精讲精练·专项突破 第三章《圆锥曲线的方程》单元能力提升（含详细解析） (1)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高二上学期人教版（2019）
第三章 《圆锥曲线的方程》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021高三上·西青期末）已知双曲线的一条渐近线方程，且过点，则双曲线的方程为（　　）
A． B． C． D．
2．（2020高二上·池州期末）双曲线 的焦点到渐近线的距离为（　　）
A．1 B． C．4 D．
3．（2020高二上·中山期末）已知双曲线的一条渐近线方程为 ，且经过点 ，则该双曲线的标准方程为（　　）
A． B． C． D．
4．（2021高二上·长春月考）过双曲线 的一个焦点 作一条渐近线的垂线 ，垂足为点 ，垂线 与另一条渐近线相交于点 .若 是线段 的中点，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C．3 D．2
5．（2022·漳州模拟）伦敦奥运会自行车赛车馆有一个明显的双曲线屋顶，该赛车馆是数学与建筑完美结合造就的艺术品，若将如图所示的双曲线屋顶的一段近似看成离心率为的双曲线上支的一部分，点F是C的下焦点，若点P为C上支上的动点，则与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2021高三上·高邮月考）若椭圆 + =1( )的离心率为 ，短轴长为6，则椭圆的焦距为（　　）
A． B．8 C． D．
7．（）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，点在线段上，且，，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．
8．（2021·嘉兴模拟）已知 ，过抛物线 的焦点 作直线交 于 ， 两点，若 上存在点 ，使得四边形 为平行四边形，则t（　　）．
A．是定值 B．有最大值
C．有最小值 D．以上说法均不正确
二、多选题
9．（2020高二上·济宁期末）已知常数 ，点 ，动点M(不与A，B重合)满足：直线 与直线 的斜率之积为 ，动点M的轨迹与点A，B共同构成曲线C，则关于曲线C的下列说法正确的是（　　）
A．当 时，曲线C表示椭圆
B．当 时，曲线C表示焦点在y轴上的椭圆
C．当 时，曲线C表示双曲线，其渐近线方程为
D．当 且 时，曲线C的离心率是
10．（2022高三上·广州月考）如图所示，一个底面半径为的圆柱被与其底面所成的角为的平面所截，截面是一个椭圆，则（　　）
A．椭圆的长轴长为4
B．椭圆的离心率为
C．椭圆的方程可以为
D．椭圆上的点到焦点的距离的最小值为
11．（2021高二上·山东月考）曲线的左右焦点分别为，以为直径的圆与渐近线和双曲线分别交于（均在第一象限），连接，交另一支渐近线于E，且E为的中点，O是坐标原点．下列说法正确的是（　　）
A．双曲线的离心率
B．双曲线的渐近线方程为
C．当时，的面积为3
D．当时，的周长为
12．已知双曲线 ： 的离心率 ，则下列说法正确的是（　　）
A． 或
B．双曲线 的渐近线方程为
C．双曲线 的实轴长等于
D．双曲线 的焦点到其渐近线的距离等于
三、填空题
13．（2020高二上·佛山期末）抛物线 为常数 过点 ，则抛物线的焦点坐标为　 　.
14．（2021高三上·湛江月考）已知抛物线 ： ，点 在 上，点 的坐标为 ，若 ，则 的焦点坐标为　 　.
15．（2021高二上·南阳期末）已知 ， 是双曲线 ( ， )上关于原点对称的两个点， 为双曲线 的左焦点，且满足 ， ，则双曲线 的离心率为　 　.
16．（2021·青海模拟）过抛物线W：x2=8y的焦点F作直线l与抛物线交于A，B两点，则当点A，B到直线x-2y-4=0的距离之和最小时，线段AB的长度为　 　
四、解答题
17．（2022·凉山模拟）在直角坐标系中，圆的参数方程为：（为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求圆的极坐标方程；
（2）椭圆，射线与圆的交点为O，P，与椭圆的交点为Q，求线段的长.
18．（2021高三上·湖南月考）已知椭圆E：（）经过点（，），且焦距为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）P为椭圆C上一点，F1，F2分别为椭圆E的左 右焦点，射线PF1，PF2分别交椭圆C于点A，B，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
19．
（1）求焦点在 x轴上,虚轴长为12，离心率为 的双曲线的标准方程；
（2）求经过点 的抛物线的标准方程；
20．（2020高二上·聊城期末）已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）经过点 的直线 与椭圆 交于不同的两点 ， ， 为坐标原点，若 的面积为 ，求直线 的方程.
21．（2021高二下·湖北期末）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 ， 分别为 的上顶点与右顶点， 的周长为6，且 ．
（1）求 的标准方程；
（2）若直线 与 交于 ， 两点，记点 关于 轴的对称点为 ，求证：直线 过定点．
22．（2022·普陀模拟）如图所示，边长为2（百米）的正方形区域是某绿地公园的一个局部，环线是修建的健身步道（不计宽度），其中弯道段是抛物线的一段，该抛物线的对称轴与平行，端点是该抛物线的顶点且为的中点，端点在上，且长为（百米），建立适当的平面直角坐标系，解决下列问题.
（1）求弯道段所确定的函数的表达式；
（2）绿地管理部门欲在弯道段上选取一点安装监控设备，使得点处监测段的张角最大，求点的坐标.
答案解析部分
1．【答案】A
【考点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线的渐近线方程为
由双曲线的一条渐近线方程
所以，
又因为双曲线过点，则，
两式联立解得：，从而求出双曲线的标准方程为 。
故答案为：A
【分析】利用双曲线的渐近线方程为结合双曲线的一条渐近线方程，得出的值，再利用双曲线过点结合代入法，从而解方程组求出a,b的值，进而求出双曲线的标准方程。
2．【答案】B
【考点】点到直线的距离公式；双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线 的焦点坐标为 ，渐近线方程为 ，
故焦点到渐近线 的距离 ，
故答案为：B．
【分析】利用双曲线标准方程确定焦点的位置，进而求出焦点坐标和渐近线方程，子阿里云点到直线的距离公式，进而求出双曲线 的焦点到渐近线的距离。
3．【答案】B
【考点】双曲线的标准方程
【解析】【解答】对于A选项，双曲线的渐近线为 ，不符合题意.对于B选项，双曲线的渐近线为 ，且过点 ，符合题意.对于C选项，双曲线的渐近线为 ，但不过点 ，不符合题意.对于D选项，双曲线的渐近线为 ，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合双曲线的渐近线方程和代入法，从而结合双曲线中a,b,c三者的关系式，从而解方程组求出a,b,c的值，进而求出双曲线的标准方程。
4．【答案】D
【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；直线的点斜式方程；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可知，渐近线方程为y＝± x，
则FA的方程为y-0=（x+c），代入渐近线方程y=x可得B的坐标为，
因为若A恰好是FB的中点，所以|OB|＝c，
所以＝c2，
所以b2＝3a2，所以c2＝a2+b2＝4a2，所以c=2a
所以e＝2
故答案为：D
【分析】根据双曲线的几何性质，结合直线的点斜式方程以及两直线垂直的充要条件求解即可.
5．【答案】D
【考点】点到直线的距离公式；双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；双曲线的应用
【解析】【解答】因为双曲线的离心率为，
所以 ，解得 ，则
双曲线方程为 ， ，
所以下焦点 ，渐近线方程为 ，
设上焦点为 ，则 ，
由双曲线的对称性，不妨取一条渐近线为 ，设 到 的距离为 ，则
与P到C的一条渐近线的距离之和为
，
因为 的最小值为 到渐近线 的距离 ，
所以 的最小值为 ，即 与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为5，
故答案为：D
【分析】先根据已知条件求出双曲线方程，则由双曲线的定义可得 ，再由双曲线的对称性，则将问题转化为求出 ，而 的最小值为到渐近线的距离1，从而可求得答案
6．【答案】C
【考点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】因为短轴长度为 ，即 ，故可得 ；
又离心率为 ，解得 ；
故可得 ，则 ，故焦距 .
故答案为：C.
【分析】 由题意得到a, b的值，再根据，求出c的值，即可得到椭圆的焦距.
7．【答案】B
【考点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】根据题意，作图如下：
因为，故可得，
故可得//，且，故分别为的中点；
又，故可得既是三角形的中线又是角平分线，
故可得；又为中点，由对称性可知：垂直于轴.
故△为等边三角形，则；
令，可得，解得，故可得，
则，由双曲线定义可得：，
即，解得，则离心率为.
故选：B.
【分析】根据题意，判断△的形状，结合双曲线定义，求得的值，利用离心率公式即可求得 双曲线的离心率.
8．【答案】A
【考点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】由抛物线方程可得： ，
设直线 ， 的中点为 ， ，
由 可得 ，故 ，所以 ，
故 ，所以 ，
所以 ， 。
故答案为：A.
【分析】利用抛物线的标准方程确定焦点的位置，从而求出焦点的坐标，设直线 ， 的中点为 ， ，再利用直线与抛物线相交联立二者方程，再结合韦达定理和中点坐标公式，从而求出点M的坐标，进而求出点Q的坐标，再利用点Q在抛物线上结合代入法，从而求出t的值，进而推出t为定值。
9．【答案】B,C,D
【考点】椭圆的定义；椭圆的简单性质；双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】设 ，则 ，所以 ，即曲线C的方程为
当 且 时，曲线C表示椭圆，A不符合题意
当 时， ，曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，B符合题意
当 时，曲线C表示双曲线，其渐近线方程为 ，C符合题意
当 时，曲线C表示双曲线，其离心率为
当 时，曲线C表示椭圆，其离心率为 ，D符合题意
故答案为：BCD
【分析】利用已知条件结合椭圆的定义和焦点的位置，再结合双曲线的定义和焦点的位置求出双曲线的渐近线方程，再利用已知条件结合椭圆的离心率公式，进而求出椭圆的离心率，从而找出关于曲线C的说法正确的选项。
10．【答案】A,B,D
【考点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】设椭圆的长半轴长为，椭圆的长半轴长为，半焦距为，
由图象可得， ∴，
又，，
∴，
∴ 椭圆的长轴长为4，A对，
椭圆的离心率为，B不符合题意，
圆的方程可以为，C对，
椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，D对，
故答案为：ABD.
【分析】 结合图像根据椭圆的长轴、短轴的几何意义求出椭圆a, b,c，逐项进行判断，可得答案。
11．【答案】A,C,D
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意得以为直径的圆的方程为，双曲线的渐近线方程为，，
由，得，即，
因为E为的中点，所以，
因为点在渐近线上，所以，解得，
所以离心率，所以A符合题意，
由，得，所以渐近线方程为，即，所以B不符合题意，
当时，，所以双曲线方程为，以为直径的圆的方程为，由，得，因为点在第一象限，所以，所以的面积为，所以C符合题意，
的周长为，所以D符合题意，
故答案为：ACD
【分析】根据题意由双曲线的简单性质，结合圆的方程联立双曲线与圆的方程，求解出点的坐标，由此即可得出三角形的面积公式，再由边的大小即可求出三角形的周长，由此对选项逐一判断即可得出答案。
12．【答案】B,C
【考点】点到直线的距离公式；双曲线的简单性质
【解析】【解答】A选项，由方程 对应的曲线为双曲线，可得 ，解得 ，故双曲线的焦点在 轴上，故 ，故 ，解得 ，A选项不正确；
B选项，由A中推出的t的正确值，可得双曲线的标准方程为 ，故双曲线 的渐近线方程为 ，即 ，B选项正确.
选项，易知双曲线 的实轴长为 ，C选项正确；
选项，双曲线 的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长，为 ，D选项不正确.
故答案为：BC
【分析】由方程 对应的曲线为双曲线，可得 ，从而解一元二次不等式求出t的取值范围，故双曲线的焦点在 轴上，再利用双曲线中a,b,c三者的关系式求出c的值，再利用双曲线的离心率公式求出t的值；利用t的值求出双曲线的标准方程，进而确定焦点的位置，从而求出双曲线的渐近线方程；利用t的值求出双曲线的标准方程，进而确定焦点的位置，从而求出双曲线的实轴长；利用双曲线 的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长，从而结合虚半轴的定义，从而求出双曲线 的焦点到其渐近线的距离，进而找出说法正确的选项。
13．【答案】
【考点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】将点 代入抛物线 ，解得 ,
∴抛物线方程为 ，
∴ ，焦点在 负半轴上,
∴抛物线的焦点坐标为 .
故答案为： .
【分析】首先由点在抛物线上，把点的坐标代入计算出m的值，由此得到抛物线的方程，从而求出P的值，由此即可求出焦点的坐标。
14．【答案】
【考点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】因为 在 上，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以该抛物线方程为： ，因此 的焦点坐标为： 。
故答案为： 。
【分析】利用点 在抛物线 上结合代入法，则 ，再利用 结合两点距离公式和p的取值范围，进而求出p的值，从而求出抛物线的标准方程，进而确定焦点的位置，从而求出抛物线的焦点的坐标。
15．【答案】
【考点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；余弦定理
【解析】【解答】解： ， 是双曲线 上关于原点对称的两个点， 为双曲线 的左焦点，且满足 ， ，可得 ，故 ， ，所以 ，可得 ，①
，可得 ，②
， ，
①②可得： ， ，所以双曲线的离心率为： ．
故答案为： ．
【分析】根据题意由双曲线的简单性质以及定义即可得出即，，结合余弦定理整理得到，同理得到，联立两式由角的性质即可得到即，结合离心率公式计算出结果即可。
16．【答案】
【考点】二次函数在闭区间上的最值；点到直线的距离公式；抛物线的应用
【解析】【解答】依题意，抛物线W的焦点F(0，2)，设直线l的方程为y=kx+2，
由 ，可得x2-8kx- 16=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=8k，
所以y1+y2=k(x1+x2)+4=8k2 +4，则线段AB的中点坐标M(4k，4k2 +2)，
M到直线x-2y-4=0的距离为d= ，
则点A，B到直线x-2y-4=0的距离之和2d= ，
当k= 时，d取最小值，此时|ABI=y1+y2+p=8× +4+4= 。
【分析】依题意，抛物线W的焦点F(0，2)，设直线l的斜截式方程为y=kx+2，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合韦达定理和代入法，得出x1+x2=8k，y1+y2=8k2 +4，再利用中点坐标公式得出线段AB的中点坐标M(4k，4k2 +2)，再利用点到直线的距离公式得出M到直线x-2y-4=0的距离，从而求出点A，B到直线x-2y-4=0的距离之和，再利用二次函数的图像求最值的方法，进而求出当点A，B到直线x-2y-4=0的距离之和最小时的线段AB的长度。
17．【答案】（1）解：由得
则，
即，
将代入并化简得.
（2）解：设，
将化为极坐标方程为
代入，解得
把代入，得
∴.
【考点】椭圆的简单性质；点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【分析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
(2)利用极坐标与直角坐标的转化公式，整理化简计算出椭圆的极坐标方程，再由弦长公式计算出结果即可。
18．【答案】（1）解：依题意，
又，联立解得，
椭圆的方程：；
（2）解：①当点在轴上时，由对称性不妨设点，此时两点重合，，所以；
②当点不在轴上时，由对称性不妨设，
当时，直线，
联立方程组消得
且，所以，
由韦达定理：，所以，
同理，则；
当时，不妨设,,,;
综上，是定值，为14.
【考点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由已知条件即可得出a与b的取值，由此即可得出椭圆的方程。
(2)根据题意分情况讨论， ①当点在轴上时， 结合椭圆的结合性质以及定义计算出结果即可。 ②当点不在轴上时 ，设出点的坐标，由此即可求出直线的方程，再俩里直线与椭圆的方程消元后由韦达定理即可求出点的坐标，然后代入到代数式，整理化简计算出结果即可。
19．【答案】（1）解：焦点在x轴上，设所求双曲线的方程为 =1（a>0,b>0）．
由题意，得 　解得b=6,
解得a=8,c=10
所以焦点在x轴上的双曲线的方程为
（2）解：由于点P在第三象限，所以抛物线方程可设为： 或 （p>0）
当方程为 ，将点 代入得16=4p，即p=4,抛物线方程为： ；
当方程为 ，将点 代入得4=8p，即p= ,抛物线方程为：
【考点】抛物线的标准方程；双曲线的标准方程
【解析】【分析】（1）利用已知条件列出方程组求解a，b，然后求解双曲线的方程即可；
（2）设出抛物线方程，利用点在曲线上，化简求解即可。
20．【答案】（1）解：因为椭圆的离心率为 ，所以 .①
又因为椭圆经过点 ，所以有 .②
联立①②可得， ， ，所以椭圆 的方程为 .
（2）解：由题意可知，直线 的斜率 存在，设直线 的方程为 .
由 消去 整理得， .
因为直线 与椭圆 交于不同的两点 ，
所以 ，即 ，所以 .
设 ， ，则 ， .
由题意得， 的面积
，
即 .
因为 的面积为 ，所以 ，即 .
化简得， ，即 ，解得 或 ，均满足 ，所以 或 .
所以直线 的方程为 或 .
【考点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意由椭圆的简单性质结合离心率的公式以及点在椭圆上，即可计算出a与b的值由此得出椭圆的方程。
(2)根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于k的两根之和与两根之积的代数式，再由弦长和三角形的面积公式整理即可得到关于k的方程，结合二次函数计算出k的值进而即可得出直线的方程。
21．【答案】（1）根据题意有 ，
解得 ，
∴椭圆 的标准方程为 ．
（2）证明：由 ，可得 ，
设 ， ，则 ，
∴ ， ，
∵直线 的方程为 ，
即 ，
∵ ，
∴直线 的方程为 ，
∴直线 过定点（1，0）．
【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 根据题意有 ， 求解出a,b，即可得出椭圆 的标准方程；
（2）设 ， ，则 ，把直线方程与椭圆方程联立，可得根与系数的关系，可得直线 的方程为 ，进而证得直线 过定点。
22．【答案】（1）如图建立平面直角坐标系，
则，
设抛物线的方程为，则，
∴，即，
∴弯道段所确定的函数；
（2）设，过P作PQ⊥CD于Q，
则，
∴，
令则，
∴，
当且仅当，即，时取等号，
∴当时，最大，即最大，
∴点的坐标为时，点处监测段的张角最大.
【考点】基本不等式在最值问题中的应用；两角和与差的正切公式；抛物线的标准方程
【解析】【分析】 （1）利用已知条件，建立平面直角坐标系，从而求出点的坐标，设抛物线的方程为，再利用代入法得出p的值，进而求出抛物线的标准方程，从而得出弯道段所确定的函数。
（2） 设，过P作PQ⊥CD于Q，再利用正切函数的定义，得出，再利用两角和的正切公式，进而得出∴，再利用换元法，令则，再利用均值不等式求最值的方法，进而得出当时，最大，即最大，从而得出点处监测段的张角最大时的点P的坐标。
17