】D
【考点】空间点、线、面的位置
【解析】【解答】因为点 关于 轴的对称点为 ,
所以由对称性知 ，解得 ，
故答案为：D
【分析】 利用空间点的对称性，列出方程组，求解即可.
6．【答案】C
【考点】空间向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】由于 ， ， ， ，
所以 , , ，
而空间四点 ， ， ， 共面，
所以结合空间向量基本定理可知 ，
故 ，故 ，解得 。
故答案为：C
【分析】利用点的坐标结合已知条件和向量的坐标表示，从而求出向量的坐标，再结合空间四点 ， ， ， 共面，所以结合空间向量基本定理可知 ，再利用向量的坐标运算，从而解方程组求出m,n,z的值。
7．【答案】C
【考点】共线向量与共面向量
【解析】【解答】解：①若 ， 中有一个为 ，则 与 ， 共面；若 ， 均不为为 ，则根据平面向量基本定理可知， 与 ， 共面，所以①正确；②若 ， 则 不一定能用 ， 表示，所以②不正确；③与①等同，根据平面向量基本定理可知，③正确；④与②类似，当 三点共线时，点 不在此直线上，则 就不成立；
故答案为：C.
【分析】利用向量共线定理、向量共面基本定理即可判断出结论．
8．【答案】B
【考点】直线与平面平行的判定；共线向量与共面向量；直线的方向向量；平面的法向量；直线与平面所成的角
【解析】【解答】对于A： ， ， ， 是空间中的四点，若 ， ， 构成空间基底，则 ， ， 不共面，则 ， ， ， 不共面，故 错误；
对于B：已知 为空间的一个基底，则 ， ， 不共面，
若 ，则 ， ， 也不共面，则 也是空间的基底，故 正确；
对于C：因为 ，则 ，
若 ，则 ，但选项中没有 ，有可能会出现 ，故 错误；
对于D：因为 ，
则直线 与平面 所成角的正弦值为 ，故 错误．
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合空间向量的基底的判断方法和四点共面的判断方法，从而推出 ， ， ， 是空间中的四点，若 ， ， 构成空间基底，则 ， ， 不共面，则 ， ， ， 不共面；再利用已知条件结合空间向量的基底的判断方法和平面向量基本定理，从而判断出 为空间的一个基底，若 ，则 也是空间的基底；利用已知条件结合方向向量和法向量的定义，从而结合线面平行的判定定理，从而推出直线l与平面的位置关系；再利用已知条件结合方向向量和法向量的定义，从而结合数量积求向量夹角的公式，进而利用诱导公式求出直线 与平面 所成角的正弦值，从而找出真命题的选项。
9．【答案】B,C,D
【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的性质；空间向量的数量积运算；直线与平面所成的角
【解析】【解答】连接 交于点 ，连接 交于点 ，
四边形 为菱形， ，
又四棱柱 为直四棱柱， 平面 ，
则以 为坐标原点， 的正方向为 轴建立如图所示空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ， ， ；
对于A， ， ， ，
即 不垂直于 ， 与平面 不垂直，A不符合题意；
对于B， ， ， ，
设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，则 ， ， ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ， ，B符合题意；
对于C，连接 交 于 ，取 中点 ，连接 ，
由直四棱柱特点知：四边形 为矩形， 为 中点， ，
又 平面 ， 平面 ， 平面 ，
可知过 作与 平行的平面 ，平面 截直四棱柱 所得的截面为 ；
在 中，由余弦定理得： ， ；
又 ， ， ， ，
，即所求截面面积为 ，C符合题意；
对于D，设 ，且 ，
又 ， ， ， ， ，
则 ，又 ，
设直线 与 所成角为 ，
， ，
又 ， ，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】根据题意由四棱柱的几何性质即可得出线面垂直，再由余弦定理计算出边的大小，然后由数量积的坐标公式代入数值求出夹角的余弦值，由此求出由已知条件即可求出，对选项逐一判断即可得出答案。
10．【答案】A,C,D
【考点】轨迹方程；直线与平面所成的角；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】 对于A：在正方体ABCD-A1B1C1D1中， AA1⊥平面A1B1C1D1 , A1E 平面A1B1C1D1 ,
所以AA1⊥A1E
故AE2=AA12+A1E2.
则有A1E=1 ,
所以点E的轨迹是以A1为圆心， 1为半径的圆；A符合题意；
对于B: 正方体 中，AC⊥BD，又 ，且BD∩DF=D，所以 ，所以点F在 上，即F的轨迹为线段 ，B不符合题意；
对于C:在平面 内，
到直线 的距离为 当点 ， 落在 上时， ；C符合题意；
对于D:
建立如图示的坐标系，则
因为点E为在面 内，以 为圆心、半径为1 的圆上，可设
所以
设平面 的法向量 ，则有
不妨令x=1，则 ，
设 与平面 所成角为α，则：
当且仅当 时， 有最大值 ，
D符合题意
故答案为：ACD
【分析】根据题意由元的几何意义即可判断出选项a错误；结合题意由正方体的性质即可得出点F的轨迹为直线由此判断出选项B错误；由截面图结合三角形内的几何计算关系即可判断出选项C正确；建立空间直角坐标系求出各个点以及向量的坐标，由数量积的坐标公式求出夹角的余弦值，再由诱导公式即可求出角的正弦值，由此即可判断出选项D正确；由此得出答案。
11．【答案】C,D
【考点】由三视图还原实物图；球的体积和表面积；异面直线及其所成的角；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】由三视图可知三棱锥 的底面为直角边长为1的等腰直角三角形，且 ，如图，
其中 为等边三角形，A不符合题意；
由侧视图可知直线 与 所成角为 ，B不符合题意；
由正视图，侧视图可知点 到底面 的距离为 ，C符合题意；
由条件可知三棱锥外接球的直径为 ，所以 ，D符合题意.
故答案为：CD
【分析】由三视图可知三棱锥 的底面为直角边长为1的等腰直角三角形，且 ，其中 为等边三角形,再利用异面直线所成的角求解方法，点到平面的距离求解方法和棱锥外接球的表面积求解方法，进二找出正确的选项。
12．【答案】A,C,D
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；空间点、线、面的位置
【解析】【解答】取、中点，连接、、PF，
由PF∥ ∥ 且PF＝ 知 是平行四边形，
∴∥ ，∵平面 ， 平面 ， ∥平面 ，
同理可得EF∥平面 ，∵EF∩ ＝F，
∴平面 ∥平面 ，则 点的轨迹为线段 ，A选项正确；
如图，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ，设 ，
则 ， ，
设 为平面 的一个法向量，
则 即 得 取 ，则 .
若 平面 ，则 ∥ ，即存在 ，使得 ，则 ，解得 ，故不存在点 使得 平面 ，B选项错误；
的面积为定值， 当且仅当 到平面 的距离d最大时，三棱锥 的体积最大.
，
， ，则当 时，d有最大值1；
②， ，则当 时，d有最大值 ；
综上，当 ，即 和 重合时，三棱锥 的体积最大，C选项正确；
平面 ， ，
， ，Q点的轨迹是半径为 ，圆心角为 的圆弧，轨迹长度为 ，D选项正确.
故答案为：ACD.
【分析】如图建立空间直角坐标系，逐项判断即可。
13．【答案】
【考点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】建立如图所示的空间直角坐标系，
则，所以，设平面的一个法向量为，则，，则点到平面的距离为.
故答案为：
【分析】根据题意建立空间直角坐标系，由此即可求出各个点以及向量的坐标，然后由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量，结合点到平面的距离公式，代入计算出结果即可。
14．【答案】3
【考点】向量的模；空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
可得 ，
因为 ，解得 ，故答案为3.
【分析】由空间向量的坐标运算求出。再结合结合向量模的定义计算出结果即可。
15．【答案】
【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】设 ，则 ， ，
， ， .
,
因为异面直线 与 所成角的余弦值为 ，所以 .
解得 ，所以 .
故答案为： .
【分析】利用基向量表示出 结合异面直线所成角，确定点E的位置，从而可求C1E的长，也可以
建立空间坐标系，利用空间向量坐标求解。
16．【答案】
【考点】用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【解答】解：设顶点在平面ABC内的射影为点O，
因为与平面所成角的正弦值为，，所以，
因为，所以，
又因为，所以，如图1，在平面中，为等边三角形，≌，
所以OB平分，即，
所以在中，，解得，（舍），
所以点O为的中心，故三棱锥是棱长为2的正四面体，
故如图2，以AB中点为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标
则，
设，
则，，
设平面EFM的一个法向量为，
则，即，令，得，
因为，设AE与平面EFM所成角为，
所以，
令，则，因为函数在上单调递增，
所以在上单调递减，
所以当时，AE与平面EFM所成角的正弦值最大，最大值为
故答案为：
【分析】 根据题意，进而得到，再根据底面ABC为等边三角形，OB平分∠ABC，进而得，点O为△A BC的中心，故三棱锥S一ABC是棱长为2的正四面体，再建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AE与平面EFM所成角的正弦值的最大值.
17．【答案】（1）证明：分别取线段 ， 的中点 ， ，连接 ， ， ．
则 ， ， ， ．可知四边形 和四边形 均为平行四边形，所以 ．
又 平面 ，所以 平面 ．
（2）解：依题意，以 为原点，分别以 ， ， 的方向为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)，可得 ， ， ， ， .所以 ， ， .
设平面 的一个法向量 ，则 ，不妨设 ，解得 ， ，所以 .
于是 .
所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 .
（3）解：依题意， ， ，设 ， ， ，由 ，得 ， ， ，从而 ，所以 .
设平面 的一个法向量为 ，则 ，不妨设 ，解得 ， ，所以 .
因此有 ．
于是
所以，二面角 的正弦值为 ．
【考点】直线与平面平行的判定；用空间向量求直线与平面的夹角；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1） 分别取线段 ， 的中点 ， ，连接 ， ， ， 则 ， ， ， ，可知四边形 和四边形 均为平行四边形，再利用平行四边形的结构特征，进而推出线线平行， 所以 ，再利用线线平行证出线面平行，即证出 平面 。
（2） 依题意，以 为原点，分别以 ， ， 的方向为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系， 进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而结合诱导公式求出直线 与平面 所成角的正弦值。
（3） 依题意，以 为原点，分别以 ， ， 的方向为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系， 进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而结合同角三角函数基本关系式，从而求出二面角 的正弦值。
18．【答案】（1）证明：取BC1的中点F，连接DF，EF，
∵E为BC中点，∴ ， 又∵D为AA1的中点， ， ，∴ ， ∴四边形ADFE为平行四边形，∴ DF，∵AE 平面BDC1，DF 平面BDC1，∴ 平面BDC1.
（2）解：由（1）及题设可知，BC，EA，EF两两互相垂直，则以点E为坐标原点，EC，EA，
EF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由 ，则 ，
所以 ，
设平面 的法向量为
由 ，得 ，令 ，则 ，
又 ，
所以 ，
设DE与平面 所成角为 ，则 ，
∴DE与平面 所成角的正弦值为 .
【考点】直线与平面平行的判定；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】(1)根据直线与平面平行的判定定理求解即可；
(2)建立恰当的空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
19．【答案】（1）证明：因为平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ， ，
所以 平面 .
以 为坐标原点， ， 所在的方向分别为 轴、 轴的正方向，
与 ， 均垂直的方向作为 轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标.
由 知
， ， ， ，
， .
当 时， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，得 ，
令 ，得 ， ，于是 .
所以 ，所以 .
又因为 平面 ，所以 平面
（2）解：由 ， ，及 知，
， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，得 ， ，于是 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，得 ， ，于是 ，
设二面角 的平面角的大小为 ，
则 ，
解得 或 .
当 时， ， ，
此时 的方向指向二面角 的内部，
的方向指向二面角 的外部，
与 相等， .
当 时， ， ，
此时 的方向指向二面角 的内部，
的方向指向二面角 的外部，
与 相等， ，不合题意.
因此， .
【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1)根据题意由面面垂直的性质定理即可得出线面垂直，再由线面垂直的性质即可得出线线垂直由此建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出，从而即可得出，由此即可得出答案。
(2)建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出，由此结合充分和必要条件的定义即可得出的取值，代入结合二面角的定义验证即可得出满足题意的的取值。
20．【答案】（1）证明：设 ，则 ， 知
，故
又 ， ， ， 平面 ，故 平面 .
平面 ，则 .
又在直角梯形 中，易求得 ，所以 ，故 .
又 ， ， 平面 ，故 平面 .
又 平面 ，故平面 平面
（2）解：由 ， ， 知 平面 ，
建立如图所示的空间直角坐标系 ，
设 ，则 ， ， ， ， ， ，
设 是平面 的一个法向量
则 ，即 ，令 得
又 ，
记直线 与平面 所成的角为 ，
则 ，
即直线 与平面 所成角的正弦值为
【考点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1） 设 ，则 ， ，再结合勾股定理得出，再利用结合线线垂直证出线面垂直，故 平面 ，再利用线面垂直的定义，从而证出线线垂直，则 ，再利用在直角梯形 中，易求得 ，再结合勾股定理，得出 ，再利用线线垂直证出线面垂直，故 平面 ，再结合线面垂直证出面面垂直，从而证出平面 平面 。
（2） 由 ， 结合线线垂直证出线面垂直，所以 平面 ，从而建立空间直角坐标系 ，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式，从而利用诱导公式求出直线 与平面 所成角的正弦值。
21．【答案】（Ⅰ）（1）记的中点为，连接．
，．
面面，面面，，面．
为的中点， ，
面，，又
面，．
（Ⅱ）面，又，
，故可如图建系,
不妨设，则，
由等边三角形AED可知，,，，
则有，， ,
设平面的一个法向量，
由,即，
令，则，，
所以平面的一个法向量．
则
所以直线与平面所成角的正弦值为
【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】(1)记AE的中点为F,连接MF、DF，证明AE⊥DF，推出AB⊥面ADE，然后证明MF⊥AE，得到AE⊥面DFM，即可证明 ；
(2)建立直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用向量法即可求出直线与平面所成角的正弦值 .
22．【答案】（1）存在．
当 为 中点时， 平面 ．
证明：∵ 分别为 ， 中点，∴ ，
又∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ．
（2）如图，过 作 交 于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵平面 平面 且平面 平面 ，
又四边形 为矩形，
∴ 则 平面 ，
则 ， ， 垂直，以 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系．
∵ ， ．
∴ ， ， ， ，
因为D为B，C的中点，所以 ，
， ， ，
设平面 的法向量为 ，
，即
∴ ．
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
又∵线面角的范围是 ，
∴直线 与平面 所成角正弦值为 ．
【考点】直线与平面平行的判定；用空间向量求直线与平面的夹角；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1） 在直线 上存在一点 ， 当 为 中点时， 平面 。利用中点作中位线的方法结合中位线的性质，从而推出线线平行，再利用线线平行证出线面平行，从而证出直线 平面 。
（2） 过 作 交 于点 ，利用 ， ，所以 ，再利用面面垂直的性质定理结合矩形的结构特征，推出线线垂直，再利用线线垂直证出线面垂直，则 平面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以 ， ， 两两垂直，所以以 为坐标原点建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式，从而结合诱导公式求出直线 与平面 所成角的正弦值。
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