精讲精练·专项突破 第三章《圆锥曲线的方程》单元能力提升（含详细解析） (8)
文档属性
| 名称 | 精讲精练·专项突破 第三章《圆锥曲线的方程》单元能力提升（含详细解析） (8) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 288.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-18 16:28:06 | ||
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文档简介
精讲精练·专项突破
2021-2022学年高二上学期人教版（2019）
第三章 《圆锥曲线的方程》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2020高二上·金台期末）顶点在原点，经过点 ，且以坐标轴为轴的抛物线的标准方程是（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【答案】D
【考点】抛物线的标准方程
【解析】【解答】设抛物线方程为 ，则 ， ，方程为 ，
或设方程为 ，则 ， ，方程为 ．
所以抛物线方程为 或 ．
故答案为：D．
【分析】根据题意由点在抛物线上把点的坐标代入抛物线的方程计算出m的值，同理即可求出n的值由此即可得到抛物线的方程。
2．（2021高二上·白云期末）已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线的渐近线方程为，
由题意可得即，可得
由可得，
故答案为：A.
【分析】首先由双曲线的简单性质即可求出渐进线的方程，再由双曲线里a、b、c的关系计算出c的取值，由此即可求出离心率的值。
3．（2021高二下·蕲春期中）抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】B
【考点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】由抛物线方程，
得 ，故抛物线焦点到准线距离为 ，
故答案为：B.
【分析】根据抛物线 ，焦点到准线的距离为p，即可得到答案.
4．（2020高二上·金台期末）抛物线 上到直线 的距离最小的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设抛物线 上一点为 ， ，
点 ， 到直线 的距离 ，
当 时，即当 时，抛物线 上一点到直线 的距离最短．
故答案为：A．
【分析】首先设出点的坐标结合点到直线的距离公式即可得出关于x0的一元二次方程，结合二次函数的性质即可求出当点A的坐标为时，距离最短。
5．（2021·汕头模拟）已知椭圆C： 的左 右焦点分别是 ，过 的直线l与C交于A，B两点，设O为坐标原点，若 ，则四边形 面积的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【考点】基本不等式在最值问题中的应用；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】由已知得若 ，故四边形AOBE是平行四边形，其面积是△OAB面积的两倍，下面先求△OAB的面积的最大值.由椭圆的方程的椭圆的右焦点坐标为(1,0)，设直线AB的方程为 ,代入椭圆方程中并整理得：
,
，
令 , ,当 ,即k=0,也就是直线AB与x轴垂直时 面积取得最大值为 ，∴四边形AOBE的面积最大值为 .
故答案为：B.
【分析】根据题意由已知条件即可求出当△OAB的面积的最大值.由椭圆的方程的椭圆的右焦点坐标为(1,0)，设直线AB的方程为 ，再联立直线与椭圆的方程消元后得到得到关于y的方程，结合二次函数的性质对判别式进行限制，再由三角形的面积公式整理得出，令由基本不等式求出最大值，以及取得最值时t的取值，从而计算出面积的最大值即可。
6．（2021·武汉模拟）已知F是抛物线 的焦点，M是C上一点， 的延长线交y轴于点N．若M为 的中点，则 （ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【考点】抛物线的定义
【解析】【解答】不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线 交x轴于点 ，作 于点A， 于点B，如图，
而点 ，M为 的中点，则 ，
所以 。
故答案为：B
【分析】利用已知条件，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线 交x轴于点 ，作 于点A， 于点B，再利用点 ，M为 的中点，从而结合抛物线的定义和中位线的性质，进而求出的值。
7．（2022·辽宁模拟）如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的右支与直线，，围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体．若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，则下列曲线中与双曲线C有共同渐近线的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】依题意，双曲线C：过点，
则有 ，解得 ，因此，双曲线C的渐近线方程为 ，
对于A，双曲线 的渐近线方程为 ，A符合题意；
对于B，双曲线 的渐近线方程为 ，B不正确；
对于C，双曲线 的渐近线方程为 ，C不正确；
对于D，双曲线 的渐近线方程为 ，D不正确.
故答案为：A
【分析】由M,N两点坐标代入双曲线方程可求得渐近线方程，再逐项验证即可。
8．（2022·西南名校模拟）已知分别是双曲线的左、右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆上一动点，则的最小值为（ ）
A．6 B．7 C． D．5
【答案】A
【考点】三点共线；双曲线的应用
【解析】【解答】如图，圆的圆心为，半径为1，，，当，，三点共线时，最小，最小值为，而，所以。
故答案为：A
【分析】利用圆的标准方程得出圆的圆心坐标和半径长，再利用双曲线的标准方程确定焦点的位置，进而求出焦点，再利用双曲线的定义结合两边之和大于第三边的性质，得出，当，，三点共线时，最小，从而求出的最小值，再利用勾股定理得出的值，从而求出的最小值。
二、多选题
9．（2021高二下·海南期末）已知抛物线 焦点与双曲线点 的一个焦点重合，点 在抛物线上，则（ ）
A．双曲线的离心率为2 B．双曲线的渐近线为
C． D．点 到抛物线焦点的距离为6
【答案】A,C
【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由双曲线 ，可得 ，则 ，
所以双曲线的离心率为 ，所以A符合题意；
由双曲线的渐近线为 ，所以B不符合题意；
由抛物线 焦点与双曲线点 的一个焦点重合，
可得 ，解得 ，所以C符合题意；
由抛物线 的准线方程为 ，则点 到其准线的距离为 ，
到焦点的距离也为4，所以D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】根据抛物线与双曲线的性质，逐项进行判断，即可得出答案。
10．（2021·莆田模拟）设 为坐标原点， 是双曲线 的左、右焦点．在双曲线的右支上存在点 满足 ，且线段 的中点 在 轴上，则（ ）
A．双曲线的离心率为 B．双曲线的方程可以是
C． D． 的面积为
【答案】A,C
【考点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：对于A，设 ，因为线段 的中点为 ， 为 的中点，所以 ∥ ，所以 ，由双曲线的定义可得 ，设 ，因为 ，所以 ，则 ，因为 ，所以 ，由 ，得 ，所以 ，所以A符合题意，
对于B，因为 ，所以 ，所以双曲线的渐近线方程为 ，所以B不符合题意，
对于C，因为 为 的中点，所以 ，所以 ，所以 ，即 ，因为 ，所以 ，即 ，即 ，所以可得 ， ，得 ，所以C符合题意；
对于D， ，所以D不符合题意，
故答案为：AC
【分析】 由已知可得,设 ,再由已知结合双曲线定义可得a, b, c与m的关系，即可求得双曲线的离心率及渐近线方程，从而判断A与B;由 为 的中点，得，两边平方后结合双曲线定义联立求得 判断C;进一步求出△PF1F2的面积判断D.
11．（2021高二上·牡丹江月考）已知O为坐标原点，抛物线的焦点为F，A，B为抛物线上的两个动点，M为弦的中点，对A，B，M三点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为C，D，N，则下列说法正确的是（ ）
A．当过焦点F时，为等腰三角形
B．若，则直线的斜率为
C．若，且，则
D．若外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的面积为
【答案】A,D
【考点】抛物线的应用；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】对A，画出图形，如图，因为为中点，又，所以点为中点，则，又，所以，所以为等腰三角形，A正确；
对B，由，得三点共线，，画出其中一种情况，如图，
过点作轴垂线交轴于点，过作轴垂线交轴于点，准线交轴于点,设直线倾斜角为，则，整理得，同理得，整理得，由，解得，进而求得，即直线的斜率为，故B错误；
对C，由，且，设，则，对由余弦定理可得，解得，由中位线定理可知，，则，故C错误；
对D，外接圆与抛物线的准线相切，，则圆心一定在上，由圆心到准线距离可得，所以该圆面积为，故D正确.
故选：AD
【分析】利用为中点，再利用，所以点为中点，则，再利用，所以，从而判断出三角形的形状；由，得三点共线，从而得出，过点作轴垂线交轴于点，过作轴垂线交轴于点，准线交轴于点,设直线倾斜角为，再利用抛物线的定义结合余弦函数的定义，则，同理得出，由，得出角的余弦值，再结合同角三角函数基本关系式得出角的正切值，再利用直线的倾斜角与直线的斜率的关系式，得出直线的斜率；由且，设，则，再由余弦定理可得，由中位线定理可知，，进而得出的值；再利用三角形外接圆与抛物线的准线相切得出的值，从而得出圆心一定在上，由圆心到准线距离可得圆的半径的长，再利用圆的面积公式得出该圆的面积，进而找出说法正确的选项。
12．（2022·福建模拟）下图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作的典范．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的右支与直线，，围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，双曲线C与坐标轴交于D，E，则（ ）
A．双曲线C的方程为
B．双曲线与双曲线C共渐近线
C．存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点
D．存在无数个点，使它与D，E两点的连线的斜率之积为3
【答案】A,B,D
【考点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】依题意可知，，
将、的坐标分别代入，
得，解得，，
所以双曲线C的方程为：，其渐近线为，A符合题意；
对于B，由，可知其渐近线为，B符合题意；
对于C，由双曲线的性质可知，渐近线与双曲线没有交点，与渐近线平行的直线与双曲线有一个交点，故不存在点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点，C不符合题意；
对于D，设双曲线上一点，则，即，
由题可知，
则，，
即存在无数个点，使它与D，E两点的连线的斜率之积为3，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】依题意可知点M,N的坐标，再结合代入法得出a,b的值，进而求出双曲线的标准方程，进而求出双曲线的渐近线方程；再利用双曲线的渐近线方程得出双曲线与双曲线C共渐近线；
由双曲线的性质可知，渐近线与双曲线没有交点，与渐近线平行的直线与双曲线有一个交点，故不存在点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点；设双曲线上一点，再利用代入法得出，由题可知，再利用两点求斜率公式得出存在无数个点，使它与D，E两点的连线的斜率之积为3，进而找出正确的选项。
三、填空题
13．（2021高二上·长安月考）双曲线 的右焦点到直线 的距离为 ．
【答案】
【考点】点到直线的距离公式；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意得c2=a2+b2=4+5=9，
则右焦点为(3,0)到直线 的距离为.
故答案为：
【分析】根据双曲线的简单性质，结合点到直线的距离公式求解即可.
14．（2021·长春模拟）已知双曲线的中心为坐标原点，焦点在x轴上，其一条渐近线的方程为 ，且过点 ，则该双曲线的方程为 .
【答案】
【考点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】设双曲线方程为 ，其渐近线方程为 ，
因为其中一条为 ，所以 ，
又点 在双曲线上，代入双曲线方程得 ，
联立解得 ， ，即双曲线的方程为 .
故答案为：
【分析】根据题意由双曲线的性质即可得出，再由点的坐标代入双曲线的方程整理得出和，由此得出双曲线的方程。
15．（2021·南平模拟）过抛物线 焦点 的直线 交 于 ， 两点，点 在第一象限，若 ，则直线 的倾斜角为 ．
【答案】60°
【考点】抛物线的定义
【解析】【解答】过 作 ， 垂直准线 ，垂足为 ， ，过 作 垂线，垂足为 ，
由抛物线定义知 ， ， ．
所以 ，
又因为 ，所以 ，即直线 的倾斜角为 ．
故答案为：60°.
【分析】 设直线L交准线于C，由抛物线定义知 ， ， ， ，得即可得出抛物线方程．
16．（2021高二上·天津月考）已知椭圆 的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，且 （O为坐标原点）.若 ，则椭圆的离心率为 ．
【答案】
【考点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】 ，
所以 ，又 ，所以 是直角三角形， ，
，
又 ， ，所以 ， ，
，
所以 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合平方差公式合数量积求向量的模的公式，得出 ，再利用 ，所以三角形 是直角三角形，则 ，再利用勾股定理结合焦距的定义得出 ，再利用椭圆的定义得出 ，再结合已知条件 ，所以 ， ，再利用勾股定理得出a,c的关系式，再结合椭圆的离心率公式变形得出椭圆的离心率。
四、解答题
17．（2021高二上·长沙期末）如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．这个圆的圆拱跨度AB=20 m，拱高OP=4 m，建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度．（结果保留两位小数）
【答案】解：以O为原点，AB所在直线为x轴建立坐标系，如图，
则圆心在y轴，设圆心坐标（0，a）．
由题意，P（0，4），A（–10，0），
所以有（a–4）2=a2+100，解得a=–10.5，
所以圆的方程为x2+（y+10.5）2=14.52，
将x=–2代入圆方程，得4+（y+10.5）2=14.52，
整理，得，
解得y=或y=（舍去）．
所以A2P2=≈3.86（m），
即支柱A2P2的高度约为3.86 m．
【考点】抛物线的标准方程；抛物线的应用
【解析】【分析】根据题意把实际问题转化为数学问题，然后建立直角坐标系，结合抛物线的方程把点的坐标代入计算出a的取值，从而得出圆的方程再把点的坐标代入计算出y的取值，由此即可得出答案。
18．（2021高三上·郴州月考）已知椭圆 ： 的左 右焦点分别为 ，点 分别是椭圆 的上 右 左顶点，且 ，点 是 的中点，且 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过点 的直线与椭圆 相交于点 ，若 的面积是 ，求直线 的方程.
【答案】（1）由题意知 ， ，
则 ，
∵点 是 的中点，且 ，
∴ ，
∴ ， ，
故椭圆方程为 .
（2）设 ， ，直线 ： ，
联立方程组 ，得 ，
∴ ， ，
，
∴ ，
∴ .
∴直线 的方程为 或 ，
即直线 的方程为 或 .
【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合向量的坐标表示，从而求出 ， ，再利用数量积的坐标表示得出 的值 ，再结合点 是 的中点，且 ，得出 ，进而求出a的值，从而求出b的值，进而求出椭圆的标准方程。
（2） 设 ， ，直线 的斜截式方程为： ，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合韦达定理，得出 ， ，再利用结合韦达定理得出 ，再结合三角形的面积公式得出 的值，再利用已知条件求出t的值，从而求出直线 的方程。
19．（2020高二上·阳泉期末）已知点 到点 和直线 的距离相等，记点 的轨迹为 .
（1）求轨迹 的方程；
（2）若直线 与轨迹 相交于 ， 两点，求证： .
【答案】（1）解：∵点 到点 和直线 的距离相等，
由抛物线的定义可知：点 的轨迹是抛物线，
设方程为 ，∵ ，∴ .
∴轨迹 的方程为 .
（2）证明：设 的方程为 ，代入抛物线方程，整理可得 ，
设 ， ，则 ， .
∵
∴ ，
∴ .
【考点】轨迹方程；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由已知条件结合抛物线的定义即可得出： 的轨迹是抛物线，再由已知条件的数值计算出p的值，从而得出抛物线的方程。
(2)由设而不求法，设出点的坐标以及直线的方程，再联立直线与抛物线的方程，消元点的关于x的方程，利用韦达定理求出，，由此得到即
，从而得证出结论。
20．（2021·泸县模拟）已知椭圆 ： 的离心率为 ，短轴长为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设不过点 的直线 与 相交于 两点，直线 分别与 轴交于 ， 两点，若 ，证明直线 的斜率是定值，并求出该定值．
【答案】（1）解：由 得 ，
又因为 ，
所以 ，
解得： ， ，
故椭圆 的方程为 ；
（2）当直线 与的斜率不存在时，设直线 ： ，
设 与 相交于 ， 两点，
直线 ： ，直线 ： 分别与 轴相交于两点 ， ，
因为 ，所以 ，
即 ，与已知矛盾，故直线 斜率存在，
设直线 ： ，代入 整理得；
，
设 ， ，则 ，
且 ， ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，
即 ．
所以 ，
整理得： ，
所以 或 ，
当 时，直线 ： 过点 ，不合题意，故舍去．
所以 ，即 ，即直线 的斜率是定值．
【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意列关于a, b, c的方程组，解得a, b的值，则椭圆C的方程可求；
（2）分析当直线 的斜率不存在时，不合题意，故直线 的斜率存在； 设直线 ： 代入椭圆方程，得到关于x的一元二次方程，由 得 ，利用斜率公式结合根与系数的关系即可得到满足条件的k值.
21．（）已知圆与x轴交于A，B两点，动点P满足直线与直线的斜率之乘积为.
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）过点的直线l与曲线E交于M，N两点，则在x轴上是否存在定点Q，使得的值为定值？若存在，求出点Q的坐标和该定值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：令得：，不妨设，，则，整理得：，；动点P的轨迹方程E为，；
（2）解：存在点，使得为定值，理由如下：
当直线l斜率为0时，则直线l为，此时与，无交点，故不合题意，舍去，即直线l斜率不为0
设，直线l设为，则与，联立得：，设，则，所以
当即时，为定值，即存在点使得为定值；
综上：存在点使得为定值.
【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【分析】(1) 设， 由 ，即可求解。
（2）先验证 直线l斜率为0 ，易知不满足；
设 直线l设为 ，联立椭圆方程，可得 ，进而可求得 ，由4m-5=0，即可求解。
22．（2021高三上·上虞期末）已知抛物线：的焦点到准线的距离是．
（1）求抛物线方程；
（2）设点是该抛物线上一定点，过点作圆：（其中）的两条切线分别交抛物线于点A，B，连接AB．探究：直线AB是否过一定点，若过，求出该定点坐标；若不经过定点，请说明理由．
【答案】（1）解：因为抛物线：的焦点到准线的距离是，
所以，
所以抛物线方程为
（2）解：当时，，所以，
设，则直线AB为，即，
因为直线与圆相切，
所以，整理得，
同理直线与圆相切，
可得，
所以可得是方程的两个根，
所以，
代入化简得，，
令，得，
所以直线AB恒过定点
【考点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 利用抛物线：的焦点到准线的距离是，从而求出p的值，进而求出抛物线的标准方程。
（2） 当时结合代入法得出x的值，进而得出点P的坐标，设，再利用两点式求出直线AB的方程，再利用直线与圆相切，结合点到直线的距离公式得出，同理直线与圆相切，可得，所以可得是方程的两个根，再利用韦达定理得出，代入化简得，，令，从而求出直线AB恒过的定点坐标。
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2021-2022学年高二上学期人教版（2019）
第三章 《圆锥曲线的方程》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2020高二上·金台期末）顶点在原点，经过点 ，且以坐标轴为轴的抛物线的标准方程是（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【答案】D
【考点】抛物线的标准方程
【解析】【解答】设抛物线方程为 ，则 ， ，方程为 ，
或设方程为 ，则 ， ，方程为 ．
所以抛物线方程为 或 ．
故答案为：D．
【分析】根据题意由点在抛物线上把点的坐标代入抛物线的方程计算出m的值，同理即可求出n的值由此即可得到抛物线的方程。
2．（2021高二上·白云期末）已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线的渐近线方程为，
由题意可得即，可得
由可得，
故答案为：A.
【分析】首先由双曲线的简单性质即可求出渐进线的方程，再由双曲线里a、b、c的关系计算出c的取值，由此即可求出离心率的值。
3．（2021高二下·蕲春期中）抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】B
【考点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】由抛物线方程，
得 ，故抛物线焦点到准线距离为 ，
故答案为：B.
【分析】根据抛物线 ，焦点到准线的距离为p，即可得到答案.
4．（2020高二上·金台期末）抛物线 上到直线 的距离最小的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设抛物线 上一点为 ， ，
点 ， 到直线 的距离 ，
当 时，即当 时，抛物线 上一点到直线 的距离最短．
故答案为：A．
【分析】首先设出点的坐标结合点到直线的距离公式即可得出关于x0的一元二次方程，结合二次函数的性质即可求出当点A的坐标为时，距离最短。
5．（2021·汕头模拟）已知椭圆C： 的左 右焦点分别是 ，过 的直线l与C交于A，B两点，设O为坐标原点，若 ，则四边形 面积的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【考点】基本不等式在最值问题中的应用；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】由已知得若 ，故四边形AOBE是平行四边形，其面积是△OAB面积的两倍，下面先求△OAB的面积的最大值.由椭圆的方程的椭圆的右焦点坐标为(1,0)，设直线AB的方程为 ,代入椭圆方程中并整理得：
,
，
令 , ,当 ,即k=0,也就是直线AB与x轴垂直时 面积取得最大值为 ，∴四边形AOBE的面积最大值为 .
故答案为：B.
【分析】根据题意由已知条件即可求出当△OAB的面积的最大值.由椭圆的方程的椭圆的右焦点坐标为(1,0)，设直线AB的方程为 ，再联立直线与椭圆的方程消元后得到得到关于y的方程，结合二次函数的性质对判别式进行限制，再由三角形的面积公式整理得出，令由基本不等式求出最大值，以及取得最值时t的取值，从而计算出面积的最大值即可。
6．（2021·武汉模拟）已知F是抛物线 的焦点，M是C上一点， 的延长线交y轴于点N．若M为 的中点，则 （ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【考点】抛物线的定义
【解析】【解答】不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线 交x轴于点 ，作 于点A， 于点B，如图，
而点 ，M为 的中点，则 ，
所以 。
故答案为：B
【分析】利用已知条件，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线 交x轴于点 ，作 于点A， 于点B，再利用点 ，M为 的中点，从而结合抛物线的定义和中位线的性质，进而求出的值。
7．（2022·辽宁模拟）如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的右支与直线，，围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体．若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，则下列曲线中与双曲线C有共同渐近线的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】依题意，双曲线C：过点，
则有 ，解得 ，因此，双曲线C的渐近线方程为 ，
对于A，双曲线 的渐近线方程为 ，A符合题意；
对于B，双曲线 的渐近线方程为 ，B不正确；
对于C，双曲线 的渐近线方程为 ，C不正确；
对于D，双曲线 的渐近线方程为 ，D不正确.
故答案为：A
【分析】由M,N两点坐标代入双曲线方程可求得渐近线方程，再逐项验证即可。
8．（2022·西南名校模拟）已知分别是双曲线的左、右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆上一动点，则的最小值为（ ）
A．6 B．7 C． D．5
【答案】A
【考点】三点共线；双曲线的应用
【解析】【解答】如图，圆的圆心为，半径为1，，，当，，三点共线时，最小，最小值为，而，所以。
故答案为：A
【分析】利用圆的标准方程得出圆的圆心坐标和半径长，再利用双曲线的标准方程确定焦点的位置，进而求出焦点，再利用双曲线的定义结合两边之和大于第三边的性质，得出，当，，三点共线时，最小，从而求出的最小值，再利用勾股定理得出的值，从而求出的最小值。
二、多选题
9．（2021高二下·海南期末）已知抛物线 焦点与双曲线点 的一个焦点重合，点 在抛物线上，则（ ）
A．双曲线的离心率为2 B．双曲线的渐近线为
C． D．点 到抛物线焦点的距离为6
【答案】A,C
【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由双曲线 ，可得 ，则 ，
所以双曲线的离心率为 ，所以A符合题意；
由双曲线的渐近线为 ，所以B不符合题意；
由抛物线 焦点与双曲线点 的一个焦点重合，
可得 ，解得 ，所以C符合题意；
由抛物线 的准线方程为 ，则点 到其准线的距离为 ，
到焦点的距离也为4，所以D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】根据抛物线与双曲线的性质，逐项进行判断，即可得出答案。
10．（2021·莆田模拟）设 为坐标原点， 是双曲线 的左、右焦点．在双曲线的右支上存在点 满足 ，且线段 的中点 在 轴上，则（ ）
A．双曲线的离心率为 B．双曲线的方程可以是
C． D． 的面积为
【答案】A,C
【考点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：对于A，设 ，因为线段 的中点为 ， 为 的中点，所以 ∥ ，所以 ，由双曲线的定义可得 ，设 ，因为 ，所以 ，则 ，因为 ，所以 ，由 ，得 ，所以 ，所以A符合题意，
对于B，因为 ，所以 ，所以双曲线的渐近线方程为 ，所以B不符合题意，
对于C，因为 为 的中点，所以 ，所以 ，所以 ，即 ，因为 ，所以 ，即 ，即 ，所以可得 ， ，得 ，所以C符合题意；
对于D， ，所以D不符合题意，
故答案为：AC
【分析】 由已知可得,设 ,再由已知结合双曲线定义可得a, b, c与m的关系，即可求得双曲线的离心率及渐近线方程，从而判断A与B;由 为 的中点，得，两边平方后结合双曲线定义联立求得 判断C;进一步求出△PF1F2的面积判断D.
11．（2021高二上·牡丹江月考）已知O为坐标原点，抛物线的焦点为F，A，B为抛物线上的两个动点，M为弦的中点，对A，B，M三点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为C，D，N，则下列说法正确的是（ ）
A．当过焦点F时，为等腰三角形
B．若，则直线的斜率为
C．若，且，则
D．若外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的面积为
【答案】A,D
【考点】抛物线的应用；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】对A，画出图形，如图，因为为中点，又，所以点为中点，则，又，所以，所以为等腰三角形，A正确；
对B，由，得三点共线，，画出其中一种情况，如图，
过点作轴垂线交轴于点，过作轴垂线交轴于点，准线交轴于点,设直线倾斜角为，则，整理得，同理得，整理得，由，解得，进而求得，即直线的斜率为，故B错误；
对C，由，且，设，则，对由余弦定理可得，解得，由中位线定理可知，，则，故C错误；
对D，外接圆与抛物线的准线相切，，则圆心一定在上，由圆心到准线距离可得，所以该圆面积为，故D正确.
故选：AD
【分析】利用为中点，再利用，所以点为中点，则，再利用，所以，从而判断出三角形的形状；由，得三点共线，从而得出，过点作轴垂线交轴于点，过作轴垂线交轴于点，准线交轴于点,设直线倾斜角为，再利用抛物线的定义结合余弦函数的定义，则，同理得出，由，得出角的余弦值，再结合同角三角函数基本关系式得出角的正切值，再利用直线的倾斜角与直线的斜率的关系式，得出直线的斜率；由且，设，则，再由余弦定理可得，由中位线定理可知，，进而得出的值；再利用三角形外接圆与抛物线的准线相切得出的值，从而得出圆心一定在上，由圆心到准线距离可得圆的半径的长，再利用圆的面积公式得出该圆的面积，进而找出说法正确的选项。
12．（2022·福建模拟）下图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作的典范．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的右支与直线，，围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，双曲线C与坐标轴交于D，E，则（ ）
A．双曲线C的方程为
B．双曲线与双曲线C共渐近线
C．存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点
D．存在无数个点，使它与D，E两点的连线的斜率之积为3
【答案】A,B,D
【考点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】依题意可知，，
将、的坐标分别代入，
得，解得，，
所以双曲线C的方程为：，其渐近线为，A符合题意；
对于B，由，可知其渐近线为，B符合题意；
对于C，由双曲线的性质可知，渐近线与双曲线没有交点，与渐近线平行的直线与双曲线有一个交点，故不存在点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点，C不符合题意；
对于D，设双曲线上一点，则，即，
由题可知，
则，，
即存在无数个点，使它与D，E两点的连线的斜率之积为3，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】依题意可知点M,N的坐标，再结合代入法得出a,b的值，进而求出双曲线的标准方程，进而求出双曲线的渐近线方程；再利用双曲线的渐近线方程得出双曲线与双曲线C共渐近线；
由双曲线的性质可知，渐近线与双曲线没有交点，与渐近线平行的直线与双曲线有一个交点，故不存在点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点；设双曲线上一点，再利用代入法得出，由题可知，再利用两点求斜率公式得出存在无数个点，使它与D，E两点的连线的斜率之积为3，进而找出正确的选项。
三、填空题
13．（2021高二上·长安月考）双曲线 的右焦点到直线 的距离为 ．
【答案】
【考点】点到直线的距离公式；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意得c2=a2+b2=4+5=9，
则右焦点为(3,0)到直线 的距离为.
故答案为：
【分析】根据双曲线的简单性质，结合点到直线的距离公式求解即可.
14．（2021·长春模拟）已知双曲线的中心为坐标原点，焦点在x轴上，其一条渐近线的方程为 ，且过点 ，则该双曲线的方程为 .
【答案】
【考点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】设双曲线方程为 ，其渐近线方程为 ，
因为其中一条为 ，所以 ，
又点 在双曲线上，代入双曲线方程得 ，
联立解得 ， ，即双曲线的方程为 .
故答案为：
【分析】根据题意由双曲线的性质即可得出，再由点的坐标代入双曲线的方程整理得出和，由此得出双曲线的方程。
15．（2021·南平模拟）过抛物线 焦点 的直线 交 于 ， 两点，点 在第一象限，若 ，则直线 的倾斜角为 ．
【答案】60°
【考点】抛物线的定义
【解析】【解答】过 作 ， 垂直准线 ，垂足为 ， ，过 作 垂线，垂足为 ，
由抛物线定义知 ， ， ．
所以 ，
又因为 ，所以 ，即直线 的倾斜角为 ．
故答案为：60°.
【分析】 设直线L交准线于C，由抛物线定义知 ， ， ， ，得即可得出抛物线方程．
16．（2021高二上·天津月考）已知椭圆 的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，且 （O为坐标原点）.若 ，则椭圆的离心率为 ．
【答案】
【考点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】 ，
所以 ，又 ，所以 是直角三角形， ，
，
又 ， ，所以 ， ，
，
所以 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合平方差公式合数量积求向量的模的公式，得出 ，再利用 ，所以三角形 是直角三角形，则 ，再利用勾股定理结合焦距的定义得出 ，再利用椭圆的定义得出 ，再结合已知条件 ，所以 ， ，再利用勾股定理得出a,c的关系式，再结合椭圆的离心率公式变形得出椭圆的离心率。
四、解答题
17．（2021高二上·长沙期末）如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．这个圆的圆拱跨度AB=20 m，拱高OP=4 m，建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度．（结果保留两位小数）
【答案】解：以O为原点，AB所在直线为x轴建立坐标系，如图，
则圆心在y轴，设圆心坐标（0，a）．
由题意，P（0，4），A（–10，0），
所以有（a–4）2=a2+100，解得a=–10.5，
所以圆的方程为x2+（y+10.5）2=14.52，
将x=–2代入圆方程，得4+（y+10.5）2=14.52，
整理，得，
解得y=或y=（舍去）．
所以A2P2=≈3.86（m），
即支柱A2P2的高度约为3.86 m．
【考点】抛物线的标准方程；抛物线的应用
【解析】【分析】根据题意把实际问题转化为数学问题，然后建立直角坐标系，结合抛物线的方程把点的坐标代入计算出a的取值，从而得出圆的方程再把点的坐标代入计算出y的取值，由此即可得出答案。
18．（2021高三上·郴州月考）已知椭圆 ： 的左 右焦点分别为 ，点 分别是椭圆 的上 右 左顶点，且 ，点 是 的中点，且 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过点 的直线与椭圆 相交于点 ，若 的面积是 ，求直线 的方程.
【答案】（1）由题意知 ， ，
则 ，
∵点 是 的中点，且 ，
∴ ，
∴ ， ，
故椭圆方程为 .
（2）设 ， ，直线 ： ，
联立方程组 ，得 ，
∴ ， ，
，
∴ ，
∴ .
∴直线 的方程为 或 ，
即直线 的方程为 或 .
【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合向量的坐标表示，从而求出 ， ，再利用数量积的坐标表示得出 的值 ，再结合点 是 的中点，且 ，得出 ，进而求出a的值，从而求出b的值，进而求出椭圆的标准方程。
（2） 设 ， ，直线 的斜截式方程为： ，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合韦达定理，得出 ， ，再利用结合韦达定理得出 ，再结合三角形的面积公式得出 的值，再利用已知条件求出t的值，从而求出直线 的方程。
19．（2020高二上·阳泉期末）已知点 到点 和直线 的距离相等，记点 的轨迹为 .
（1）求轨迹 的方程；
（2）若直线 与轨迹 相交于 ， 两点，求证： .
【答案】（1）解：∵点 到点 和直线 的距离相等，
由抛物线的定义可知：点 的轨迹是抛物线，
设方程为 ，∵ ，∴ .
∴轨迹 的方程为 .
（2）证明：设 的方程为 ，代入抛物线方程，整理可得 ，
设 ， ，则 ， .
∵
∴ ，
∴ .
【考点】轨迹方程；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由已知条件结合抛物线的定义即可得出： 的轨迹是抛物线，再由已知条件的数值计算出p的值，从而得出抛物线的方程。
(2)由设而不求法，设出点的坐标以及直线的方程，再联立直线与抛物线的方程，消元点的关于x的方程，利用韦达定理求出，，由此得到即
，从而得证出结论。
20．（2021·泸县模拟）已知椭圆 ： 的离心率为 ，短轴长为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设不过点 的直线 与 相交于 两点，直线 分别与 轴交于 ， 两点，若 ，证明直线 的斜率是定值，并求出该定值．
【答案】（1）解：由 得 ，
又因为 ，
所以 ，
解得： ， ，
故椭圆 的方程为 ；
（2）当直线 与的斜率不存在时，设直线 ： ，
设 与 相交于 ， 两点，
直线 ： ，直线 ： 分别与 轴相交于两点 ， ，
因为 ，所以 ，
即 ，与已知矛盾，故直线 斜率存在，
设直线 ： ，代入 整理得；
，
设 ， ，则 ，
且 ， ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，
即 ．
所以 ，
整理得： ，
所以 或 ，
当 时，直线 ： 过点 ，不合题意，故舍去．
所以 ，即 ，即直线 的斜率是定值．
【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意列关于a, b, c的方程组，解得a, b的值，则椭圆C的方程可求；
（2）分析当直线 的斜率不存在时，不合题意，故直线 的斜率存在； 设直线 ： 代入椭圆方程，得到关于x的一元二次方程，由 得 ，利用斜率公式结合根与系数的关系即可得到满足条件的k值.
21．（）已知圆与x轴交于A，B两点，动点P满足直线与直线的斜率之乘积为.
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）过点的直线l与曲线E交于M，N两点，则在x轴上是否存在定点Q，使得的值为定值？若存在，求出点Q的坐标和该定值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：令得：，不妨设，，则，整理得：，；动点P的轨迹方程E为，；
（2）解：存在点，使得为定值，理由如下：
当直线l斜率为0时，则直线l为，此时与，无交点，故不合题意，舍去，即直线l斜率不为0
设，直线l设为，则与，联立得：，设，则，所以
当即时，为定值，即存在点使得为定值；
综上：存在点使得为定值.
【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【分析】(1) 设， 由 ，即可求解。
（2）先验证 直线l斜率为0 ，易知不满足；
设 直线l设为 ，联立椭圆方程，可得 ，进而可求得 ，由4m-5=0，即可求解。
22．（2021高三上·上虞期末）已知抛物线：的焦点到准线的距离是．
（1）求抛物线方程；
（2）设点是该抛物线上一定点，过点作圆：（其中）的两条切线分别交抛物线于点A，B，连接AB．探究：直线AB是否过一定点，若过，求出该定点坐标；若不经过定点，请说明理由．
【答案】（1）解：因为抛物线：的焦点到准线的距离是，
所以，
所以抛物线方程为
（2）解：当时，，所以，
设，则直线AB为，即，
因为直线与圆相切，
所以，整理得，
同理直线与圆相切，
可得，
所以可得是方程的两个根，
所以，
代入化简得，，
令，得，
所以直线AB恒过定点
【考点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 利用抛物线：的焦点到准线的距离是，从而求出p的值，进而求出抛物线的标准方程。
（2） 当时结合代入法得出x的值，进而得出点P的坐标，设，再利用两点式求出直线AB的方程，再利用直线与圆相切，结合点到直线的距离公式得出，同理直线与圆相切，可得，所以可得是方程的两个根，再利用韦达定理得出，代入化简得，，令，从而求出直线AB恒过的定点坐标。
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