精讲精练·专项突破 第三章《圆锥曲线的方程》单元能力提升（含详细解析） (3)
文档属性
| 名称 | 精讲精练·专项突破 第三章《圆锥曲线的方程》单元能力提升（含详细解析） (3) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 138.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-18 16:28:06 | ||
图片预览
文档简介
精讲精练·专项突破
2021-2022学年高二上学期人教版（2019）
第三章 《圆锥曲线的方程》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2015高二上·城中期末）已知双曲线 ﹣ =1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2， ），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4 x的准线上，则双曲线的方程为（ ）
A．﹣ =1 B．﹣ =1
C．﹣ =1 D．﹣ =1
2．设e是椭圆的离心率，且，则实数k的取值范围是（ ）
A．(0，3) B．(3，)
C．(0，3)( ,+) D．(0，2)
3．如图，M是椭圆上一点，F1,F2是椭圆的两个焦点，I是的内心，延长MI交F1F2于N，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．以抛物线y2=2px（p＞0）的焦半径|PF|为直径的圆与y轴位置关系为（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定
5．（2017·长春模拟）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点P在双曲线的右支上，且 ，则双曲线离心率的取值范围是
A． B． C． D．
6．（2018高二下·孝感期中）已知抛物线 的焦点为 ，过点 且斜率为 的直线交抛物线于 两点，则线段 的中点到 轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．一个动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必过定点（ ）
A．（0，2） B．（0，﹣2） C．（2，0） D．（4，0）
8．（2021高二上·温州期末）设椭圆的左、右焦点分别为，，P是椭圆上一点，，，则椭圆的离心率的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2021高二上·柯桥期末）已知斜率为k的直线l经过抛物线 的焦点F，且与抛物线C交 ， 两点，则以下结论正确的是（ ）
A．若 ，则MN的中点到y轴的距离为6
B．对任意实数k， 为定值
C．存在实数k，使得 成立
D．若 ，则
10．（2020高二上·迁安期末）已知抛物线 的焦点为 ， ， 是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）
A．点 的坐标为
B．若直线 过点 ，则
C．若 ，则 的最小值为
D．若 ，则线段 的中点 到 轴的距离为
11．（2020·德州模拟）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为 ， ，下列结论正确的是（ ）
A．卫星向径的取值范围是
B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间
C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁
D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小
12．（2021高二下·湖北开学考）已知椭圆 的焦距为 ，焦点为 、 ，长轴的端点为 、 ，点 是椭圆上异于长轴端点的一点，椭圆 的离心率为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 的周长为 ，则椭圆的方程为
B．若 的面积最大时， ，则
C．若椭圆 上存在点 使 ，则
D．以 为直径的圆与以 为直径的圆内切
三、填空题
13．已知过抛物线 的焦点 的直线交该抛物线于 两点， ，则
14．直线l过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F且与C相交于A，B两点，且AB的中点M的坐标为（3，2），则抛物线C的方程为
15．平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：x2=2py（p＞0）交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为
16．已知双曲线 ，圆 .若双曲线 的一条渐近线与圆 相切，则当 取得最大值时， 的实轴长为 ．
四、解答题
17．（2015高二上·永昌期末）已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为 ，且过点（4，﹣ ），点M（3，m）在双曲线上．
（1）求双曲线方程；
（2）求证：MF1⊥MF2；
（3）求△F1MF2的面积．
18．（2015高二上·朝阳期末）已知椭圆W： ，过原点O作直线l1交椭圆W于A，B两点，P为椭圆上异于A，B的动点，连接PA，PB，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2（k1，k2≠0），过O作直线PA，PB的平行线l2，l3，分别交椭圆W于C，D和E，F．
（1）若A，B分别为椭圆W的左、右顶点，是否存在点P，使∠APB=90°？说明理由．
（2）求k1 k2的值；
（3）求|CD|2+|EF|2的值．
19．（2019高二上·张家口月考）已知椭圆 的左焦点为 是椭圆上关于原点 对称的两个动点，当点 的坐标为 时， 的周长恰为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知点 ，斜率为2的直线 交椭圆 于 两点，求 面积的最大值.
20．（2022·南宁模拟）已知椭圆的右焦点为F，过点F且不垂直于x轴的直线交C于两点，分别过作平行于x轴的两条直线，设分别与直线交于点，点R是的中点.
（1）求证：；
（2）若与x轴交于点D（异于点R），求的取值范围.
21．（2018·银川模拟）已知椭圆 ： 的离心率为 ，短轴一个端点到右焦点的距离为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设直线 与椭圆 交于 ， 两点，坐标原点 到直线 的距离为 ，求 面积的最大值.
22．（2016高二上·浦城期中）已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．
①若线段AB中点的横坐标为﹣ ，求斜率k的值；
②若点M（﹣ ，0），求证： 为定值．
答案解析部分
1．【答案】D
【考点】双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：由题意， = ，
∵抛物线y2=4 x的准线方程为x=﹣ ，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4 x的准线上，
∴c= ，
∴a2+b2=c2=7，
∴a=2，b= ，
∴双曲线的方程为 ．
故选：D．
【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程．
2．【答案】C
【考点】椭圆的简单性质；椭圆的应用
【解析】【分析】当时，椭圆的焦点在x轴上，所以，因为，所以，解得：；
当时，椭圆的焦点在y轴上，所以，因为，所以，解得：。
综上知，k的取值范围为：(0，3)( ,+)。选C。
【点评】熟练掌握椭圆的焦点位置的判断，若不确定，则需要讨论。
3．【答案】A
【考点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】如图，连接IF1，IF2．在△MF1I中，F1I是∠MF1N的角平分线，
根据三角形内角平分线性质定理，
=,同理可得=,
∴==；
根据等比定理===，故选A。
【分析】本题平面几何中的三角形内角平分线性质定理、初中代数中的等比定理和圆锥曲线的定义之间进行了充分的交汇，在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口。
4．【答案】C
【考点】抛物线的定义
【解析】【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的坐标为（，0），设点P点坐标为（x1，y1），
则以PF为直径的圆的圆心是（，），
根据抛物线的定义|PF|与P到直线x=﹣是等距离的，
所以PF为直径的圆的半径为，因此以PF为直径的圆与y轴的位置关系相切，
故选C．
【分析】先求出抛物线的焦点，点P点坐标为（x1，y1），进而可得以PF为直径的圆的圆心坐标，根据抛物线的定义|PF|与P到直线x=﹣是等距离的，进而求得PF为直径的圆的半径，判断出PF为直径的圆与y轴的位置关系相切．
5．【答案】B
【考点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由双曲线定义可知，， ，结合 可得 ，从而 ，又因为双曲线的离心率大于 ，所以双曲线离心率的取值范围为 ，
故答案为：B.
【分析】由双曲线定义可知， ，由题意可得 ，利用双曲线的简单性质即可得出 双曲线离心率的取值范围 .
6．【答案】C
【考点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】根据题意有焦点弦 ，所以该弦的中点到准线的距离为 ，所以线段AB的中点到y轴的距离为 ，
故答案为：C.
【分析】利用抛物线的焦点弦公式求出弦AB的长，再利用抛物线的定义可求出弦的中点到准线的距离，进而得到线段AB的中点到y轴的距离．
7．【答案】C
【考点】抛物线的定义
【解析】【解答】∵抛物线y2=8x的准线方程为x=﹣2，
∴由题可知动圆的圆心在y2=8x上，且恒与抛物线的准线相切，
由定义可知，动圆恒过抛物线的焦点（2，0），
故选C．
【分析】先根据抛物线的标准方程表示出其准线方程，然后根据已知条件和抛物线的定义即可求解。
8．【答案】A
【考点】二次函数在闭区间上的最值；椭圆的简单性质；余弦定理
【解析】【解答】设，令，则，，
所以，所以，
在中，，则由余弦定理得
，
所以，
所以，
令，由，可得，则
，
所以当，即时，取得最小值，
所以的最小值为。
故答案为：A
【分析】设，令结合椭圆的定义，则，，再利用已知条件得出，在中，，由余弦定理结合椭圆的离心率公式得出，令，由结合构造法，可得，则，再利用二次函数求最值的方法得出椭圆离心率e的最小值。
9．【答案】B,D
【考点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】抛物线的焦点 ，则直线 的方程为 ， ，
由 消去 并化简得 ，
所以 ， ，B选项正确.
所以 .
当 时， ，
此时 的中点到 轴的距离为 ，A选项错误.
当 时，即 ，此方程无解，所以C选项错误.
当 时， ，
由于 ，所以 .
则 ，
当 时， ，
当 时， ，
所以当 时， ，D选项正确.
故答案为：BD
【分析】 根据已知条件，设出直线的方程，联立直线与抛物线方程，再结合韦达定理，以及弦长公式，即可求解.
10．【答案】B,C,D
【考点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】对于A，抛物线 ，即 ，易知点 的坐标为 ，A不符合题意；
对于B，显然直线 斜率存在，设直线 的方程为 ，联立 ，整理得 ， ，B符合题意；
对于C，若 ，则 过点 ，则 ，当 时， ，即抛物线通经的长，C符合题意，
对于D，抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，过点 ， ， 分别作准线的垂直线 ， ， ，垂足分别为 ， ， ，
所以 ， ，所以 ，所以线段 ，所以线段 的中点 到 轴的距离为 ，D符合题意．
故答案为：BCD．
【分析】利用抛物线的标准方程确定焦点的位置，从而求出焦点F的坐标；利用已知条件得出直线 斜率存在，设直线 的斜截式方程为 ，再利用直线与抛物线相交。联立二者方程结合韦达定理得出 的值；再利用 结合向量共线定理，则 过点 ，再利用弦长公式结合二次函数的图像求最值的方法，从而求出 ，即求出抛物线通经的长；利用抛物线的标准方程求出焦点的坐标和准线方程，过点 ， ， 分别作准线的垂直线 ， ， ，垂足分别为 ， ， ，所以 ， ，所以 ，从而求出线段 的长，进而求出线段 的中点 到 轴的距离，从而找出结论正确的选项。
11．【答案】A,B,D
【考点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是 ，A符合题意；
当卫星在左半椭圆弧的运行时，对应的面积更大，面积守恒规律，速度更慢，B符合题意；
，当比值越大，则e越小，椭圆轨道越圆，C不符合题意.
根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，D符合题意.
故答案为： ABD .
【分析】根据椭圆的定义和性质和面积守恒规律，依次判断每个选项得到答案.
12．【答案】A,B,D
【考点】数量积的坐标表达式；圆与圆的位置关系及其判定；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；三角形中的几何计算
【解析】【解答】对于A选项， 的周长为 ，则 ， ，
即椭圆的方程为 ，所以A符合题意；
对于B选项，当 的面积最大时，点 在短轴顶点处，
又 ，所以在 中， ，所以B符合题意；
对于C选项，设点 ， ， ，
，
因为点 在椭圆 上，则 ，可得 ，
所以， ，得 ，
由于 ，可得 ，所以， ，即 ，
可得 .
因此，椭圆 的离心率的取值范围是 ，C选项错误；
对于D选项，设 的中点为 ，设圆 与圆 的半径分别为 、 ，则 ，
则两圆的连心线的距离为 ，
所以两圆内切，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】利用三角形的周长公式结合椭圆的定义和焦距的定义，再结合已知条件 的周长为 ，从而求出a的值，再利用椭圆 的焦距为 ，从而求出c的值，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式，从而求出b的值，进而求出椭圆的标准方程；当 的面积最大时，点 在短轴顶点处，又因为 ，所以，在 中， 利用正弦函数的定义结合椭圆的离心率公式，从而求出椭圆的离心率；设点 ， 再利用向量的坐标表示结合数量积的坐标表示，得出 ，因为点 在椭圆 上，再结合代入法，可得 ，所以 ，得 ，由于 ，可得 ，所以， ，即 ，再利用椭圆的离心率公式变形，可得椭圆 的离心率的取值范围；设 的中点为 ，设圆 与圆 的半径分别为 、 ，则 ，再利用中点的性质结合椭圆的定义，得出两圆的连心线的距离为 ，再利用两圆位置关系判断方法，所以两圆内切，从而选出说法正确的选项。
13．【答案】2
【考点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
因此 .
【分析】根据抛物线的性质得出 | B F |。
14．【答案】y2=4x或y2=8x
【考点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线y2=2px的焦点为F（ ，0）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y12=2px1，y22=2px2，
两式相减可得：y12﹣y22=2p（x1﹣x2），
∴kAB= = ，
直线AB的方程为y= （x﹣ ），代入y2=2px，可得4px2﹣（4p2+32）x+p3=0
可得x1+x2= =6，解之得p=2或4，
∴物线C的方程为y2=4x或y2=8x．
故答案为：y2=4x或y2=8x．
【分析】先利用点差法，求出AB的斜率，可得直线AB的方程为y= （x﹣ ），代入y2=2px，利用中点坐标公式，即可得出抛物线C的方程．
15．【答案】
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线C1：（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，
与抛物线C2：x2=2py联立，可得x=0或x=±，
取A（），设垂心H（0，），
则kAH=
∵△OAB的垂心为C2的焦点，
∴，
∴5a2=4b2，
∴5a2=4（c2﹣a2）
∴e=
故答案为：．
【分析】求出A的坐标，可得，利用△OAB的垂心为C2的焦点，可得，由此可求C1的离心率．
16．【答案】
【考点】圆方程的综合应用；双曲线的简单性质；双曲线的应用
【解析】【解答】双曲线的一条渐近线方程为： ，
圆与双曲线的渐近线相切，则圆心到直线的距离等于半径，即： ，
据此可知： ，则 ，
故 ，
令 ，
则 ，
由导函数与原函数的单调性的关于可知：
函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
当 时， 取得最大值时，此时 的实轴长为 .
【分析】本题利用双曲线的方程求出其中一条渐近线方程，再利用渐近线与圆M相切的位置关系，利用圆心到切线距离等于半径的性质求出a和b的关系式，再利用构造法构造函数f（x），再利用求导的方法判断函数单调性，从而求出函数最值并求出最值对应的a的值，再利用a的值求出双曲线的实轴长。
17．【答案】（1）解：∵ ，∴ ，∵c2=b2+a2∴a2=b2
∴可设双曲线方程为x2﹣y2=λ（λ≠0）
∵双曲线过点 ，∴16﹣10=λ，即λ=6
∴双曲线方程为x2﹣y2=6．
（2）证明：由（1）可知，在双曲线中 ，∴ ，
∴ ．
∴ ，
又∵点M（3，m）在双曲线上，∴9﹣m2=6，m2=3．
∴
∴MF1⊥MF2
（3）解：由（2）知MF1⊥MF2，
∴△MF1F2为直角三角形．
又 ， ， 或 ，
由两点间距离公式得 ，
，
= ．
即△F1MF2的面积为6
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【分析】（1）先求出a，b的关系，设出双曲线的方程，求出参数的值，从而求出双曲线方程即可；（2）先表示出MF1和MF2的斜率，从而求出m的值，进而求出斜率的乘积为﹣1，证出结论；（3）分别求出MF1和MF2的长度，从而求出三角形的面积即可．
18．【答案】（1）解：不存在点P，使∠APB=90°．
说明如下：设P（xP，yP）．
依题意，此时A（﹣2，0），B（2，0），
则 ， ．
若∠APB=90°，则需使 ，即 ．
又点P在椭圆W上，所以 ，
把 代入（1）式中解得，xP=±2，且yP=0．
显然与P为椭圆上异于A，B的点矛盾，所以不存在；
（2）解：设P（xP，yP），A（xA，yA），依题意直线l1过原点，则B（﹣xA，﹣yA）．
由于P为椭圆上异于A，B的点，
则直线PA的斜率 ，直线PB的斜率 ．
即 ．
椭圆W的方程化为x2+4y2=4，由于点P和点A都为椭圆W上的点，
则 ，两式相减得 ，
因为点P和点A不重合，所以 ，
即 ；
（3）解：
方法一：由于l2，l3分别平行于直线PA，PB，
则直线l2的斜率kCD=k1，直线l3的斜率kEF=k2．
设直线l2的方程为y=k1x，代入到椭圆方程中，
得 ，解得 ．
设C（xC，yC），由直线l2过原点，则D（﹣xC，﹣yC）．
则 = ．
由于yC=k1xC，所以|CD|2= ，即|CD|2= ．
直线l3的方程为y=k2x，代入到椭圆方程中，
得 ，解得 ．
同理可得 ．
则|CD|2+|EF|2= ．
由（Ⅱ）问 ，且k1≠0，则 ．
即|CD|2+|EF|2=16
化简得|CD|2+|EF|2=16 ．
即|CD|2+|EF|2=20．
方法二：设C（xC，yC），E（xE，yE），
由直线l2，l3都过原点，则D（﹣xC，﹣yC），F（﹣xE，﹣yE）．
由于l2，l3分别平行于直线PA，PB，
则直线l2的斜率kCD=k1，直线l3的斜率kEF=k2，
由（2）得 ，可得 ．
由于kCD=k1≠0，则 ．
由于点C不可能在x轴上，即yC≠0，所以 ，
过原点的直线l3的方程为 x，代入椭圆W的方程中，
得 ，化简得 ．
由于点C（xC，yC）在椭圆W上，所以 ，
所以 ，不妨设xE=2yC，代入到直线 中，
得 ．即 ，则 ．
|CD|2+|EF|2=
=
= ．
又 ，所以|CD|2+|EF|2=20．
【考点】椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）不存在点P，使∠APB=90°．理由如下：设P（xP，yP），运用向量垂直的条件和数量积的坐标表示，结合椭圆方程，即可判断；（2）设P（xP，yP），A（xA，yA），运用直线的斜率公式和点差法，化简整理可得所求值；（3）方法一：由于l2，l3分别平行于直线PA，PB，求得直线方程，联立椭圆方程，求得弦长，化简整理，即可得到所求值；
方法二、设C（xC，yC），E（xE，yE），由直线l2，l3都过原点，则D（﹣xC，﹣yC），F（﹣xE，﹣yE）．由于l2，l3分别平行于直线PA，PB，由平行的条件，求得直线方程，代入椭圆方程，化简整理，即可得到所求值．
19．【答案】（1）解：当点 的坐标为 时, ,
所以 ,
因为 的周长恰为 ,所以 ,
由对称性可得 ,
所以 ,则 ,
将点 代入椭圆方程 中,
解得 ,
所以椭圆方程为
（2）解：依题意,设直线 的方程为 ,点 到直线 的距离为 ,联立 ,可得 ,
则 ,得 ,
则 ,
所以 , ,
所以
当且仅当 ,即 时取等号,所以
【考点】椭圆的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由点 的坐标及 关于原点 对称可得 ,再由 的周长恰为 可得 ,则 ,进而求解即可；（2）设直线 的方程为 ,联立 ,利用弦长公式和点到直线距离公式求解即可.
20．【答案】（1）证明：设直线的方程为，，
则，
，
要证，只需证即可，
只需证，只需证.
联立，消去并化简得.
所以，
所以成立，所以.
（2）解：延长交于点，
由（1）得，且，
因为是的中点，所以为的中点.
所以，则，因此，
从而.
由（1）得，
，，
，即.
令，则，
，
因为，，
故的取值范围是.
【考点】椭圆的简单性质；椭圆的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由题意可得， 设直线的方程为， ， 又R是M N的中点R，联立直线AB与椭圆的方程，结合韦达定理可得， 计算即可得出；
(2) 由（1）得，且 ， 从而 ， ， 令，则进而可得的取值范围。
21．【答案】（1）解：设椭圆的半焦距为 ，依题意 ∴ ，
∴所求椭圆方程为
（2）解：设 ， ，
①当 ⊥ 轴时， 为 ，代入 ，得 ，∴ ；
②当 与 轴不垂直时，设直线 的方程为 ，
由已知 ，得 ，
把 代入椭圆方程，整理 ，
， ， ，
∴ ，
当 时， ；
当 时， ，
当且仅当 ，即 时等号成立．
综上所述 ．
∴当 最大时，△ 面积取最大值
【考点】基本不等式在最值问题中的应用；椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）结合椭圆的基本性质，分别计算出a,b，即可得出答案。（2）结合直线与椭圆方程，用k表示AB，结合基本不等式的性质，计算最值，即可得出答案。
22．【答案】（1）解：因为 满足a2=b2+c2， ，
根据椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为 ，可得 ．
从而可解得 ，
所以椭圆方程为
（2）解：①将y=k（x+1）代入 中，消元得（1+3k2）x2+6k2x+3k2﹣5=0
△=36k4﹣4（3k2+1）（3k2﹣5）=48k2+20＞0，
因为AB中点的横坐标为 ，所以 ，解得
②证明：由①知 ，
所以
= =
= = =
【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率，三角形的面积及椭圆几何量之间的关系，建立等式，即可求得椭圆的标准方程；（2）①直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及线段AB中点的横坐标为 ，即可求斜率k的值；②利用韦达定理，及向量的数量积公式，计算即可证得结论．
20
2021-2022学年高二上学期人教版（2019）
第三章 《圆锥曲线的方程》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2015高二上·城中期末）已知双曲线 ﹣ =1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2， ），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4 x的准线上，则双曲线的方程为（ ）
A．﹣ =1 B．﹣ =1
C．﹣ =1 D．﹣ =1
2．设e是椭圆的离心率，且，则实数k的取值范围是（ ）
A．(0，3) B．(3，)
C．(0，3)( ,+) D．(0，2)
3．如图，M是椭圆上一点，F1,F2是椭圆的两个焦点，I是的内心，延长MI交F1F2于N，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．以抛物线y2=2px（p＞0）的焦半径|PF|为直径的圆与y轴位置关系为（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定
5．（2017·长春模拟）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点P在双曲线的右支上，且 ，则双曲线离心率的取值范围是
A． B． C． D．
6．（2018高二下·孝感期中）已知抛物线 的焦点为 ，过点 且斜率为 的直线交抛物线于 两点，则线段 的中点到 轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．一个动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必过定点（ ）
A．（0，2） B．（0，﹣2） C．（2，0） D．（4，0）
8．（2021高二上·温州期末）设椭圆的左、右焦点分别为，，P是椭圆上一点，，，则椭圆的离心率的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2021高二上·柯桥期末）已知斜率为k的直线l经过抛物线 的焦点F，且与抛物线C交 ， 两点，则以下结论正确的是（ ）
A．若 ，则MN的中点到y轴的距离为6
B．对任意实数k， 为定值
C．存在实数k，使得 成立
D．若 ，则
10．（2020高二上·迁安期末）已知抛物线 的焦点为 ， ， 是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）
A．点 的坐标为
B．若直线 过点 ，则
C．若 ，则 的最小值为
D．若 ，则线段 的中点 到 轴的距离为
11．（2020·德州模拟）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为 ， ，下列结论正确的是（ ）
A．卫星向径的取值范围是
B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间
C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁
D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小
12．（2021高二下·湖北开学考）已知椭圆 的焦距为 ，焦点为 、 ，长轴的端点为 、 ，点 是椭圆上异于长轴端点的一点，椭圆 的离心率为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 的周长为 ，则椭圆的方程为
B．若 的面积最大时， ，则
C．若椭圆 上存在点 使 ，则
D．以 为直径的圆与以 为直径的圆内切
三、填空题
13．已知过抛物线 的焦点 的直线交该抛物线于 两点， ，则
14．直线l过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F且与C相交于A，B两点，且AB的中点M的坐标为（3，2），则抛物线C的方程为
15．平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：x2=2py（p＞0）交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为
16．已知双曲线 ，圆 .若双曲线 的一条渐近线与圆 相切，则当 取得最大值时， 的实轴长为 ．
四、解答题
17．（2015高二上·永昌期末）已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为 ，且过点（4，﹣ ），点M（3，m）在双曲线上．
（1）求双曲线方程；
（2）求证：MF1⊥MF2；
（3）求△F1MF2的面积．
18．（2015高二上·朝阳期末）已知椭圆W： ，过原点O作直线l1交椭圆W于A，B两点，P为椭圆上异于A，B的动点，连接PA，PB，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2（k1，k2≠0），过O作直线PA，PB的平行线l2，l3，分别交椭圆W于C，D和E，F．
（1）若A，B分别为椭圆W的左、右顶点，是否存在点P，使∠APB=90°？说明理由．
（2）求k1 k2的值；
（3）求|CD|2+|EF|2的值．
19．（2019高二上·张家口月考）已知椭圆 的左焦点为 是椭圆上关于原点 对称的两个动点，当点 的坐标为 时， 的周长恰为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知点 ，斜率为2的直线 交椭圆 于 两点，求 面积的最大值.
20．（2022·南宁模拟）已知椭圆的右焦点为F，过点F且不垂直于x轴的直线交C于两点，分别过作平行于x轴的两条直线，设分别与直线交于点，点R是的中点.
（1）求证：；
（2）若与x轴交于点D（异于点R），求的取值范围.
21．（2018·银川模拟）已知椭圆 ： 的离心率为 ，短轴一个端点到右焦点的距离为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设直线 与椭圆 交于 ， 两点，坐标原点 到直线 的距离为 ，求 面积的最大值.
22．（2016高二上·浦城期中）已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．
①若线段AB中点的横坐标为﹣ ，求斜率k的值；
②若点M（﹣ ，0），求证： 为定值．
答案解析部分
1．【答案】D
【考点】双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：由题意， = ，
∵抛物线y2=4 x的准线方程为x=﹣ ，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4 x的准线上，
∴c= ，
∴a2+b2=c2=7，
∴a=2，b= ，
∴双曲线的方程为 ．
故选：D．
【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程．
2．【答案】C
【考点】椭圆的简单性质；椭圆的应用
【解析】【分析】当时，椭圆的焦点在x轴上，所以，因为，所以，解得：；
当时，椭圆的焦点在y轴上，所以，因为，所以，解得：。
综上知，k的取值范围为：(0，3)( ,+)。选C。
【点评】熟练掌握椭圆的焦点位置的判断，若不确定，则需要讨论。
3．【答案】A
【考点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】如图，连接IF1，IF2．在△MF1I中，F1I是∠MF1N的角平分线，
根据三角形内角平分线性质定理，
=,同理可得=,
∴==；
根据等比定理===，故选A。
【分析】本题平面几何中的三角形内角平分线性质定理、初中代数中的等比定理和圆锥曲线的定义之间进行了充分的交汇，在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口。
4．【答案】C
【考点】抛物线的定义
【解析】【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的坐标为（，0），设点P点坐标为（x1，y1），
则以PF为直径的圆的圆心是（，），
根据抛物线的定义|PF|与P到直线x=﹣是等距离的，
所以PF为直径的圆的半径为，因此以PF为直径的圆与y轴的位置关系相切，
故选C．
【分析】先求出抛物线的焦点，点P点坐标为（x1，y1），进而可得以PF为直径的圆的圆心坐标，根据抛物线的定义|PF|与P到直线x=﹣是等距离的，进而求得PF为直径的圆的半径，判断出PF为直径的圆与y轴的位置关系相切．
5．【答案】B
【考点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由双曲线定义可知，， ，结合 可得 ，从而 ，又因为双曲线的离心率大于 ，所以双曲线离心率的取值范围为 ，
故答案为：B.
【分析】由双曲线定义可知， ，由题意可得 ，利用双曲线的简单性质即可得出 双曲线离心率的取值范围 .
6．【答案】C
【考点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】根据题意有焦点弦 ，所以该弦的中点到准线的距离为 ，所以线段AB的中点到y轴的距离为 ，
故答案为：C.
【分析】利用抛物线的焦点弦公式求出弦AB的长，再利用抛物线的定义可求出弦的中点到准线的距离，进而得到线段AB的中点到y轴的距离．
7．【答案】C
【考点】抛物线的定义
【解析】【解答】∵抛物线y2=8x的准线方程为x=﹣2，
∴由题可知动圆的圆心在y2=8x上，且恒与抛物线的准线相切，
由定义可知，动圆恒过抛物线的焦点（2，0），
故选C．
【分析】先根据抛物线的标准方程表示出其准线方程，然后根据已知条件和抛物线的定义即可求解。
8．【答案】A
【考点】二次函数在闭区间上的最值；椭圆的简单性质；余弦定理
【解析】【解答】设，令，则，，
所以，所以，
在中，，则由余弦定理得
，
所以，
所以，
令，由，可得，则
，
所以当，即时，取得最小值，
所以的最小值为。
故答案为：A
【分析】设，令结合椭圆的定义，则，，再利用已知条件得出，在中，，由余弦定理结合椭圆的离心率公式得出，令，由结合构造法，可得，则，再利用二次函数求最值的方法得出椭圆离心率e的最小值。
9．【答案】B,D
【考点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】抛物线的焦点 ，则直线 的方程为 ， ，
由 消去 并化简得 ，
所以 ， ，B选项正确.
所以 .
当 时， ，
此时 的中点到 轴的距离为 ，A选项错误.
当 时，即 ，此方程无解，所以C选项错误.
当 时， ，
由于 ，所以 .
则 ，
当 时， ，
当 时， ，
所以当 时， ，D选项正确.
故答案为：BD
【分析】 根据已知条件，设出直线的方程，联立直线与抛物线方程，再结合韦达定理，以及弦长公式，即可求解.
10．【答案】B,C,D
【考点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】对于A，抛物线 ，即 ，易知点 的坐标为 ，A不符合题意；
对于B，显然直线 斜率存在，设直线 的方程为 ，联立 ，整理得 ， ，B符合题意；
对于C，若 ，则 过点 ，则 ，当 时， ，即抛物线通经的长，C符合题意，
对于D，抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，过点 ， ， 分别作准线的垂直线 ， ， ，垂足分别为 ， ， ，
所以 ， ，所以 ，所以线段 ，所以线段 的中点 到 轴的距离为 ，D符合题意．
故答案为：BCD．
【分析】利用抛物线的标准方程确定焦点的位置，从而求出焦点F的坐标；利用已知条件得出直线 斜率存在，设直线 的斜截式方程为 ，再利用直线与抛物线相交。联立二者方程结合韦达定理得出 的值；再利用 结合向量共线定理，则 过点 ，再利用弦长公式结合二次函数的图像求最值的方法，从而求出 ，即求出抛物线通经的长；利用抛物线的标准方程求出焦点的坐标和准线方程，过点 ， ， 分别作准线的垂直线 ， ， ，垂足分别为 ， ， ，所以 ， ，所以 ，从而求出线段 的长，进而求出线段 的中点 到 轴的距离，从而找出结论正确的选项。
11．【答案】A,B,D
【考点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是 ，A符合题意；
当卫星在左半椭圆弧的运行时，对应的面积更大，面积守恒规律，速度更慢，B符合题意；
，当比值越大，则e越小，椭圆轨道越圆，C不符合题意.
根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，D符合题意.
故答案为： ABD .
【分析】根据椭圆的定义和性质和面积守恒规律，依次判断每个选项得到答案.
12．【答案】A,B,D
【考点】数量积的坐标表达式；圆与圆的位置关系及其判定；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；三角形中的几何计算
【解析】【解答】对于A选项， 的周长为 ，则 ， ，
即椭圆的方程为 ，所以A符合题意；
对于B选项，当 的面积最大时，点 在短轴顶点处，
又 ，所以在 中， ，所以B符合题意；
对于C选项，设点 ， ， ，
，
因为点 在椭圆 上，则 ，可得 ，
所以， ，得 ，
由于 ，可得 ，所以， ，即 ，
可得 .
因此，椭圆 的离心率的取值范围是 ，C选项错误；
对于D选项，设 的中点为 ，设圆 与圆 的半径分别为 、 ，则 ，
则两圆的连心线的距离为 ，
所以两圆内切，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】利用三角形的周长公式结合椭圆的定义和焦距的定义，再结合已知条件 的周长为 ，从而求出a的值，再利用椭圆 的焦距为 ，从而求出c的值，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式，从而求出b的值，进而求出椭圆的标准方程；当 的面积最大时，点 在短轴顶点处，又因为 ，所以，在 中， 利用正弦函数的定义结合椭圆的离心率公式，从而求出椭圆的离心率；设点 ， 再利用向量的坐标表示结合数量积的坐标表示，得出 ，因为点 在椭圆 上，再结合代入法，可得 ，所以 ，得 ，由于 ，可得 ，所以， ，即 ，再利用椭圆的离心率公式变形，可得椭圆 的离心率的取值范围；设 的中点为 ，设圆 与圆 的半径分别为 、 ，则 ，再利用中点的性质结合椭圆的定义，得出两圆的连心线的距离为 ，再利用两圆位置关系判断方法，所以两圆内切，从而选出说法正确的选项。
13．【答案】2
【考点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
因此 .
【分析】根据抛物线的性质得出 | B F |。
14．【答案】y2=4x或y2=8x
【考点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线y2=2px的焦点为F（ ，0）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y12=2px1，y22=2px2，
两式相减可得：y12﹣y22=2p（x1﹣x2），
∴kAB= = ，
直线AB的方程为y= （x﹣ ），代入y2=2px，可得4px2﹣（4p2+32）x+p3=0
可得x1+x2= =6，解之得p=2或4，
∴物线C的方程为y2=4x或y2=8x．
故答案为：y2=4x或y2=8x．
【分析】先利用点差法，求出AB的斜率，可得直线AB的方程为y= （x﹣ ），代入y2=2px，利用中点坐标公式，即可得出抛物线C的方程．
15．【答案】
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线C1：（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，
与抛物线C2：x2=2py联立，可得x=0或x=±，
取A（），设垂心H（0，），
则kAH=
∵△OAB的垂心为C2的焦点，
∴，
∴5a2=4b2，
∴5a2=4（c2﹣a2）
∴e=
故答案为：．
【分析】求出A的坐标，可得，利用△OAB的垂心为C2的焦点，可得，由此可求C1的离心率．
16．【答案】
【考点】圆方程的综合应用；双曲线的简单性质；双曲线的应用
【解析】【解答】双曲线的一条渐近线方程为： ，
圆与双曲线的渐近线相切，则圆心到直线的距离等于半径，即： ，
据此可知： ，则 ，
故 ，
令 ，
则 ，
由导函数与原函数的单调性的关于可知：
函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
当 时， 取得最大值时，此时 的实轴长为 .
【分析】本题利用双曲线的方程求出其中一条渐近线方程，再利用渐近线与圆M相切的位置关系，利用圆心到切线距离等于半径的性质求出a和b的关系式，再利用构造法构造函数f（x），再利用求导的方法判断函数单调性，从而求出函数最值并求出最值对应的a的值，再利用a的值求出双曲线的实轴长。
17．【答案】（1）解：∵ ，∴ ，∵c2=b2+a2∴a2=b2
∴可设双曲线方程为x2﹣y2=λ（λ≠0）
∵双曲线过点 ，∴16﹣10=λ，即λ=6
∴双曲线方程为x2﹣y2=6．
（2）证明：由（1）可知，在双曲线中 ，∴ ，
∴ ．
∴ ，
又∵点M（3，m）在双曲线上，∴9﹣m2=6，m2=3．
∴
∴MF1⊥MF2
（3）解：由（2）知MF1⊥MF2，
∴△MF1F2为直角三角形．
又 ， ， 或 ，
由两点间距离公式得 ，
，
= ．
即△F1MF2的面积为6
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【分析】（1）先求出a，b的关系，设出双曲线的方程，求出参数的值，从而求出双曲线方程即可；（2）先表示出MF1和MF2的斜率，从而求出m的值，进而求出斜率的乘积为﹣1，证出结论；（3）分别求出MF1和MF2的长度，从而求出三角形的面积即可．
18．【答案】（1）解：不存在点P，使∠APB=90°．
说明如下：设P（xP，yP）．
依题意，此时A（﹣2，0），B（2，0），
则 ， ．
若∠APB=90°，则需使 ，即 ．
又点P在椭圆W上，所以 ，
把 代入（1）式中解得，xP=±2，且yP=0．
显然与P为椭圆上异于A，B的点矛盾，所以不存在；
（2）解：设P（xP，yP），A（xA，yA），依题意直线l1过原点，则B（﹣xA，﹣yA）．
由于P为椭圆上异于A，B的点，
则直线PA的斜率 ，直线PB的斜率 ．
即 ．
椭圆W的方程化为x2+4y2=4，由于点P和点A都为椭圆W上的点，
则 ，两式相减得 ，
因为点P和点A不重合，所以 ，
即 ；
（3）解：
方法一：由于l2，l3分别平行于直线PA，PB，
则直线l2的斜率kCD=k1，直线l3的斜率kEF=k2．
设直线l2的方程为y=k1x，代入到椭圆方程中，
得 ，解得 ．
设C（xC，yC），由直线l2过原点，则D（﹣xC，﹣yC）．
则 = ．
由于yC=k1xC，所以|CD|2= ，即|CD|2= ．
直线l3的方程为y=k2x，代入到椭圆方程中，
得 ，解得 ．
同理可得 ．
则|CD|2+|EF|2= ．
由（Ⅱ）问 ，且k1≠0，则 ．
即|CD|2+|EF|2=16
化简得|CD|2+|EF|2=16 ．
即|CD|2+|EF|2=20．
方法二：设C（xC，yC），E（xE，yE），
由直线l2，l3都过原点，则D（﹣xC，﹣yC），F（﹣xE，﹣yE）．
由于l2，l3分别平行于直线PA，PB，
则直线l2的斜率kCD=k1，直线l3的斜率kEF=k2，
由（2）得 ，可得 ．
由于kCD=k1≠0，则 ．
由于点C不可能在x轴上，即yC≠0，所以 ，
过原点的直线l3的方程为 x，代入椭圆W的方程中，
得 ，化简得 ．
由于点C（xC，yC）在椭圆W上，所以 ，
所以 ，不妨设xE=2yC，代入到直线 中，
得 ．即 ，则 ．
|CD|2+|EF|2=
=
= ．
又 ，所以|CD|2+|EF|2=20．
【考点】椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）不存在点P，使∠APB=90°．理由如下：设P（xP，yP），运用向量垂直的条件和数量积的坐标表示，结合椭圆方程，即可判断；（2）设P（xP，yP），A（xA，yA），运用直线的斜率公式和点差法，化简整理可得所求值；（3）方法一：由于l2，l3分别平行于直线PA，PB，求得直线方程，联立椭圆方程，求得弦长，化简整理，即可得到所求值；
方法二、设C（xC，yC），E（xE，yE），由直线l2，l3都过原点，则D（﹣xC，﹣yC），F（﹣xE，﹣yE）．由于l2，l3分别平行于直线PA，PB，由平行的条件，求得直线方程，代入椭圆方程，化简整理，即可得到所求值．
19．【答案】（1）解：当点 的坐标为 时, ,
所以 ,
因为 的周长恰为 ,所以 ,
由对称性可得 ,
所以 ,则 ,
将点 代入椭圆方程 中,
解得 ,
所以椭圆方程为
（2）解：依题意,设直线 的方程为 ,点 到直线 的距离为 ,联立 ,可得 ,
则 ,得 ,
则 ,
所以 , ,
所以
当且仅当 ,即 时取等号,所以
【考点】椭圆的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由点 的坐标及 关于原点 对称可得 ,再由 的周长恰为 可得 ,则 ,进而求解即可；（2）设直线 的方程为 ,联立 ,利用弦长公式和点到直线距离公式求解即可.
20．【答案】（1）证明：设直线的方程为，，
则，
，
要证，只需证即可，
只需证，只需证.
联立，消去并化简得.
所以，
所以成立，所以.
（2）解：延长交于点，
由（1）得，且，
因为是的中点，所以为的中点.
所以，则，因此，
从而.
由（1）得，
，，
，即.
令，则，
，
因为，，
故的取值范围是.
【考点】椭圆的简单性质；椭圆的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由题意可得， 设直线的方程为， ， 又R是M N的中点R，联立直线AB与椭圆的方程，结合韦达定理可得， 计算即可得出；
(2) 由（1）得，且 ， 从而 ， ， 令，则进而可得的取值范围。
21．【答案】（1）解：设椭圆的半焦距为 ，依题意 ∴ ，
∴所求椭圆方程为
（2）解：设 ， ，
①当 ⊥ 轴时， 为 ，代入 ，得 ，∴ ；
②当 与 轴不垂直时，设直线 的方程为 ，
由已知 ，得 ，
把 代入椭圆方程，整理 ，
， ， ，
∴ ，
当 时， ；
当 时， ，
当且仅当 ，即 时等号成立．
综上所述 ．
∴当 最大时，△ 面积取最大值
【考点】基本不等式在最值问题中的应用；椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）结合椭圆的基本性质，分别计算出a,b，即可得出答案。（2）结合直线与椭圆方程，用k表示AB，结合基本不等式的性质，计算最值，即可得出答案。
22．【答案】（1）解：因为 满足a2=b2+c2， ，
根据椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为 ，可得 ．
从而可解得 ，
所以椭圆方程为
（2）解：①将y=k（x+1）代入 中，消元得（1+3k2）x2+6k2x+3k2﹣5=0
△=36k4﹣4（3k2+1）（3k2﹣5）=48k2+20＞0，
因为AB中点的横坐标为 ，所以 ，解得
②证明：由①知 ，
所以
= =
= = =
【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率，三角形的面积及椭圆几何量之间的关系，建立等式，即可求得椭圆的标准方程；（2）①直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及线段AB中点的横坐标为 ，即可求斜率k的值；②利用韦达定理，及向量的数量积公式，计算即可证得结论．
20