精讲精练·专项突破
2021-2022学年高二上学期人教版（2019）
第一章 《空间向量与几何》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021高二上·河北期中）若 构成空间的一组基底，则下列向量不共面的是（ ）
A． ， ，
B． ， ，
C． ， ，
D． ， ，
【答案】C
【考点】空间向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】A： ，所以 ， ， 共面；
B： ，所以 ， ， 共面；
C： 不能用 ， 表示，所以 ， ， 不共面；
D： ， 共线，则 ， ， 共面．
故答案为：C
【分析】根据题意由空间向量共面定理，对选项逐一判断即可得出答案。
2．（2021高二上·洮南月考）已知点 ，点 与点 关于平面 对称，点 与点 关于 轴对称，则 ( )
A． B． C． D．4
【答案】D
【考点】空间点、线、面的位置；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：由题意知Ｂ（１，－２，１），Ｃ（１，２，１）
则
故答案为：Ｄ
【分析】根据空间中对称点的坐标表示，结合两点距离公式求解即可解.
3．已知 ， ， 是空间向量的一组基底， ， ， 是空间向量的另一组基底，若向量 在基底 ， ， 下的坐标为 ，则向量 在基底 ， ， 下的坐标为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】空间中的点的坐标；共线向量与共面向量
【解析】【解答】 ，则 ，
∴ ，解得 ，即所求坐标为 。
故答案为：C。
【分析】利用空间向量共线的性质定理即可得出关于x、y、z的方程组计算出结果即可。
4．（2021高二上·深圳期中）已知向量 ，若 ，则 的值等于（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【考点】空间向量的数量积运算；空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】
， ,
,则 ，
即 ，解得 .
故答案为：D
【分析】根据题意由空间向量的坐标和向量模的坐标公式计算出向量的模，再把数值代入到数量积的坐标公式结合已知条件，计算出k的值即可。
5．（2021高二上·广东期中）已知向量 ， 的夹角为钝角，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【考点】数量积表示两个向量的夹角；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为向量 ， 的夹角为钝角，
所以 ，且 不共线，
则 ，得 ，
当 时， ，
∴ 的取值范围为 .
故答案为：B.
【分析】根据题意由数量积的运算公式整理化简即可得到，由此得出向量不共线，结合数量积的坐标公式即可得出关于t的不等式，由共线向量的坐标公式计算出t的取值，由此即可得出t的取值范围。
6．如图，在棱长为2的正方体 中，点 分别是棱 、 的中点，则点 到平面 的距离等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】以 为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 ， ， ， .
设平面 的法向量为 ，
则 ，即
令 ，得 .
又 ，
点 到平面 的距离 。
故答案为：D.
【分析】以 为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系，进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合空间向量的方法结合数量积求点到平面的距离公式，进而求出点 到平面 的距离。
7．（2021高二上·朝阳期中）如图，四面体 - ， 是底面△ 的重心， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【考点】空间向量的基本定理及其意义；空间向量的加减法；空间向量的数乘运算
【解析】【解答】因为 ，
所以
，
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合向量的线性运算即可表示。
8．（2021高二上·山东月考）已知不共线的两个向量 、 ，若 、 、 ，则（ ）
A． 、 共线 B． 、 、 共面
C． 、 、 共线 D． 、 共线
【答案】B
【考点】共线向量与共面向量
【解析】【解答】A：结合向量共线定理可知 、 不共线；A不符合题意；B：设 ，因为 、 、 ，故 ，即 ，解得 ，故 、 、 共面，B符合题意；
C：结合向量共线定理可知 、 不共线， 、 不共线， 、 不共线；C不符合题意；
D：结合向量共线定理可知 、 不共线；D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合向量共线定理、共面向量的判断方法，从而找出正确的选项。
二、多选题
9．（2021高三上·荔湾月考）已知直三棱柱 中， ， ， 为 的中点.点 满足 ，其中 ，则（ ）
A．对 时，都有
B．当 时，直线 与 所成的角是30°
C．当 时，直线 与平面 所成的角的正切值
D．当 时，直线 与 相交于一点 ，则
【答案】A,C,D
【考点】平面向量数量积的运算；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【解答】以 为 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设 ，
其中 ，
因为 ，所以 ，
A.因为 ，
所以 ，所以 ，故正确；
B.当 时， ，所以 ，
所以直线 与 所成的角不是 ，故错误；
C. 当 时， ，取平面 的一个法向量为 ，
所以 ，设直线 与平面 所成的角为 ，
所以 ，所以 ，故正确；
D. 当 时，如图所示， 为 中点， 为 中点，连接 ，
所以 ，所以 ，故正确；
故答案为：ACD.
【分析】由向量数量积的运算可得 ，即可判断选项A；根据已知判断当点P运动到BC1中点时，直线A1P与AB所成的角最小，求出其正切值即可判断选项B； 根据已知条件，建立空间直角坐标系,利用空间向量法求直线与平面的夹角，即可判断选项C；由三角形中位线的性质可得，，即可判断选项D。
10．（2020高二上·龙岗期末）如图，正方体 的棱长是 ，下列结论正确的有（ ）
A．直线 与平面 所成的角为
B． 到平面 的距离为长
C．两条异面直线 和 所成的角为
D．三棱锥 中三个侧面与底面均为直角三角形
【答案】A,B,D
【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算；三角形的形状判断
【解析】【解答】正方体 的棱长为1，
对于A，连接 ，则 平面 ，故由直线与平面夹角的定义得，直线 与平面 所成的角为 ，正方体中，易见 ，A符合题意；
对于B，因为 平面 ，点 到面 的距离为 长度的一半，正方体中，易见 ，故点 到面 的距离为 ，B符合题意；
对于C，因为 ，所以异面直线 和 所成的角，即直线 和 所成的角 ，连接 ，易见 为等边三角形，则 ，故两条异面直线 和 所成的角为 ，C不符合题意；
对于D，三棱锥 中， 底面ABCD，故 ， ，即 ， 是直角三角形，又 平面 ，则 ， ，即 ， 是直角三角形，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件和正方体的结构特征结合线面角的求解方法、点到平面的距离求解方法、异面直线所成的角的求解方法、三棱锥的结构特征结合直角三角形的结构特征，从而找出结论正确的选项。
11．（2020高三上·青岛期末）在三棱柱 中， 是边长为 的等边三角形，侧棱长为 ，则（ ）
A．直线 与直线 之间距离的最大值为
B．若 在底面 上的投影恰为 的中心，则直线 与底面所成角为
C．若三棱柱的侧棱垂直于底面，则异面直线 与 所成的角为
D．若三棱柱的侧棱垂直于底面，则其外接球表面积为
【答案】A,D
【考点】空间向量的数量积运算；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量求直线与平面的夹角；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【解答】如图示，以A为原点， 为y轴正方向， 为x轴正方向，过A点垂直于面ABC的向上方向为z轴正方向建系，
则
设
所以
对于A:设 为直线 与直线 的公垂线的方向向量，则有： ，
即 解得：
设直线 与直线 之间距离为d，则
，即 ，A符合题意；
对于B：若 在底面 上的投影恰为 的中心，则
底面法向量 ，设直线 与底面所成角为θ，则：
，B不符合题意；
对于C： 三棱柱的侧棱垂直于底面时，则
则
设异面直线 与 所成的角为θ，则 ,C不符合题意；
对于D：若三棱柱的侧棱垂直于底面时，外接球的球心O为上下底面中心DD1连线的中点,所以外接球的半径 ，所以 .
D符合题意
故答案为：AD
【分析】根据题意建立空间直角坐标系求出点的坐标，再由夹角的数量积公式即可求出二面角的平面角、线面角、以及异面直线所成的角和距离公式，结合球的表面积公式对选项逐一判断即可得出答案。
12．（2020高二上·江岸期末）如图所示，该多面体是一个由6个正方形和8个正三角形围成的十四面体，所有棱长均为1，所有顶点均在球 的球面上.关于这个多面体给出以下结论，其中正确的有（ ）
A． 平面 ；
B． 与平面 所成的角的余弦值为 ；
C．该多面体的外接球的表面积为 ；
D．该多面体的体积为 .
【答案】A,C,D
【考点】球的体积和表面积；直线与平面平行的判定；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【解答】对于A，如图，连接 ，由正方体的性质易证 ，因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，同理 平面 ,又因为 平面 ， ，所以平面 平面 ，因为 平面 ，所以 平面 ，A符合题意；
对于B，建立如图所示的空间直角坐标系，图中正方体棱长为 ，则 , , , ,所以 , , ,设 为平面 的一个法向量，则 ,所以 ，取 ，则 ，设 与平面 所成的角为 ，则 ，由于 ,所以 ，B不符合题意；
对于C，该多面体的外接球的球心和正方体外接球球心重合，如图，该多面体的外接球的半径 为正方体面对角线长度的一半，即可得 等于该十四面体棱长 ，所以该多面体的外接球的表面积为 ，C符合题意；
对于D，图中正方体棱长为 ，则正方体体积 ,对于8个体积相同的三棱锥体积为 ,该多面体体积为 ，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】 首先根据十四面体的特征将该几何体放置于正方体中，建立空间直角坐标系，则 , , , ,所以 , , ,设 为平面 的一个法向量，则 ,所以 ，设 与平面 所成的角为 ，则 ，逐项判断各个选项可得答案。
三、填空题
13．在空间四边形ABCD中，连接AC、BD,若 BCD是正三角形，且E为其中心，则 的化简结果为 ．
【答案】
【考点】空间向量的加减法
【解析】【解答】如图，取BC的中点F，连结DF，则 ，
∴ .
【分析】根据题意作出辅助线由中点的性质以及向量加、减法的运算法则计算出结果即可。
14．（2020高二上·荔湾期末）如图，已知正三棱柱 的各条棱长均为2， 是 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值等于 ．
【答案】
【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，
正三棱柱 的各条棱长均为2， 是 的中点，
，
则 ，
则 ，
所以异面直线 与 所成角的余弦值等于 .
故答案为： .
【分析】 建立合适的空间直角坐标系，求出点的坐标，再求出两条异面直线的方向向量，然后利用异面直线所成角的计算公式求解即可.
15．（2021·吕梁模拟）如图，已知棱长为2的正方体 中，点 在线段 上运动，给出下列结论：
①异面直线 与 所成的角范围为 ；
②平面 平面 ；
③点 到平面 的距离为定值 ；
④存在一点 ，使得直线 与平面 所成的角为 .
其中正确的结论是 .
【答案】②③
【考点】异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】对于①，当 在 点时， ，
异面直线 与 所成的角最大为 ，
当 在 点时，异面直线 与 所成的角最小为 ，
所以异面直线 与 所成的角的范围为 ，故①错误；
对于②，如图，因为 平面 ,所以 ,同理 ,又因为 平面 ,所以 平面 ，所以平面 平面 ，故②正确；
对于③，因为 平面 , 平面 ,所以 平面 ，所以点 到平面 的距离为定值，且等于 的 ，即 ，故③正确；
对于④，直线 与平面 所成的角为 ， ，
当 时， 最小， 最大，最大值为 ，故④不正确，
故答案为：②③.
【分析】利用已知条件结合正方体的结构特征，再结合异面直线所成的角的求解方法和异面直线所成的角的取值范围，进而求出异面直线 与 所成的角的取值范围 ；再利用面面垂直的判定定理推出平面 平面 ；利用已知条件结合点到平面的距离公式，进而求出点 到平面 的距离为定值，且等于 的 ；利用已知条件结合线面角的求解方法，进而得出结论正确的序号。
16．（2020高二上·南阳期末）正三棱柱 的底面边长和高均为2，点 为侧棱 的中点，连接 ， ，则点 到平面 的距离为 .
【答案】
【考点】空间向量的数量积运算；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】如图，建立空间直角坐标系 ， 为 的中点，由已知， ，
， ， ，所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，
，即： ，取 ，得 ，
，
则点 到平面 的距离为 .
故答案为： .
【分析】由已知条件建立空间直角坐标系，求出点以及向量的坐标，再设出平面的法向量，利用数量积的坐标公式计算出法向量，再把结果代入到点到平面的距离公式计算出结果即可。
四、解答题
17．（2021·白山模拟）如图，在四棱锥 中，四边形 为平行四边形，以 为直径的圆O(O为圆心)过点A，且 底面 ，M为 的中点.
（1）证明：平面 平面 .
（2）求二面角 的余弦值.
【答案】（1）证明：由题意知点A为圆O上一点，则 .
由 底面 ， 平面 ，知 .又 ， 平面 ．因此 平面 ， 平面 ，则 ，又 ，则 .
因为 ，M为 的中点，所以 .
又 ， 平面 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以平面 平面 .
（2）解：如图，以 为原点， 的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ， ， .
设 为平面 的法向量，
则 即
令 ，得 .
由（1）可知， 平面 ，则平面 的一个法向量 ，
所以 .
由图可知二面角 为锐角，故二面角 的余弦值为 .
【考点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】 (1)推导出AB⊥AC, PA⊥AB，从而AB⊥平面PAC，AB⊥AM，推导出AM⊥PC，从而AM⊥平面PCD，由此能证明平面 平面 ；
(2) 以 为原点， 的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系 ， 利用向量法能求出 二面角 的余弦值 。
18．（2021高三上·商丘开学考）如图，四棱锥 的底面 是菱形， ， 底面 ， ， 是 的中点， 为 上一点，且 平面 .
（1）求 ；
（2）求平面 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）连结 ，交 于 ，连结 ，
因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
所以 .
由 ，得 ，又 ，
所以 ，即 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
从而 ，故 .
（2）以 为原点， ， 所在的直线分别为 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ，则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， .
设平面 的一个法向量为 ，
由 即 取 ，则 .
设平面 的一个法向量为 ，
由 即 取 ，则
所以
所以 ，故平面 与平面 所成角的正弦值为 .
【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】 (1) 连结 ，交 于 ，连结 ， 过BP的平面BDP与平面CEF交于MF, ,再用相似比求解;
(2) 以 为原点， ， 所在的直线分别为 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ，用向量数量积计算二面解余弦值,从而求解.
19．（2021高二上·邢台月考）如图，在边长为3的正方体 中，点P，Q，R分别在棱 ， ， 上，且 .
（1）求点D到平面 的距离；
（2）若平面 与线段 的交点为N，求 的值.
【答案】（1）解：如图，以点D为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系 ，则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， .
设平面 的法向量为 ，
则 ，代入可得 ，
令 ，则 ， ，所以 ，
故点D到平面 的距离为
（2）解：因为点N在平面 内，可设 （其中m，n为常数），
又 与 共线，可设 ，由图可得 ，
即 ，
整理得 ，
由①③可得 ④，
由②③可得 ⑤，
联立④⑤解得 ，代入②可得 ，
所以 ，即 .
【考点】空间向量的数量积运算；空间向量的夹角与距离求解公式；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】(1)根据题意建立直角坐标系由此求出点以及向量的坐标，然后设出平面的的法向量，结合数量积的坐标公式计算出平面 法向量，再由数量积的坐标公式计算出点到直线的距离。
(2)由向量的线性运算结合向量的坐标公式整理即可得到关于m与n的方程组，计算出m与n的值，由此得到直线的斜率k，由此即可得出答案。
20．（）如图，在直三棱柱中，，E，F分别为线段，的中点.
（1）证明：平面；
（2）若二面角的大小为，求的长.
【答案】（1）证明：因为，
所以，所以，
因为三棱柱为直三棱柱，
所以，，
所以以为原点，以所在的直线的分别为轴，建立空间直角坐标系，
设，则
，
因为E，F分别为线段，的中点，
所以，
所以，，
所以，
所以 ，
所以，
因为，
所以平面；
（2）解：设平面的法向量为，平面的法向量为，
因为,
所以，，
令，则，
因为二面角的大小为，
所以，
所以，化简得，
因为，所以，
所以的长为
【考点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】如图建立空间直角坐标系， 设 ，（1）利用向量法说明 ， 即可求证；
（2）求出两平面法向量，由向量的夹角公式列出等式，即可求出h,从而求解。
21．（2021高二上·深圳月考）如图1，已知正方形 的边长为 ， ， 分别为 ， 的中点，将正方形 沿 折成如图2所示的二面角，且二面角的大小为 ，点 在线段 上（包含端点）运动，连接 .
图1 图2
（1）若 为 的中点，直线 与平面 的交点为 ，试确定点 的位置，并证明直线 平面 ；
（2）是否存在点 ，使得直线 与平面 所成的角为 ？若存在，求此时二面角 的余弦值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：因为直线 平面 ，故点O在平面 内，也在平面 内，
所以点O在平面 与平面 的交线（即直线 ）上，延长 ， 交于点O，连接 ，如图所示.
因为 ，M为 的中点，所以 ，所以 ， ，
故点O在 的延长线上且与点A间的距离为2，
连接 交 于点N，因为四边形 为矩形，所以N是 的中点.
连接 ，则 为 的中位线，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以直线 平面 .
（2）如图，由已知可得 ， ，又 ，
所以 平面 ，且
所以平面 平面 ，因为 ， ，
所以 为等边三角形，取 的中点H，连接 ，则 ，所以 平面 ，过点H作直线 ，以为坐标原点，以 分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
， ， ， ，
所以 ，
设 ，则 ，
设平面 的法向量为 ， 即 ，
取 ，则 ， ，所以平面 的一个法向量为 ，
要使直线 与平面 所成的角为 ，
则 ，
即 ，整理得 ，解得 或
所以存在点M，使得直线 与平面 所成的角为 ，
取 的中点Q，连接 ，则 ，所以 平面
则 为平面 的一个法向量，易得 ， ，
所以
设二面角 的大小为 ，
，
当 时，易知 为钝角， ，当 时，易知 为锐角， ，
综上，二面角 的余弦值为 .
【考点】直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】 (1)利用中位线不难得到O的位置，连接DF交CE于N，则DO// MN，证得直线 平面 ；
(2)取AE中点H， 以 分别为 轴建立空间直角坐标系，利用线面所成角去列方程，解得t值，然后确定二面角 的两个面的法向量，利用公式求解即可求出二面角 的余弦值 .
22．（2021·肥城模拟）已知三棱柱 ， ， ， ，点 为 中点.
（1）试确定线段 上一点 ，使 平面 ；
（2）在（1）的条件下，若平面 平面 ， ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）解：当 时， 平面
证明如下：设 ，连接 ，则 ，
由 ，得
又 平面 ，
平面
平面
（2）解：取 中点 ，连接 ，
，
又
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面
平面
，
，
，
以 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， ， ， ， ，
， ， ，
， ，
，设平面 法向量 ，则
解得 令 ，得
取平面 法向量
平面 与平面 所成锐二面角的余弦值
【考点】直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1） 当 时， 平面 ，证明如下：设 ，连接 ，再利用对应边成比例，则 ，由 ，得 ，再利用对应边成比例两直线平行，所以，再利用线线平行推出线面平行，所以当 时， 平面 。
（2） 取 中点 ，连接 ， ，因为 ，再利用等腰三角形三线合一，所以 ，又因为 ，所以 ，因为平面 平面 ，再利用面面垂直的性质定理推出线面垂直，所以 平面 ，因为 ， ，再利用等边三角形的性质，得出 ，再利用勾股定理求出 ，再利用勾股定理推出线线垂直， 所以，以 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，从而求出平面 与平面 所成锐二面角的余弦值。
27精讲精练·专项突破
2021-2022学年高二上学期人教版（2019）
第一章 《空间向量与几何》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021高二上·河北期中）若 构成空间的一组基底，则下列向量不共面的是（ ）
A． ， ，
B． ， ，
C． ， ，
D． ， ，
2．（2021高二上·洮南月考）已知点 ，点 与点 关于平面 对称，点 与点 关于 轴对称，则 ( )
A． B． C． D．4
3．已知 ， ， 是空间向量的一组基底， ， ， 是空间向量的另一组基底，若向量 在基底 ， ， 下的坐标为 ，则向量 在基底 ， ， 下的坐标为( )
A． B． C． D．
4．（2021高二上·深圳期中）已知向量 ，若 ，则 的值等于（ ）
A．1 B． C． D．
5．（2021高二上·广东期中）已知向量 ， 的夹角为钝角，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在棱长为2的正方体 中，点 分别是棱 、 的中点，则点 到平面 的距离等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2021高二上·朝阳期中）如图，四面体 - ， 是底面△ 的重心， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
8．（2021高二上·山东月考）已知不共线的两个向量 、 ，若 、 、 ，则（ ）
A． 、 共线 B． 、 、 共面
C． 、 、 共线 D． 、 共线
二、多选题
9．（2021高三上·荔湾月考）已知直三棱柱 中， ， ， 为 的中点.点 满足 ，其中 ，则（ ）
A．对 时，都有
B．当 时，直线 与 所成的角是30°
C．当 时，直线 与平面 所成的角的正切值
D．当 时，直线 与 相交于一点 ，则
10．（2020高二上·龙岗期末）如图，正方体 的棱长是 ，下列结论正确的有（ ）
A．直线 与平面 所成的角为
B． 到平面 的距离为长
C．两条异面直线 和 所成的角为
D．三棱锥 中三个侧面与底面均为直角三角形
11．（2020高三上·青岛期末）在三棱柱 中， 是边长为 的等边三角形，侧棱长为 ，则（ ）
A．直线 与直线 之间距离的最大值为
B．若 在底面 上的投影恰为 的中心，则直线 与底面所成角为
C．若三棱柱的侧棱垂直于底面，则异面直线 与 所成的角为
D．若三棱柱的侧棱垂直于底面，则其外接球表面积为
12．（2020高二上·江岸期末）如图所示，该多面体是一个由6个正方形和8个正三角形围成的十四面体，所有棱长均为1，所有顶点均在球 的球面上.关于这个多面体给出以下结论，其中正确的有（ ）
A． 平面 ；
B． 与平面 所成的角的余弦值为 ；
C．该多面体的外接球的表面积为 ；
D．该多面体的体积为 .
三、填空题
13．在空间四边形ABCD中，连接AC、BD,若 BCD是正三角形，且E为其中心，则 的化简结果为 ．
14．（2020高二上·荔湾期末）如图，已知正三棱柱 的各条棱长均为2， 是 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值等于 ．
15．（2021·吕梁模拟）如图，已知棱长为2的正方体 中，点 在线段 上运动，给出下列结论：
①异面直线 与 所成的角范围为 ；
②平面 平面 ；
③点 到平面 的距离为定值 ；
④存在一点 ，使得直线 与平面 所成的角为 .
其中正确的结论是 .
16．（2020高二上·南阳期末）正三棱柱 的底面边长和高均为2，点 为侧棱 的中点，连接 ， ，则点 到平面 的距离为 .
四、解答题
17．（2021·白山模拟）如图，在四棱锥 中，四边形 为平行四边形，以 为直径的圆O(O为圆心)过点A，且 底面 ，M为 的中点.
（1）证明：平面 平面 .
（2）求二面角 的余弦值.
18．（2021高三上·商丘开学考）如图，四棱锥 的底面 是菱形， ， 底面 ， ， 是 的中点， 为 上一点，且 平面 .
（1）求 ；
（2）求平面 与平面 所成角的正弦值.
19．（2021高二上·邢台月考）如图，在边长为3的正方体 中，点P，Q，R分别在棱 ， ， 上，且 .
（1）求点D到平面 的距离；
（2）若平面 与线段 的交点为N，求 的值.
20．（）如图，在直三棱柱中，，E，F分别为线段，的中点.
（1）证明：平面；
（2）若二面角的大小为，求的长.
21．（2021高二上·深圳月考）如图1，已知正方形 的边长为 ， ， 分别为 ， 的中点，将正方形 沿 折成如图2所示的二面角，且二面角的大小为 ，点 在线段 上（包含端点）运动，连接 .
图1 图2
（1）若 为 的中点，直线 与平面 的交点为 ，试确定点 的位置，并证明直线 平面 ；
（2）是否存在点 ，使得直线 与平面 所成的角为 ？若存在，求此时二面角 的余弦值；若不存在，请说明理由.
22．（2021·肥城模拟）已知三棱柱 ， ， ， ，点 为 中点.
（1）试确定线段 上一点 ，使 平面 ；
（2）在（1）的条件下，若平面 平面 ， ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
答案解析部分
1．【答案】C
【考点】空间向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】A： ，所以 ， ， 共面；
B： ，所以 ， ， 共面；
C： 不能用 ， 表示，所以 ， ， 不共面；
D： ， 共线，则 ， ， 共面．
故答案为：C
【分析】根据题意由空间向量共面定理，对选项逐一判断即可得出答案。
2．【答案】D
【考点】空间点、线、面的位置；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：由题意知Ｂ（１，－２，１），Ｃ（１，２，１）
则
故答案为：Ｄ
【分析】根据空间中对称点的坐标表示，结合两点距离公式求解即可解.
3．【答案】C
【考点】空间中的点的坐标；共线向量与共面向量
【解析】【解答】 ，则 ，
∴ ，解得 ，即所求坐标为 。
故答案为：C。
【分析】利用空间向量共线的性质定理即可得出关于x、y、z的方程组计算出结果即可。
4．【答案】D
【考点】空间向量的数量积运算；空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】
， ,
,则 ，
即 ，解得 .
故答案为：D
【分析】根据题意由空间向量的坐标和向量模的坐标公式计算出向量的模，再把数值代入到数量积的坐标公式结合已知条件，计算出k的值即可。
5．【答案】B
【考点】数量积表示两个向量的夹角；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为向量 ， 的夹角为钝角，
所以 ，且 不共线，
则 ，得 ，
当 时， ，
∴ 的取值范围为 .
故答案为：B.
【分析】根据题意由数量积的运算公式整理化简即可得到，由此得出向量不共线，结合数量积的坐标公式即可得出关于t的不等式，由共线向量的坐标公式计算出t的取值，由此即可得出t的取值范围。
6．【答案】D
【考点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】以 为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 ， ， ， .
设平面 的法向量为 ，
则 ，即
令 ，得 .
又 ，
点 到平面 的距离 。
故答案为：D.
【分析】以 为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系，进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合空间向量的方法结合数量积求点到平面的距离公式，进而求出点 到平面 的距离。
7．【答案】B
【考点】空间向量的基本定理及其意义；空间向量的加减法；空间向量的数乘运算
【解析】【解答】因为 ，
所以
，
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合向量的线性运算即可表示。
8．【答案】B
【考点】共线向量与共面向量
【解析】【解答】A：结合向量共线定理可知 、 不共线；A不符合题意；B：设 ，因为 、 、 ，故 ，即 ，解得 ，故 、 、 共面，B符合题意；
C：结合向量共线定理可知 、 不共线， 、 不共线， 、 不共线；C不符合题意；
D：结合向量共线定理可知 、 不共线；D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合向量共线定理、共面向量的判断方法，从而找出正确的选项。
9．【答案】A,C,D
【考点】平面向量数量积的运算；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【解答】以 为 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设 ，
其中 ，
因为 ，所以 ，
A.因为 ，
所以 ，所以 ，故正确；
B.当 时， ，所以 ，
所以直线 与 所成的角不是 ，故错误；
C. 当 时， ，取平面 的一个法向量为 ，
所以 ，设直线 与平面 所成的角为 ，
所以 ，所以 ，故正确；
D. 当 时，如图所示， 为 中点， 为 中点，连接 ，
所以 ，所以 ，故正确；
故答案为：ACD.
【分析】由向量数量积的运算可得 ，即可判断选项A；根据已知判断当点P运动到BC1中点时，直线A1P与AB所成的角最小，求出其正切值即可判断选项B； 根据已知条件，建立空间直角坐标系,利用空间向量法求直线与平面的夹角，即可判断选项C；由三角形中位线的性质可得，，即可判断选项D。
10．【答案】A,B,D
【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算；三角形的形状判断
【解析】【解答】正方体 的棱长为1，
对于A，连接 ，则 平面 ，故由直线与平面夹角的定义得，直线 与平面 所成的角为 ，正方体中，易见 ，A符合题意；
对于B，因为 平面 ，点 到面 的距离为 长度的一半，正方体中，易见 ，故点 到面 的距离为 ，B符合题意；
对于C，因为 ，所以异面直线 和 所成的角，即直线 和 所成的角 ，连接 ，易见 为等边三角形，则 ，故两条异面直线 和 所成的角为 ，C不符合题意；
对于D，三棱锥 中， 底面ABCD，故 ， ，即 ， 是直角三角形，又 平面 ，则 ， ，即 ， 是直角三角形，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件和正方体的结构特征结合线面角的求解方法、点到平面的距离求解方法、异面直线所成的角的求解方法、三棱锥的结构特征结合直角三角形的结构特征，从而找出结论正确的选项。
11．【答案】A,D
【考点】空间向量的数量积运算；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量求直线与平面的夹角；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【解答】如图示，以A为原点， 为y轴正方向， 为x轴正方向，过A点垂直于面ABC的向上方向为z轴正方向建系，
则
设
所以
对于A:设 为直线 与直线 的公垂线的方向向量，则有： ，
即 解得：
设直线 与直线 之间距离为d，则
，即 ，A符合题意；
对于B：若 在底面 上的投影恰为 的中心，则
底面法向量 ，设直线 与底面所成角为θ，则：
，B不符合题意；
对于C： 三棱柱的侧棱垂直于底面时，则
则
设异面直线 与 所成的角为θ，则 ,C不符合题意；
对于D：若三棱柱的侧棱垂直于底面时，外接球的球心O为上下底面中心DD1连线的中点,所以外接球的半径 ，所以 .
D符合题意
故答案为：AD
【分析】根据题意建立空间直角坐标系求出点的坐标，再由夹角的数量积公式即可求出二面角的平面角、线面角、以及异面直线所成的角和距离公式，结合球的表面积公式对选项逐一判断即可得出答案。
12．【答案】A,C,D
【考点】球的体积和表面积；直线与平面平行的判定；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【解答】对于A，如图，连接 ，由正方体的性质易证 ，因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，同理 平面 ,又因为 平面 ， ，所以平面 平面 ，因为 平面 ，所以 平面 ，A符合题意；
对于B，建立如图所示的空间直角坐标系，图中正方体棱长为 ，则 , , , ,所以 , , ,设 为平面 的一个法向量，则 ,所以 ，取 ，则 ，设 与平面 所成的角为 ，则 ，由于 ,所以 ，B不符合题意；
对于C，该多面体的外接球的球心和正方体外接球球心重合，如图，该多面体的外接球的半径 为正方体面对角线长度的一半，即可得 等于该十四面体棱长 ，所以该多面体的外接球的表面积为 ，C符合题意；
对于D，图中正方体棱长为 ，则正方体体积 ,对于8个体积相同的三棱锥体积为 ,该多面体体积为 ，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】 首先根据十四面体的特征将该几何体放置于正方体中，建立空间直角坐标系，则 , , , ,所以 , , ,设 为平面 的一个法向量，则 ,所以 ，设 与平面 所成的角为 ，则 ，逐项判断各个选项可得答案。
13．【答案】
【考点】空间向量的加减法
【解析】【解答】如图，取BC的中点F，连结DF，则 ，
∴ .
【分析】根据题意作出辅助线由中点的性质以及向量加、减法的运算法则计算出结果即可。
14．【答案】
【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，
正三棱柱 的各条棱长均为2， 是 的中点，
，
则 ，
则 ，
所以异面直线 与 所成角的余弦值等于 .
故答案为： .
【分析】 建立合适的空间直角坐标系，求出点的坐标，再求出两条异面直线的方向向量，然后利用异面直线所成角的计算公式求解即可.
15．【答案】②③
【考点】异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】对于①，当 在 点时， ，
异面直线 与 所成的角最大为 ，
当 在 点时，异面直线 与 所成的角最小为 ，
所以异面直线 与 所成的角的范围为 ，故①错误；
对于②，如图，因为 平面 ,所以 ,同理 ,又因为 平面 ,所以 平面 ，所以平面 平面 ，故②正确；
对于③，因为 平面 , 平面 ,所以 平面 ，所以点 到平面 的距离为定值，且等于 的 ，即 ，故③正确；
对于④，直线 与平面 所成的角为 ， ，
当 时， 最小， 最大，最大值为 ，故④不正确，
故答案为：②③.
【分析】利用已知条件结合正方体的结构特征，再结合异面直线所成的角的求解方法和异面直线所成的角的取值范围，进而求出异面直线 与 所成的角的取值范围 ；再利用面面垂直的判定定理推出平面 平面 ；利用已知条件结合点到平面的距离公式，进而求出点 到平面 的距离为定值，且等于 的 ；利用已知条件结合线面角的求解方法，进而得出结论正确的序号。
16．【答案】
【考点】空间向量的数量积运算；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】如图，建立空间直角坐标系 ， 为 的中点，由已知， ，
， ， ，所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，
，即： ，取 ，得 ，
，
则点 到平面 的距离为 .
故答案为： .
【分析】由已知条件建立空间直角坐标系，求出点以及向量的坐标，再设出平面的法向量，利用数量积的坐标公式计算出法向量，再把结果代入到点到平面的距离公式计算出结果即可。
17．【答案】（1）证明：由题意知点A为圆O上一点，则 .
由 底面 ， 平面 ，知 .又 ， 平面 ．因此 平面 ， 平面 ，则 ，又 ，则 .
因为 ，M为 的中点，所以 .
又 ， 平面 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以平面 平面 .
（2）解：如图，以 为原点， 的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ， ， .
设 为平面 的法向量，
则 即
令 ，得 .
由（1）可知， 平面 ，则平面 的一个法向量 ，
所以 .
由图可知二面角 为锐角，故二面角 的余弦值为 .
【考点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】 (1)推导出AB⊥AC, PA⊥AB，从而AB⊥平面PAC，AB⊥AM，推导出AM⊥PC，从而AM⊥平面PCD，由此能证明平面 平面 ；
(2) 以 为原点， 的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系 ， 利用向量法能求出 二面角 的余弦值 。
18．【答案】（1）连结 ，交 于 ，连结 ，
因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
所以 .
由 ，得 ，又 ，
所以 ，即 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
从而 ，故 .
（2）以 为原点， ， 所在的直线分别为 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ，则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， .
设平面 的一个法向量为 ，
由 即 取 ，则 .
设平面 的一个法向量为 ，
由 即 取 ，则
所以
所以 ，故平面 与平面 所成角的正弦值为 .
【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】 (1) 连结 ，交 于 ，连结 ， 过BP的平面BDP与平面CEF交于MF, ,再用相似比求解;
(2) 以 为原点， ， 所在的直线分别为 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ，用向量数量积计算二面解余弦值,从而求解.
19．【答案】（1）解：如图，以点D为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系 ，则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， .
设平面 的法向量为 ，
则 ，代入可得 ，
令 ，则 ， ，所以 ，
故点D到平面 的距离为
（2）解：因为点N在平面 内，可设 （其中m，n为常数），
又 与 共线，可设 ，由图可得 ，
即 ，
整理得 ，
由①③可得 ④，
由②③可得 ⑤，
联立④⑤解得 ，代入②可得 ，
所以 ，即 .
【考点】空间向量的数量积运算；空间向量的夹角与距离求解公式；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】(1)根据题意建立直角坐标系由此求出点以及向量的坐标，然后设出平面的的法向量，结合数量积的坐标公式计算出平面 法向量，再由数量积的坐标公式计算出点到直线的距离。
(2)由向量的线性运算结合向量的坐标公式整理即可得到关于m与n的方程组，计算出m与n的值，由此得到直线的斜率k，由此即可得出答案。
20．【答案】（1）证明：因为，
所以，所以，
因为三棱柱为直三棱柱，
所以，，
所以以为原点，以所在的直线的分别为轴，建立空间直角坐标系，
设，则
，
因为E，F分别为线段，的中点，
所以，
所以，，
所以，
所以 ，
所以，
因为，
所以平面；
（2）解：设平面的法向量为，平面的法向量为，
因为,
所以，，
令，则，
因为二面角的大小为，
所以，
所以，化简得，
因为，所以，
所以的长为
【考点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】如图建立空间直角坐标系， 设 ，（1）利用向量法说明 ， 即可求证；
（2）求出两平面法向量，由向量的夹角公式列出等式，即可求出h,从而求解。
21．【答案】（1）解：因为直线 平面 ，故点O在平面 内，也在平面 内，
所以点O在平面 与平面 的交线（即直线 ）上，延长 ， 交于点O，连接 ，如图所示.
因为 ，M为 的中点，所以 ，所以 ， ，
故点O在 的延长线上且与点A间的距离为2，
连接 交 于点N，因为四边形 为矩形，所以N是 的中点.
连接 ，则 为 的中位线，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以直线 平面 .
（2）如图，由已知可得 ， ，又 ，
所以 平面 ，且
所以平面 平面 ，因为 ， ，
所以 为等边三角形，取 的中点H，连接 ，则 ，所以 平面 ，过点H作直线 ，以为坐标原点，以 分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
， ， ， ，
所以 ，
设 ，则 ，
设平面 的法向量为 ， 即 ，
取 ，则 ， ，所以平面 的一个法向量为 ，
要使直线 与平面 所成的角为 ，
则 ，
即 ，整理得 ，解得 或
所以存在点M，使得直线 与平面 所成的角为 ，
取 的中点Q，连接 ，则 ，所以 平面
则 为平面 的一个法向量，易得 ， ，
所以
设二面角 的大小为 ，
，
当 时，易知 为钝角， ，当 时，易知 为锐角， ，
综上，二面角 的余弦值为 .
【考点】直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】 (1)利用中位线不难得到O的位置，连接DF交CE于N，则DO// MN，证得直线 平面 ；
(2)取AE中点H， 以 分别为 轴建立空间直角坐标系，利用线面所成角去列方程，解得t值，然后确定二面角 的两个面的法向量，利用公式求解即可求出二面角 的余弦值 .
22．【答案】（1）解：当 时， 平面
证明如下：设 ，连接 ，则 ，
由 ，得
又 平面 ，
平面
平面
（2）解：取 中点 ，连接 ，
，
又
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面
平面
，
，
，
以 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， ， ， ， ，
， ， ，
， ，
，设平面 法向量 ，则
解得 令 ，得
取平面 法向量
平面 与平面 所成锐二面角的余弦值
【考点】直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1） 当 时， 平面 ，证明如下：设 ，连接 ，再利用对应边成比例，则 ，由 ，得 ，再利用对应边成比例两直线平行，所以，再利用线线平行推出线面平行，所以当 时， 平面 。
（2） 取 中点 ，连接 ， ，因为 ，再利用等腰三角形三线合一，所以 ，又因为 ，所以 ，因为平面 平面 ，再利用面面垂直的性质定理推出线面垂直，所以 平面 ，因为 ， ，再利用等边三角形的性质，得出 ，再利用勾股定理求出 ，再利用勾股定理推出线线垂直， 所以，以 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，从而求出平面 与平面 所成锐二面角的余弦值。
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