精讲精练·专项突破
2021-2022学年高二上学期人教版（2019）
第一章 《空间向量与几何》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．空间直角坐标系中，已知 ， ，则线段 的中点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】根据中点坐标公式，中点坐标为 .故答案为：D.
【分析】由空间直角坐标系中点的公式代入数值计算出结果即可。
2．如图所示，在平行六面体 中， 与 的交点为M．设 ，则下列向量中与 相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【考点】空间向量的加减法
【解析】【解答】由图可得 ，
所以 .
故答案为：A
【分析】由向量的加减运算法则计算出结果即可。
3．（2021高二上·深圳期中）已知点 ， ， 为坐标原点，若向量 ，则实数 （ ）
A．4 B． C． D．-4
【答案】C
【考点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】 ， ，
由 ，解得： 。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系，再利用数量积的坐标表示，进而求出实数k的值。
4．（2021高二上·邢台月考）已知直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，若 ，则 （ ）
A．-10 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【考点】直线的方向向量；平面的法向量
【解析】【解答】因为 ，所以直线l的方向向量与平面 的法向量平行，
所以 ，解得 ， .
故答案为：C.
【分析】由已知条件即可求出直线的方向向量与平面 的法向量平行，由数乘向量的坐标公式代入计算出结果即可。
5．（2021高二下·诸暨期末）如图，在正方体 中， 为线段 的中点， 为线段 上的动点，则直线 与直线 所成角正弦值的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则 ， ， ，
，由 得 ，
，
，
因为 ，
所以 ，
则 .
故答案为：C
【分析】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量坐标表示出夹角的余弦值,再求出直线 与直线 所成角正弦值的最小值.
6．（2021高三上·驻马店月考）三棱锥 的各个顶点都在球 的表面上，且 是等边三角形， 底面 ， ， .若点 在线段SA上，且 ，则过点 的平面截球 所得截面的最小面积为（ ）
A．3π B．4π C．8π D．13π
【答案】A
【考点】球的体积和表面积；球内接多面体；直线与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】如图，设 外接圆的圆心为 ，则外接圆半径 ，
设三棱锥 的外接球的球心为 ，则外接球的半径 .
取 的中点 ，由 ， ，得 ， .
则过点 的平面截球 所得截面圆的最小半径为 ，
过点 的平面截球 所得截面的最小面积为 .
故答案为：A
【分析】由由已知条件设出 外接圆的圆心为 ，则外接圆半径 ，结合三棱锥的外接球的性质计算出球的半径，然后由三角形的几何计算关系结合点到直线的距离公式，计算出点 的平面截球 所得截面圆的最小半径，由此得出点 的平面截球 所得截面的最小面积。
7．（2021·成都模拟）已知四面体 的所有棱长均为 ， ， 分别为棱 ， 的中点， 为棱 上异于 ， 的动点．有下列结论：
①线段 的长度为1；②若点 为线段 上的动点，则无论点 与 如何运动，直线 与直线 都是异面直线；③ 的余弦值的取值范围为 ；④ 周长的最小值为 ．其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【考点】异面直线及其所成的角；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】在棱长为 的正方体上取如图所示的四个顶点依次连接，即可得到棱长为 四面体 ，
显然， 分别为正方体前后两个面的中心，故线段 的长度为正方体棱长 ，故 ①对；
对于②：
如图， 取为 的中点， 取为 的中点， 取为 的中点，则由正方体的性质易知，该三点在一条直线上，故此时 与 相交于 ，故②错；
对于③，
， ，又有
故
故 点无限接近 点时， 会无限接近 ，故 的余弦值的取值范围不为 ，③错误；
对于④，如图将等边三角形 与 铺平，放在同一平面上，
故有 ，当且仅当 为 中点时取最小值
故在正方体中
故 周长的最小值为
故④对
故答案为：B
【分析】 根据题意将四面体放置在正方体中，根据M、N分别为前后面的中心判断①；取F为AB中点，G为MN中点，此时直线FG与直线CD相交；通过计算判断③；把空间问题转化为平面问题，计算可得判断④,从而得出答案。
8．（2022·广西模拟）如图，四棱柱的底面是边长为2的正方形，侧棱平面ABCD，且，E、F分别是AB、BC的中点，P是线段上的一个动点（不含端点），过P、E、F的平面记为，Q在上且，则下列说法正确的个数是（ ）．
①三棱锥的体积是定值；②当直线时，；③当时，平面截棱柱所得多边形的周长为；④存在平面，使得点到平面距离是A到平面距离的两倍．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；空间中直线与平面之间的位置关系；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】对于①:因为，平面，
平面 ，所以 平面 ，
因为 ，所以点P到平面 的距离为定值，
而 的面积为定值，所以三棱锥 的体积是定值，
即三棱锥 的体积是定值，故①正确；
对于②：如图，延长EF交DC的延长线于点M，
设平面 交棱 于点W，连接MW，并延长MW交 于点P，
因为 ， 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，
因为F为BC的中点，则W为CQ的中点，
因为 ，则 ， ， ，
所以 ≌ ，则 ，
因为 ，则 ，
则 ，即②错误；
对于③：如图，设直线EF分别交直线DA、DC于点N、M，
连接PN、PM，分别交 、 于点R、S，连接RE、SF，
由②可知， ，同理可知 ，
因为 ， ，则 为等腰直角三角形，
则 ，同理可知， 也为等腰直角三角形，
同理可知， ，∴，
同理 ，由勾股定理可得 ，
则截面的周长为 ，即③正确；
对于④：设截面 交棱 于点R，
假设存在平面 ，使得点 到平面 距离是A到平面 距离的两倍，
则 ，可得 ，
因为 ，则 ，则 ，不符合题意；
即不存在平面 ，使得点 到平面 距离是A到平面 距离的两倍，
故④错误．
综上所述，①③正确.
故答案为：B.
【分析】由等体积法可判断 ① ；如图补全图形，即可判断 ② ；如图，结合 ② ，可判断 ③ ；假设存在平面 ，使得点到平面距离是A到平面距离的两倍，可得，求出，再结合，发现矛盾，可判断④。
二、多选题
9．（2021高一下·昆明期末）在正方体 中， ， 分别为 ， 的中点，下列结论正确的是（ ）
A．
B． 平面
C．直线 与 相交
D． ， ， ， 四点在同一平面内
【答案】A,B,C
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；共线向量与共面向量
【解析】【解答】对于A：在立方体 中，因为 ， ，所以 . A符合题意；
对于B：在立方体 中， ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 . B符合题意；
对于C：依题意可知四边形 是平行四边形，则对角线 与 必然相交. C符合题意；
对于D：
若 四点在同一平面内，由面面平行性质定理可得 ，又 ，所以 ，显然矛盾，从而 四点不在同一平面内. D不符合题意.
故答案为：ABC.
【分析】利用正方体的结构特征，再结合中点的性质、线线垂直的判断方法、线面平行的判定定理、线线相交的方法、四点共面的判断方法，从而找出结论正确的选项。
10．（2020高二上·溧阳期末）如图，正方体 的棱长为1，则下列四个命题正确的是（ ）
A．直线 与平面 所成的角等于
B．点 到面 的距离为
C．两条异面直线 和 所成的角为
D．二面角 的平面角的余弦值为
【答案】A,B
【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】解：如图，取 的中点 ，连接 ，易证 平面 ，
所以 是直线 与平面 所成的角为 ，故 正确；
点 到平面 的距离为 的长度为 ，故 正确；
易证 ，所以异面直线 和 所成的角为 或其补角，
因为 为等边三角形，所以两条异面直线 和 所成的角为 ，故 错误；
连接 ，由 ，所以 ，又 ，
所以 为二面角 的平面角，
易求得 ，又 ， ，
由余弦定理可得 ，故 错误．
故答案为：AB．
【分析】根据题意由线面角的定义结合正方体的几何性质即可得出线面角，再由三角形中的几何计算关系求出结果由此判断出选项A正确；由正方体的几何性质即可得出点到平面的距离，由此即可判断出选项B正确；由线线平行的性质结合异面直线的定义即可求出角，然后由三角形中的几何计算关系计算出结果，由此判断出选项C错误；由线线垂直结合二面角平面角的定义即可求出 为二面角 的平面角，然后由三角形中的几何计算关系以及余弦定理计算出结果，由此判断出选项D错误，从而得出答案。
11．（2021高二下·河北期末）（多选题）在如图所示的几何体中，底面 是边长为2的正方形， ， ， ， 均与底面 垂直，且 ，点 ， 分别为线段 ， 的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线 与平面 平行
B．三棱锥 的外接球的表面积是
C．点 到平面AEF的距离为
D．若点 在线段 上运动，则异面直线 和 所成角的取值范围是
【答案】A,C
【考点】球的体积和表面积；异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：对于A：连接 ， ， ，依题意可知 ，即 四点共面，因为 且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，即直线 与平面 平行，A符合题意；
对于B：三棱锥 的外接球即为四棱锥 的外接球，所以外接球的直径即为 ，所以 ，所以外接球的表面积为 ，B不符合题意；
如图建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ， ，所以 ， ， ， ，设面 的法向量为 ，所以 ，令 ，则 ， ，所以 ，所以点 到平面AEF的距离 ，C符合题意；
因为点 在线段 上运动， ，所以异面直线 和 所成角即为 与 所成的角， 显然当 在 的端点处时，所成角为 ，当 在 的中点时 ，即所成角为 ，所以 与 所成的角的范围为 ，D不符合题意；
故答案为：AC
【分析】由线面平行的判定定理证明A；棱锥 的外接球即为四棱锥 的外接球，则外接球的直径即为 ，利用勾股定理求出外接球的直径即可判断B；建立空间直角坐标系，利用向量法求出点到面的距离，由 ，异面直线 和 所成角即为 与 所成的角，利用特殊位置即可判断D。
12．（2021高一下·杭州期末）某演讲比赛冠军奖杯由一个水晶球和一个金属底座组成（如图①）．已知球的体积为 ，金属底座是由边长为4的正三角形 沿各边中点的连线向上垂直折叠而围成的几何体（如图②），则（ ）
A．A ，B，D，F四点共面
B．经过A，B，C三点的截面圆的面积为
C．直线 与平面 所成的角为
D．奖杯整体高度为
【答案】A,C,D
【考点】球的体积和表面积；共线向量与共面向量；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】对A，如图所示：点 三点在底面 上的射影分别是 三边中点 ，连接 ，
由题意可知： 且 ，
故四边形 是平行四边形，
故 ，
又 ，
，
由两条平行线唯一确定一个平面知： ， ， ， 四点共面，A符合题意；
对B，由点 三点在底面 上的射影分别是 三边中点 ，
与 全等且所在的面平行，
故 的截面圆与 的截面圆相等，
由题意知： 的边长为1，
其外接圆半径为： ，
故截面圆面积为： ，B不符合题意；
对C， 平面 平面 ，
故点 在平面 内的射影在 上，
故 即直线 与平面 所成的角，
又 为等边三角形，
即直线 与平面 所成的角为 ，C符合题意；
对D，由上图可知： ，
设球的半径为 ，
则 ，
的外接圆半径 ，
解得： ，
故球心到面 的距离为： ，
故奖杯整体高度为 ，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合四点共面的判断方法，从而推出 A ，B，D，F四点共面；由点 三点在底面 上的射影分别是 三边中点 ， 与 全等且所在的面平行，故 的截面圆与 的截面圆相等，再利用已知条件结合勾股定理求出三角形外接圆的半径，再结合圆的面积公式，从而求出截面圆面积；利用已知条件结合线面角的求解方法，从而求出直线 与平面 所成的角；利用勾股定理结合已知条件求出AM的长，再利用球的体积公式结合已知条件，从而求出球的半径，再利用勾股定理求出球心到面 的距离，从而求出奖杯整体高度。
三、填空题
13．（2020高二上·溧阳期末）已知点 ， ， ，则 .
【答案】
【考点】空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】因为 ，所以 为 中点， ， ，故 ，
故答案为：
【分析】根据题意由中点的性质即可得出，然后由空间向量的坐标公式代入数值计算出结果即可。
14．（2021·安徽模拟）如图，在三棱锥 中， 是边长为 的等边三角形， ，点 分别在棱 上，平面 平面 ，若 ，则三棱锥 的外接球被平面 所截的截面面积为 .
【答案】
【考点】棱锥的结构特征；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】如图所示，
设外接球球心为 ，球半径为 外心为 ，直线 与平面 的交点为 ，
在 中， 所以 ，
在 中， ，则 ， ，所以 ，
又因为 ,得 ,
所以 到平面 的距离等于 到平面 的距离，
则所求截面的面积等于 外接圆的面积 。
故答案为： 。
【分析】设外接球球心为 ，球半径为 外心为 ，直线 与平面 的交点为 ，在 中， 结合勾股定理求出的长，在 中，结合勾股定理求出三棱锥外接球的半径长，所以 ，再利用两直线平行对应边成比例，进而求出 ,所以 到平面 的距离等于 到平面 的距离，则所求截面的面积等于三角形 外接圆的面积，再利用圆的面积公式，进而求出三棱锥 的外接球被平面 所截的截面面积 。
15．（2021高二上·深圳期中）若三棱锥 的三条侧棱两两垂直，且满足 ，则点 到平面 的距离是 ．
【答案】
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】如图所示，三棱锥 的三条侧棱两两垂直，且满足 ，则由勾股定理得：
三棱锥 的体积
设点 到平面 的距离为h则
所以
故答案为：
【分析】由三棱锥的几何性质结合线面垂直的性质定理，结合勾股定理计算出边的大小，然后由三棱锥的体积公式，代入数值计算出点 到平面 的距离即可。
16．（2021高二上·深圳月考）已知平面 的法向量为 ，点 在平面 内，若点 到平面 的距离 为 ，则 .
【答案】-1或-11-11或-1
【考点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】由题意 ，由空间中点到面距离的向量公式 ，
即 ，解得 或－11.
故答案为：-1或-11
【分析】 求出坐标，由空间中点到面距离的向量公式 ，即可求出x的值。
四、解答题
17．（2021·柳州模拟）如图，在以P为顶点的圆锥中，母线长为 ，底面圆的直径AB长为2，O为圆心.C是圆O所在平面上一点，且AC与圆O相切.连接BC交圆于点D，连接PD，PC，E是PC的中点，连接OE，ED.
（1）求证：平面 平面PAC；
（2）若二面角 的大小为 ，求面PAC与面DOE所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明：AB是底面圆的直径，AC与圆切于点A，
所以 ，
又 底面，则 ， ，
所以： 面 ，
又因为，在三角形PAB中，
，所以 面PAC， 面PBC
所以：平面 平面PAC；
（2）因为 ， ，
为二面角 的平面角，
，如图建立坐标系，易知 ，
则 ， ， ，
， ， ，
由（1）知 为平面PAC的一个法向量，
设平面ODE的法向量为 ，
，
，
解得： ，
.
【考点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）根据面面垂直的判定定理，通过证明平面PBC中的直线 面PAC，来证明平面 平面PAC；
（2）根据题意可建立如图所示的空间直角坐标系， 分别求解平面PAC 和 平面DOE的法向量 ,根据法向量求解平面夹角的余弦值即可。
18．（2021高三上·泉州月考）如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是平行四边形， ，且 ．
（1）求证： ；
（2）求二面角 的余弦值．
【答案】（1）证明：方法一：由 得， ，所以 ，
又 平面 ，所以 ， ， 两两垂直，
分别以 ， ， 为 轴， 轴， 轴建立如图空间坐标系，
所以 ， ， ， ，
所以 ， ，
因为 ，
所以
方法二：在平行四边形 中，易得 ，
由余弦定理得， ，
因为 平面 ，所以有 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ．
方法三：在平行四边形 中，易得 ， ，
平面 ，所以有 ， ，
， ，
所以 ，
所以 ，
（2）解：方法一：由（1）得 ，设 为平面 的一个法向量，
所以 ，即 ，可取 ，
同理，设 为平面 的一个法向量，
所以 ，即 ，
可取 ，
所以 ，
由图可知，二面角 的平面角是钝角，
所以，二面角 的余弦值
方法二：分别取 ， 的中点 ， ，连接 ， ， ，
由（1）知， ，所以 ， ，
由 ， ， ，知 ，
又 ， 分别为 ， 的中点，所以 ，即 ，
因为 ， 分别为平面 与平面 内的直线，
且它们的交点 在直线 上，所以 为二面角 的平面角，
因为 ，所以 ，
由（1）知， 平面 ，即 ，
所以 ，
由图可知，二面角 的平面角是钝角，
所以，二面角 的余弦值 ．
方法三：由 ，得 ，所以 ，
由（1）可知， 平面 ，
又 面 ，所以 ，
由四边形 为平行四边形，所以 ，所以 ，
取 的中点 ，连接 ， ，则 ，所以 ，
所以 ，
由 且 ，得二面角 的大小等于 ，
所以 ， ，
所以 ，
又 ，
所以，二面角 的余弦值 ．
【考点】向量语言表述线面的垂直、平行关系；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】 方法一: (1)根据题意,建立空间直角坐标系，求得 由 ,即可证明PA⊥PC;
(2)由(1)可知，分别求得平面APB与平面CPB的法向量,即可求得答案;
方法二:(1)根据题意,求得: ，即可证明PA⊥PC;
(2)构造出二面角 的平面角，利用三角函数关系，即可求得二面角的余弦值;
方法三:利用向量法,分别表示出,因此可得,因此可得PA⊥PC;
(2)根据几何关系,二面角的大小等于 ,根据向量的运算，即可求得二面角的余弦值.
19．（2021高一下·贵州期末）如图，在四棱锥 中， 平面 ，且四边形 为正方形，点 ， ， 分别为 ， ， 的中点，点 为 上的动点．
（1）证明： 平面 ．
（2）若 ，求点 到平面 的距离．
【答案】（1）证明：如图，连接 ， ．
因为 ， 分别是 ， 的中点，所以 ．
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
因为 ．
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
因为 平面 ， 平面 ，且 ，
所以平面 平面 ．
因为 平面 ，所以 平面 ．
（2）解：连接 ，
由题意可得 ， ， ，
则 ，
从而 ，故 的面积为 ．
设点 到平面 的距离是 ．
因为 ，所以 ．解得 ．
由（1）可知 平面 ，
所以点 到平面 的距离为 .
【考点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1） 连接 ， ，利用 ， 分别是 ， 的中点，再利用中点作中位线的方法结合中位线的性质，所以 ，再利用线线平行推出线面平行，所以 平面 ，再利用 结合线线平行推出线面平行，所以 平面 ，再利用线面平行推出面面平行，所以平面 平面 ，再利用面面平行的性质定理证出线面平行，从而证出 平面 。
（2） 连接 ， 由题意可得 ， ， ，再利用余弦定理求出 的值，再利用同角三角函数基本关系式，从而求出 的值 ，再利用三角形的面积公式求出三角形 的面积，设点 到平面 的距离是 ，再利用等体积法结合三棱锥的体积公式，从而求出点 到平面 的距离，由（1）可知 平面 ，从而求出点 到平面 的距离。
20．（2021高三上·邢台期中）如图，在四棱锥 中， ， ， ， ， 是 的中点， .
（1）证明： .
（2）当三棱锥 的体积为 时，求 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：设 为 的中点，连接 ， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
因为 ， 为 的中点，所以 ，
又因为 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以
（2）解：因为 ， ， ，所以 平面 ，
所以 ，则 .
以 的方向为 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， .
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，得 .
所以 ，
所以 与平面 所成角的正弦值为 .
【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1） 设 为 的中点，连接 ， ， 用已知条件可得 ，利用线面垂直的判定定理可得 平面 ，推出 ；
（2）由 ， ， 利用线面垂直的判定定理可得 平面 ，以 的方向为 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ， 利用向量法即可求出 与平面 所成角的正弦值 。
21．（2022·西南名校模拟）如图甲，平面图形中，，沿将折起，使点C列F的位置，如图乙，使.
（1）求证：平面平面；
（2）点M是线段上的动点，当多长时，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为
【答案】（1）因为，则，且，又，平面，
因此，平面，即有平面，平面，则，
而，则四边形为等腰梯形，又，则有，
于是有，则，即，，平面，
因此，平面，而平面，
所以平面平面.
（2）由(1)知，EA，EB，EG两两垂直，以点E为原点，射线EA，EB，EG分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，
因，四边形是矩形，则，即，，，
令，则，，，
设平面的一个法向量为，则，令，得，
平面AEG的一个法向量，则有，，
设平面与平面所成锐二面角为，则，，
依题意，，解得，即，
所以当时，平面MAB与平面AEG所成锐二面角的余弦值为.
【考点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）利用 结合相等向量与共线向量的关系，则，且，再利用从而利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，即有平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，则，再利用
，则四边形为等腰梯形，再结合，则有，从而得出的值，进而得出，即，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直证出面面垂直，从而证出平面平面。
（2） 由(1)知，EA，EB，EG两两垂直，以点E为原点，射线EA，EB，EG分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系， 从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式和已知条件，进而求出当时，平面MAB与平面AEG所成锐二面角的余弦值为。
22．（2021高二下·成都月考）如图,在四棱锥 中, 底面 , , , , ,点 为棱 的中点.
（1）证明: ;
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值;
（3）若 为棱 上一点,满足 ,求二面角 的余弦值.
【答案】（1）依据题意,以点 为原点建立空间直角坐标系(如图),
可得 .
由 为棱 的中点,得 .
证明:向量 ,
故 .所以
（2）向量 .
设 为平面 的法向量,
则 即
不妨令 ,可得 为平面 的一个法向量.
于是有 .
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
（3）向量 .
由点 在棱 上,设 .
故 .
由 ,得 ,因此,
,解得 ,
则 .设 为平面 的法向量,
则 即
不妨令 ,可得 为平面 的一个法向量.
取平面 的一个法向量 ,则
.
易知,二面角 是锐角,所以其余弦值为 .
【考点】用向量证明垂直；向量语言表述线线的垂直、平行关系；用空间向量求直线与平面的夹角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）利用空间向量的垂直关系即可判断线线垂直；
（2）利用空间向量直接求解线面角；
（3）利用空间向量直接求解二面角的平面角.
29精讲精练·专项突破
2021-2022学年高二上学期人教版（2019）
第一章 《空间向量与几何》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．空间直角坐标系中，已知 ， ，则线段 的中点为（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，在平行六面体 中， 与 的交点为M．设 ，则下列向量中与 相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021高二上·深圳期中）已知点 ， ， 为坐标原点，若向量 ，则实数 （ ）
A．4 B． C． D．-4
4．（2021高二上·邢台月考）已知直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，若 ，则 （ ）
A．-10 B．3 C．4 D．5
5．（2021高二下·诸暨期末）如图，在正方体 中， 为线段 的中点， 为线段 上的动点，则直线 与直线 所成角正弦值的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021高三上·驻马店月考）三棱锥 的各个顶点都在球 的表面上，且 是等边三角形， 底面 ， ， .若点 在线段SA上，且 ，则过点 的平面截球 所得截面的最小面积为（ ）
A．3π B．4π C．8π D．13π
7．（2021·成都模拟）已知四面体 的所有棱长均为 ， ， 分别为棱 ， 的中点， 为棱 上异于 ， 的动点．有下列结论：
①线段 的长度为1；②若点 为线段 上的动点，则无论点 与 如何运动，直线 与直线 都是异面直线；③ 的余弦值的取值范围为 ；④ 周长的最小值为 ．其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2022·广西模拟）如图，四棱柱的底面是边长为2的正方形，侧棱平面ABCD，且，E、F分别是AB、BC的中点，P是线段上的一个动点（不含端点），过P、E、F的平面记为，Q在上且，则下列说法正确的个数是（ ）．
①三棱锥的体积是定值；②当直线时，；③当时，平面截棱柱所得多边形的周长为；④存在平面，使得点到平面距离是A到平面距离的两倍．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
9．（2021高一下·昆明期末）在正方体 中， ， 分别为 ， 的中点，下列结论正确的是（ ）
A．
B． 平面
C．直线 与 相交
D． ， ， ， 四点在同一平面内
10．（2020高二上·溧阳期末）如图，正方体 的棱长为1，则下列四个命题正确的是（ ）
A．直线 与平面 所成的角等于
B．点 到面 的距离为
C．两条异面直线 和 所成的角为
D．二面角 的平面角的余弦值为
11．（2021高二下·河北期末）（多选题）在如图所示的几何体中，底面 是边长为2的正方形， ， ， ， 均与底面 垂直，且 ，点 ， 分别为线段 ， 的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线 与平面 平行
B．三棱锥 的外接球的表面积是
C．点 到平面AEF的距离为
D．若点 在线段 上运动，则异面直线 和 所成角的取值范围是
12．（2021高一下·杭州期末）某演讲比赛冠军奖杯由一个水晶球和一个金属底座组成（如图①）．已知球的体积为 ，金属底座是由边长为4的正三角形 沿各边中点的连线向上垂直折叠而围成的几何体（如图②），则（ ）
A．A ，B，D，F四点共面
B．经过A，B，C三点的截面圆的面积为
C．直线 与平面 所成的角为
D．奖杯整体高度为
三、填空题
13．（2020高二上·溧阳期末）已知点 ， ， ，则 .
14．（2021·安徽模拟）如图，在三棱锥 中， 是边长为 的等边三角形， ，点 分别在棱 上，平面 平面 ，若 ，则三棱锥 的外接球被平面 所截的截面面积为 .
15．（2021高二上·深圳期中）若三棱锥 的三条侧棱两两垂直，且满足 ，则点 到平面 的距离是 ．
16．（2021高二上·深圳月考）已知平面 的法向量为 ，点 在平面 内，若点 到平面 的距离 为 ，则 .
四、解答题
17．（2021·柳州模拟）如图，在以P为顶点的圆锥中，母线长为 ，底面圆的直径AB长为2，O为圆心.C是圆O所在平面上一点，且AC与圆O相切.连接BC交圆于点D，连接PD，PC，E是PC的中点，连接OE，ED.
（1）求证：平面 平面PAC；
（2）若二面角 的大小为 ，求面PAC与面DOE所成锐二面角的余弦值.
18．（2021高三上·泉州月考）如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是平行四边形， ，且 ．
（1）求证： ；
（2）求二面角 的余弦值．
19．（2021高一下·贵州期末）如图，在四棱锥 中， 平面 ，且四边形 为正方形，点 ， ， 分别为 ， ， 的中点，点 为 上的动点．
（1）证明： 平面 ．
（2）若 ，求点 到平面 的距离．
20．（2021高三上·邢台期中）如图，在四棱锥 中， ， ， ， ， 是 的中点， .
（1）证明： .
（2）当三棱锥 的体积为 时，求 与平面 所成角的正弦值.
21．（2022·西南名校模拟）如图甲，平面图形中，，沿将折起，使点C列F的位置，如图乙，使.
（1）求证：平面平面；
（2）点M是线段上的动点，当多长时，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为
22．（2021高二下·成都月考）如图,在四棱锥 中, 底面 , , , , ,点 为棱 的中点.
（1）证明: ;
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值;
（3）若 为棱 上一点,满足 ,求二面角 的余弦值.
答案解析部分
1．【答案】D
【考点】空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】根据中点坐标公式，中点坐标为 .故答案为：D.
【分析】由空间直角坐标系中点的公式代入数值计算出结果即可。
2．【答案】A
【考点】空间向量的加减法
【解析】【解答】由图可得 ，
所以 .
故答案为：A
【分析】由向量的加减运算法则计算出结果即可。
3．【答案】C
【考点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】 ， ，
由 ，解得： 。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系，再利用数量积的坐标表示，进而求出实数k的值。
4．【答案】C
【考点】直线的方向向量；平面的法向量
【解析】【解答】因为 ，所以直线l的方向向量与平面 的法向量平行，
所以 ，解得 ， .
故答案为：C.
【分析】由已知条件即可求出直线的方向向量与平面 的法向量平行，由数乘向量的坐标公式代入计算出结果即可。
5．【答案】C
【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则 ， ， ，
，由 得 ，
，
，
因为 ，
所以 ，
则 .
故答案为：C
【分析】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量坐标表示出夹角的余弦值,再求出直线 与直线 所成角正弦值的最小值.
6．【答案】A
【考点】球的体积和表面积；球内接多面体；直线与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】如图，设 外接圆的圆心为 ，则外接圆半径 ，
设三棱锥 的外接球的球心为 ，则外接球的半径 .
取 的中点 ，由 ， ，得 ， .
则过点 的平面截球 所得截面圆的最小半径为 ，
过点 的平面截球 所得截面的最小面积为 .
故答案为：A
【分析】由由已知条件设出 外接圆的圆心为 ，则外接圆半径 ，结合三棱锥的外接球的性质计算出球的半径，然后由三角形的几何计算关系结合点到直线的距离公式，计算出点 的平面截球 所得截面圆的最小半径，由此得出点 的平面截球 所得截面的最小面积。
7．【答案】B
【考点】异面直线及其所成的角；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】在棱长为 的正方体上取如图所示的四个顶点依次连接，即可得到棱长为 四面体 ，
显然， 分别为正方体前后两个面的中心，故线段 的长度为正方体棱长 ，故 ①对；
对于②：
如图， 取为 的中点， 取为 的中点， 取为 的中点，则由正方体的性质易知，该三点在一条直线上，故此时 与 相交于 ，故②错；
对于③，
， ，又有
故
故 点无限接近 点时， 会无限接近 ，故 的余弦值的取值范围不为 ，③错误；
对于④，如图将等边三角形 与 铺平，放在同一平面上，
故有 ，当且仅当 为 中点时取最小值
故在正方体中
故 周长的最小值为
故④对
故答案为：B
【分析】 根据题意将四面体放置在正方体中，根据M、N分别为前后面的中心判断①；取F为AB中点，G为MN中点，此时直线FG与直线CD相交；通过计算判断③；把空间问题转化为平面问题，计算可得判断④,从而得出答案。
8．【答案】B
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；空间中直线与平面之间的位置关系；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】对于①:因为，平面，
平面 ，所以 平面 ，
因为 ，所以点P到平面 的距离为定值，
而 的面积为定值，所以三棱锥 的体积是定值，
即三棱锥 的体积是定值，故①正确；
对于②：如图，延长EF交DC的延长线于点M，
设平面 交棱 于点W，连接MW，并延长MW交 于点P，
因为 ， 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，
因为F为BC的中点，则W为CQ的中点，
因为 ，则 ， ， ，
所以 ≌ ，则 ，
因为 ，则 ，
则 ，即②错误；
对于③：如图，设直线EF分别交直线DA、DC于点N、M，
连接PN、PM，分别交 、 于点R、S，连接RE、SF，
由②可知， ，同理可知 ，
因为 ， ，则 为等腰直角三角形，
则 ，同理可知， 也为等腰直角三角形，
同理可知， ，∴，
同理 ，由勾股定理可得 ，
则截面的周长为 ，即③正确；
对于④：设截面 交棱 于点R，
假设存在平面 ，使得点 到平面 距离是A到平面 距离的两倍，
则 ，可得 ，
因为 ，则 ，则 ，不符合题意；
即不存在平面 ，使得点 到平面 距离是A到平面 距离的两倍，
故④错误．
综上所述，①③正确.
故答案为：B.
【分析】由等体积法可判断 ① ；如图补全图形，即可判断 ② ；如图，结合 ② ，可判断 ③ ；假设存在平面 ，使得点到平面距离是A到平面距离的两倍，可得，求出，再结合，发现矛盾，可判断④。
9．【答案】A,B,C
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；共线向量与共面向量
【解析】【解答】对于A：在立方体 中，因为 ， ，所以 . A符合题意；
对于B：在立方体 中， ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 . B符合题意；
对于C：依题意可知四边形 是平行四边形，则对角线 与 必然相交. C符合题意；
对于D：
若 四点在同一平面内，由面面平行性质定理可得 ，又 ，所以 ，显然矛盾，从而 四点不在同一平面内. D不符合题意.
故答案为：ABC.
【分析】利用正方体的结构特征，再结合中点的性质、线线垂直的判断方法、线面平行的判定定理、线线相交的方法、四点共面的判断方法，从而找出结论正确的选项。
10．【答案】A,B
【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】解：如图，取 的中点 ，连接 ，易证 平面 ，
所以 是直线 与平面 所成的角为 ，故 正确；
点 到平面 的距离为 的长度为 ，故 正确；
易证 ，所以异面直线 和 所成的角为 或其补角，
因为 为等边三角形，所以两条异面直线 和 所成的角为 ，故 错误；
连接 ，由 ，所以 ，又 ，
所以 为二面角 的平面角，
易求得 ，又 ， ，
由余弦定理可得 ，故 错误．
故答案为：AB．
【分析】根据题意由线面角的定义结合正方体的几何性质即可得出线面角，再由三角形中的几何计算关系求出结果由此判断出选项A正确；由正方体的几何性质即可得出点到平面的距离，由此即可判断出选项B正确；由线线平行的性质结合异面直线的定义即可求出角，然后由三角形中的几何计算关系计算出结果，由此判断出选项C错误；由线线垂直结合二面角平面角的定义即可求出 为二面角 的平面角，然后由三角形中的几何计算关系以及余弦定理计算出结果，由此判断出选项D错误，从而得出答案。
11．【答案】A,C
【考点】球的体积和表面积；异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：对于A：连接 ， ， ，依题意可知 ，即 四点共面，因为 且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，即直线 与平面 平行，A符合题意；
对于B：三棱锥 的外接球即为四棱锥 的外接球，所以外接球的直径即为 ，所以 ，所以外接球的表面积为 ，B不符合题意；
如图建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ， ，所以 ， ， ， ，设面 的法向量为 ，所以 ，令 ，则 ， ，所以 ，所以点 到平面AEF的距离 ，C符合题意；
因为点 在线段 上运动， ，所以异面直线 和 所成角即为 与 所成的角， 显然当 在 的端点处时，所成角为 ，当 在 的中点时 ，即所成角为 ，所以 与 所成的角的范围为 ，D不符合题意；
故答案为：AC
【分析】由线面平行的判定定理证明A；棱锥 的外接球即为四棱锥 的外接球，则外接球的直径即为 ，利用勾股定理求出外接球的直径即可判断B；建立空间直角坐标系，利用向量法求出点到面的距离，由 ，异面直线 和 所成角即为 与 所成的角，利用特殊位置即可判断D。
12．【答案】A,C,D
【考点】球的体积和表面积；共线向量与共面向量；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】对A，如图所示：点 三点在底面 上的射影分别是 三边中点 ，连接 ，
由题意可知： 且 ，
故四边形 是平行四边形，
故 ，
又 ，
，
由两条平行线唯一确定一个平面知： ， ， ， 四点共面，A符合题意；
对B，由点 三点在底面 上的射影分别是 三边中点 ，
与 全等且所在的面平行，
故 的截面圆与 的截面圆相等，
由题意知： 的边长为1，
其外接圆半径为： ，
故截面圆面积为： ，B不符合题意；
对C， 平面 平面 ，
故点 在平面 内的射影在 上，
故 即直线 与平面 所成的角，
又 为等边三角形，
即直线 与平面 所成的角为 ，C符合题意；
对D，由上图可知： ，
设球的半径为 ，
则 ，
的外接圆半径 ，
解得： ，
故球心到面 的距离为： ，
故奖杯整体高度为 ，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合四点共面的判断方法，从而推出 A ，B，D，F四点共面；由点 三点在底面 上的射影分别是 三边中点 ， 与 全等且所在的面平行，故 的截面圆与 的截面圆相等，再利用已知条件结合勾股定理求出三角形外接圆的半径，再结合圆的面积公式，从而求出截面圆面积；利用已知条件结合线面角的求解方法，从而求出直线 与平面 所成的角；利用勾股定理结合已知条件求出AM的长，再利用球的体积公式结合已知条件，从而求出球的半径，再利用勾股定理求出球心到面 的距离，从而求出奖杯整体高度。
13．【答案】
【考点】空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】因为 ，所以 为 中点， ， ，故 ，
故答案为：
【分析】根据题意由中点的性质即可得出，然后由空间向量的坐标公式代入数值计算出结果即可。
14．【答案】
【考点】棱锥的结构特征；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】如图所示，
设外接球球心为 ，球半径为 外心为 ，直线 与平面 的交点为 ，
在 中， 所以 ，
在 中， ，则 ， ，所以 ，
又因为 ,得 ,
所以 到平面 的距离等于 到平面 的距离，
则所求截面的面积等于 外接圆的面积 。
故答案为： 。
【分析】设外接球球心为 ，球半径为 外心为 ，直线 与平面 的交点为 ，在 中， 结合勾股定理求出的长，在 中，结合勾股定理求出三棱锥外接球的半径长，所以 ，再利用两直线平行对应边成比例，进而求出 ,所以 到平面 的距离等于 到平面 的距离，则所求截面的面积等于三角形 外接圆的面积，再利用圆的面积公式，进而求出三棱锥 的外接球被平面 所截的截面面积 。
15．【答案】
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】如图所示，三棱锥 的三条侧棱两两垂直，且满足 ，则由勾股定理得：
三棱锥 的体积
设点 到平面 的距离为h则
所以
故答案为：
【分析】由三棱锥的几何性质结合线面垂直的性质定理，结合勾股定理计算出边的大小，然后由三棱锥的体积公式，代入数值计算出点 到平面 的距离即可。
16．【答案】-1或-11-11或-1
【考点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】由题意 ，由空间中点到面距离的向量公式 ，
即 ，解得 或－11.
故答案为：-1或-11
【分析】 求出坐标，由空间中点到面距离的向量公式 ，即可求出x的值。
17．【答案】（1）证明：AB是底面圆的直径，AC与圆切于点A，
所以 ，
又 底面，则 ， ，
所以： 面 ，
又因为，在三角形PAB中，
，所以 面PAC， 面PBC
所以：平面 平面PAC；
（2）因为 ， ，
为二面角 的平面角，
，如图建立坐标系，易知 ，
则 ， ， ，
， ， ，
由（1）知 为平面PAC的一个法向量，
设平面ODE的法向量为 ，
，
，
解得： ，
.
【考点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）根据面面垂直的判定定理，通过证明平面PBC中的直线 面PAC，来证明平面 平面PAC；
（2）根据题意可建立如图所示的空间直角坐标系， 分别求解平面PAC 和 平面DOE的法向量 ,根据法向量求解平面夹角的余弦值即可。
18．【答案】（1）证明：方法一：由 得， ，所以 ，
又 平面 ，所以 ， ， 两两垂直，
分别以 ， ， 为 轴， 轴， 轴建立如图空间坐标系，
所以 ， ， ， ，
所以 ， ，
因为 ，
所以
方法二：在平行四边形 中，易得 ，
由余弦定理得， ，
因为 平面 ，所以有 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ．
方法三：在平行四边形 中，易得 ， ，
平面 ，所以有 ， ，
， ，
所以 ，
所以 ，
（2）解：方法一：由（1）得 ，设 为平面 的一个法向量，
所以 ，即 ，可取 ，
同理，设 为平面 的一个法向量，
所以 ，即 ，
可取 ，
所以 ，
由图可知，二面角 的平面角是钝角，
所以，二面角 的余弦值
方法二：分别取 ， 的中点 ， ，连接 ， ， ，
由（1）知， ，所以 ， ，
由 ， ， ，知 ，
又 ， 分别为 ， 的中点，所以 ，即 ，
因为 ， 分别为平面 与平面 内的直线，
且它们的交点 在直线 上，所以 为二面角 的平面角，
因为 ，所以 ，
由（1）知， 平面 ，即 ，
所以 ，
由图可知，二面角 的平面角是钝角，
所以，二面角 的余弦值 ．
方法三：由 ，得 ，所以 ，
由（1）可知， 平面 ，
又 面 ，所以 ，
由四边形 为平行四边形，所以 ，所以 ，
取 的中点 ，连接 ， ，则 ，所以 ，
所以 ，
由 且 ，得二面角 的大小等于 ，
所以 ， ，
所以 ，
又 ，
所以，二面角 的余弦值 ．
【考点】向量语言表述线面的垂直、平行关系；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】 方法一: (1)根据题意,建立空间直角坐标系，求得 由 ,即可证明PA⊥PC;
(2)由(1)可知，分别求得平面APB与平面CPB的法向量,即可求得答案;
方法二:(1)根据题意,求得: ，即可证明PA⊥PC;
(2)构造出二面角 的平面角，利用三角函数关系，即可求得二面角的余弦值;
方法三:利用向量法,分别表示出,因此可得,因此可得PA⊥PC;
(2)根据几何关系,二面角的大小等于 ,根据向量的运算，即可求得二面角的余弦值.
19．【答案】（1）证明：如图，连接 ， ．
因为 ， 分别是 ， 的中点，所以 ．
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
因为 ．
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
因为 平面 ， 平面 ，且 ，
所以平面 平面 ．
因为 平面 ，所以 平面 ．
（2）解：连接 ，
由题意可得 ， ， ，
则 ，
从而 ，故 的面积为 ．
设点 到平面 的距离是 ．
因为 ，所以 ．解得 ．
由（1）可知 平面 ，
所以点 到平面 的距离为 .
【考点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1） 连接 ， ，利用 ， 分别是 ， 的中点，再利用中点作中位线的方法结合中位线的性质，所以 ，再利用线线平行推出线面平行，所以 平面 ，再利用 结合线线平行推出线面平行，所以 平面 ，再利用线面平行推出面面平行，所以平面 平面 ，再利用面面平行的性质定理证出线面平行，从而证出 平面 。
（2） 连接 ， 由题意可得 ， ， ，再利用余弦定理求出 的值，再利用同角三角函数基本关系式，从而求出 的值 ，再利用三角形的面积公式求出三角形 的面积，设点 到平面 的距离是 ，再利用等体积法结合三棱锥的体积公式，从而求出点 到平面 的距离，由（1）可知 平面 ，从而求出点 到平面 的距离。
20．【答案】（1）证明：设 为 的中点，连接 ， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
因为 ， 为 的中点，所以 ，
又因为 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以
（2）解：因为 ， ， ，所以 平面 ，
所以 ，则 .
以 的方向为 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， .
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，得 .
所以 ，
所以 与平面 所成角的正弦值为 .
【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1） 设 为 的中点，连接 ， ， 用已知条件可得 ，利用线面垂直的判定定理可得 平面 ，推出 ；
（2）由 ， ， 利用线面垂直的判定定理可得 平面 ，以 的方向为 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ， 利用向量法即可求出 与平面 所成角的正弦值 。
21．【答案】（1）因为，则，且，又，平面，
因此，平面，即有平面，平面，则，
而，则四边形为等腰梯形，又，则有，
于是有，则，即，，平面，
因此，平面，而平面，
所以平面平面.
（2）由(1)知，EA，EB，EG两两垂直，以点E为原点，射线EA，EB，EG分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，
因，四边形是矩形，则，即，，，
令，则，，，
设平面的一个法向量为，则，令，得，
平面AEG的一个法向量，则有，，
设平面与平面所成锐二面角为，则，，
依题意，，解得，即，
所以当时，平面MAB与平面AEG所成锐二面角的余弦值为.
【考点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）利用 结合相等向量与共线向量的关系，则，且，再利用从而利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，即有平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，则，再利用
，则四边形为等腰梯形，再结合，则有，从而得出的值，进而得出，即，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直证出面面垂直，从而证出平面平面。
（2） 由(1)知，EA，EB，EG两两垂直，以点E为原点，射线EA，EB，EG分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系， 从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式和已知条件，进而求出当时，平面MAB与平面AEG所成锐二面角的余弦值为。
22．【答案】（1）依据题意,以点 为原点建立空间直角坐标系(如图),
可得 .
由 为棱 的中点,得 .
证明:向量 ,
故 .所以
（2）向量 .
设 为平面 的法向量,
则 即
不妨令 ,可得 为平面 的一个法向量.
于是有 .
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
（3）向量 .
由点 在棱 上,设 .
故 .
由 ,得 ,因此,
,解得 ,
则 .设 为平面 的法向量,
则 即
不妨令 ,可得 为平面 的一个法向量.
取平面 的一个法向量 ,则
.
易知,二面角 是锐角,所以其余弦值为 .
【考点】用向量证明垂直；向量语言表述线线的垂直、平行关系；用空间向量求直线与平面的夹角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）利用空间向量的垂直关系即可判断线线垂直；
（2）利用空间向量直接求解线面角；
（3）利用空间向量直接求解二面角的平面角.
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