精讲精练·专项突破
2021-2022学年高二上学期人教版（2019）
第一章 《空间向量与几何》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．已知向量 ， ， ，则向量 的坐标为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】向量 ， ， ，
则向量 ，
故答案为：A.
【分析】由空间向量的坐标公式代入数值计算出结果即可。
2．（2021高二上·湖北月考）已知平面 的法向量是 ，平面β的法向量是 ，若 ，则λ的值是（ ）
A．﹣6 B．6 C． D．
【答案】C
【考点】数量积的坐标表达式；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】由于两个平面垂直，故它们的法向量也垂直，即 .
故答案为：C.
【分析】由空间向量数量积的坐标公式，代入数值计算出结果即可。
3．（2020高二上·番禺期末）在长方体 中， ， ，则直线 与平面 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【考点】空间向量的数量积运算；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【解答】解：在长方体 中， ，
以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，0， ， ，1， ， ，0， ， ，0， ， ，1， ，
，1， ， ，0， ， ，1， ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，得 ， ， ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ．
直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
故答案为：B．
【分析】根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标；结合线面角与向量夹角之间的关系，由空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到直线与平面 所角的正弦值。
4．（2021高一下·锦州期末）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美如图．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则异面直线AB与CD所成角的大小是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
【答案】C
【考点】空间向量的数量积运算；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】如图所示：将多面体放置于正方体中，以点 为原点建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2
则
， ，设异面直线AB与CD所成角为
所以 ，故
故答案为：C
【分析】根据题意建立直角坐标系求出点的坐标以及向量的坐标，结合夹角的数量积公式代入数值计算出结果即可。
5．（2022·平顶山模拟）如图，已知AB是圆柱底面圆的一条直径，OP是圆柱的一条母线，C为底面圆上一点，且，，则直线PC与平面PAB所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【解答】解：因为AB是圆柱底面圆的一条直径，
所以 ，
又OP是圆柱的一条母线，
如图，以 为原点建立空间直角坐标系，
因为 ，所以 ， ，
又因 ，所以 ，
所以 ，即 ，
设 ，则 ，
则 ，
则 ，
设平面PAB的法向量为 ，
则有 ，可取 ，
则 ，
所以直线PC与平面PAB所成角的正弦值为 .
故答案为：A.
【分析】如图建立空间直角坐标系，由线面夹角的向量计算公式即可求解。
6．（2021高二上·东城期末）已知平面，的法向量分别为，，且，则（ ）
A． B．1 C．-3 D．-5
【答案】D
【考点】共线向量与共面向量
【解析】【解答】解：因为，所以
所以，
所以，
所以.
故答案为：D
【分析】 由,得列出方程组，求解出x,y的值，即可求出答案.
7．（2020高二上·舟山期末）如图，棱长为2正方体 ， 为底面 的中心，点 在侧面 内运动且 ，则点 到底面 的距离与它到点 的距离之和最小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】取 中点 ，连接 ,则 ， ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 ， ， 平面 ，
因为 ，所以 平面 ， 平面
因为点 在侧面 内，所以 平面 平面 ；
在平面 内作 关于直线 对称的点 ，连接 ，
则 ，
所以 ， ，作 ，
则
当 、 、 三点共线时， 取最小值，
此时因为 ， ，
所以 ， ，
中， ，
即 ，得 ，故 ，
即点 到底面 的距离与它到点 的距离之和最小是 .
故答案为：A.
【分析】由题意画出图形，由直线与平面垂直的判定可得P的轨迹，再由三点共线取得最小值，计算可得所求最小值。
8．（2021·南昌模拟）已知 ， ， 是球 的球面上的三点， ， ， ，且球 表面积为 ，则点 到平面 的距离为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积；点、线、面间的距离计算；正弦定理
【解析】【解答】因为 ， ， ，结合正弦定理得 ， ，
因为 是球 的球面上的三点，则截面圆的圆心是 的中点 ，半径为 ，
因为球 表面积为 ，所以球半径 ，由于 平面 ，
所以 ，设点 到平面 的距离为 ，
则 ，则 ，
即 ，
解得 ，故点 到平面 的距离为 。
故答案为：B.
【分析】因为 ， ， ，结合正弦定理得 ， ，因为 是球 的球面上的三点，则截面圆的圆心是 的中点 ，半径为 ，因为球 表面积为 ，再利用球的表面积公式求出球的半径，由于 平面 ，所以 ，设点 到平面 的距离为 ，再利用等体积法结合三棱锥的体积公式，从而求出点 到平面 的距离。
二、多选题
9．（2020高三上·宜昌期末）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上（不含端点），且 ．将 、 分别沿DE．DF折起，使A、C两点重合于点 ，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．当 时，三棱锥 的外接球的表面积为
C．当 时，三棱锥 的体积为
D．当 时，点 到平面DEF的距离为
【答案】A,B,C
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】
,
面 ， ，
所以A符合题意.
当 时， 三点重合，所以 两两垂直，所以三棱锥 的外接球就是以 为相邻边的长方体的外接球.所以外接求的直径为 ，则表面积为 ,所以B符合题意；
当 时, ,
,
设点 到平面DEF的距离为 ，
所以C符合题意，D不符合题意；
故答案为：ABC
【分析】 取EF的中点O，连接A′O，DO，证明EF⊥平面A′OD，得A'D⊥EF，判断A正确；当BE=BF=1时，三棱锥A'-DEF的三条侧棱A′E、A′F、A′D两两互相垂直，利用分割补形法求A'-DEF的外接球的表面积判断B；利用等体积法求三棱锥A'-DEF的体积判断C；求出点A'到平面DEF的距离判断D．
10．（2021·天河模拟）如图，已知长方体 中，四边形 为正方形， ， ， ， 分别为 ， 的中点.则（ ）
A．
B．点 四点共面
C．直线 与平面 所成角的正切值为
D．三棱锥 的体积为
【答案】B,C,D
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系；共线向量与共面向量；直线与平面所成的角
【解析】【解答】对于A，假设 ，由题意知 平面 ， 平面 ， ，又 ， 平面 ，由长方体性质知 与平面 不垂直，故假设不成立，A不符合题意；
对于B，连接 ， ， ，由于 ， 分别为 ， 的中点， ，
又因为长方体 ，知 ， ，所以点 四点共面，B符合题意；
对于C，由题意可知 平面 ， 为直线 与平面 所成角，在直角 中， ， ，则 ，C符合题意；
对于D，连接 ， ，
，则 ，利用等体积法知： ，D符合题意。
故答案为：BCD
【分析】利用长方体的结构特征结合正方形的性质，再结合中点的性质，进而利用线线垂直的判定方法、两直线平行则两直线共面推出四点共面的判断方法、线面角的定义结合正切函数的定义，进而求出线面角的正切值、三棱锥的体积公式结合等体积法，进而找出正确的选项。
11．（2021高一下·孝感期末）如图，在正三棱柱 中， ， 为线段 上的动点，则下列结论中正确的是（ ）
A．点 到平面 的距离为
B．平面 与底面 的交线平行于
C．三棱锥 的体积为定值
D．二面角 的大小为
【答案】B,C
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】在正三棱柱 中， ，取BC中点O，连AO，A1O，如图：
对于A， ，而 平面 ，即 ， ，于是有 平面 ，又 平面 ，
则有平面 平面 ，且平面 平面 ，过点A作 于E，则 平面 ，
线段AE长为点A到平面A1BC的距离， 中， ， ，A不正确；
对于B，因平面 平面 ，而平面 平面 ，由面面平行的性质知平面 与底面 的交线平行于 ，B符合题意；
对于C，因 ， 平面 ，则 平面 ，于是得点P到平面 距离为定值，
而 面积也为定值，从而得三棱锥 的体积为定值，C符合题意；
对于D，由A的推理过程知， 平面 ， 是二面角 的平面角， ， ，D不正确.
故答案为：BC
【分析】 利用等体积法求得点 到平面 的距离判断A;由平面平行的性质判断B;利用等体积法求得三棱锥 的体积判断C;找出二面角 的平面角判断D.
12．（2021高三上·湖北月考）在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．，，，点共面
B．正方体的外接球的表面积为
C．点到平面的距离为
D．直线与平面所成的角的正弦值为
【答案】A,C,D
【考点】平面的基本性质及推论；直线与平面所成的角；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【解答】正方体中，，而，分别为棱，的中点，则，所以，所以，，，四点共面.A符合题意；设正方体的外接球的半径为，则，所以正方体的外接球的表面积.B不符合题意；以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.
则，，，，，所以，，，.设平面的一个法向量为，则
令，得，，所以平面的一个法向量为.所以点到平面的距离.C符合题意；设直线与平面所成的角为，则，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】由正方体的几何性质结合平面的性质定理，以及球的表面积公式把结果代入计算出结果，由此判断出选项AB的正误；根据题意建立空间直角坐标系，由此求出各个点以及向量的坐标，结合数量积的坐标公式结合点到平面的距离公式 ，以及线面角的定义结合三角形的几何性质计算出结果，由此判断出选项CD的正误，从而即可得出答案。
三、填空题
13．已知向量 ， ，并且 ， 同向，则 ， 的值分别为 ．
【答案】1，3
【考点】共线向量与共面向量；空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】 ， 同向
，
即 ．
得 或 ．
当 时， ；
当 时， ．
①当 时， ，
此时 ， 反向，不符合题意，所以舍去．
②当 时， ，此时 与 同向，
故答案为：1，3.
【分析】根据题意由已知条件即可得出向量共线，利用空间向量平行的坐标运算公式代入数值得到关于x与y 的方程组，求解出结果即可得到向量的坐标，由此即可判断出两个向量是否同向由此即可得出答案。
14．已知 、 、 、 为空间中任意四点，化简 .
【答案】
【考点】空间向量的加减法
【解析】【解答】
故答案为： .
【分析】由向量的加、减法运算法则计算出结果即可。
15．（2021高二上·安徽月考）在正四棱柱 中， ，点 是线段 上一点，记 ，当 为钝角时，实数 的取值范围是 .
【答案】
【考点】数量积表示两个向量的夹角；空间向量的数量积运算；空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立如图所示空间直角坐标系，
不妨设 ，则 ， ， ， ，
由 得点： ， ， ， 为钝角且 和 不共线， ，解得： ，
实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【分析】根据题意建立空间直角坐标系，求出各个点以及向量的坐标，然后由数量积的坐标公式代入数值整理化简得到的取值范围即可。
16．已知 ， .若 与 的夹角为钝角，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【考点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】因为 ， ，
所以 ，
因为 与 的夹角为钝角，所以 且 ，
由 ，得 ，所以 .
若 与 的夹角为 ，则存在 ，使 ，
即 ，
所以 ，解得 ，
故答案为：
【分析】首先由已知条件结合空间数量积的坐标运算公式计算出，再由夹角的取值范围即可得出t的取值范围。
四、解答题
17．（2021高三上·五华月考）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，侧面 是正三角形，平面 平面 ， 是 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，求点 到平面 的距离．
【答案】（1）证明：在正 中， 为 的中点，∴ ，
∵平面 平面 ，平面 平面 ，且 ，∴ 平面 ，
又∵ 平面 ，∴ ，
又∵ ，且 ．
∴ 平面 。
（2）解：如图，取 的中点为 ，连接 ， ，在正 中， ，平面 平面 ，
平面 平面 ，∴ 平面 ，
若 ，则 ，
∴ ，
由（1）已知 平面 ， ，
∴ 平面 ，∴ ．
设点 到平面 的距离为 ，
由 可得， ，
∴
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】(1)根据题意由三角形的几何性质即可得出线线垂直，再由面面垂直的性质定理即可得出线面垂直，然后由线面垂直的性质定理和判定定理即可得证出结论。
(2)由已知条件做出辅助线，结合三角形的几何性质即可得出线线垂直，再由面面垂直的性质定理即可得出线面垂直，由此得出点到平面的距离，由三棱锥的体积公式代入数值计算出体积的值，再由(1)的结论利用等体积法计算出点 到平面 的距离。
18．（2022·桂林模拟）在四棱锥中，底面是矩形，平面ABCD，，AB=2，线段的中点为，点为PD上的点，且．
（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；
（2）求二面角平面角的余弦值．
【答案】（1）证明：由，则，
由平面ABCD，面ABCD，则，
又，，
∴平面PAD，面PAD，
∴，，面PCD，
∴平面 ，面ABM，
∴平面⊥平面PCD．
（2）解：以为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，
∴，，，，
由（1）知：平面PCD，且M为PD的中点，故，又，，
∴平面ABM，则为平面ABM的法向量，即为平面的法向量且，
设平面AMC的法向量为，由，又，
∴，令，则，
设平面与平面AMC所成二面角的大小为，则．
【考点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1)根据题意作出辅助线，由中点的性质即可得出线线垂直，再由线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，然后由线面垂直和面面垂直的判定定理即可得证出结论。
(2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面ABM法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面ABM的法向量的坐标，同理即可求出平面AMC的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到二面角平面角的余弦值 。
19．（2021高三上·浙江期末）在三棱台中，，，，点在棱上，且满足，，，．
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：因为，，
所以在中，．
又因为，，
所以．
又因为，，
所以平面，
因为在三棱台中，，
所以平面；
（2）解：结合（1）得，
所以两两垂直，故以C为原点，方向分别为轴，过C且与平行的直线为轴，如图，建立空间直角坐标系，
所以，
所以，
因为平面与平面为同一个平面，
所以，，
设平面的法向量为，
所以，故令，则，
所以平面的一个法向量，
设与平面所成角为，
所以．
所以与平面所成角的正弦值为.
【考点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1）利用，，结合勾股定理得出的值，再利用，，所以，再利用结合线线垂直证出线面垂直，所以平面，在三棱台中，，从而证出直线平面。
（2） 结合（1）得 ，所以两两垂直，故以C为原点，方向分别为轴，过C且与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式结合诱导公式得出直线与平面所成角的正弦值。
20．（2021高三上·和平期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为正三角形，且侧面底面，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：连接，与交于，则为的中点，又分别为的中点，∴，∵平面，平面，∴平面．
（2）解：设是的中点，连接，∵是正方形，为正三角形，∴．又∵面面，交线为，∴平面．
以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，，,∴，，
设平面的法向量为，则，令．则，得．设直线与平面所成角为，
∴，即直线与平面所成角的正弦值．
（3）解：由（2）可知，设平面的法向量为，则
，令．则，，．
设面与面夹角为，∴，∴面与面夹角的余弦值为．
【考点】直线与平面平行的判定；用空间向量求直线与平面的夹角；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】 (1)连接BD交AC于O，进而证明BP//OM，然后根据线面平行的判定定理可证得 平面；
(2) 以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，如图，建立空间直角坐标系， 求出平面PAD的法向量，进而通过空间向量的夹角公式求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求出平面PAC的法向量，结合(2) 进而通过空间向量的夹角公式即可求得平面与平面夹角的余弦值．
21．（2021·上海模拟）如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ， ， 平面 ， ， ．
（1）求点 到平面 的距离；
（2）求二面角 的平面角的余弦值．
【答案】（1）解：由题意， 平面 ， ， ，
以A为坐标原点， 所在直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系
则P（0，0，1），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，3，0），
设平面PBC的一个法向量为 =（x，y，z），
=(1，0，﹣1)， =(0，2，0)， =(﹣1，1，0)，
则 ，取x=1，得 =(1，0，1)，
∴点D到平面PBC的距离
（2）解：由（1）可得平面PBC的一个法向量为 =(1，0，1)，
设平面PCD的一个法向量为 ，
， =(﹣1，1，0)，
则 ，取 ，得 ，
设二面角 的平面角为 ，由图得二面角为钝角
故
【考点】点、线、面间的距离计算；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1） 以A为坐标原点， 所在直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系 ，求出平面PBC的一个法向量，利用向量法求出 点 到平面 的距离；
（2）求出平面PBC的一个法向量和平面PCD的一个法向量，利用向量法即可求出二面角 的平面角的余弦值．
22．（2020高二上·南平期末）如图①，在等腰梯形 中， ， ， ， ， ，将 沿 折起，使平面 平面 ，得到如图②所示的四棱锥 ，其中 为 的中点．
（1）试在线段 上找一点 ，使得 ∥平面 ，并说明理由；
（2）求二面角 的余弦值．
【答案】（1）解： 为 的中点，证明如下：
连接 ，∵ 分别为 ， 的中点，
∴ ，又 ， 平面 ，
∴ 平面
（2）解：∵平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 .
由题意知 ， ， 两两垂直，以 为坐标原点， ， ， 所在的直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
∵在等腰梯形 中， ， ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ， ，
， ．
设平面 的法向量为 ，
则 即
令 ，则 ， ，
∴ 为平面 的一个法向量．
又平面 的一个法向量为：
则 ．
设二面角 的平面角为 ，由图可知
，∴二面角 的余弦值为 ．
【考点】直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】 （1）可取CD的中点N，连接MN，运用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理，可得结论；
（2）由面面垂直的性质定理可得AP⊥平面PBCD，取PD的中点K，连接MK，过K作KH⊥PC，垂足为H，由三垂线定理可得MH⊥PC，则∠MHK为二面角M-PC-D的平面角，解直角三角形可得所求值．
24精讲精练·专项突破
2021-2022学年高二上学期人教版（2019）
第一章 《空间向量与几何》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．已知向量 ， ， ，则向量 的坐标为（ ）.
A． B． C． D．
2．（2021高二上·湖北月考）已知平面 的法向量是 ，平面β的法向量是 ，若 ，则λ的值是（ ）
A．﹣6 B．6 C． D．
3．（2020高二上·番禺期末）在长方体 中， ， ，则直线 与平面 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021高一下·锦州期末）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美如图．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则异面直线AB与CD所成角的大小是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
5．（2022·平顶山模拟）如图，已知AB是圆柱底面圆的一条直径，OP是圆柱的一条母线，C为底面圆上一点，且，，则直线PC与平面PAB所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021高二上·东城期末）已知平面，的法向量分别为，，且，则（ ）
A． B．1 C．-3 D．-5
7．（2020高二上·舟山期末）如图，棱长为2正方体 ， 为底面 的中心，点 在侧面 内运动且 ，则点 到底面 的距离与它到点 的距离之和最小是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·南昌模拟）已知 ， ， 是球 的球面上的三点， ， ， ，且球 表面积为 ，则点 到平面 的距离为（ ）
A．2 B． C． D．
二、多选题
9．（2020高三上·宜昌期末）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上（不含端点），且 ．将 、 分别沿DE．DF折起，使A、C两点重合于点 ，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．当 时，三棱锥 的外接球的表面积为
C．当 时，三棱锥 的体积为
D．当 时，点 到平面DEF的距离为
10．（2021·天河模拟）如图，已知长方体 中，四边形 为正方形， ， ， ， 分别为 ， 的中点.则（ ）
A．
B．点 四点共面
C．直线 与平面 所成角的正切值为
D．三棱锥 的体积为
11．（2021高一下·孝感期末）如图，在正三棱柱 中， ， 为线段 上的动点，则下列结论中正确的是（ ）
A．点 到平面 的距离为
B．平面 与底面 的交线平行于
C．三棱锥 的体积为定值
D．二面角 的大小为
12．（2021高三上·湖北月考）在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．，，，点共面
B．正方体的外接球的表面积为
C．点到平面的距离为
D．直线与平面所成的角的正弦值为
三、填空题
13．已知向量 ， ，并且 ， 同向，则 ， 的值分别为 ．
14．已知 、 、 、 为空间中任意四点，化简 .
15．（2021高二上·安徽月考）在正四棱柱 中， ，点 是线段 上一点，记 ，当 为钝角时，实数 的取值范围是 .
16．已知 ， .若 与 的夹角为钝角，则实数 的取值范围是 .
四、解答题
17．（2021高三上·五华月考）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，侧面 是正三角形，平面 平面 ， 是 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，求点 到平面 的距离．
18．（2022·桂林模拟）在四棱锥中，底面是矩形，平面ABCD，，AB=2，线段的中点为，点为PD上的点，且．
（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；
（2）求二面角平面角的余弦值．
19．（2021高三上·浙江期末）在三棱台中，，，，点在棱上，且满足，，，．
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值．
20．（2021高三上·和平期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为正三角形，且侧面底面，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求平面与平面夹角的余弦值．
21．（2021·上海模拟）如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ， ， 平面 ， ， ．
（1）求点 到平面 的距离；
（2）求二面角 的平面角的余弦值．
22．（2020高二上·南平期末）如图①，在等腰梯形 中， ， ， ， ， ，将 沿 折起，使平面 平面 ，得到如图②所示的四棱锥 ，其中 为 的中点．
（1）试在线段 上找一点 ，使得 ∥平面 ，并说明理由；
（2）求二面角 的余弦值．
答案解析部分
1．【答案】A
【考点】空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】向量 ， ， ，
则向量 ，
故答案为：A.
【分析】由空间向量的坐标公式代入数值计算出结果即可。
2．【答案】C
【考点】数量积的坐标表达式；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】由于两个平面垂直，故它们的法向量也垂直，即 .
故答案为：C.
【分析】由空间向量数量积的坐标公式，代入数值计算出结果即可。
3．【答案】B
【考点】空间向量的数量积运算；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【解答】解：在长方体 中， ，
以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，0， ， ，1， ， ，0， ， ，0， ， ，1， ，
，1， ， ，0， ， ，1， ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，得 ， ， ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ．
直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
故答案为：B．
【分析】根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标；结合线面角与向量夹角之间的关系，由空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到直线与平面 所角的正弦值。
4．【答案】C
【考点】空间向量的数量积运算；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】如图所示：将多面体放置于正方体中，以点 为原点建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2
则
， ，设异面直线AB与CD所成角为
所以 ，故
故答案为：C
【分析】根据题意建立直角坐标系求出点的坐标以及向量的坐标，结合夹角的数量积公式代入数值计算出结果即可。
5．【答案】A
【考点】用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【解答】解：因为AB是圆柱底面圆的一条直径，
所以 ，
又OP是圆柱的一条母线，
如图，以 为原点建立空间直角坐标系，
因为 ，所以 ， ，
又因 ，所以 ，
所以 ，即 ，
设 ，则 ，
则 ，
则 ，
设平面PAB的法向量为 ，
则有 ，可取 ，
则 ，
所以直线PC与平面PAB所成角的正弦值为 .
故答案为：A.
【分析】如图建立空间直角坐标系，由线面夹角的向量计算公式即可求解。
6．【答案】D
【考点】共线向量与共面向量
【解析】【解答】解：因为，所以
所以，
所以，
所以.
故答案为：D
【分析】 由,得列出方程组，求解出x,y的值，即可求出答案.
7．【答案】A
【考点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】取 中点 ，连接 ,则 ， ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 ， ， 平面 ，
因为 ，所以 平面 ， 平面
因为点 在侧面 内，所以 平面 平面 ；
在平面 内作 关于直线 对称的点 ，连接 ，
则 ，
所以 ， ，作 ，
则
当 、 、 三点共线时， 取最小值，
此时因为 ， ，
所以 ， ，
中， ，
即 ，得 ，故 ，
即点 到底面 的距离与它到点 的距离之和最小是 .
故答案为：A.
【分析】由题意画出图形，由直线与平面垂直的判定可得P的轨迹，再由三点共线取得最小值，计算可得所求最小值。
8．【答案】B
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积；点、线、面间的距离计算；正弦定理
【解析】【解答】因为 ， ， ，结合正弦定理得 ， ，
因为 是球 的球面上的三点，则截面圆的圆心是 的中点 ，半径为 ，
因为球 表面积为 ，所以球半径 ，由于 平面 ，
所以 ，设点 到平面 的距离为 ，
则 ，则 ，
即 ，
解得 ，故点 到平面 的距离为 。
故答案为：B.
【分析】因为 ， ， ，结合正弦定理得 ， ，因为 是球 的球面上的三点，则截面圆的圆心是 的中点 ，半径为 ，因为球 表面积为 ，再利用球的表面积公式求出球的半径，由于 平面 ，所以 ，设点 到平面 的距离为 ，再利用等体积法结合三棱锥的体积公式，从而求出点 到平面 的距离。
9．【答案】A,B,C
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】
,
面 ， ，
所以A符合题意.
当 时， 三点重合，所以 两两垂直，所以三棱锥 的外接球就是以 为相邻边的长方体的外接球.所以外接求的直径为 ，则表面积为 ,所以B符合题意；
当 时, ,
,
设点 到平面DEF的距离为 ，
所以C符合题意，D不符合题意；
故答案为：ABC
【分析】 取EF的中点O，连接A′O，DO，证明EF⊥平面A′OD，得A'D⊥EF，判断A正确；当BE=BF=1时，三棱锥A'-DEF的三条侧棱A′E、A′F、A′D两两互相垂直，利用分割补形法求A'-DEF的外接球的表面积判断B；利用等体积法求三棱锥A'-DEF的体积判断C；求出点A'到平面DEF的距离判断D．
10．【答案】B,C,D
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系；共线向量与共面向量；直线与平面所成的角
【解析】【解答】对于A，假设 ，由题意知 平面 ， 平面 ， ，又 ， 平面 ，由长方体性质知 与平面 不垂直，故假设不成立，A不符合题意；
对于B，连接 ， ， ，由于 ， 分别为 ， 的中点， ，
又因为长方体 ，知 ， ，所以点 四点共面，B符合题意；
对于C，由题意可知 平面 ， 为直线 与平面 所成角，在直角 中， ， ，则 ，C符合题意；
对于D，连接 ， ，
，则 ，利用等体积法知： ，D符合题意。
故答案为：BCD
【分析】利用长方体的结构特征结合正方形的性质，再结合中点的性质，进而利用线线垂直的判定方法、两直线平行则两直线共面推出四点共面的判断方法、线面角的定义结合正切函数的定义，进而求出线面角的正切值、三棱锥的体积公式结合等体积法，进而找出正确的选项。
11．【答案】B,C
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】在正三棱柱 中， ，取BC中点O，连AO，A1O，如图：
对于A， ，而 平面 ，即 ， ，于是有 平面 ，又 平面 ，
则有平面 平面 ，且平面 平面 ，过点A作 于E，则 平面 ，
线段AE长为点A到平面A1BC的距离， 中， ， ，A不正确；
对于B，因平面 平面 ，而平面 平面 ，由面面平行的性质知平面 与底面 的交线平行于 ，B符合题意；
对于C，因 ， 平面 ，则 平面 ，于是得点P到平面 距离为定值，
而 面积也为定值，从而得三棱锥 的体积为定值，C符合题意；
对于D，由A的推理过程知， 平面 ， 是二面角 的平面角， ， ，D不正确.
故答案为：BC
【分析】 利用等体积法求得点 到平面 的距离判断A;由平面平行的性质判断B;利用等体积法求得三棱锥 的体积判断C;找出二面角 的平面角判断D.
12．【答案】A,C,D
【考点】平面的基本性质及推论；直线与平面所成的角；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【解答】正方体中，，而，分别为棱，的中点，则，所以，所以，，，四点共面.A符合题意；设正方体的外接球的半径为，则，所以正方体的外接球的表面积.B不符合题意；以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.
则，，，，，所以，，，.设平面的一个法向量为，则
令，得，，所以平面的一个法向量为.所以点到平面的距离.C符合题意；设直线与平面所成的角为，则，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】由正方体的几何性质结合平面的性质定理，以及球的表面积公式把结果代入计算出结果，由此判断出选项AB的正误；根据题意建立空间直角坐标系，由此求出各个点以及向量的坐标，结合数量积的坐标公式结合点到平面的距离公式 ，以及线面角的定义结合三角形的几何性质计算出结果，由此判断出选项CD的正误，从而即可得出答案。
13．【答案】1，3
【考点】共线向量与共面向量；空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】 ， 同向
，
即 ．
得 或 ．
当 时， ；
当 时， ．
①当 时， ，
此时 ， 反向，不符合题意，所以舍去．
②当 时， ，此时 与 同向，
故答案为：1，3.
【分析】根据题意由已知条件即可得出向量共线，利用空间向量平行的坐标运算公式代入数值得到关于x与y 的方程组，求解出结果即可得到向量的坐标，由此即可判断出两个向量是否同向由此即可得出答案。
14．【答案】
【考点】空间向量的加减法
【解析】【解答】
故答案为： .
【分析】由向量的加、减法运算法则计算出结果即可。
15．【答案】
【考点】数量积表示两个向量的夹角；空间向量的数量积运算；空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立如图所示空间直角坐标系，
不妨设 ，则 ， ， ， ，
由 得点： ， ， ， 为钝角且 和 不共线， ，解得： ，
实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【分析】根据题意建立空间直角坐标系，求出各个点以及向量的坐标，然后由数量积的坐标公式代入数值整理化简得到的取值范围即可。
16．【答案】
【考点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】因为 ， ，
所以 ，
因为 与 的夹角为钝角，所以 且 ，
由 ，得 ，所以 .
若 与 的夹角为 ，则存在 ，使 ，
即 ，
所以 ，解得 ，
故答案为：
【分析】首先由已知条件结合空间数量积的坐标运算公式计算出，再由夹角的取值范围即可得出t的取值范围。
17．【答案】（1）证明：在正 中， 为 的中点，∴ ，
∵平面 平面 ，平面 平面 ，且 ，∴ 平面 ，
又∵ 平面 ，∴ ，
又∵ ，且 ．
∴ 平面 。
（2）解：如图，取 的中点为 ，连接 ， ，在正 中， ，平面 平面 ，
平面 平面 ，∴ 平面 ，
若 ，则 ，
∴ ，
由（1）已知 平面 ， ，
∴ 平面 ，∴ ．
设点 到平面 的距离为 ，
由 可得， ，
∴
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】(1)根据题意由三角形的几何性质即可得出线线垂直，再由面面垂直的性质定理即可得出线面垂直，然后由线面垂直的性质定理和判定定理即可得证出结论。
(2)由已知条件做出辅助线，结合三角形的几何性质即可得出线线垂直，再由面面垂直的性质定理即可得出线面垂直，由此得出点到平面的距离，由三棱锥的体积公式代入数值计算出体积的值，再由(1)的结论利用等体积法计算出点 到平面 的距离。
18．【答案】（1）证明：由，则，
由平面ABCD，面ABCD，则，
又，，
∴平面PAD，面PAD，
∴，，面PCD，
∴平面 ，面ABM，
∴平面⊥平面PCD．
（2）解：以为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，
∴，，，，
由（1）知：平面PCD，且M为PD的中点，故，又，，
∴平面ABM，则为平面ABM的法向量，即为平面的法向量且，
设平面AMC的法向量为，由，又，
∴，令，则，
设平面与平面AMC所成二面角的大小为，则．
【考点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1)根据题意作出辅助线，由中点的性质即可得出线线垂直，再由线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，然后由线面垂直和面面垂直的判定定理即可得证出结论。
(2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面ABM法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面ABM的法向量的坐标，同理即可求出平面AMC的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到二面角平面角的余弦值 。
19．【答案】（1）证明：因为，，
所以在中，．
又因为，，
所以．
又因为，，
所以平面，
因为在三棱台中，，
所以平面；
（2）解：结合（1）得，
所以两两垂直，故以C为原点，方向分别为轴，过C且与平行的直线为轴，如图，建立空间直角坐标系，
所以，
所以，
因为平面与平面为同一个平面，
所以，，
设平面的法向量为，
所以，故令，则，
所以平面的一个法向量，
设与平面所成角为，
所以．
所以与平面所成角的正弦值为.
【考点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1）利用，，结合勾股定理得出的值，再利用，，所以，再利用结合线线垂直证出线面垂直，所以平面，在三棱台中，，从而证出直线平面。
（2） 结合（1）得 ，所以两两垂直，故以C为原点，方向分别为轴，过C且与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式结合诱导公式得出直线与平面所成角的正弦值。
20．【答案】（1）证明：连接，与交于，则为的中点，又分别为的中点，∴，∵平面，平面，∴平面．
（2）解：设是的中点，连接，∵是正方形，为正三角形，∴．又∵面面，交线为，∴平面．
以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，，,∴，，
设平面的法向量为，则，令．则，得．设直线与平面所成角为，
∴，即直线与平面所成角的正弦值．
（3）解：由（2）可知，设平面的法向量为，则
，令．则，，．
设面与面夹角为，∴，∴面与面夹角的余弦值为．
【考点】直线与平面平行的判定；用空间向量求直线与平面的夹角；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】 (1)连接BD交AC于O，进而证明BP//OM，然后根据线面平行的判定定理可证得 平面；
(2) 以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，如图，建立空间直角坐标系， 求出平面PAD的法向量，进而通过空间向量的夹角公式求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求出平面PAC的法向量，结合(2) 进而通过空间向量的夹角公式即可求得平面与平面夹角的余弦值．
21．【答案】（1）解：由题意， 平面 ， ， ，
以A为坐标原点， 所在直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系
则P（0，0，1），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，3，0），
设平面PBC的一个法向量为 =（x，y，z），
=(1，0，﹣1)， =(0，2，0)， =(﹣1，1，0)，
则 ，取x=1，得 =(1，0，1)，
∴点D到平面PBC的距离
（2）解：由（1）可得平面PBC的一个法向量为 =(1，0，1)，
设平面PCD的一个法向量为 ，
， =(﹣1，1，0)，
则 ，取 ，得 ，
设二面角 的平面角为 ，由图得二面角为钝角
故
【考点】点、线、面间的距离计算；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1） 以A为坐标原点， 所在直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系 ，求出平面PBC的一个法向量，利用向量法求出 点 到平面 的距离；
（2）求出平面PBC的一个法向量和平面PCD的一个法向量，利用向量法即可求出二面角 的平面角的余弦值．
22．【答案】（1）解： 为 的中点，证明如下：
连接 ，∵ 分别为 ， 的中点，
∴ ，又 ， 平面 ，
∴ 平面
（2）解：∵平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 .
由题意知 ， ， 两两垂直，以 为坐标原点， ， ， 所在的直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
∵在等腰梯形 中， ， ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ， ，
， ．
设平面 的法向量为 ，
则 即
令 ，则 ， ，
∴ 为平面 的一个法向量．
又平面 的一个法向量为：
则 ．
设二面角 的平面角为 ，由图可知
，∴二面角 的余弦值为 ．
【考点】直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】 （1）可取CD的中点N，连接MN，运用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理，可得结论；
（2）由面面垂直的性质定理可得AP⊥平面PBCD，取PD的中点K，连接MK，过K作KH⊥PC，垂足为H，由三垂线定理可得MH⊥PC，则∠MHK为二面角M-PC-D的平面角，解直角三角形可得所求值．
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