精讲精练·专项突破
2021-2022学年高二上学期人教版（2019）
第一章 《空间向量与几何》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．下列命题是真命题的是（ ）
A．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
B． 的充要条件是A与C重合，B与D重合
C．若向量 满足 ，且 与 同向，则
D．若两个非零向量 与 满足 ，则
【答案】D
【考点】向量的模；相等向量与相反向量；共线向量与共面向量
【解析】【解答】因为空间中任意两向量平移之后都可以共面，所以空间中任意两向量均共面，故答案为：项A是假命题；
由 知， ，且 与 同方向，但A与C，B与D不一定重合，故答案为：项B是假命题；
因为空间向量不能比较大小，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有 这种写法，故答案为：项C是假命题；
因为 ，所以 ，即 与 共线，故 ，D是真命题．
故答案为：D．
【分析】 根据空间中任意两个向量必然共面，可判断A；根据相等向量和相反向量的定义，可判断B；根据向量不能比较大小，可判断C；根据相反向量共线，可判断D由此即可得出答案．
2．（2021高二上·沈阳月考）已知向量 ， ， ，若 ， ， 共面，则实数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】共线向量与共面向量
【解析】【解答】由题意知，因为 ， ， ，所以 ， 不共线，且 、 、 三个向量共面，
所以存在常数 ，使得 ，
所以 ，
所以 ，
解得 。
故答案为：D.
【分析】由题意知，因为 ， ， ，再结合向量共线的坐标表示得出 ， 不共线，且 、 、 三个向量共面，所以存在常数 ，使得 ，再利用向量的坐标运算，从而解方程组求出p,q的值，进而求出实数的值。
3．在空间四点 ， ， ， 中，若 是空间的一个基底，则下列命题不正确的是（ ）.
A． ， ， ， 四点不共线
B． ， ， ， 四点共面，但不共线
C． ， ， ， 四点不共面
D． ， ， ， 点中任意三点不共线
【答案】B
【考点】共线向量与共面向量
【解析】【解答】A对应的命题是正确的，若四点共线，则向量 ， ， 共面，构不成基底；
B对应的命题是错误的，若四点共面，则 ， ， 共面，构不成基底；
C对应的命题是正确的，若四点共面，则 ， ， 构不成基底；
D对应的命题是正确的，若有三点共线，则这四点共面，向量 ， ， 构不成基底.
故答案为：B
【分析】由空间向量基底的定义：三个向量不共线对选项逐一判断即可得出答案。
4．（2021·浙江模拟）已知非零向量 ， ，则“ ”是“ 与 共线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；共线向量与共面向量
【解析】【解答】因 ， 是非零向量，若 ，则有 ，即 或 ，即 与 共线，
若 与 共线，则 或 ，即得 ，于是有 ，
所以“ ”是“ 与 共线”的充分必要条件.
故答案为：C
【分析】根据题意由已知条件结合数量积的运算公式整理即可得出 与 共线，反过来由 与 共线，则 或 ，即得 ，于是有 ，结合充分和必要条件的定义即可得出答案。
5．（2020高二上·阳泉期末）对于空间向量 ， ，若 ，则实数 （ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】D
【考点】空间中的点的坐标；空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】因为 ，所以 ，即 ，所以 .
故答案为：D.
【分析】由空间向量的共线坐标公式，代入数值计算出结果即可。
6．（2021高二下·雅安期末）已知平面 的一个法向量 ，点 在平面 内，则点 到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】由已知条件可得 ，故点 到平面 的距离为 。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合向量的坐标表示，从而求出向量的坐标，再利用数量积的定义求出点 到平面 的距离。
7．（2021高一下·绵阳期末）在正方体 中， ， ， 分别是棱 ， ， 的中点，下列说法错误的是（ ）
A． B． 与 是异面直线
C． ， ， ， 四点共面 D．直线 与平面 相交
【答案】D
【考点】异面直线的判定；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；共线向量与共面向量
【解析】【解答】连接 ,因为 ， 分别是棱 ， 的中点，所以 ，又因为四边形 为正方形，所以 ，又因为 平面 ，且 平面 ，所以 ，又因为 ，所以 平面 ，又因为 平面 ，所以 ，故 ，A符合题意；
因为 平面 , 平面 , 平面 , ，所以 与 是异面直线，B符合题意；
连接 因为 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，又因为 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，故 ，因此 四点共面，C符合题意；
连接 ， 因为 且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 且 ，又因为 且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 且 ，故 ，且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，所以 与平面 不相交，D不符合题意。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合正方体的结构特征，再结合中点的性质，从而利用线线垂直的判断方法、异面直线的判断方法、四点共面的判断方法、线面相交的判断方法，从而找出说法错误的选项。
8．（2021高二上·湖南期末）在长方体中，，，O是AC的中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】数量积的坐标表达式；数量积表示两个向量的夹角；直线与平面所成的角；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【解答】以D为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示
则，，，，，
设，则，
设平面的法向量为
则，令，得
所以，
由于，，，
，，，
由于，所以
故答案为：D
【分析】根据题意建立空间直角坐标系，由此求出点以及向量的坐标，结合数量积的坐标公式求出平面的法向量，然后由线面角和向量夹角之间的关系，结合数量积的夹角公式代入数值计算出结果，然后由余弦函数的性质即可求出的取值范围即可。
二、多选题
9．（2021·珠海模拟）如图，三棱锥 中， 平面 ， ， ， ， 到平面 的距离为 ，则（ ）
A．
B．三棱锥 的外接球的表面积为
C．直线 与直线 所成角的余弦值为
D． 与平面 所成角的正弦值为
【答案】A,B,D
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【解答】因为 ， ， ，
所以 ，即 ，
又因为 平面 ，
所以 ，设 ，
根据等体积法 ，即 ，
解得 ，所以 ，A选项正确；
所以三棱锥 的外接球的半径与以 为邻边的长方体的外接球的半径相等，
所以三棱锥 的外接球的半径为 ，
所以三棱锥 的外接球的表面积为 ，B选项正确；
过点 作 的平行线 ，则 平面 ，
所以以点 为坐标原点， 所在边分别为 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
所以 ，
所以 ，
所以直线 与直线 所成角的余弦值为 ，C选项错误；
因为 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，所以 ，由于
故设 与平面 所成角为 ，
则 .
所以 与平面 所成角的正弦值为 ，D选项正确；
故答案为：ABD
【分析】对于A设 ，根据等体积法 解得 可判A正确。
B 根据三棱锥外接球半径可求出三棱锥 的外接球的半径为 ，进而求得其表面积为 B选项正确。
C 过点 作 的平行线 ，则 平面 ，所以以点 为坐标原点， 所在边分别为 轴建立空间直角坐标系利用空间向量可求出直线 与直线 所成角的余弦值为 ，C选项错误。
D 利用空间向量即可求得 与平面 所成角的正弦值为 ，D选项正确。
10．（2021高二上·定州期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，点E为PA的中点，，，，则（ ）
A．
B．异面直线BE与CD所成角的余弦值为
C．点B到平面PCD的距离为
D．BC与平面PCD所成的角为
【答案】B,C,D
【考点】点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【解答】以A为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，．
所以，，，，
则．
，
则异面直线BE与CD所成角的余弦值为．
设平面PCD的一个法向量为，
则即解得
令，则，，所以平面PCD的一个法向量为．
则，
所以点B到平面PCD的距离为，
又，所以BC与平面PCD所成的角为．
故答案为：BCD
【分析】由已知条件建立空间直角坐标系，由此求出各个点以及向量的坐标，结合数量积的坐标公式代入计算出结果，由此判断出选项A错误；再由已知条件即可求出异面直线所成的角，结合数量积的夹角公式，代入数值计算出结果由此判断出选项B正确；由已知条件结合线面垂直的判定定理即可求出点到平面的距离，把坐标代入计算出结果由此判断出选项C正确；根据题意即可求出线面角所在的三角形，结合数量积的夹角公式计算出结果由此判断出选项D正确；由此即可得出答案。
11．（2021高二下·重庆月考）在直三棱柱 中， ， ， 分别是 的中点， 在线段 上，则下面说法中正确的有（ ）
A． 平面
B．若 是 上的中点，则
C．直线 与平面 所成角的正弦值为
D．直线 与直线 所成角最小时，线段 长为
【答案】A,C,D
【考点】空间向量的数量积运算；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【解答】由题意可得 ， ， ， ，
， ， ，设 ，
， ，
直三棱柱 中， ，
可得 为平面 的一个法向量，
为平面 的一个法向量，
对于A， ， ，
即 ，又 平面 ，所以 平面 ，A符合题意；
对于B，若 是 上的中点，则 ，
所以 ，所以 与 不垂直，B不正确；
对于C，由 为平面 的一个法向量， ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，C符合题意；
对于D，设 ，
则 ，
当 时，即 时， 取最大值，
即直线 与直线 所成角最小，此时 ，
，D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】 建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量，将问题转化为空间向量的关系进行研究，对选项逐一判断即可得出答案。
12．（2021高二上·六安开学考）在直三棱柱 中， ， ，E，F分别是BC， 的中点，D在线段 上，则下面说法中正确的有（ ）
A． 平面
B．若D是 上的中点，则
C．直线EF与平面ABC所成角的正弦值为
D．直线BD与直线EF所成角最小时，线段BD长为
【答案】A,C,D
【考点】向量语言表述线线的垂直、平行关系；向量语言表述线面的垂直、平行关系；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【解答】解：以A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
由题意可得，A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，0，2)，C1(0，2，2)，E(1，1，0)，F(0，1，2)，设D(x，2-x，2)，故，
直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，所以为平面AA1B1B的一个法向量，是平面ABC的一个法向量，
对于A，，所以，即EF⊥A C，又EF￠平面AA1B1B，所以EF//平面AA1B1B，故选项 A正确;
对于B，若D是B1C1上的中点，则，所以，所以EF与BD不垂直，故B错误；
对于C，因为是平面ABC的一个法向量
设直线EF与平面ABC所成的角为α，
则， 故C正确；
对于D，设
故
所以
所以
故当,即时，取得最大值，
即直线BD与直线EF所成的角最小，此时
所以，故D正确.
故答案为：ACD
【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量，将问题转化为空间向量的关系进行研究，依次判断四个选项即可.
三、填空题
13．（2021高二上·安徽月考）在空间直角坐标系中， ， ，则 的最小值是 .
【答案】
【考点】向量的模；空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】由题意，向量 ， ，可得 ，
所以 ，
所以当 时， 取得最小值 .
故答案为： .
【分析】由空间向量的坐标公式代入数值整理化简得到，结合二次函数的性质即可求出的最小值。
14．（2021高二上·安徽月考）已知 ， ， 是空间向量的一组基底， ， ， 是空间向量的另一组基底，若向量 在基底 ， ， 下的坐标为 ，则向量 在基底 ， ， 下的坐标是 .
【答案】（2,1,2）
【考点】空间中的点的坐标；空间向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】解：向量 在基底 ， ， 下的坐标为 ，则 ，
设向量 在基底 ， ， 下的坐标是 ，则 ，
所以有 ，解得 ，所以向量 在基底 ， ， 下的坐标是（2,1,2）.
故答案为：（2,1,2）.
【分析】首先由已知条件即可得到，再由向量的坐标公式代入计算出x、y、z的值，由此即可得出答案。
15．（2021·梅县模拟）已知球 是三棱锥 的外接球， ， ，点 是 的中点，且 ，则球 的表面积为 .
【答案】
【考点】球的体积和表面积；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】由 ， ，可得 ，所以 ，
由点 是 的中点，且 ，可求得 ，
又由 ，可得 ，所以 ，
又 且 平面 ，所以 平面 ，
以 为底面， 为侧棱补成一个直三棱柱，如图所示，
则三棱锥 的外接球即为该三棱柱的外接球，
球心 到底面 的距离为 ,
由正弦定理，可得 的外接圆的半径为 ，
所以球 的半径为 ，
所以球 的表面积为 .
故答案为： .
【分析】根据题意由线面垂直的判定定理即可证明AC⊥平面PAB，结合勾股定理求出三角形PAB外接圆的半径，再由点到面的距离公式求出球的半径，把数值代入到球的表面积公式计算出结果即可。
16．（2020高二上·新乡期末）正三棱柱 的底面边长和高均为2，点 为侧棱 的中点，连接 ， ，则 与平面 所成角的正弦值为 .
【答案】
【考点】空间向量的数量积运算；直线与平面所成的角；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【解答】如图，建立空间直角坐标系 ， 为 的中点，
由已知， ， ， ， ，
所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，所以 ，而 ，
则 与平面 所成角的正弦值为 .
故答案为： .
【分析】根据题意建立空间直角坐标系，求出各个点以及向量的坐标，然后设出平面的法向量结合数量积的坐标公式计算出法向量的坐标，结合线面角与向量夹角的关系，代入数值计算出结果即可。
四、解答题
17．（2021·成都一诊）如图，长方体ABCD -A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，AA1=4，点E，F，M，N分别为棱CC1，BC， BB1，AA1的中点
（1）求证：平面B1D1E⊥平面C1MN．
（2）若平面AFM∩平面A1B1C1D1=l，求直线l与平面B1D1E1所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：在长方体ABCD-A1B1C11D中，四边形BCC1B1是矩形，连接ME
因为E，M分别为棱CC1，BB1的中点，且BB1=4，B1C1=2，所以四边形MECB是正方形
所以C1M⊥B1E，因为N，M分别为棱AA1，BB1的中点，所以MN⊥平面BCC1B1，
又B1E 平面BCC1B1，所以MN⊥B1E，又MN∩C1M=M，MN，C1M 平面C1MN，
所以B1E⊥平面C1MN，因为B1E 平面B1DE，所以平面B1D1E⊥平面C1MN
（2）解：易知直线AF∥平面A1B1C1D1，AF 平面AFM ．因为平面AFM∩平面A1B1C1D1=l，所以AF∥l．所以直线l与平面B1D1E所成的角，即直线AF与平面B1D1E所成的角．
以D(0，0，0) 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，则
A(2，0，0)， F(1，2，0)， D1(0，0，4)， B1(2，2，4)， E(0，0，2)，
所以 =(2，2，0)， =(0，2，-2)， =(-1，2，0)
设平面B1D1E的一个法向量为 =(x，y，z)，
由
令z=1 =(-1，1，1)，
设直线l与平面B1D1E所成的角a，
所以sina=
所以直线l与平面B1D1E所成的角的正弦值为
【考点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1）利用线面垂直和面面垂直的判定定理。即可得到即可证明；
（2）以D(0，0，0) 为坐标原点建立如图空间直角坐标系， 求出平面B1D1E的一个法向量为 =(-1，1，1) ， 即可求出 直线l与平面B1D1E所成的角的正弦值 。
18．（2020高二上·赣县期末）如图，在四棱锥 P-ABCD中，△PAB为正三角形，四边形ABCD为矩形，且平面PAB⊥平面ABCD，AB=2，PC=4
（1）求证：平面PAB⊥平面PAD
（2）在线段PA上是否存在一点N，使得二面角A-BD-N的余弦值为 若存在，求出点N的位置；若不存在，请说明理由
【答案】（1）证明：取 的中点 ，连接 ，
∵ 为正三角形，∴ ，
又∵平面 平面 ，且平面 平面 ，
∴ 平面 ，
又 平面 ，∴ ，
又∵ ， ，且 ，
∴ 平面 ．
又∵ 平面 ，
∴平面 平面 ．
（2）解：以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
在直角 中， ， ，∴
∴ ，
设 ，则 ，
则 ， ，
设平面 的一个法向量 ，
则 ，即 ，
令 ，可得得 ，
而平面 的法向量 ，
由题意知： ，解得 （舍）或 ，
∴当点 为 的中点时，二面角 的余弦值为 ．
【考点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1） 取 的中点 ，连接 ，由面面垂直的性质得 平面 ，得出 ，从而说明 平面 ，即可得证；
（2） 以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可说明。
19．（2021高二上·楚雄月考）如图，在四棱锥 中， 为正三角形，四边形 为梯形，平面 平面 且 ， ， ， 为 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成的角的余弦值.
【答案】（1）证明：如图所示，取 的中点 ，连接 ， ．
为 的中点， ．
又 ， 且 ．
四边形 为平行四边形． ．
又 平面 ， 平面 ， 平面 ．
（2）解：取 的中点 ，连接 ，由 为正三角形， ．
取 的中点 ，连接 ， 四边形 为梯形， ． ．
平面 平面 , 平面 ,平面 平面
平面 ， 又 平面
以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系：
设 ，则 ， ， ， ，
故 ， ．
设平面 的一个法向量为 ，则
则可取 ．
设直线 与平面 所成的角为 ．
．
， ．
故直线 与平面 所成的角的余弦值为 ．
【考点】直线与平面平行的判定；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1）根据直线与平面平行的判定定理求解即可；
（2）建立恰当的空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
20．（2021·甘肃模拟）如图，在四棱锥 中，底面 为梯形， ， ， ， ，平面 平面 ， 为棱 上一点．
（1）在平面 内能否作一条直线与平面 垂直？若能，请画出直线并加以证明；若不能，请说明理由；
（2）若 时，求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）解：过 作 ，交棱 于 ， 为所求作的直线，
因为平面 平面 ，且 ，
所以 平面 ，
又因为 ，所以 平面 ．
（如证明 平面 、或寻找 上任意一点作平行线、垂线都可）
（2）解：取 中点 ， 中点 ，连接 ，则 平面 ，
以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系．
则可得 ， ， ， ，则 ， ．
设平面 的法向量为 ，易得 ，
不妨取 ．
因为 ，所以 ，所以
设 与平面 所成角为 ，则 ．
所以 与平面 所成角的正弦值为
【考点】平面与平面垂直的性质；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1） 过 作 ，交棱 于 ， 为所求作的直线，根据面面垂直的性质可证得 平面 ；
（2） 取 中点 ， 中点 ，连接 ，则 平面 ，以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，求出 平面 的法向量 ， 设 与平面 所成角为 ，由 求出 与平面 所成角的正弦值 。
21．（2021高二上·台州期末）在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为直角梯形，，，侧面底面ABCD，，．
（1）若PB的中点为E，求证：平面PCD；
（2）若PB与底面ABCD所成的角为60°，求平面PCD与平面PBD的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：如图，取PC的中点F，连接EF，DF，
，F分别为PB，PC的中点，
，，
且，
且，
四边形ADFE是平行四边形，
，
平面PCD，平面PCD，
平面PCD．
（2）解：若是中点，作，由底面ABCD为直角梯形且，，，
由侧面底面ABCD，面面，面，
∴在面ABCD的投影在直线上，又PB与底面ABCD所成的角为60°，
∴PB与底面ABCD所成角的平面角，则△为等边三角形.
∴以为原点，、、为x、y、z轴建空间直角坐标系，如下图示：
∴、、、，则，，，
设平面BDP的法向量，则，取，得，
设平面PCD的法向量，则，取，得，
设平面PCD与平面PBD的夹角为，则，
平面PCD与平面PBD的夹角的余弦值为．
【考点】直线与平面平行的判定；用空间向量求直线与平面的夹角；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1） 取PC的中点F，连接EF，DF，再利用E、F分别为PB，PC的中点结合中位线的方法和中位线的性质，得出，，再利用且，再结合传递性得出且，所以，四边形ADFE是平行四边形，所以，再利用线线平行证出线面平行， 从而证出直线平面PCD。
（2） 利用点是中点，作，由底面ABCD为直角梯形且，，，由侧面底面ABCD，得出在面ABCD的投影在直线上，再利用PB与底面ABCD所成的角为60°，得出PB与底面ABCD所成角的平面角，从而得出三角形△为等边三角形，所以以为原点，、、为x、y、z轴建空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式得出平面PCD与平面PBD的夹角的余弦值。
22．（2021·宁波模拟）如图，在四棱雉P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形， 是正三角形，平面 平面ABCD， ， ．
（1）求证： ；
（2）若M是PB的中点，求直线MD与平面ACP所成角的正弦值．
【答案】（1）取 的中点为 ，连接 ，
因为 为等边三角形，故 ，
而平面 平面ABCD，平面 平面 ， 平面 ，
故 平面 ，而 平面 ，故 ，
而 ，故 平面 ，
而 平面 ，故 .
（2）在平面 中，过 做直线 ，则 平面 ，
因 平面 ，故 ，
由（1）可得 平面 ，而 平面 ，故 ，
故可建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，
则 ，
故 ，所以 ，又 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，故 ，取 ，则 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，则 .
【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】(1)根据题意作出辅助线由中点的性质结合三角形的几何性质即可得出线线垂直，再由面面垂直和线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，然后由线面垂直的判定定理即可得证出结论。
(2)由平行的传递性结合线面垂直的性质由线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，由此建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标；由线面角与向量夹角的关系，结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的正弦值，由此得到直线MD与平面ACP所成角的正弦值。
24精讲精练·专项突破
2021-2022学年高二上学期人教版（2019）
第一章 《空间向量与几何》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．下列命题是真命题的是（ ）
A．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
B． 的充要条件是A与C重合，B与D重合
C．若向量 满足 ，且 与 同向，则
D．若两个非零向量 与 满足 ，则
2．（2021高二上·沈阳月考）已知向量 ， ， ，若 ， ， 共面，则实数 （ ）
A． B． C． D．
3．在空间四点 ， ， ， 中，若 是空间的一个基底，则下列命题不正确的是（ ）.
A． ， ， ， 四点不共线
B． ， ， ， 四点共面，但不共线
C． ， ， ， 四点不共面
D． ， ， ， 点中任意三点不共线
4．（2021·浙江模拟）已知非零向量 ， ，则“ ”是“ 与 共线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2020高二上·阳泉期末）对于空间向量 ， ，若 ，则实数 （ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
6．（2021高二下·雅安期末）已知平面 的一个法向量 ，点 在平面 内，则点 到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021高一下·绵阳期末）在正方体 中， ， ， 分别是棱 ， ， 的中点，下列说法错误的是（ ）
A． B． 与 是异面直线
C． ， ， ， 四点共面 D．直线 与平面 相交
8．（2021高二上·湖南期末）在长方体中，，，O是AC的中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2021·珠海模拟）如图，三棱锥 中， 平面 ， ， ， ， 到平面 的距离为 ，则（ ）
A．
B．三棱锥 的外接球的表面积为
C．直线 与直线 所成角的余弦值为
D． 与平面 所成角的正弦值为
10．（2021高二上·定州期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，点E为PA的中点，，，，则（ ）
A．
B．异面直线BE与CD所成角的余弦值为
C．点B到平面PCD的距离为
D．BC与平面PCD所成的角为
11．（2021高二下·重庆月考）在直三棱柱 中， ， ， 分别是 的中点， 在线段 上，则下面说法中正确的有（ ）
A． 平面
B．若 是 上的中点，则
C．直线 与平面 所成角的正弦值为
D．直线 与直线 所成角最小时，线段 长为
12．（2021高二上·六安开学考）在直三棱柱 中， ， ，E，F分别是BC， 的中点，D在线段 上，则下面说法中正确的有（ ）
A． 平面
B．若D是 上的中点，则
C．直线EF与平面ABC所成角的正弦值为
D．直线BD与直线EF所成角最小时，线段BD长为
三、填空题
13．（2021高二上·安徽月考）在空间直角坐标系中， ， ，则 的最小值是 .
14．（2021高二上·安徽月考）已知 ， ， 是空间向量的一组基底， ， ， 是空间向量的另一组基底，若向量 在基底 ， ， 下的坐标为 ，则向量 在基底 ， ， 下的坐标是 .
15．（2021·梅县模拟）已知球 是三棱锥 的外接球， ， ，点 是 的中点，且 ，则球 的表面积为 .
16．（2020高二上·新乡期末）正三棱柱 的底面边长和高均为2，点 为侧棱 的中点，连接 ， ，则 与平面 所成角的正弦值为 .
四、解答题
17．（2021·成都一诊）如图，长方体ABCD -A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，AA1=4，点E，F，M，N分别为棱CC1，BC， BB1，AA1的中点
（1）求证：平面B1D1E⊥平面C1MN．
（2）若平面AFM∩平面A1B1C1D1=l，求直线l与平面B1D1E1所成角的正弦值．
18．（2020高二上·赣县期末）如图，在四棱锥 P-ABCD中，△PAB为正三角形，四边形ABCD为矩形，且平面PAB⊥平面ABCD，AB=2，PC=4
（1）求证：平面PAB⊥平面PAD
（2）在线段PA上是否存在一点N，使得二面角A-BD-N的余弦值为 若存在，求出点N的位置；若不存在，请说明理由
19．（2021高二上·楚雄月考）如图，在四棱锥 中， 为正三角形，四边形 为梯形，平面 平面 且 ， ， ， 为 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成的角的余弦值.
20．（2021·甘肃模拟）如图，在四棱锥 中，底面 为梯形， ， ， ， ，平面 平面 ， 为棱 上一点．
（1）在平面 内能否作一条直线与平面 垂直？若能，请画出直线并加以证明；若不能，请说明理由；
（2）若 时，求直线 与平面 所成角的正弦值．
21．（2021高二上·台州期末）在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为直角梯形，，，侧面底面ABCD，，．
（1）若PB的中点为E，求证：平面PCD；
（2）若PB与底面ABCD所成的角为60°，求平面PCD与平面PBD的夹角的余弦值．
22．（2021·宁波模拟）如图，在四棱雉P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形， 是正三角形，平面 平面ABCD， ， ．
（1）求证： ；
（2）若M是PB的中点，求直线MD与平面ACP所成角的正弦值．
答案解析部分
1．【答案】D
【考点】向量的模；相等向量与相反向量；共线向量与共面向量
【解析】【解答】因为空间中任意两向量平移之后都可以共面，所以空间中任意两向量均共面，故答案为：项A是假命题；
由 知， ，且 与 同方向，但A与C，B与D不一定重合，故答案为：项B是假命题；
因为空间向量不能比较大小，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有 这种写法，故答案为：项C是假命题；
因为 ，所以 ，即 与 共线，故 ，D是真命题．
故答案为：D．
【分析】 根据空间中任意两个向量必然共面，可判断A；根据相等向量和相反向量的定义，可判断B；根据向量不能比较大小，可判断C；根据相反向量共线，可判断D由此即可得出答案．
2．【答案】D
【考点】共线向量与共面向量
【解析】【解答】由题意知，因为 ， ， ，所以 ， 不共线，且 、 、 三个向量共面，
所以存在常数 ，使得 ，
所以 ，
所以 ，
解得 。
故答案为：D.
【分析】由题意知，因为 ， ， ，再结合向量共线的坐标表示得出 ， 不共线，且 、 、 三个向量共面，所以存在常数 ，使得 ，再利用向量的坐标运算，从而解方程组求出p,q的值，进而求出实数的值。
3．【答案】B
【考点】共线向量与共面向量
【解析】【解答】A对应的命题是正确的，若四点共线，则向量 ， ， 共面，构不成基底；
B对应的命题是错误的，若四点共面，则 ， ， 共面，构不成基底；
C对应的命题是正确的，若四点共面，则 ， ， 构不成基底；
D对应的命题是正确的，若有三点共线，则这四点共面，向量 ， ， 构不成基底.
故答案为：B
【分析】由空间向量基底的定义：三个向量不共线对选项逐一判断即可得出答案。
4．【答案】C
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；共线向量与共面向量
【解析】【解答】因 ， 是非零向量，若 ，则有 ，即 或 ，即 与 共线，
若 与 共线，则 或 ，即得 ，于是有 ，
所以“ ”是“ 与 共线”的充分必要条件.
故答案为：C
【分析】根据题意由已知条件结合数量积的运算公式整理即可得出 与 共线，反过来由 与 共线，则 或 ，即得 ，于是有 ，结合充分和必要条件的定义即可得出答案。
5．【答案】D
【考点】空间中的点的坐标；空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】因为 ，所以 ，即 ，所以 .
故答案为：D.
【分析】由空间向量的共线坐标公式，代入数值计算出结果即可。
6．【答案】C
【考点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】由已知条件可得 ，故点 到平面 的距离为 。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合向量的坐标表示，从而求出向量的坐标，再利用数量积的定义求出点 到平面 的距离。
7．【答案】D
【考点】异面直线的判定；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；共线向量与共面向量
【解析】【解答】连接 ,因为 ， 分别是棱 ， 的中点，所以 ，又因为四边形 为正方形，所以 ，又因为 平面 ，且 平面 ，所以 ，又因为 ，所以 平面 ，又因为 平面 ，所以 ，故 ，A符合题意；
因为 平面 , 平面 , 平面 , ，所以 与 是异面直线，B符合题意；
连接 因为 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，又因为 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，故 ，因此 四点共面，C符合题意；
连接 ， 因为 且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 且 ，又因为 且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 且 ，故 ，且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，所以 与平面 不相交，D不符合题意。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合正方体的结构特征，再结合中点的性质，从而利用线线垂直的判断方法、异面直线的判断方法、四点共面的判断方法、线面相交的判断方法，从而找出说法错误的选项。
8．【答案】D
【考点】数量积的坐标表达式；数量积表示两个向量的夹角；直线与平面所成的角；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【解答】以D为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示
则，，，，，
设，则，
设平面的法向量为
则，令，得
所以，
由于，，，
，，，
由于，所以
故答案为：D
【分析】根据题意建立空间直角坐标系，由此求出点以及向量的坐标，结合数量积的坐标公式求出平面的法向量，然后由线面角和向量夹角之间的关系，结合数量积的夹角公式代入数值计算出结果，然后由余弦函数的性质即可求出的取值范围即可。
9．【答案】A,B,D
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【解答】因为 ， ， ，
所以 ，即 ，
又因为 平面 ，
所以 ，设 ，
根据等体积法 ，即 ，
解得 ，所以 ，A选项正确；
所以三棱锥 的外接球的半径与以 为邻边的长方体的外接球的半径相等，
所以三棱锥 的外接球的半径为 ，
所以三棱锥 的外接球的表面积为 ，B选项正确；
过点 作 的平行线 ，则 平面 ，
所以以点 为坐标原点， 所在边分别为 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
所以 ，
所以 ，
所以直线 与直线 所成角的余弦值为 ，C选项错误；
因为 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，所以 ，由于
故设 与平面 所成角为 ，
则 .
所以 与平面 所成角的正弦值为 ，D选项正确；
故答案为：ABD
【分析】对于A设 ，根据等体积法 解得 可判A正确。
B 根据三棱锥外接球半径可求出三棱锥 的外接球的半径为 ，进而求得其表面积为 B选项正确。
C 过点 作 的平行线 ，则 平面 ，所以以点 为坐标原点， 所在边分别为 轴建立空间直角坐标系利用空间向量可求出直线 与直线 所成角的余弦值为 ，C选项错误。
D 利用空间向量即可求得 与平面 所成角的正弦值为 ，D选项正确。
10．【答案】B,C,D
【考点】点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【解答】以A为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，．
所以，，，，
则．
，
则异面直线BE与CD所成角的余弦值为．
设平面PCD的一个法向量为，
则即解得
令，则，，所以平面PCD的一个法向量为．
则，
所以点B到平面PCD的距离为，
又，所以BC与平面PCD所成的角为．
故答案为：BCD
【分析】由已知条件建立空间直角坐标系，由此求出各个点以及向量的坐标，结合数量积的坐标公式代入计算出结果，由此判断出选项A错误；再由已知条件即可求出异面直线所成的角，结合数量积的夹角公式，代入数值计算出结果由此判断出选项B正确；由已知条件结合线面垂直的判定定理即可求出点到平面的距离，把坐标代入计算出结果由此判断出选项C正确；根据题意即可求出线面角所在的三角形，结合数量积的夹角公式计算出结果由此判断出选项D正确；由此即可得出答案。
11．【答案】A,C,D
【考点】空间向量的数量积运算；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【解答】由题意可得 ， ， ， ，
， ， ，设 ，
， ，
直三棱柱 中， ，
可得 为平面 的一个法向量，
为平面 的一个法向量，
对于A， ， ，
即 ，又 平面 ，所以 平面 ，A符合题意；
对于B，若 是 上的中点，则 ，
所以 ，所以 与 不垂直，B不正确；
对于C，由 为平面 的一个法向量， ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，C符合题意；
对于D，设 ，
则 ，
当 时，即 时， 取最大值，
即直线 与直线 所成角最小，此时 ，
，D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】 建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量，将问题转化为空间向量的关系进行研究，对选项逐一判断即可得出答案。
12．【答案】A,C,D
【考点】向量语言表述线线的垂直、平行关系；向量语言表述线面的垂直、平行关系；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【解答】解：以A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
由题意可得，A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，0，2)，C1(0，2，2)，E(1，1，0)，F(0，1，2)，设D(x，2-x，2)，故，
直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，所以为平面AA1B1B的一个法向量，是平面ABC的一个法向量，
对于A，，所以，即EF⊥A C，又EF￠平面AA1B1B，所以EF//平面AA1B1B，故选项 A正确;
对于B，若D是B1C1上的中点，则，所以，所以EF与BD不垂直，故B错误；
对于C，因为是平面ABC的一个法向量
设直线EF与平面ABC所成的角为α，
则， 故C正确；
对于D，设
故
所以
所以
故当,即时，取得最大值，
即直线BD与直线EF所成的角最小，此时
所以，故D正确.
故答案为：ACD
【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量，将问题转化为空间向量的关系进行研究，依次判断四个选项即可.
13．【答案】
【考点】向量的模；空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】由题意，向量 ， ，可得 ，
所以 ，
所以当 时， 取得最小值 .
故答案为： .
【分析】由空间向量的坐标公式代入数值整理化简得到，结合二次函数的性质即可求出的最小值。
14．【答案】（2,1,2）
【考点】空间中的点的坐标；空间向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】解：向量 在基底 ， ， 下的坐标为 ，则 ，
设向量 在基底 ， ， 下的坐标是 ，则 ，
所以有 ，解得 ，所以向量 在基底 ， ， 下的坐标是（2,1,2）.
故答案为：（2,1,2）.
【分析】首先由已知条件即可得到，再由向量的坐标公式代入计算出x、y、z的值，由此即可得出答案。
15．【答案】
【考点】球的体积和表面积；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】由 ， ，可得 ，所以 ，
由点 是 的中点，且 ，可求得 ，
又由 ，可得 ，所以 ，
又 且 平面 ，所以 平面 ，
以 为底面， 为侧棱补成一个直三棱柱，如图所示，
则三棱锥 的外接球即为该三棱柱的外接球，
球心 到底面 的距离为 ,
由正弦定理，可得 的外接圆的半径为 ，
所以球 的半径为 ，
所以球 的表面积为 .
故答案为： .
【分析】根据题意由线面垂直的判定定理即可证明AC⊥平面PAB，结合勾股定理求出三角形PAB外接圆的半径，再由点到面的距离公式求出球的半径，把数值代入到球的表面积公式计算出结果即可。
16．【答案】
【考点】空间向量的数量积运算；直线与平面所成的角；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【解答】如图，建立空间直角坐标系 ， 为 的中点，
由已知， ， ， ， ，
所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，所以 ，而 ，
则 与平面 所成角的正弦值为 .
故答案为： .
【分析】根据题意建立空间直角坐标系，求出各个点以及向量的坐标，然后设出平面的法向量结合数量积的坐标公式计算出法向量的坐标，结合线面角与向量夹角的关系，代入数值计算出结果即可。
17．【答案】（1）证明：在长方体ABCD-A1B1C11D中，四边形BCC1B1是矩形，连接ME
因为E，M分别为棱CC1，BB1的中点，且BB1=4，B1C1=2，所以四边形MECB是正方形
所以C1M⊥B1E，因为N，M分别为棱AA1，BB1的中点，所以MN⊥平面BCC1B1，
又B1E 平面BCC1B1，所以MN⊥B1E，又MN∩C1M=M，MN，C1M 平面C1MN，
所以B1E⊥平面C1MN，因为B1E 平面B1DE，所以平面B1D1E⊥平面C1MN
（2）解：易知直线AF∥平面A1B1C1D1，AF 平面AFM ．因为平面AFM∩平面A1B1C1D1=l，所以AF∥l．所以直线l与平面B1D1E所成的角，即直线AF与平面B1D1E所成的角．
以D(0，0，0) 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，则
A(2，0，0)， F(1，2，0)， D1(0，0，4)， B1(2，2，4)， E(0，0，2)，
所以 =(2，2，0)， =(0，2，-2)， =(-1，2，0)
设平面B1D1E的一个法向量为 =(x，y，z)，
由
令z=1 =(-1，1，1)，
设直线l与平面B1D1E所成的角a，
所以sina=
所以直线l与平面B1D1E所成的角的正弦值为
【考点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1）利用线面垂直和面面垂直的判定定理。即可得到即可证明；
（2）以D(0，0，0) 为坐标原点建立如图空间直角坐标系， 求出平面B1D1E的一个法向量为 =(-1，1，1) ， 即可求出 直线l与平面B1D1E所成的角的正弦值 。
18．【答案】（1）证明：取 的中点 ，连接 ，
∵ 为正三角形，∴ ，
又∵平面 平面 ，且平面 平面 ，
∴ 平面 ，
又 平面 ，∴ ，
又∵ ， ，且 ，
∴ 平面 ．
又∵ 平面 ，
∴平面 平面 ．
（2）解：以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
在直角 中， ， ，∴
∴ ，
设 ，则 ，
则 ， ，
设平面 的一个法向量 ，
则 ，即 ，
令 ，可得得 ，
而平面 的法向量 ，
由题意知： ，解得 （舍）或 ，
∴当点 为 的中点时，二面角 的余弦值为 ．
【考点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1） 取 的中点 ，连接 ，由面面垂直的性质得 平面 ，得出 ，从而说明 平面 ，即可得证；
（2） 以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可说明。
19．【答案】（1）证明：如图所示，取 的中点 ，连接 ， ．
为 的中点， ．
又 ， 且 ．
四边形 为平行四边形． ．
又 平面 ， 平面 ， 平面 ．
（2）解：取 的中点 ，连接 ，由 为正三角形， ．
取 的中点 ，连接 ， 四边形 为梯形， ． ．
平面 平面 , 平面 ,平面 平面
平面 ， 又 平面
以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系：
设 ，则 ， ， ， ，
故 ， ．
设平面 的一个法向量为 ，则
则可取 ．
设直线 与平面 所成的角为 ．
．
， ．
故直线 与平面 所成的角的余弦值为 ．
【考点】直线与平面平行的判定；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1）根据直线与平面平行的判定定理求解即可；
（2）建立恰当的空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
20．【答案】（1）解：过 作 ，交棱 于 ， 为所求作的直线，
因为平面 平面 ，且 ，
所以 平面 ，
又因为 ，所以 平面 ．
（如证明 平面 、或寻找 上任意一点作平行线、垂线都可）
（2）解：取 中点 ， 中点 ，连接 ，则 平面 ，
以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系．
则可得 ， ， ， ，则 ， ．
设平面 的法向量为 ，易得 ，
不妨取 ．
因为 ，所以 ，所以
设 与平面 所成角为 ，则 ．
所以 与平面 所成角的正弦值为
【考点】平面与平面垂直的性质；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1） 过 作 ，交棱 于 ， 为所求作的直线，根据面面垂直的性质可证得 平面 ；
（2） 取 中点 ， 中点 ，连接 ，则 平面 ，以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，求出 平面 的法向量 ， 设 与平面 所成角为 ，由 求出 与平面 所成角的正弦值 。
21．【答案】（1）证明：如图，取PC的中点F，连接EF，DF，
，F分别为PB，PC的中点，
，，
且，
且，
四边形ADFE是平行四边形，
，
平面PCD，平面PCD，
平面PCD．
（2）解：若是中点，作，由底面ABCD为直角梯形且，，，
由侧面底面ABCD，面面，面，
∴在面ABCD的投影在直线上，又PB与底面ABCD所成的角为60°，
∴PB与底面ABCD所成角的平面角，则△为等边三角形.
∴以为原点，、、为x、y、z轴建空间直角坐标系，如下图示：
∴、、、，则，，，
设平面BDP的法向量，则，取，得，
设平面PCD的法向量，则，取，得，
设平面PCD与平面PBD的夹角为，则，
平面PCD与平面PBD的夹角的余弦值为．
【考点】直线与平面平行的判定；用空间向量求直线与平面的夹角；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1） 取PC的中点F，连接EF，DF，再利用E、F分别为PB，PC的中点结合中位线的方法和中位线的性质，得出，，再利用且，再结合传递性得出且，所以，四边形ADFE是平行四边形，所以，再利用线线平行证出线面平行， 从而证出直线平面PCD。
（2） 利用点是中点，作，由底面ABCD为直角梯形且，，，由侧面底面ABCD，得出在面ABCD的投影在直线上，再利用PB与底面ABCD所成的角为60°，得出PB与底面ABCD所成角的平面角，从而得出三角形△为等边三角形，所以以为原点，、、为x、y、z轴建空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式得出平面PCD与平面PBD的夹角的余弦值。
22．【答案】（1）取 的中点为 ，连接 ，
因为 为等边三角形，故 ，
而平面 平面ABCD，平面 平面 ， 平面 ，
故 平面 ，而 平面 ，故 ，
而 ，故 平面 ，
而 平面 ，故 .
（2）在平面 中，过 做直线 ，则 平面 ，
因 平面 ，故 ，
由（1）可得 平面 ，而 平面 ，故 ，
故可建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，
则 ，
故 ，所以 ，又 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，故 ，取 ，则 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，则 .
【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】(1)根据题意作出辅助线由中点的性质结合三角形的几何性质即可得出线线垂直，再由面面垂直和线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，然后由线面垂直的判定定理即可得证出结论。
(2)由平行的传递性结合线面垂直的性质由线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，由此建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标；由线面角与向量夹角的关系，结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的正弦值，由此得到直线MD与平面ACP所成角的正弦值。
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