精讲精练·专项突破
2021-2022学年高二上学期人教版（2019）
第一章 《空间向量与几何》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等， 在底面 上的射影为 的中点，则异面直线 与 所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】如图，设 的中点为 ，连接 、 、 ，
易知 即为异面直线 与 所成的角（或其补角）
设三棱柱 的侧棱与底面边长均为1，
则 ， ， ，
由余弦定理，得
故应选B.
【分析】根据题意作出辅助线由中点的性质以及三棱柱的几何性质，即可求出异面直线所成的角结合已知条件变得大小，由三角形内的几何计算关系结合余弦定理即可求出所成角的余弦值 。
2．空间任意四个点A、B、C、D，则 等于 ( ）
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】空间向量的加减法
【解析】【解答】 ．
故答案为：C.
【分析】由向量的加法运算法则计算出结果即可。
3．（2022高二下·桐乡开学考）直线 的方向向量分别是 ，则直线 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：设直线 的夹角为θ，则由题意得
又θ∈[0°,90°]
则θ=60°
故答案为：B
【分析】利用空间向量，结合异面直线所成角的定义直接求解即可.
4．在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，则 （ ）
A．0 B．-2 C．2 D．-3
【答案】B
【考点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】如图所示，
棱长为2的正四面体 中，
因为 分别是 的中点，
所以
，故答案为：B．
【分析】根据题意由正四面体的几何性质结合中点以及向量数量积的运算公式，代入数值计算出结果即可。
5．（2021高二上·河北月考）若构成空间向量的一组基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【考点】平面向量的基本定理及其意义；共线向量与共面向量
【解析】【解答】对于A，由，所以，，共面；
对于B，由，所以，，共面；
对于D，，所以，，共面。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合空间向量基底的判断方法，再利用向量共面的判断方法，从而找出不共面的一组向量。
6．（2021高二上·浙江期中） ， ， ，若 ， ， 共面，则实数 为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【考点】共线向量与共面向量
【解析】【解答】 向量 ， ， ，
若向量 ， ， 共面，
则存在唯一的实数对 ，使 ，
即
，
解得 ， ，
实数 的值为2．
故答案为：B
【分析】直接根据向量 ， ， 共面，使 ，根据向量线性坐标表示可得 ，求解可得实数 的值。
7．（2021高二上·洮南月考）如图，在空间直角坐标系 中，四棱柱 为长方体， ，点 ， 分别为 ， 的中点，则二面角 的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】用空间向量求平面间的夹角
【解析】【解答】解:设AD=1，则A1(1，0，2)，B(1，2，0).
∵E为C1D1的中点，
∴E(0，1，2)，
∴，
设是平面A1BE的法向量，
则∴
∴y=x ，y=z
取x=1，则y=z=1，
平面ABE的一个法向量为，
又DA⊥平面A1B1B，
是平面A1B1B的一个法向量，
∴
又二面角B1-A1B-E为锐二面角，
∴二面角B1-A1B-E的余弦值为
故答案为：C
【分析】利用向量法直接求解即可.
8．已知正方体 的棱长为4， 为 的中点， 为正方形 所在平面内一动点，则下列命题正确的个数为（ ）．
①若 ，则 的中点 的轨迹所围成图形的面积为 ；②若点 到直线 与直线 的距离相等，则点 的轨迹为抛物线；③若 与 所成的角为 ，则点 的轨迹为双曲线的一支；④若 与平面 所成的角为 ，则点 的轨迹为圆．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【考点】圆的标准方程；轨迹方程；抛物线的简单性质；异面直线及其所成的角；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】①若 ，因为 ， ，所以 ，所以点 到 的中点 的距离为 ，又因为点 到平面 的距离等于 为定值，所以点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，其面积为 ，故①正确；
②因为 平面 ，所以点 到直线 的距离为 ，即点 到点 的距离与到直线 的距离相等，又 不在直线 上，所以点 的轨迹为以 为焦点，直线 为准线的抛物线，故②正确；
③以 为原点， 为 轴建立空间直角坐标系，如图：
则 ， ， ，设 ，
则 ， ，
因为 与 所成的角为 ，所以 即 ，化简得 ，所以点 的轨迹为双曲线，不是双曲线的一支，故③不正确；
④因为 与平面 所成的角为 ，即 ，所以 ，所以点 的轨迹为以 为圆心， 为半径的圆，故④正确.
所以正确命题的个数为3个.
故答案为：C
【分析】 由题意可得MN中点的轨迹为以MD中点为圆心，为半径且平行于平面ABCD的圆，计算可判断①正确；由BB1⊥平面ABCD，可得NB即为N到直线BB1的距离，由抛物线的定义即可判断②正确；建立空间直角坐标系，设N（x，y，0），由D1N与AB所成的角为，可得点N的轨迹方程，从而判断③错误；由MN与平面ABCD所成的角为∠MND，计算可得DN为定值，可判断点N的轨迹为以D为圆心，DN为半径的圆，从而判断④正确；由此得到答案。
二、多选题
9．（2021高二上·深圳期中）在三维空间中，定义向量的外积： 叫做向量 与 的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：① ， ，且 ， 和 构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）：② 的模 （ 表示向量 ， 的夹角）在正方体 中，有以下四个结论，正确的有（ ）
A．
B．
C． 共线
D． 与正方体表面积的数值相等
【答案】A,C,D
【考点】空间向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】设正方体的棱长为 ，
对于A，如图，因为 为等边三角形，故 ，
因为 ，而 为等边三角形，
故 ，A符合题意.
对于B，根据定义， ， ，两者不相等，B不符合题意.
对于C，因为 平面 ，结合外积的定义可得 与 共线，
C符合题意.
对于D， ，故它与正方体的表面积相同，
故答案为：ACD.
【分析】 根据题意运用新定义及空间向量基本概念，对选项逐一判断即可得出答案。
10．（2021高二上·河北月考）下列命题中，正确的有（ ）
A． ， 分别是平面 ， 的法向量，若 ，则
B． ， 分别是平面 ， 的法向量，若 ，则
C． 是平面 的法向量， 是直线 的方向向量，若 ，则
D． 是平面 的法向量， 是直线 的方向向量，若 ，则 与平面 所成角为
【答案】A,B
【考点】数量积表示两个向量的夹角；直线的方向向量；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【解答】由面面位置关系以及法向量的概念知A，B都正确；
若 ，则 ，即 ，此时， 或 ，C不符合题意；
若 ，则 与平面 所成角为 ，D不符合题意.
故答案为：AB
【分析】首先由面面位置关系以及法向量的概念即可判断出选项A与B正确；然后由数量积的运算公式以及平面和直线的法向量，计算出结果由此得到线面平行，由此判断出选项C错误；由线面角的定义与向量夹角之间的关系，代入数值计算出夹角的正弦值，由此即可求出角的大小，从而判断出选项D错误，由此即可得出答案。
11．（2021高二上·湖北月考）已知空间中三点 ，则下列结论正确的有（ ）
A． 与 是共线向量
B．与 共线的单位向量是
C． 与 夹角的余弦值是
D．平面 的一个法向量是
【答案】C,D
【考点】共线向量与共面向量；空间向量的夹角与距离求解公式；空间向量运算的坐标表示；平面的法向量
【解析】【解答】对于 ，不存在实数 ，使得 ，所以 与 不是共线向量，所以 错误;
对于 ，因为 ，所以与 共线的单位向量为 或 ，所以 错误;
对于 ，向量 ，所以 ，所以C符合题意;
对于 ，设平面 的法向量是 ，因为 ，所
以 ，即 ，令 ，则 ，所以D符合题意．
故答案为：CD.
【分析】 根据题意由空间向量共线的坐标公式，代入计算出选项A错误；由空间单位向量的坐标公式代入计算出选项B错误；由空间向量的数量积坐标公式，代入计算出选项C正确；由空间法向量的定义结合数量积的坐标公式，代入计算出选项D正确，由此即可得出答案。
12．（2021高二上·天河期末）如图，边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点M，N分别在正方形对角线和上移动，且，则下列结论中正确的有（ ）
A．，使
B．线段存在最小值，最小值为
C．直线与平面所成的角恒为
D．，都存在过且与平面平行的平面
【答案】A,D
【考点】数量积表示两个向量的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【解答】因为边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，交线为AB，BC⊥AB，BC⊥平面ABEF，平面ABEF，所以BC⊥BE，所以AB，BC，BE两两垂直，以B为坐标原点，BA为x轴，BE为y轴，BC为z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，则，，若，则，解得：，所以，使，A符合题意；
，因为，所以当时，，B不符合题意；
平面的法向量为，设直线与平面所成角为，则，直线与平面所成的角不是定值，C不符合题意；
平面BCE的法向量，则，所以∥平面BCE，所以，都存在过且与平面平行的平面，D符合题意.
故答案为：AD
【分析】根据题意建立空间直角坐标系，由此求出点以及向量的坐标，由此即可判断出选项A正确；再由已知条件即可求出平面的法向量，结合数量积以及向量模的公式，代入数值计算出结果由此判断出选项B错误；结合线面角与向量夹角之间的关系，把数值代入到数量积的公式计算出结果由此判断出选项C错误；由已知条件即可得出平面的法向量，结合数量积以及线面平行的判定定理即可得证出结论，由此判断出选项D正确，从而即可得出答案。
三、填空题
13．（2021高二上·东莞月考）已知平面 的一个法向量为 ，点 为 内一点，则点 到平面 的距离为 ．
【答案】1
【考点】空间向量的夹角与距离求解公式；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：依题意得 ，
∴则点P到平面 的距离为 .
故答案为：1.
【分析】利用向量法直接求解即可.
14．（2021高二上·葫芦岛月考）在空间直角坐标系 中，已知点 ， ， ，则平面 的一个法向量 ，异面直线 与 所成角的余弦值为 .
【答案】；
【考点】平面的法向量；异面直线；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】设 ，因为 ， ，
所以 ，令 ，则 ， ，即 .
因为 ，所以 .
故答案为： ，
【分析】利用已知条件结合向量的坐标表示求出向量的坐标，从而求得法向量的坐标；再结合向量的数量积求夹角公式，可得异面直线所成的角。
15．（2021高二上·浙江月考）如图，在四棱锥 中，PA⊥平面ABCD，BC AD， ， ，已知Q是四边形ABCD内部一点，且平面QPD与平面APD的夹角为 ，则 的面积的取值范围是 .
【答案】
【考点】用空间向量求平面间的夹角；三角形中的几何计算
【解析】【解答】 平面 ， ，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 、 、 、 、 ，
设点 ，其中 ， ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，可得 ，
易知平面 的一个法向量为 ，
由已知条件可得 ，
所以， ，即 ，
直线 上的点 满足 ，联立 ，解得 ，
联立 ，解得 ，
所以，点 的纵坐标 的取值范围为 ，
易知点 不在线段 上，则 ，
所以， 。
故答案为： 。
【分析】利用 平面 ， ，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，设点 ，其中 ， ，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式得出平面QPD与平面APD的夹角，再结合平面QPD与平面APD的夹角为 ，所以， ，再利用直线 上的点 满足 结合代入法和联立方程组的方法，进而求出a,b的值，进而求出点 的纵坐标 的取值范围 ，易知点 不在线段 上，进而求出b的取值范围，再利用三角形的面积公式得出三角形 的面积的取值范围。
16．（2021高二上·河东期中）已知直线 的方向向量为 ， ， ，若点 ，1， 为直线 外一点， ，1， 为直线 上一点，则 到直线 上的距离为 ．
【答案】
【考点】向量的模；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解： ，1， ， ，1， ，
，0， ，又 ， ， ，
， ，
， ，
又 ，
点 ，1， 到直线 的距离为：
， ，
故答案为： ．
【分析】 根据点P到直线的距离为 ， ，再分别计算向量的模长与夹角的正弦值，代入即可计算出结果。
四、解答题
17．（2020高二上·聊城期末）如图，在棱长均为4的四棱柱 中， 平面 ， ， 为线段 的中点.
（1）求平面 与平面 夹角的余弦值；
（2）在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，请确定点 的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：连接 ，与 交于点 ，连接 ， ，交于点 ，连接 ，因为 平面 ，所以 平面 .由题意得四边形 为菱形，所以 ， ， 两两垂直，以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
由题意，得 ， ， ，
所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 所以 ，
令 ，则 ， ，
所以 是平面 的一个法向量，
因为 平面 ，所以平面 的一个法向量为 ，
设平面 与平面 夹角为 ，
则 ，
即平面 与平面 夹角的余弦值为 .
（2）解：假设在线段 上存在点 ，使得 平面 ，设 ，
因为 ， ， ，所以 ， ， ，
所以 ,
因为 平面 ，所以 ，即 ，
所以 ,即 ，
解得 ，
所以在线段 上存在点 ，使得 平面 ，此时点 为线段 的靠近点 的三等分点.
【考点】空间向量的数量积运算；空间向量运算的坐标表示；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1)根据题意作出辅助线由中点的性质即可得出线面垂直以及线线垂直，由此建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面的法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面A的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到 平面 与平面 夹角的余弦值 。
(2)根据题意由假设法假设存在，建立空间直角坐标系求出各个点以及向量的坐标，再由向量的数乘坐标公式以及加、减法坐标的运算法则即可计算出由此即可求出的值由此即可得证出结论成立存在这样的点F。
18．（2021高二上·江川期中）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点.
（1）求直线FC到平面 AEC1的距离；
（2）求平面 AEC1与平面 EFCC1所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）解：以 为原点， ， ， 所在的直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间坐标系，
则 ， ， ， ， .
∴ ， ， ， ， .∵ .
∴ ，∴ 平面 ，∴点 到平面 的距离即为直线 到平面 的距离，设平面 的法向量为 ，则 ，∴ ，∴ ，取 ，
则 ， ，∴ ，又 ，
∴点 到平面 的距离为
（2）解：设平面 的法向量为 ，则 ，∴ ，∴ ，
取 ，则 ，∴ ，∴ ，
∴平面 与平面 所成锐二面角的余弦值 .
【考点】点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）建立恰当的空间直角坐标系，利用向量法直接求解即可；
（2）利用向量法直接求解即可.
19．（2021·银川模拟）如图， 是一个三棱锥， 是圆的直径， 是圆上的点， 垂直圆所在的平面， ， 分别是棱 ， 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）若二面角 是 ， ，求 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）因为 是圆的直径，所以 .
因为 垂直圆所在的平面，且 在该平面中，所以 .
因为 ， 分别是棱 ， 的中点，
所以 ，所以 ，
又因为 ，所以有 平面 .
（2）由（1）可知， ， ，
所以 为二面角 的平面角，
从而有 ，则 .
又 ， ，得 .
以 为坐标原点， ， ， 方向分别为 轴， 轴， 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 .
则 ， ， ，
， ， ，
， ，
.
设 是平面 的法向量，则
即 可取 .
故 .
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
【考点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】 (1) 推导出AC⊥BC, PC⊥BC，从而BC⊥平面PAC，由D，E分别是棱PB，PC的中点，得 ，由此能证明DE⊥平面PAC；
(2) 以 为坐标原点， ， ， 方向分别为 轴， 轴， 轴的正方向，建立空间直角坐标系 ，利用向量法能求出AE与平面ACD所成角的正弦值.
20．（2021·三明模拟）如图，在四棱锥 中，底面 为等腰梯形，且 ， ，点 在平面 内的正投影点 在 上，若 为等边三角形， 为 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的大小.
【答案】（1）【解答】（1）如图，在等腰梯形ABCD中，过点D作DN⊥AB于点N，
则由题意得∠BAD=60°，，则AD=2,
则在△ABD中，由余弦定理得BD2=AD2+AB2-2AD·BD·cos∠BAD，
即BD2=22+42-2×2×4×=12，
则BD2+AD2=AB2
故△ABD是直角三角形，AD⊥BD，
又因为 点 在平面 内的正投影点 在 上 ，
所以PF⊥AD，
又因为△PAD为等边三角形， 为 的中点.
所以PH⊥AD，
又PF∩PH=P，
所以AD⊥平面PHF，
则AD⊥HF，
又BD，HF均在平面ABCD内，
所以HF//BD，
又平面PBD，
所以HF//平面PBD；
（2）由（1）知AD⊥BD，则可以D为原点，分别以DB，DA为x,y轴，以平面ABCD的垂线为z轴建立如图的空间直角坐标系，
则在Rt△AHF中，AH=1，∠HAF=30°，所以，
又,
则在RtPAHF中，,
故P为，
由题意知△BCD是等腰三角形，取BD的中点M，则CM⊥BD，
由（1）得，CM=1，
则C为，又D为（0,0,0），B为
故
设平面BPC的法向量为，则，即，解得
令x1=1，则，
故，
同理可得平面PCD的法向量为，
设 二面角 的平面角为θ，
则，
由题意知θ为钝角，
则
故
【考点】直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角；余弦定理；余弦定理的应用
【解析】【分析】(1)根据余弦定理，结合勾股定理，直线垂直的性质，以及线面平行的判定定理求证即可；
(2)利用向量法直接求解即可.
21．（2021高三上·潍坊期中）如图，在三棱柱 中，点 在底面 内的射影恰好是点 ， 是 的中点，且满足 ．
（1）求证： 平面 ；
（2）已知 ，直线 与底面 所成角的大小为 ，求二面角 的大小．
【答案】（1）证明：因为点 在底面 内的射影恰好是点 ，
所以 面 .
因为 面 ,所以 .
因为 是 的中点，且满足 ．所以 ，所以 .
因为 ，
所以 ，即 ,所以 .
因为 , 面 , 面 ,
所以 平面 .
（2）解：∵ 面 ，∴直线 与底面 所成角为 ，即 .
因为 ，所以
由（1）知， ，因为 ，所以 ， .
如图示，以C为原点， 为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.
则 , , , ,所以 ，
设 ，由 得， ，即 .
则 .
设平面BDC1的一个法向量为 ，则
，不妨令 ，则 .
因为 面 ，所以面 的一个法向量为
记二面角 的平面角为 ，由图知， 为锐角.
所以 ,即 .
所以二面角 的大小为 .
【考点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1） 利用点 在底面 内的射影恰好是点 ，所以 面 ，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，所以 ，再利用 是 的中点，且满足 ，所以 ，所以 ，再利用 ，所以 ，所以 ，再利用线线垂直证出线面垂直，从而证出 平面 。
（2）利用 面 ，得出直线 与底面 所成角为 ，从而求出的值，再利用 结合正切函数的定义得出 的长，由（1）知， ，利用 ，所以 ， ，以C为原点， 为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式，进而求出二面角 的大小。
22．（2021高二下·定州期中）如图所示的几何体中，，，都是等腰直角三角形，，且，.
（1）求证：平面；
（2）若为线段的中点，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明：因为，是等腰直角三角形，，
所以，所以，所以，
又因为是等腰直角三角形，所以，所以，
因为，且，，平面，所以平面
（2）解：如图，以点为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，设
则
，
设平面的法向量为
由
得
令
得平面的一个法向量为
设平面的法向量
由
得
令
所以平面的法向量
，由图可知二面角为钝二面角，
所以二面角的余弦值为
【考点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）由已知条件易得 ，再结合 ，即可得证；
（2）如图建立空间直角坐标系，求得两平面的法向量，代入夹角公式即可求解。
24精讲精练·专项突破
2021-2022学年高二上学期人教版（2019）
第一章 《空间向量与几何》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等， 在底面 上的射影为 的中点，则异面直线 与 所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．空间任意四个点A、B、C、D，则 等于 ( ）
A． B． C． D．
3．（2022高二下·桐乡开学考）直线 的方向向量分别是 ，则直线 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，则 （ ）
A．0 B．-2 C．2 D．-3
5．（2021高二上·河北月考）若构成空间向量的一组基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
6．（2021高二上·浙江期中） ， ， ，若 ， ， 共面，则实数 为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2021高二上·洮南月考）如图，在空间直角坐标系 中，四棱柱 为长方体， ，点 ， 分别为 ， 的中点，则二面角 的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知正方体 的棱长为4， 为 的中点， 为正方形 所在平面内一动点，则下列命题正确的个数为（ ）．
①若 ，则 的中点 的轨迹所围成图形的面积为 ；②若点 到直线 与直线 的距离相等，则点 的轨迹为抛物线；③若 与 所成的角为 ，则点 的轨迹为双曲线的一支；④若 与平面 所成的角为 ，则点 的轨迹为圆．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
9．（2021高二上·深圳期中）在三维空间中，定义向量的外积： 叫做向量 与 的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：① ， ，且 ， 和 构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）：② 的模 （ 表示向量 ， 的夹角）在正方体 中，有以下四个结论，正确的有（ ）
A．
B．
C． 共线
D． 与正方体表面积的数值相等
10．（2021高二上·河北月考）下列命题中，正确的有（ ）
A． ， 分别是平面 ， 的法向量，若 ，则
B． ， 分别是平面 ， 的法向量，若 ，则
C． 是平面 的法向量， 是直线 的方向向量，若 ，则
D． 是平面 的法向量， 是直线 的方向向量，若 ，则 与平面 所成角为
11．（2021高二上·湖北月考）已知空间中三点 ，则下列结论正确的有（ ）
A． 与 是共线向量
B．与 共线的单位向量是
C． 与 夹角的余弦值是
D．平面 的一个法向量是
12．（2021高二上·天河期末）如图，边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点M，N分别在正方形对角线和上移动，且，则下列结论中正确的有（ ）
A．，使
B．线段存在最小值，最小值为
C．直线与平面所成的角恒为
D．，都存在过且与平面平行的平面
三、填空题
13．（2021高二上·东莞月考）已知平面 的一个法向量为 ，点 为 内一点，则点 到平面 的距离为 ．
14．（2021高二上·葫芦岛月考）在空间直角坐标系 中，已知点 ， ， ，则平面 的一个法向量 ，异面直线 与 所成角的余弦值为 .
15．（2021高二上·浙江月考）如图，在四棱锥 中，PA⊥平面ABCD，BC AD， ， ，已知Q是四边形ABCD内部一点，且平面QPD与平面APD的夹角为 ，则 的面积的取值范围是 .
16．（2021高二上·河东期中）已知直线 的方向向量为 ， ， ，若点 ，1， 为直线 外一点， ，1， 为直线 上一点，则 到直线 上的距离为 ．
四、解答题
17．（2020高二上·聊城期末）如图，在棱长均为4的四棱柱 中， 平面 ， ， 为线段 的中点.
（1）求平面 与平面 夹角的余弦值；
（2）在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，请确定点 的位置；若不存在，请说明理由.
18．（2021高二上·江川期中）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点.
（1）求直线FC到平面 AEC1的距离；
（2）求平面 AEC1与平面 EFCC1所成锐二面角的余弦值.
19．（2021·银川模拟）如图， 是一个三棱锥， 是圆的直径， 是圆上的点， 垂直圆所在的平面， ， 分别是棱 ， 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）若二面角 是 ， ，求 与平面 所成角的正弦值.
20．（2021·三明模拟）如图，在四棱锥 中，底面 为等腰梯形，且 ， ，点 在平面 内的正投影点 在 上，若 为等边三角形， 为 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的大小.
21．（2021高三上·潍坊期中）如图，在三棱柱 中，点 在底面 内的射影恰好是点 ， 是 的中点，且满足 ．
（1）求证： 平面 ；
（2）已知 ，直线 与底面 所成角的大小为 ，求二面角 的大小．
22．（2021高二下·定州期中）如图所示的几何体中，，，都是等腰直角三角形，，且，.
（1）求证：平面；
（2）若为线段的中点，求二面角的余弦值.
答案解析部分
1．【答案】B
【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】如图，设 的中点为 ，连接 、 、 ，
易知 即为异面直线 与 所成的角（或其补角）
设三棱柱 的侧棱与底面边长均为1，
则 ， ， ，
由余弦定理，得
故应选B.
【分析】根据题意作出辅助线由中点的性质以及三棱柱的几何性质，即可求出异面直线所成的角结合已知条件变得大小，由三角形内的几何计算关系结合余弦定理即可求出所成角的余弦值 。
2．【答案】C
【考点】空间向量的加减法
【解析】【解答】 ．
故答案为：C.
【分析】由向量的加法运算法则计算出结果即可。
3．【答案】B
【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：设直线 的夹角为θ，则由题意得
又θ∈[0°,90°]
则θ=60°
故答案为：B
【分析】利用空间向量，结合异面直线所成角的定义直接求解即可.
4．【答案】B
【考点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】如图所示，
棱长为2的正四面体 中，
因为 分别是 的中点，
所以
，故答案为：B．
【分析】根据题意由正四面体的几何性质结合中点以及向量数量积的运算公式，代入数值计算出结果即可。
5．【答案】C
【考点】平面向量的基本定理及其意义；共线向量与共面向量
【解析】【解答】对于A，由，所以，，共面；
对于B，由，所以，，共面；
对于D，，所以，，共面。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合空间向量基底的判断方法，再利用向量共面的判断方法，从而找出不共面的一组向量。
6．【答案】B
【考点】共线向量与共面向量
【解析】【解答】 向量 ， ， ，
若向量 ， ， 共面，
则存在唯一的实数对 ，使 ，
即
，
解得 ， ，
实数 的值为2．
故答案为：B
【分析】直接根据向量 ， ， 共面，使 ，根据向量线性坐标表示可得 ，求解可得实数 的值。
7．【答案】C
【考点】用空间向量求平面间的夹角
【解析】【解答】解:设AD=1，则A1(1，0，2)，B(1，2，0).
∵E为C1D1的中点，
∴E(0，1，2)，
∴，
设是平面A1BE的法向量，
则∴
∴y=x ，y=z
取x=1，则y=z=1，
平面ABE的一个法向量为，
又DA⊥平面A1B1B，
是平面A1B1B的一个法向量，
∴
又二面角B1-A1B-E为锐二面角，
∴二面角B1-A1B-E的余弦值为
故答案为：C
【分析】利用向量法直接求解即可.
8．【答案】C
【考点】圆的标准方程；轨迹方程；抛物线的简单性质；异面直线及其所成的角；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】①若 ，因为 ， ，所以 ，所以点 到 的中点 的距离为 ，又因为点 到平面 的距离等于 为定值，所以点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，其面积为 ，故①正确；
②因为 平面 ，所以点 到直线 的距离为 ，即点 到点 的距离与到直线 的距离相等，又 不在直线 上，所以点 的轨迹为以 为焦点，直线 为准线的抛物线，故②正确；
③以 为原点， 为 轴建立空间直角坐标系，如图：
则 ， ， ，设 ，
则 ， ，
因为 与 所成的角为 ，所以 即 ，化简得 ，所以点 的轨迹为双曲线，不是双曲线的一支，故③不正确；
④因为 与平面 所成的角为 ，即 ，所以 ，所以点 的轨迹为以 为圆心， 为半径的圆，故④正确.
所以正确命题的个数为3个.
故答案为：C
【分析】 由题意可得MN中点的轨迹为以MD中点为圆心，为半径且平行于平面ABCD的圆，计算可判断①正确；由BB1⊥平面ABCD，可得NB即为N到直线BB1的距离，由抛物线的定义即可判断②正确；建立空间直角坐标系，设N（x，y，0），由D1N与AB所成的角为，可得点N的轨迹方程，从而判断③错误；由MN与平面ABCD所成的角为∠MND，计算可得DN为定值，可判断点N的轨迹为以D为圆心，DN为半径的圆，从而判断④正确；由此得到答案。
9．【答案】A,C,D
【考点】空间向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】设正方体的棱长为 ，
对于A，如图，因为 为等边三角形，故 ，
因为 ，而 为等边三角形，
故 ，A符合题意.
对于B，根据定义， ， ，两者不相等，B不符合题意.
对于C，因为 平面 ，结合外积的定义可得 与 共线，
C符合题意.
对于D， ，故它与正方体的表面积相同，
故答案为：ACD.
【分析】 根据题意运用新定义及空间向量基本概念，对选项逐一判断即可得出答案。
10．【答案】A,B
【考点】数量积表示两个向量的夹角；直线的方向向量；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【解答】由面面位置关系以及法向量的概念知A，B都正确；
若 ，则 ，即 ，此时， 或 ，C不符合题意；
若 ，则 与平面 所成角为 ，D不符合题意.
故答案为：AB
【分析】首先由面面位置关系以及法向量的概念即可判断出选项A与B正确；然后由数量积的运算公式以及平面和直线的法向量，计算出结果由此得到线面平行，由此判断出选项C错误；由线面角的定义与向量夹角之间的关系，代入数值计算出夹角的正弦值，由此即可求出角的大小，从而判断出选项D错误，由此即可得出答案。
11．【答案】C,D
【考点】共线向量与共面向量；空间向量的夹角与距离求解公式；空间向量运算的坐标表示；平面的法向量
【解析】【解答】对于 ，不存在实数 ，使得 ，所以 与 不是共线向量，所以 错误;
对于 ，因为 ，所以与 共线的单位向量为 或 ，所以 错误;
对于 ，向量 ，所以 ，所以C符合题意;
对于 ，设平面 的法向量是 ，因为 ，所
以 ，即 ，令 ，则 ，所以D符合题意．
故答案为：CD.
【分析】 根据题意由空间向量共线的坐标公式，代入计算出选项A错误；由空间单位向量的坐标公式代入计算出选项B错误；由空间向量的数量积坐标公式，代入计算出选项C正确；由空间法向量的定义结合数量积的坐标公式，代入计算出选项D正确，由此即可得出答案。
12．【答案】A,D
【考点】数量积表示两个向量的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【解答】因为边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，交线为AB，BC⊥AB，BC⊥平面ABEF，平面ABEF，所以BC⊥BE，所以AB，BC，BE两两垂直，以B为坐标原点，BA为x轴，BE为y轴，BC为z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，则，，若，则，解得：，所以，使，A符合题意；
，因为，所以当时，，B不符合题意；
平面的法向量为，设直线与平面所成角为，则，直线与平面所成的角不是定值，C不符合题意；
平面BCE的法向量，则，所以∥平面BCE，所以，都存在过且与平面平行的平面，D符合题意.
故答案为：AD
【分析】根据题意建立空间直角坐标系，由此求出点以及向量的坐标，由此即可判断出选项A正确；再由已知条件即可求出平面的法向量，结合数量积以及向量模的公式，代入数值计算出结果由此判断出选项B错误；结合线面角与向量夹角之间的关系，把数值代入到数量积的公式计算出结果由此判断出选项C错误；由已知条件即可得出平面的法向量，结合数量积以及线面平行的判定定理即可得证出结论，由此判断出选项D正确，从而即可得出答案。
13．【答案】1
【考点】空间向量的夹角与距离求解公式；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：依题意得 ，
∴则点P到平面 的距离为 .
故答案为：1.
【分析】利用向量法直接求解即可.
14．【答案】；
【考点】平面的法向量；异面直线；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】设 ，因为 ， ，
所以 ，令 ，则 ， ，即 .
因为 ，所以 .
故答案为： ，
【分析】利用已知条件结合向量的坐标表示求出向量的坐标，从而求得法向量的坐标；再结合向量的数量积求夹角公式，可得异面直线所成的角。
15．【答案】
【考点】用空间向量求平面间的夹角；三角形中的几何计算
【解析】【解答】 平面 ， ，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 、 、 、 、 ，
设点 ，其中 ， ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，可得 ，
易知平面 的一个法向量为 ，
由已知条件可得 ，
所以， ，即 ，
直线 上的点 满足 ，联立 ，解得 ，
联立 ，解得 ，
所以，点 的纵坐标 的取值范围为 ，
易知点 不在线段 上，则 ，
所以， 。
故答案为： 。
【分析】利用 平面 ， ，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，设点 ，其中 ， ，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式得出平面QPD与平面APD的夹角，再结合平面QPD与平面APD的夹角为 ，所以， ，再利用直线 上的点 满足 结合代入法和联立方程组的方法，进而求出a,b的值，进而求出点 的纵坐标 的取值范围 ，易知点 不在线段 上，进而求出b的取值范围，再利用三角形的面积公式得出三角形 的面积的取值范围。
16．【答案】
【考点】向量的模；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解： ，1， ， ，1， ，
，0， ，又 ， ， ，
， ，
， ，
又 ，
点 ，1， 到直线 的距离为：
， ，
故答案为： ．
【分析】 根据点P到直线的距离为 ， ，再分别计算向量的模长与夹角的正弦值，代入即可计算出结果。
17．【答案】（1）解：连接 ，与 交于点 ，连接 ， ，交于点 ，连接 ，因为 平面 ，所以 平面 .由题意得四边形 为菱形，所以 ， ， 两两垂直，以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
由题意，得 ， ， ，
所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 所以 ，
令 ，则 ， ，
所以 是平面 的一个法向量，
因为 平面 ，所以平面 的一个法向量为 ，
设平面 与平面 夹角为 ，
则 ，
即平面 与平面 夹角的余弦值为 .
（2）解：假设在线段 上存在点 ，使得 平面 ，设 ，
因为 ， ， ，所以 ， ， ，
所以 ,
因为 平面 ，所以 ，即 ，
所以 ,即 ，
解得 ，
所以在线段 上存在点 ，使得 平面 ，此时点 为线段 的靠近点 的三等分点.
【考点】空间向量的数量积运算；空间向量运算的坐标表示；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1)根据题意作出辅助线由中点的性质即可得出线面垂直以及线线垂直，由此建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面的法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面A的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到 平面 与平面 夹角的余弦值 。
(2)根据题意由假设法假设存在，建立空间直角坐标系求出各个点以及向量的坐标，再由向量的数乘坐标公式以及加、减法坐标的运算法则即可计算出由此即可求出的值由此即可得证出结论成立存在这样的点F。
18．【答案】（1）解：以 为原点， ， ， 所在的直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间坐标系，
则 ， ， ， ， .
∴ ， ， ， ， .∵ .
∴ ，∴ 平面 ，∴点 到平面 的距离即为直线 到平面 的距离，设平面 的法向量为 ，则 ，∴ ，∴ ，取 ，
则 ， ，∴ ，又 ，
∴点 到平面 的距离为
（2）解：设平面 的法向量为 ，则 ，∴ ，∴ ，
取 ，则 ，∴ ，∴ ，
∴平面 与平面 所成锐二面角的余弦值 .
【考点】点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）建立恰当的空间直角坐标系，利用向量法直接求解即可；
（2）利用向量法直接求解即可.
19．【答案】（1）因为 是圆的直径，所以 .
因为 垂直圆所在的平面，且 在该平面中，所以 .
因为 ， 分别是棱 ， 的中点，
所以 ，所以 ，
又因为 ，所以有 平面 .
（2）由（1）可知， ， ，
所以 为二面角 的平面角，
从而有 ，则 .
又 ， ，得 .
以 为坐标原点， ， ， 方向分别为 轴， 轴， 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 .
则 ， ， ，
， ， ，
， ，
.
设 是平面 的法向量，则
即 可取 .
故 .
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
【考点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】 (1) 推导出AC⊥BC, PC⊥BC，从而BC⊥平面PAC，由D，E分别是棱PB，PC的中点，得 ，由此能证明DE⊥平面PAC；
(2) 以 为坐标原点， ， ， 方向分别为 轴， 轴， 轴的正方向，建立空间直角坐标系 ，利用向量法能求出AE与平面ACD所成角的正弦值.
20．【答案】（1）【解答】（1）如图，在等腰梯形ABCD中，过点D作DN⊥AB于点N，
则由题意得∠BAD=60°，，则AD=2,
则在△ABD中，由余弦定理得BD2=AD2+AB2-2AD·BD·cos∠BAD，
即BD2=22+42-2×2×4×=12，
则BD2+AD2=AB2
故△ABD是直角三角形，AD⊥BD，
又因为 点 在平面 内的正投影点 在 上 ，
所以PF⊥AD，
又因为△PAD为等边三角形， 为 的中点.
所以PH⊥AD，
又PF∩PH=P，
所以AD⊥平面PHF，
则AD⊥HF，
又BD，HF均在平面ABCD内，
所以HF//BD，
又平面PBD，
所以HF//平面PBD；
（2）由（1）知AD⊥BD，则可以D为原点，分别以DB，DA为x,y轴，以平面ABCD的垂线为z轴建立如图的空间直角坐标系，
则在Rt△AHF中，AH=1，∠HAF=30°，所以，
又,
则在RtPAHF中，,
故P为，
由题意知△BCD是等腰三角形，取BD的中点M，则CM⊥BD，
由（1）得，CM=1，
则C为，又D为（0,0,0），B为
故
设平面BPC的法向量为，则，即，解得
令x1=1，则，
故，
同理可得平面PCD的法向量为，
设 二面角 的平面角为θ，
则，
由题意知θ为钝角，
则
故
【考点】直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角；余弦定理；余弦定理的应用
【解析】【分析】(1)根据余弦定理，结合勾股定理，直线垂直的性质，以及线面平行的判定定理求证即可；
(2)利用向量法直接求解即可.
21．【答案】（1）证明：因为点 在底面 内的射影恰好是点 ，
所以 面 .
因为 面 ,所以 .
因为 是 的中点，且满足 ．所以 ，所以 .
因为 ，
所以 ，即 ,所以 .
因为 , 面 , 面 ,
所以 平面 .
（2）解：∵ 面 ，∴直线 与底面 所成角为 ，即 .
因为 ，所以
由（1）知， ，因为 ，所以 ， .
如图示，以C为原点， 为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.
则 , , , ,所以 ，
设 ，由 得， ，即 .
则 .
设平面BDC1的一个法向量为 ，则
，不妨令 ，则 .
因为 面 ，所以面 的一个法向量为
记二面角 的平面角为 ，由图知， 为锐角.
所以 ,即 .
所以二面角 的大小为 .
【考点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1） 利用点 在底面 内的射影恰好是点 ，所以 面 ，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，所以 ，再利用 是 的中点，且满足 ，所以 ，所以 ，再利用 ，所以 ，所以 ，再利用线线垂直证出线面垂直，从而证出 平面 。
（2）利用 面 ，得出直线 与底面 所成角为 ，从而求出的值，再利用 结合正切函数的定义得出 的长，由（1）知， ，利用 ，所以 ， ，以C为原点， 为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式，进而求出二面角 的大小。
22．【答案】（1）证明：因为，是等腰直角三角形，，
所以，所以，所以，
又因为是等腰直角三角形，所以，所以，
因为，且，，平面，所以平面
（2）解：如图，以点为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，设
则
，
设平面的法向量为
由
得
令
得平面的一个法向量为
设平面的法向量
由
得
令
所以平面的法向量
，由图可知二面角为钝二面角，
所以二面角的余弦值为
【考点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）由已知条件易得 ，再结合 ，即可得证；
（2）如图建立空间直角坐标系，求得两平面的法向量，代入夹角公式即可求解。
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