精讲精练·专项突破
2021-2022学年高二上学期人教版（2019）
第一章 《空间向量与几何》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021高一下·绍兴期末）如图，在正三棱柱 中， ，则异面直线 与 所成角的余弦值是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【考点】异面直线及其所成的角；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：分别取BC,B1C1的中点O,O1，以O为原点，以OB为x轴，AO为y轴，OO1为z轴建立空间直角坐标系，设AB=AA1=2
则，，B(1,0,0)，C1(-1,0,2)
则
设异面直线AC1与A1B所成角为θ,
则
故答案为：B
【分析】根据异面直线所成角的定义，利用向量法直接求解即可.
2．（2022高三上·闵行模拟）若直线l的一个方向向量为，则l的法向量可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】直线的方向向量；平面的法向量
【解析】【解答】，A错误.
，B错误.
，C正确.
，D错误.
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合直线的方向向量求解方法，再结合直线的法向量的求解方法以及数量积为0两向量垂直的等价关系，再利用数量积的坐标表示得出直线l的法向量的坐标。
3．下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 或
B．若 、 为相反向量，则
C．零向量是没有方向的向量
D．若 、 是两个单位向量，则
【答案】B
【考点】零向量；单位向量；空间向量的概念
【解析】【解答】对A，若 ，只能表示 和 的长度相等，不能说明方向相同或相反，故 A不符合题意；
对B，若 、 为相反向量，则它们的和为零向量，B对；
对C，零向量的方向是任意的，C不符合题意；
对D，两个单位向量只是模都为1，但方向不一定相同，D不符合题意．
故答案为：B
【分析】根据题意由向量的定义结合零向量、相反向量、单位向量以及向量的模的概念对选项逐一判断即可得出答案。
4．已知向量 =（1，1，0），则与 共线的单位向量 =（ ）
A． B． 1， C． D． 1，
【答案】C
【考点】单位向量；平行向量与共线向量；空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】因为向量 =（1，1，0）
所以与 共线的单位向量可为 且
解得
所以可得与 共线的单位向量为 或
故答案为：C
【分析】根据题意由空间单位向量和共线向量的坐标公式代入数值计算出结果即可。
5．（2021高二上·越秀期末）在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】异面直线及其所成的角；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设，
则、、、，
，，，
因此，异面直线与所成角的大小为.
故答案为：A.
【分析】根据题意由已知条件建立空间直角坐标系，由此求出点以及向量的坐标，然后由数量积的坐标公式，代入数值计算出结果即可求出异面直线所成角的大小。
6．（2021高一下·太原期末）如图，在长方体 中， . .则直线 与平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】棱柱的结构特征；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】因为 为长方体，所以面 ⊥面ABCD，
过A作AE⊥BD于E，则AE⊥面 ，所以直线 与平面 的距离为AE.
在直角三角形ABD中，由等面积法可得：
故答案为：C
【分析】过A作AE⊥BD于E，则AE⊥面 ，所以直线 与平面 的距离为AE，利用等面积法可求出答案。
7．（2021·高州一模）如图，在直三棱柱 的侧面展开图中， ， 是线段 的三等分点，且 ．若该三棱柱的外接球 的表面积为 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【考点】棱柱的结构特征；球的体积和表面积；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】由展开图可知，直三棱柱 的底面是边长为 的等边三角形，
其外接圆的半径满足 ，所以 ．
由 得 ．
由球的性质可知，球心 到底面 的距离为 ，
结合球和直三棱柱的对称性可知， ，
故答案为：D．
【分析】由展开图可知，直三棱柱 的底面是边长为 的等边三角形，再利用正弦定理的性质求出等边三角形其外接圆的半径，再利用三棱柱的外接球 的表面积为 ，结合外接球表面积公式，从而求出外接球的半径，再利用球的性质结合勾股定理可知，球心 到底面 的距离，再结合球和直三棱柱的对称性可知的值。
8．（2020高二上·赣县期末）如图，正方体 的棱长为 ， 、 分别是棱 、 上的点，若 平面 ，则 与 的长度之和为（ ）．
A． B． C． D．1
【答案】D
【考点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】以 为坐标原点， 、 、 为 、 、 轴建立空间直角坐标系，
设 ， ，
则 ， ， ， ，
∴ ， ，由于 平面 ，
∴ ，即 ，
故 与 的长度之和为 .
故答案为：D．
【分析】利用三条直线两两垂直，建立合适的空间直角坐标系，确定所需点的坐标，利用线面垂直得到两个向量垂直，结合向量的坐标，求解即可得到答案。
二、多选题
9．（2020高二上·漳州期末）已知正方体 的棱长为 ， 为棱 上的动点，下列说法正确的是（ ）
A．
B．二面角 的大小为
C．三棱锥 的体积为定值
D．若 平面 ，则直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围为
【答案】A,C
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；用空间向量求直线与平面的夹角；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【解答】以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系.
则 、 、 、 、 、 、 、 ，设点 ，其中 .
对于A选项， ， ，则 ，
所以， ，A选项正确；
对于B选项，设平面 的法向量为 ， ， ，
由 ，取 ，可得 ，则 ，
设平面 的法向量为 ， ，
由 ，取 ，则 ，所以， ，
，所以，二面角 的大小不是 ，B选项错误；
对于C选项， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，
到平面 的距离等于点 到平面 的距离，
而点 到平面 的距离为 ，即三棱锥 的高为 ，
因此， ，C选项正确；
对于D选项， 平面 ，则 为平面 的一个法向量，且 ，
又 ， ，
所以，直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围为 ，D选项错误.
故答案为：AC.
【分析】以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，利用向量法逐项进行判断即可得出答案。
10．（2021高二上·湖南月考）直线l的方向向量为 ，两个平面 的法向量分别为 ，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ，则直线 平面
B．若 ，则直线 平面
C．若 则直线l与平面 所成角的大小为
D．若 ，则平面 所成角的大小为
【答案】B,C,D
【考点】向量语言表述线面的垂直、平行关系；用空间向量求直线与平面的夹角；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【解答】由题意知，直线l的方向向量为 ，两个平面 的法向量分别为 ，
对于A中，若 ，则直线 平面 或 ，所以A不正确；
对于B中，若 ，则直线 平面 ，所以B符合题意；
对于C中，若 ，因为 ，所以 ，
设直线l与平面 所成角为 ，可得 ，即直线l与平面 所成角的大小为 ，所以C符合题意；
对于D中，若 ，因为 ，所以 ，
所以平面 所成角的大小为 .
故答案为：BCD.
【分析】 根据直线的方向向量与平面法向量之间的关系，逐一判断线面、面面关系即可得答案.
11．（2020高二上·聊城期末）以下命题正确的是（ ）
A．若 是平面 的一个法向量，直线 上有不同的两点 ， ，则 的充要条件是
B．已知 ， ， 三点不共线，对于空间任意一点 ，若 ，则 ， ， ， 四点共面
C．已知 ， ，若 与 垂直，则
D．已知 的顶点坐标分别为 ， ， ，则 边上的高 的长为
【答案】B,C,D
【考点】向量的线性运算性质及几何意义；三点共线；空间中直线与平面之间的位置关系；空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】对于A，若直线 ，则 成立，故 不是 的必要条件，
A不符合题意；
对于B，若 ，则 ，
所以 ，所以 ， ， ， 四点共面，B符合题意；
对于C，由题意可得 ， ，
若 与 垂直，则 ，解得 ，
C符合题意；
对于D，由题意 ， ，
则 , ,
所以 ,
所以 边上的高 ,D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】由直线与平面的位置关系结合直线的法向量，举出反例由充分和必要条件的定义即可判断出选项A错误；由空间向量的线性运算转化条件为由此即可判断出选项B正确；由空间向量垂直的坐标表示即可判断出选项C正确；结合空间向量夹角的坐标即可求出夹角的余弦值，再结合即可判断出选项D正确；由此得出答案。
12．（2020高二上·济宁期末）已知空间四点 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．点O到直线 的距离为 D．O，A，B，C四点共面
【答案】A,B,C
【考点】数量积的坐标表达式；数量积表示两个向量的夹角；点到直线的距离公式；共线向量与共面向量
【解析】【解答】 ，
，A符合题意；
，B符合题意；
， ，所以 ， ，所以点O到直线 的距离为 ，C符合题意；
，
假设若O，A，B，C四点共面，则 共面，设 ，
则 ，此方程组无解，所以O，A，B，C四点不共面，D不符合题意．
故答案为：ABC．
【分析】利用已知条件结合数量积的坐标表示求出数量积的值；再利用数量积求向量夹角公式结合数量积的坐标表示和向量的模的坐标表示，进而求出两向量的夹角；再利用数量积为0两向量垂直结合数量积的坐标表示，进而证出两向量垂直，再结合向量的模的坐标表示求出点O到直线 的距离；再利用假设法，若O，A，B，C四点共面则两向量共面，再结合平面向量基本定理，进而推出方程无解，得出 O，A，B，C四点不共面，进而选出说法正确的选项。
三、填空题
13．（2021高二上·辽宁月考）已知 ，若 三向量共面，则 .
【答案】
【考点】共线向量与共面向量
【解析】【解答】因为 ， ， 三向量共面，所以存在 ，使得 ，
则 ，即 ，解得 。
故答案为： 。
【分析】利用 ， ， 三向量共面，结合向量共面的判断方法，所以存在 ，使得 ，再利用向量的坐标运算，从而结合向量相等的等价关系，从而解方程组求出的值。
14．如图，在平行六面体 中， 为 与 的交点，若 ， ， ，用 ， ， 表示 ，则 .
【答案】
【考点】空间向量的加减法
【解析】【解答】 ．
故答案为： ．
【分析】由向量的加、减法运算法则结合 平行六面体的几何性质计算出结果即可。
15．（2021高二上·薛城期中）如图，在菱形 中， ， ， 是 的中点，将 沿直线 翻折至 的位置，使得面 面 ，则点 到直线 的距离为 .
【答案】
【考点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：在菱形 中， ， ，
所以 是边长为2的等边三角形，
又因为 为 的中点，
所以 ，又面 面 ，面 面 ，
平面 ，所以 平面 ，
作 交 于点 ，由 ， ， 平面
所以 平面 ，所以
，所以
故答案为：
【分析】 证明 平面 ，所以 ,求得，可得求点A1到直线DB的距离.
16．（2021高二上·湖南月考）已知矩形中，，，，，E，F为垂足.将矩形沿对角线折起，得到二面角，若二面角的大小为，则 .
【答案】5
【考点】平面向量的基本定理及其意义；平面向量数量积的运算；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【解答】因为，所以
，
所以，即。
故答案为：5。
【分析】利用已知条件结合三角形法则和平面向量基本定理得出，再利用数量积求向量的模的公式结合数量积的运算法则和数量积的定义，从而结合二面角的平面角的求解方法，得出AC的长。
四、解答题
17．（2021·临沂模拟）如图，四棱锥 中，四边形 是等腰梯形， .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）过 的平面交 于点 若平面 把四棱锥 分成体积相等的两部分，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明：如图，取 的中点 连结 ，
，
，
，
四边形 为平行四边形，
，
四边形 是等腰梯形， ，
，
又 ，
为等边三角形，
，
在等腰 中， ，
在 中， ，
不妨设 ，
则 ，
在 中， ，
，
，
又 平面 平面 ，
平面 ，
又 平面 ，
平面 平面
（2）解： ，
以 分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，如图：
设 ，
平面 把四棱锥 分成体积相等的两部分，
三棱锥 的体积等于四棱锥 ，
，
设梯形 的高为
则 ，
解得 ，
则 ，
，
轴 平面
平面 的一个法向量为
设平面 的一个法向量为 ，
则
即
取 则 ，
，
，
平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .
【考点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】 （1）作DF⊥AB交AB于点F，连结BD，在△ABD中，利用余弦定理求出BD，然后由勾股定理可证PD⊥BD，再利用线面垂直的判定定理可证PD⊥平面ABCD，由面面垂直的判断定理证明即可；
（2）利用平面PDE把四棱锥P-ABCD分成体积相等的两部分，可得，从而求出AE，然后建立合适的空间直角坐标系，求出所需各点的坐标，利用待定系数法求出平面PAD和PCE的法向量，然后利用二面角的计算公式求解即可．
18．（2021高二上·辽宁开学考）在四棱锥 中，四边形 为正方形，平面 平面 为等腰直角三角形， ．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）设 为 的中点，求点 到平面 的距离．
【答案】（1）解：证明：∵面 面 ，且平面 平面 ， ， 面
面 ，
又 面
又因为由已知
且 ，所以 面 ，又 面
∴面 面 .
（2） 中， ，取 的中点 ，连 ，则
∵面 面 且它们交于 面
面
由 ，由已知可求得 ，
， ，所以 .
所以点 到平面 的距离为 .
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】(1)根据题意由面面垂直的性质定理即可得出线面垂直，然后由线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，再由线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理即可得证出结论。
(2)由已知条件作出辅助线，由中点的性质即可得出线线垂直，再由等体积法代入数值计算出 点 到平面 的距离即可。
19．（2021高二上·浙江期末）如图，在四棱锥 中，O是AD边的中点， 底面ABCD. .在底面ABCD中， ， ， ， .
（1）求证：AB 平面POC；
（2）求直线PC与平面PAB所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：由题意 ，又 ，所以BCOA是平行四边形，所以 ，
又 平面POC， 平面POC，所以 平面POC；
（2）解： ， ，所以BCDO是平行四边形，所以 ， ，而 ，
所以 ，以 为 轴建立空间直角坐标系，如图，
则 ，
设平面ABP的一个法向量为 ，
则 ，取x=1，则 ， ，所以 ，
设直线PC与平面PAB所成角为 ，则 ，
所以直线PC与平面PAB所成角的正弦值为 .
【考点】直线与平面平行的判定；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1） 由题意 结合 ，所以四边形BCOA是平行四边形，所以 ，再利用线线平行证出线面平行，从而证出直线平面POC。
（2） 利用 ， ，所以四边形BCDO是平行四边形，所以 ， ，而 ，所以 ，以 为 轴建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式得出 直线PC与平面PAB所成角的正弦值。
20．（2021高二上·东城期末）如图，四棱锥中，底面为正方形，底面，，点，，分别为，，的中点，平面棱．
（1）试确定的值，并证明你的结论；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）解：.
证明如下：
在△中，因为点分别为的中点，
所以//.
又平面，平面，
所以//平面.
因为平面，平面平面，
所以//
所以//.
在△中，因为点为的中点，
所以点为的中点， 即 .
（2）解：因为底面为正方形，所以.
因为底面，
所以，.
如图，建立空间直角坐标系，
则，，，
因为分别为的中点，
所以.
所以，.
设平面的法向量，则
即
令，于.
又因为平面的法向量为，
所以
所以平面与平面夹角的余弦值为.
【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1) ，利用线面平行的判定和性质可得答案；
(2)以D为原点，DA, DC, DP所在直线分别为x, y, z的正方向建立空间直角坐标系 ,求出平面EFGM的法向量和平面PAD的法向量，由向量夹角公式可得平面与平面夹角的余弦值 .
21．（2022·保定模拟）如图，是圆的直径，圆所在的平面，为圆周上一点，为线段的中点，，．
（1）证明：平面平面.
（2）若为的中点，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明：因为圆所在的平面，即平面，
而平面，所以．
因为是圆的直径，为圆周上一点，
所以．
又，
所以平面，而平面，
则，
因为，，
所以．又，
所以，而为线段的中点，
所以．
又，
所以平面，
而平面，故平面平面．
（2）解：以为原点，分别以，的方向为轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
不妨设，则，，，，，．
设平面的法向量为，
则令，得．
由（1）知平面的一个法向量为，
设二面角为，易知为锐角，则，
即二面角的余弦值为．
【考点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）由题意可证． 结合 即可证平面 ，从而得证 ，再由 ． 即可得证；
（2）如图建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，代入夹角公式即可求解。
22．（2021·青岛模拟）在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ， ，点 ， 在线段 上， ， ， 为线段 上的一点．
（1）求证： 平面 ；
（2）若平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：∵ ， ，∴ ， ，
又∵ ，∴ ，∴四边形 为平行四边形．
又∵ ，∴四边形 为矩形．
∵ ，∴
∴
∴ ，又∵ 平面 ，∴ ， ，
∴ 平面
（2）解：如图建立空间直角坐标系
则 ， ， ， ， ，
设 ，
∴
， ， ，
设平面 与平面 的一个法向量分别为 ，
∴
设平面 与平面 所成锐二面角为 ，
∴
此时 ，平面 的一个法向量 ，
∴ ．
所以直线 与平面 所成角的正弦值为
【考点】直线与平面垂直的性质；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】 （1）根据直线与平面垂直的判定定理证明；（2）用向量数量积计算二面角的余弦值，列方程确定Q点位置，再用向量数量积计算直线与平面成角的正弦值．
23精讲精练·专项突破
2021-2022学年高二上学期人教版（2019）
第一章 《空间向量与几何》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021高一下·绍兴期末）如图，在正三棱柱 中， ，则异面直线 与 所成角的余弦值是（ ）
A．0 B． C． D．
2．（2022高三上·闵行模拟）若直线l的一个方向向量为，则l的法向量可以是（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 或
B．若 、 为相反向量，则
C．零向量是没有方向的向量
D．若 、 是两个单位向量，则
4．已知向量 =（1，1，0），则与 共线的单位向量 =（ ）
A． B． 1， C． D． 1，
5．（2021高二上·越秀期末）在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021高一下·太原期末）如图，在长方体 中， . .则直线 与平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·高州一模）如图，在直三棱柱 的侧面展开图中， ， 是线段 的三等分点，且 ．若该三棱柱的外接球 的表面积为 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．
8．（2020高二上·赣县期末）如图，正方体 的棱长为 ， 、 分别是棱 、 上的点，若 平面 ，则 与 的长度之和为（ ）．
A． B． C． D．1
二、多选题
9．（2020高二上·漳州期末）已知正方体 的棱长为 ， 为棱 上的动点，下列说法正确的是（ ）
A．
B．二面角 的大小为
C．三棱锥 的体积为定值
D．若 平面 ，则直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围为
10．（2021高二上·湖南月考）直线l的方向向量为 ，两个平面 的法向量分别为 ，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ，则直线 平面
B．若 ，则直线 平面
C．若 则直线l与平面 所成角的大小为
D．若 ，则平面 所成角的大小为
11．（2020高二上·聊城期末）以下命题正确的是（ ）
A．若 是平面 的一个法向量，直线 上有不同的两点 ， ，则 的充要条件是
B．已知 ， ， 三点不共线，对于空间任意一点 ，若 ，则 ， ， ， 四点共面
C．已知 ， ，若 与 垂直，则
D．已知 的顶点坐标分别为 ， ， ，则 边上的高 的长为
12．（2020高二上·济宁期末）已知空间四点 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．点O到直线 的距离为 D．O，A，B，C四点共面
三、填空题
13．（2021高二上·辽宁月考）已知 ，若 三向量共面，则 .
14．如图，在平行六面体 中， 为 与 的交点，若 ， ， ，用 ， ， 表示 ，则 .
15．（2021高二上·薛城期中）如图，在菱形 中， ， ， 是 的中点，将 沿直线 翻折至 的位置，使得面 面 ，则点 到直线 的距离为 .
16．（2021高二上·湖南月考）已知矩形中，，，，，E，F为垂足.将矩形沿对角线折起，得到二面角，若二面角的大小为，则 .
四、解答题
17．（2021·临沂模拟）如图，四棱锥 中，四边形 是等腰梯形， .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）过 的平面交 于点 若平面 把四棱锥 分成体积相等的两部分，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
18．（2021高二上·辽宁开学考）在四棱锥 中，四边形 为正方形，平面 平面 为等腰直角三角形， ．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）设 为 的中点，求点 到平面 的距离．
19．（2021高二上·浙江期末）如图，在四棱锥 中，O是AD边的中点， 底面ABCD. .在底面ABCD中， ， ， ， .
（1）求证：AB 平面POC；
（2）求直线PC与平面PAB所成角的正弦值.
20．（2021高二上·东城期末）如图，四棱锥中，底面为正方形，底面，，点，，分别为，，的中点，平面棱．
（1）试确定的值，并证明你的结论；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
21．（2022·保定模拟）如图，是圆的直径，圆所在的平面，为圆周上一点，为线段的中点，，．
（1）证明：平面平面.
（2）若为的中点，求二面角的余弦值.
22．（2021·青岛模拟）在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ， ，点 ， 在线段 上， ， ， 为线段 上的一点．
（1）求证： 平面 ；
（2）若平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
答案解析部分
1．【答案】B
【考点】异面直线及其所成的角；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：分别取BC,B1C1的中点O,O1，以O为原点，以OB为x轴，AO为y轴，OO1为z轴建立空间直角坐标系，设AB=AA1=2
则，，B(1,0,0)，C1(-1,0,2)
则
设异面直线AC1与A1B所成角为θ,
则
故答案为：B
【分析】根据异面直线所成角的定义，利用向量法直接求解即可.
2．【答案】C
【考点】直线的方向向量；平面的法向量
【解析】【解答】，A错误.
，B错误.
，C正确.
，D错误.
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合直线的方向向量求解方法，再结合直线的法向量的求解方法以及数量积为0两向量垂直的等价关系，再利用数量积的坐标表示得出直线l的法向量的坐标。
3．【答案】B
【考点】零向量；单位向量；空间向量的概念
【解析】【解答】对A，若 ，只能表示 和 的长度相等，不能说明方向相同或相反，故 A不符合题意；
对B，若 、 为相反向量，则它们的和为零向量，B对；
对C，零向量的方向是任意的，C不符合题意；
对D，两个单位向量只是模都为1，但方向不一定相同，D不符合题意．
故答案为：B
【分析】根据题意由向量的定义结合零向量、相反向量、单位向量以及向量的模的概念对选项逐一判断即可得出答案。
4．【答案】C
【考点】单位向量；平行向量与共线向量；空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】因为向量 =（1，1，0）
所以与 共线的单位向量可为 且
解得
所以可得与 共线的单位向量为 或
故答案为：C
【分析】根据题意由空间单位向量和共线向量的坐标公式代入数值计算出结果即可。
5．【答案】A
【考点】异面直线及其所成的角；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设，
则、、、，
，，，
因此，异面直线与所成角的大小为.
故答案为：A.
【分析】根据题意由已知条件建立空间直角坐标系，由此求出点以及向量的坐标，然后由数量积的坐标公式，代入数值计算出结果即可求出异面直线所成角的大小。
6．【答案】C
【考点】棱柱的结构特征；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】因为 为长方体，所以面 ⊥面ABCD，
过A作AE⊥BD于E，则AE⊥面 ，所以直线 与平面 的距离为AE.
在直角三角形ABD中，由等面积法可得：
故答案为：C
【分析】过A作AE⊥BD于E，则AE⊥面 ，所以直线 与平面 的距离为AE，利用等面积法可求出答案。
7．【答案】D
【考点】棱柱的结构特征；球的体积和表面积；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】由展开图可知，直三棱柱 的底面是边长为 的等边三角形，
其外接圆的半径满足 ，所以 ．
由 得 ．
由球的性质可知，球心 到底面 的距离为 ，
结合球和直三棱柱的对称性可知， ，
故答案为：D．
【分析】由展开图可知，直三棱柱 的底面是边长为 的等边三角形，再利用正弦定理的性质求出等边三角形其外接圆的半径，再利用三棱柱的外接球 的表面积为 ，结合外接球表面积公式，从而求出外接球的半径，再利用球的性质结合勾股定理可知，球心 到底面 的距离，再结合球和直三棱柱的对称性可知的值。
8．【答案】D
【考点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】以 为坐标原点， 、 、 为 、 、 轴建立空间直角坐标系，
设 ， ，
则 ， ， ， ，
∴ ， ，由于 平面 ，
∴ ，即 ，
故 与 的长度之和为 .
故答案为：D．
【分析】利用三条直线两两垂直，建立合适的空间直角坐标系，确定所需点的坐标，利用线面垂直得到两个向量垂直，结合向量的坐标，求解即可得到答案。
9．【答案】A,C
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；用空间向量求直线与平面的夹角；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【解答】以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系.
则 、 、 、 、 、 、 、 ，设点 ，其中 .
对于A选项， ， ，则 ，
所以， ，A选项正确；
对于B选项，设平面 的法向量为 ， ， ，
由 ，取 ，可得 ，则 ，
设平面 的法向量为 ， ，
由 ，取 ，则 ，所以， ，
，所以，二面角 的大小不是 ，B选项错误；
对于C选项， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，
到平面 的距离等于点 到平面 的距离，
而点 到平面 的距离为 ，即三棱锥 的高为 ，
因此， ，C选项正确；
对于D选项， 平面 ，则 为平面 的一个法向量，且 ，
又 ， ，
所以，直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围为 ，D选项错误.
故答案为：AC.
【分析】以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，利用向量法逐项进行判断即可得出答案。
10．【答案】B,C,D
【考点】向量语言表述线面的垂直、平行关系；用空间向量求直线与平面的夹角；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【解答】由题意知，直线l的方向向量为 ，两个平面 的法向量分别为 ，
对于A中，若 ，则直线 平面 或 ，所以A不正确；
对于B中，若 ，则直线 平面 ，所以B符合题意；
对于C中，若 ，因为 ，所以 ，
设直线l与平面 所成角为 ，可得 ，即直线l与平面 所成角的大小为 ，所以C符合题意；
对于D中，若 ，因为 ，所以 ，
所以平面 所成角的大小为 .
故答案为：BCD.
【分析】 根据直线的方向向量与平面法向量之间的关系，逐一判断线面、面面关系即可得答案.
11．【答案】B,C,D
【考点】向量的线性运算性质及几何意义；三点共线；空间中直线与平面之间的位置关系；空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】对于A，若直线 ，则 成立，故 不是 的必要条件，
A不符合题意；
对于B，若 ，则 ，
所以 ，所以 ， ， ， 四点共面，B符合题意；
对于C，由题意可得 ， ，
若 与 垂直，则 ，解得 ，
C符合题意；
对于D，由题意 ， ，
则 , ,
所以 ,
所以 边上的高 ,D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】由直线与平面的位置关系结合直线的法向量，举出反例由充分和必要条件的定义即可判断出选项A错误；由空间向量的线性运算转化条件为由此即可判断出选项B正确；由空间向量垂直的坐标表示即可判断出选项C正确；结合空间向量夹角的坐标即可求出夹角的余弦值，再结合即可判断出选项D正确；由此得出答案。
12．【答案】A,B,C
【考点】数量积的坐标表达式；数量积表示两个向量的夹角；点到直线的距离公式；共线向量与共面向量
【解析】【解答】 ，
，A符合题意；
，B符合题意；
， ，所以 ， ，所以点O到直线 的距离为 ，C符合题意；
，
假设若O，A，B，C四点共面，则 共面，设 ，
则 ，此方程组无解，所以O，A，B，C四点不共面，D不符合题意．
故答案为：ABC．
【分析】利用已知条件结合数量积的坐标表示求出数量积的值；再利用数量积求向量夹角公式结合数量积的坐标表示和向量的模的坐标表示，进而求出两向量的夹角；再利用数量积为0两向量垂直结合数量积的坐标表示，进而证出两向量垂直，再结合向量的模的坐标表示求出点O到直线 的距离；再利用假设法，若O，A，B，C四点共面则两向量共面，再结合平面向量基本定理，进而推出方程无解，得出 O，A，B，C四点不共面，进而选出说法正确的选项。
13．【答案】
【考点】共线向量与共面向量
【解析】【解答】因为 ， ， 三向量共面，所以存在 ，使得 ，
则 ，即 ，解得 。
故答案为： 。
【分析】利用 ， ， 三向量共面，结合向量共面的判断方法，所以存在 ，使得 ，再利用向量的坐标运算，从而结合向量相等的等价关系，从而解方程组求出的值。
14．【答案】
【考点】空间向量的加减法
【解析】【解答】 ．
故答案为： ．
【分析】由向量的加、减法运算法则结合 平行六面体的几何性质计算出结果即可。
15．【答案】
【考点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：在菱形 中， ， ，
所以 是边长为2的等边三角形，
又因为 为 的中点，
所以 ，又面 面 ，面 面 ，
平面 ，所以 平面 ，
作 交 于点 ，由 ， ， 平面
所以 平面 ，所以
，所以
故答案为：
【分析】 证明 平面 ，所以 ,求得，可得求点A1到直线DB的距离.
16．【答案】5
【考点】平面向量的基本定理及其意义；平面向量数量积的运算；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【解答】因为，所以
，
所以，即。
故答案为：5。
【分析】利用已知条件结合三角形法则和平面向量基本定理得出，再利用数量积求向量的模的公式结合数量积的运算法则和数量积的定义，从而结合二面角的平面角的求解方法，得出AC的长。
17．【答案】（1）证明：如图，取 的中点 连结 ，
，
，
，
四边形 为平行四边形，
，
四边形 是等腰梯形， ，
，
又 ，
为等边三角形，
，
在等腰 中， ，
在 中， ，
不妨设 ，
则 ，
在 中， ，
，
，
又 平面 平面 ，
平面 ，
又 平面 ，
平面 平面
（2）解： ，
以 分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，如图：
设 ，
平面 把四棱锥 分成体积相等的两部分，
三棱锥 的体积等于四棱锥 ，
，
设梯形 的高为
则 ，
解得 ，
则 ，
，
轴 平面
平面 的一个法向量为
设平面 的一个法向量为 ，
则
即
取 则 ，
，
，
平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .
【考点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】 （1）作DF⊥AB交AB于点F，连结BD，在△ABD中，利用余弦定理求出BD，然后由勾股定理可证PD⊥BD，再利用线面垂直的判定定理可证PD⊥平面ABCD，由面面垂直的判断定理证明即可；
（2）利用平面PDE把四棱锥P-ABCD分成体积相等的两部分，可得，从而求出AE，然后建立合适的空间直角坐标系，求出所需各点的坐标，利用待定系数法求出平面PAD和PCE的法向量，然后利用二面角的计算公式求解即可．
18．【答案】（1）解：证明：∵面 面 ，且平面 平面 ， ， 面
面 ，
又 面
又因为由已知
且 ，所以 面 ，又 面
∴面 面 .
（2） 中， ，取 的中点 ，连 ，则
∵面 面 且它们交于 面
面
由 ，由已知可求得 ，
， ，所以 .
所以点 到平面 的距离为 .
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】(1)根据题意由面面垂直的性质定理即可得出线面垂直，然后由线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，再由线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理即可得证出结论。
(2)由已知条件作出辅助线，由中点的性质即可得出线线垂直，再由等体积法代入数值计算出 点 到平面 的距离即可。
19．【答案】（1）证明：由题意 ，又 ，所以BCOA是平行四边形，所以 ，
又 平面POC， 平面POC，所以 平面POC；
（2）解： ， ，所以BCDO是平行四边形，所以 ， ，而 ，
所以 ，以 为 轴建立空间直角坐标系，如图，
则 ，
设平面ABP的一个法向量为 ，
则 ，取x=1，则 ， ，所以 ，
设直线PC与平面PAB所成角为 ，则 ，
所以直线PC与平面PAB所成角的正弦值为 .
【考点】直线与平面平行的判定；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1） 由题意 结合 ，所以四边形BCOA是平行四边形，所以 ，再利用线线平行证出线面平行，从而证出直线平面POC。
（2） 利用 ， ，所以四边形BCDO是平行四边形，所以 ， ，而 ，所以 ，以 为 轴建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式得出 直线PC与平面PAB所成角的正弦值。
20．【答案】（1）解：.
证明如下：
在△中，因为点分别为的中点，
所以//.
又平面，平面，
所以//平面.
因为平面，平面平面，
所以//
所以//.
在△中，因为点为的中点，
所以点为的中点， 即 .
（2）解：因为底面为正方形，所以.
因为底面，
所以，.
如图，建立空间直角坐标系，
则，，，
因为分别为的中点，
所以.
所以，.
设平面的法向量，则
即
令，于.
又因为平面的法向量为，
所以
所以平面与平面夹角的余弦值为.
【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1) ，利用线面平行的判定和性质可得答案；
(2)以D为原点，DA, DC, DP所在直线分别为x, y, z的正方向建立空间直角坐标系 ,求出平面EFGM的法向量和平面PAD的法向量，由向量夹角公式可得平面与平面夹角的余弦值 .
21．【答案】（1）证明：因为圆所在的平面，即平面，
而平面，所以．
因为是圆的直径，为圆周上一点，
所以．
又，
所以平面，而平面，
则，
因为，，
所以．又，
所以，而为线段的中点，
所以．
又，
所以平面，
而平面，故平面平面．
（2）解：以为原点，分别以，的方向为轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
不妨设，则，，，，，．
设平面的法向量为，
则令，得．
由（1）知平面的一个法向量为，
设二面角为，易知为锐角，则，
即二面角的余弦值为．
【考点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）由题意可证． 结合 即可证平面 ，从而得证 ，再由 ． 即可得证；
（2）如图建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，代入夹角公式即可求解。
22．【答案】（1）证明：∵ ， ，∴ ， ，
又∵ ，∴ ，∴四边形 为平行四边形．
又∵ ，∴四边形 为矩形．
∵ ，∴
∴
∴ ，又∵ 平面 ，∴ ， ，
∴ 平面
（2）解：如图建立空间直角坐标系
则 ， ， ， ， ，
设 ，
∴
， ， ，
设平面 与平面 的一个法向量分别为 ，
∴
设平面 与平面 所成锐二面角为 ，
∴
此时 ，平面 的一个法向量 ，
∴ ．
所以直线 与平面 所成角的正弦值为
【考点】直线与平面垂直的性质；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】 （1）根据直线与平面垂直的判定定理证明；（2）用向量数量积计算二面角的余弦值，列方程确定Q点位置，再用向量数量积计算直线与平面成角的正弦值．
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