精讲精练·专项突破 第三章《圆锥曲线的方程》单元能力提升（含详细解析） (6)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高二上学期人教版（2019）
第三章 《圆锥曲线的方程》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021·榆林模拟）已知双曲线 ： 的虚轴的一个顶点为 ，直线 与 交于 ， 两点，若 的垂心在 的一条渐近线上，则 的离心率为（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【考点】直线的斜率；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；双曲线的简单性质
【解析】【解答】设 的垂心为 ，则 ，
不妨设 ， ， ， ，
因为 ，
所以则 ， ， ，
故答案为：D．
【分析】根据题意由垂心的几何性质设出点的坐标，再结合直线垂直斜率的坐标公式代入数值即可得到a=b，结合离心率的公式以及双曲线里a、b、c的关系由整体思想即可求出答案。
2．（2021高二上·慈溪期末）双曲线 的两个焦点坐标是（　　）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
【答案】C
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线 中， ，则
又双曲线焦点在y轴，故双曲线 的两个焦点坐标是 和
故答案为：C
【分析】 直接利用双曲线的标准方程，求出a、b、c，即可得到结果.
3．（2022·沈阳模拟）关于双曲线与，下列说法中错误的是（　　）
A．它们的焦距相等 B．它们的顶点相同
C．它们的离心率相等 D．它们的渐近线相同
【答案】B
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由，可得，其焦距为，顶点坐标为，离心率为，渐近线方程为；
由，可得，其焦距为，顶点坐标为，离心率为，渐近线方程为；
所以双曲线与的顶点坐标不同.
故答案为：B.
【分析】根据题意，由两个双曲线的方程计算出两个双曲线的焦点坐标、焦距、渐进性方程以及离心率，进而分析选项即可得答案.
4．（2021高三上·河南月考）抛物线 ： 的焦点为 ，过点 且平行于 轴的直线与线段 的中垂线交于点 ，若点 在抛物线 上，则 （　　）
A． 或 B． 或 C．1或3 D．2或4
【答案】A
【考点】抛物线的定义
【解析】【解答】若 点在抛物线外部，如下图，设线段 的中点为 ，
因为线段 的中垂线是 ，所以 ，
由抛物线定义， 又等于点 到准线 的距离 ，而图中 ，
所以 点不在抛物线外部；
若 点在抛物线内部，如下图，
设线段 的中点为 ， ， ，
因为线段 的中垂线是 ，所以 ，
再由抛物线定义得 ，解得 或 ，
所以 时， ，
时， ，
故答案为：A.
【分析】由抛物线定义， 又等于点 到准线 的距离 ，而图中 ，所以 点不在抛物线外部，由抛物线定义求得p，进而求出答案。
5．（2021·绍兴模拟）已知椭圆 和点 ，若存在过点M的直线交C于P，Q两点，满足 ，则椭圆C的离心率取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】设 是椭圆上的任一点，
，
对称轴为 ，所以 在 上单调递减，
设 ，由题知：只要 即可，
，所以 .
故答案为：C.
【分析】 设 是椭圆上的任一点，求出 ，根据其单调性，将问题转化为 ，其中 ，得出a，c的关系式，由此即可求解.
6．（2021高二上·海淀期末）如图，，是平面上的两点，且，图中的一系列圆是圆心分别为，的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，…，A，B，C，D，E是图中两组同心圆的部分公共点.若点A在以，为焦点的椭圆M上，则（　　）
A．点B和C都在椭圆M上 B．点C和D都在椭圆M上
C．点D和E都在椭圆M上 D．点E和B都在椭圆M上
【答案】C
【考点】椭圆的定义
【解析】【解答】因为，
所以椭圆M中，
因为，,
,,
所以D，E在椭圆M上.
故答案为：C
【分析】根据椭圆的定义，结合已知条件进行判断，可得答案。
7．（2022·疏附模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为2，渐近线方程为，，点N在圆上，则的最小值为（　　）
A．
B．2
C．
D．3
【答案】C
【考点】圆的一般方程；双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为，所以点M在双曲线C右支上，因为渐近线方程为，所以
圆 ，即 ，设圆心为 ,
则有 ，
故答案为：C.
【分析】先根据条件确定M在双曲线右支上，再根据圆的性质以及三角形不等关系求最值.
8．（2022·福建模拟）传说，意大利的西西里岛有个山洞是用来关押罪犯的，罪犯们曾多次密谋商议逃跑，但不管多完美的计划都会被狱率发现，原来山洞内的空间是一个椭球体，最大截面部分是一个椭圆面，罪犯和狱率所待的地方正好是椭圆的两个焦点，罪犯们说的话经过洞壁的反射，最终都传向了狱警所在的地方，即椭圆的另一个焦点，这里面含着椭圆的光学性质.请利用椭圆的该性质解决下列问题：已知是椭圆：上的点.、是椭圆的左右焦点，，为坐标原点，到椭圆在处的切线的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【考点】点到直线的距离公式；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】由椭圆的对称性，不妨设在第一象限.
由椭圆方程 可得半焦距 ，故 ，且 ，
因为 ，故 ，
故 即 ，
所以 ，
故 即 ，故 ，
所以 ，同理 ，
设 的平分线交 轴于 ，则 ，
故 ，故 ，故 ，
由题设中的椭圆性质可得过 切线与 垂直，故切线的斜率为 ，
故切线的方程为： ，
故原点到切线的距离为 ，
故答案为：B
【分析】先求出P的坐标，再求出的角平分线与x的交点，从而可求切线方程，故可得O到椭圆C在P处的切线的距离.
二、多选题
9．（2020高二上·启东期末）已知双曲线的渐近线方程为 ，则（　　）
A．虚轴长是实轴长的2倍
B．离心率是 或
C．过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长是虚轴长的2倍
D．焦点到渐近线的距离等于虚半轴长
【答案】B,D
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】当焦点在 轴上时， ，即 ，即虚轴长是实轴长的2倍
，
焦点 到渐近线 的距离为
过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长为
当焦点在 轴上时， ，即虚轴长是实轴长的 倍
由 得出
焦点 到渐近线 的距离为
过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长为
综上，只有BD符合题意
故答案为：BD
【分析】根据题意由双曲线渐近线的方程判断出焦点的位置，再由双曲线的简单性质结合渐近线的方程结合双曲线里a、b、c的关系即可求出a、b、c的值，由此对选项逐一判断即可得出答案。
10．（2021高二上·浙江月考）已知两监测点间距离为800米，且监测点听到爆炸声的时间比监测点迟2秒，设声速为340米/秒，下列说法正确的是（　　）
A．爆炸点在以为焦点的椭圆上
B．爆炸点在以为焦点的双曲线的一支上
C．若监测点的声强是监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，则爆炸点到监测点的距离为米
D．若监测点的声强是监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，则爆炸点到监测点的距离为米
【答案】B,D
【考点】椭圆的应用；双曲线的应用
【解析】【解答】依题意，两监测点间距离为800米，且监测点听到爆炸声的时间比监测点迟2秒，
设爆炸点为，则，所以爆炸点在以为焦点的双曲线的一支上.所以A选项错误，B选项正确，若监测点的声强是监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，所以，即结合可得，所以C选项错误，D选项正确。
故答案为：BD
【分析】依题意，两监测点间距离为800米，且监测点听到爆炸声的时间比监测点迟2秒，设爆炸点为，则，再利用双曲线的定义，得出爆炸点在以为焦点的双曲线的一支上；再利用监测点的声强是监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，所以，再结合，可得的值，进而找出说法正确的选项。
11．（2021高三上·高邮月考）下列关于 型椭圆C： 的几何性质描述正确的是（　　）
A．图形关于原点成中心对称
B．
C．其中一个顶点坐标是
D．曲线上的点到原点的距离最大值为2
【答案】A,C,D
【考点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】A：对方程 ，用 分别替换 ，可知还是同一个方程，
故该图形关于原点成中心对称，A符合题意；
B：因为 ，故可得 ，解得 ，即 ，B不符合题意；
C：令 ，解得 ，可得 ，故其一个顶点坐标为 ，C符合题意；
D：因为 ，由B知： ，
故可得当 时， 取得最大值 ，故 的最大值为 ，
即曲线上的点到原点的距离最大值为2， 正确.
故答案为： .
【分析】 利用L型椭圆的方程，通过对称性求出 x, y的取值范围，逐项判断选项的正误，即可得答案.
12．（2021高三上·烟台期末）已知抛物线C：的焦点为，点A，B为C上两个相异的动点，则（　　）
A．抛物线C的准线方程为
B．设点，则的最小值为4
C．若A，B，F三点共线，则的最小值为2
D．若，AB的中点M在C的准线上的投影为N，则
【答案】A,B,D
【考点】抛物线的应用
【解析】【解答】对于A，因为抛物线C：的焦点为，所以抛物线C的准线方程为，所以A正确，
对于B，由题意可得抛物线的方程为，则点在抛物线外，如图，过点作垂直准线于，则，当三点共线时，取得最小值，最小值为4，所以B正确，
对于C，由抛物线的性质可得当A，B，F三点共线，且轴时，弦最短为抛物线的通径，所以C错误，
对于D，过分别作垂直准线，垂足分别为，则由梯形中位线定理可得，设，则，在中由余弦定理得，
因为，所以，
所以，所以，当且仅当时取等号，所以D正确。
故答案为：ABD
【分析】利用抛物线C：的焦点为，从而求出抛物线C的准线方程；由题意结合p的值可得抛物线的标准方程，再利用代入法结合点与抛物线的位置关系，从而得出点在抛物线外，过点作垂直准线于结合抛物线的定义，则，当三点共线时，取得最小值，从而求出 的最小值；由抛物线的性质可得当A，B，F三点共线，且轴时，弦最短为抛物线的通径，过分别作垂直准线，垂足分别为，则由梯形中位线定理可得，设，则，在中由余弦定理结合均值不等式求最值的方法，得出，从而找出正确的选项。
三、填空题
13．（2021高三上·灵丘开学考）写出一个与椭圆 有公共焦点的椭圆方程　 　．
【答案】 （答案不唯一）
【考点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题可知椭圆的形式应为 （ ，且 ），可取
故答案为： （答案不唯一）
【分析】根据题意由椭圆的简单性质即可得出m的取值范围。
14．（2021·湖北模拟）已知 分别是双曲线 的左 右焦点，若双曲线 上存在一点 满足 ，则该双曲线的离心率为　 　.
【答案】5
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】设
双曲线的离心率 .
故答案为：5
【分析】由双曲线的定义结合离心率公式求解即可。
15．（2022·赣州模拟）已知，是双曲线：的两个焦点，过作的渐近线的垂线，垂足为.若的面积为，则的离心率为　 　.
【答案】2
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题，，焦点，渐近线方程为，根据点到直线距离公式得，根据勾股定理得，在中，利用等面积法可得，P到x轴的距离，所以，离心率
故答案为：2
【分析】根据已知条件知 ，焦点为，根据点到直线的距离公式得，在中利用等面积法的转换即可求得离心率的值.
16．（2021高三上·巴中月考）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与抛物线在第一象限内交于点 ， ， 为坐标原点.若 ，则 的面积为　 　.
【答案】
【考点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】由 ， 知： 为 的中点，设 ， ，
则 ， ，
设直线 的方程为 ，代入抛物线方程 ，
整理得 ，
由直线 与抛物线 有两个不同的交点，知 ，得 ，
由韦达定理得 ，所以 ，因为 ，所以 ，
所以 。
故答案为： 。
【分析】由 ， 知点 为 的中点，设 ， ，则 ，再利用的面积法结合 ，设直线 的方程为 ，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合判别式法得出实数m的取值范围，再利用韦达定理得出 ，再利用 ，得出 的值 ，再结合三角形的面积公式，从而求出三角形 的面积。
四、解答题
17．（2020高二上·怀仁期末）已知双曲线 的焦点是椭圆C： 的顶点， 为椭圆C的左焦点且椭圆C经过点 .
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的右顶点A作斜率为k( )的直线交椭圆C于另一点B，连结 并延长 交椭圆C于点M，当 的面积取得最大值时，求 的面积.
【答案】（1）解：由已知 ，得 ，
所以C的方程为
（2）解：由已知结合（1）得，
所以设直线 ： ，联立C： 得
，得 ，
，
当且仅当 ，即 时， 的面积取得最大值，
所以 ，此时 ，
所以直线 ： ，联立 ，解得 ，
所以 .
【考点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由已知条件即可得出关于a与b的方程组，求解出结果由此得出椭圆的方程。
(2)由(1)的结论求出点的坐标，然后由点斜式设出直线的方程，再联立直线与椭圆的方程消元后得到关于x的方程，求解出点的坐标，结合三角形的面积公式以及弦长公式整理化简得出由基本不等式即可求出面积的最大值，以及取得最值时k的取值，由此得出直线的方程，联立直线与椭圆的方程消元得到交点的坐标，结合三角形的面积公式以及弦长公式代入数值计算出三角形的面积即可。
18．（2020高二上·丹东期末）世界上单口径最大、灵敏度最高的射电望远镜“中国天眼”-500m 口径抛物面射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面(抛物线绕其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面)，其边缘距离底部的落差约为156.25米，是由我国天文学家南仁东先生于1994年提出构想，历时22年建成，于2016年9月25日落成启用，2020年1月11日，“中国天眼”通过国家验收，投入正式运行，截至2020年11月，“中国天眼”发现脉冲星数量超过240颗.它的一个轴截面是一个开口向上的抛物线 的一部分，放入如图所示的平面直角坐标系内.
（1）求 的方程;
（2）一束平行于 轴的脉冲信号射到 上的 点，反射信号经过 的焦点 后，再由 上点 反射出平行脉冲信号，试确定点 的坐标，使得从入射点 到反射点 的路程最短.
【答案】（1）解：设抛物线 的方程为 ，
根据题意应该是过点
即 ，
所以 ，
故抛物线 的方程为
（2）解：由题意可知，求过 点最小的弦长 ，
根据抛物线的性质，抛物线的通径时最短的弦长，即当 与 轴垂直时弦长最短，
由 ，则焦点为 ，
故当 时， ，
所以 ，
所以 ，
故从入射点 到反射点 的路程最短为 ，此时点 ．
【考点】抛物线的定义；抛物线的应用
【解析】【分析】 (1 )利用题中给出的信息,设出抛物线的标准方程，然后求出p,即可得到答案；
(2 )问题即求过焦点F最短的弦长,转化为求抛物线的通径，即可得到答案.
19．（2021·济南模拟）在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心率 ，且椭圆C上一点N到 距离的最大值为4，过点 的直线交椭圆C于点A、B.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P为椭圆上一点，且满足 （O为坐标原点），当 时，求实数t的取值范围.
【答案】（1）椭圆C的半焦距c， ，即 ，
则椭圆方程为 ，即 ，设 ，
则 ，
当 时， 有最大值 ，即 ，解得 ， ，
故椭圆方程是 ；
（2）设 ， ， ，直线AB的方程为 ，
由 ，整理得 ，
则 ，解得 ， ， ，
因 且 ，则 ，
于是有 ，化简，得 ，则 ，即 ，
所以 ，
由 得 ，则 ， ，
而点P在椭圆上，即 ，化简得 ，
从而有 ，而 ，
于是得 ，解得 或 ，
故实数t的取值范围为 或 .
【考点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据椭圆的性质求出，再把点的坐标代入结合两点间的距离公式，结合二次函数的性质即可得出当 时， 有最大值，结合已知条件求解出a与b的值，由此得出椭圆的方程。
(2)根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于k的两根之和与两根之积的代数式，再由弦长公式整理得到结合已知条件即可得到关于k的不等式求解出k的取值范围，然后由点在椭圆上代入整理得到，结合k的取值范围即可得出t的取值范围。
20．
（1）已知椭圆C的两焦点分别为 ，且经过点 ，求椭圆C的标准方程.
（2）求与双曲线 有相同渐近线，且右焦点为 的双曲线方程.
【答案】（1）解：设椭圆C的标准方程为
则
又
椭圆C的标准方程为
（2）解：设双曲线的方程为 （ 且 ），
因为焦点为 ，因此 ，
则
所求双曲线的方程为
【考点】椭圆的标准方程；双曲线的标准方程
【解析】【分析】（1） 利用椭圆定义求解 ，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2） 设双曲线的方程为 （ 且 ），由焦点为 根据a,b,c的关系即可得 ，即可求出，可得双曲线方程.
21．（2020高二上·迁安期末）已知椭圆C： 的离心率为 ，右焦点为F，上顶点为A，且△AOF的面积为 (O为坐标原点).
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P是椭圆C上的一点，过P的直线与以椭圆的短轴为直径的圆切于第一象限内的一点M，证明：|PF|＋|PM|为定值.
【答案】（1）解：由题意可知：椭圆的离心率e＝ ，则a＝ c.
由△AOF的面积为S＝ ×b×c＝ ，则bc＝1，
由a2＝b2＋c2，解得a＝ ，b＝c＝1.
∴椭圆的标准方程为
（2）解：由(1)知：F(1，0)，以椭圆的短轴为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，
设P( cos θ，sin θ)，且cos θ>0，
则|PF|＝
由M是圆x2＋y2＝1的切点，则OM⊥PM，且|OM|＝1，
则|PM|＝ ＝cos θ，
∴|PF|＋|PM|＝ －cos θ＋cos θ＝ ，
∴|PF|＋|PM|为定值.
【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1) 利用椭圆C： 的离心率为 结合离心率公式，从而求出a,c的关系式，再利用椭圆的右焦点为F，上顶点为A，且△AOF的面积为 (O为坐标原点)，再利用三角形的面积公式，从而求出bc的值，再结合椭圆中a,b,c三者的关系式，从而求出a,b的值，进而求出椭圆的标准方程。
（2）由(1)知：F(1，0)，以椭圆的短轴为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，设P( cos θ，sin θ)，且cos θ>0，再利用两点距离公式结合勾股定理，从而得出|PF|＋|PM|为定值。
22．（2022·福建模拟）设抛物线E：的焦点为F，抛物线上一点满足.
（1）求抛物线E的方程；
（2）两不同直线，均过点F，且交抛物线E于，两点，交抛物线于B，D两点.设直线AB和CD分别与轴交于点和点，求的值.
【答案】（1）解：因为，故，故，
所以，解得，故抛物线的方程为：.
（2）解：设，
设直线，有可得，故，
同理.
若，则，
则直线，
令，则，同理，
所以.
若，则，此时，.
综上，.
【考点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由焦半径公式可得，再代入方程，从而可得关于p的方程，求出其解后可得抛物线的方程.
（2） 设，再 设直线 ，联立抛物线方程和直线AC的方程，利用韦达定理可得 ，同理可得，所以直线，可得，从而可求的值.
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