精讲精练·专项突破 第三章《圆锥曲线的方程》单元能力提升（含详细解析） (9)
文档属性
| 名称 | 精讲精练·专项突破 第三章《圆锥曲线的方程》单元能力提升（含详细解析） (9) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 196.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-18 16:28:06 | ||
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文档简介
精讲精练·专项突破
2021-2022学年高二上学期人教版（2019）
第三章 《圆锥曲线的方程》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021高二下·深州月考）已知椭圆 ，若长轴长为8，离心率为 ，则此椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021高三上·上虞期末）双曲线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·青岛模拟）已知双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
4．（2021·洛阳模拟）已知 分别为双曲线 的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点．若 的最小值为8a，则该双曲线的离心率e的取值范围是．
A．(1, 3] B．(1,2] C．[2,3] D．[3,十∞)
5．（2020高二上·怀仁期末）已知点 ， 是双曲线 （ ， ）的左、右顶点， ， 是双曲线的左、右焦点，若 ， 是双曲线上异于 ， 的动点，且直线 ， 的斜率之积为定值 ，则 （ ）
A．2 B． C． D．4
6．若将双曲线 绕其对称中心顺时针旋转120°后可得到某一函数的图象，且该函数在区间 上存在最小值，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
7．（2021·温州模拟）已知定点 ，动点 在圆 上， 的垂直平分线交直线 于点 ，若动点 的轨迹是双曲线，则 的值可以是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
8．（2021高二下·上虞期末）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，以 为直径的圆与双曲线 在第一象限内的交点为 ，直线 与 轴交点为 ， 为坐标原点， ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2020高二上·迁安期末）已知双曲线 的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10．（2021高三上·广东月考）已知双曲线的方程为两点分别是双曲线的左，右顶点，点是双曲线上任意一点（与两点不重合），记直线的斜率分别为，则（ ）
A．双曲线的焦点到渐近线的距离为4
B．若双曲线的实半轴长，虚半轴长同时增加相同的长度，则离心率变大
C．为定值
D．存在实数使得直线与双曲线左，右两支各有一个交点
11．（2020高二上·沧县期末）已知椭圆 的焦距为4，则（ ）
A．椭圆C的焦点在x轴上
B．椭圆C的长轴长是短轴长的 倍
C．椭圆C的离心率为
D．椭圆C上的点到其一个焦点的最大距离为
12．（2021·济南模拟）已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，过 且倾斜角为 的直线与双曲线的右支交于 ， 两点，记 的内切圆 的半径为 ， 的内切圆 的半径为 ，圆 的面积为 ，圆 的面积为 ，则（ ）
A． 的取值范围是
B．直线 与 轴垂直
C．若 ，则
D． 的取值范围是
三、填空题
13．（2021高二下·浦东期中）以坐标原点为顶点，焦点在坐标轴上且经过点的抛物线的方程是 ．
14．（2021·江西模拟）若双曲线C经过点(2，2)，且与双曲线 具有相同渐近线，则双曲线C的标准方程为 ．
15．（2020高二上·上海期末）已知椭圆 的左、右焦点分别是 ， ， 是 上的点.若 ，则 的值为 .
16．（2021高二上·绥化开学考）过双曲线C： 的一个焦点作圆 的两条切线，切点分别为A，B，若 （O是坐标原点），则双曲线线C的离心率为 ．
四、解答题
17．（2020高二上·吕梁期末）已知椭圆 的一个顶点为 ，离心率为 ，对称中心为O，直线 与椭圆C相交于 ， 两点，设A，B两点对应的相关点分别为 ， ，且 ．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）试判断 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．
18．（2021·榆林模拟）已知椭圆 ： 的焦距与椭圆 的焦距相等，且 经过抛物线 的顶点．
（1）求 的方程；
（2）若直线 与 相交于 ， 两点，且 ， 关于直线 ： 对称， 为 的对称中心，且 的面积为 ，求 的值．
19．（2021高二上·绵阳月考）椭圆 的上顶点为 ，右顶点为 ，椭圆 内有一点 ，且 的面积和椭圆的离心率均为 .
（1）求 的标准方程；
（2）以 为圆心，1为半径做圆 ， 为 轴上的两点， 为椭圆上非坐标轴上的点，若直线 均与圆 相切，求 面积的取值范围.
20．（2022·淮北模拟）已知双曲线过点，离心率为，直线交轴于点，过点作直线交双曲线于两点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若是线段的中点，求直线的方程；
（3）设是直线上关于轴对称的两点，直线与的交点是否在一条直线上？请说明你的理由.
21．（2021高二上·河北月考）已知动点到点的距离与到直线的距离相等，动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）已知，不垂直于坐标轴的直线与曲线相交于，两点，是坐标原点，若平分，问直线是否过定点？若过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由.
22．（2021高二下·浦东期中）在平面直角坐标系中，，，曲线上的动点满足，直线过交曲线于、两点．
（1）求曲线的方程；
（2）当时，在轴上方时，求、的坐标；
（3）设，是曲线上的任意一点，若，求证：动点在定圆上运动．
答案解析部分
1．【答案】D
【考点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】因为椭圆 长轴长为8，所以 ，即 ，
又离心率为 ，所以 ，解得： ，
则 = ，
所以椭圆的标准方程为： 。
故答案为：D
【分析】利用椭圆的标准方程求出a,b的值，再利用长轴长公式和离心率公式结合已知条件，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式，进而求出a,b的值，从而求出椭圆的标准方程。
2．【答案】C
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】在双曲线中，，，则，
因此，双曲线的焦点坐标为。
故选：C.
【分析】利用已知条件结合双曲线的标准方程确定焦点的位置，进而求出焦点的坐标。
3．【答案】C
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：C
【分析】 利用双曲线的渐近线的倾斜角求解斜率，得到a，b关系，然后求解离心率即可．
4．【答案】A
【考点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】 .
当且仅当 ，即 时，上式等号成立，这时 .
又 ，即 ，
因此， .
故答案为：A.
【分析】首先根据题意由双曲线的定义结合基本不等式即可求出，由此得出即，再由题意得出即，结合离心率公式代入数值计算出结果即可。
5．【答案】A
【考点】直线的斜率；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】设 ， ， ，则 ， ，
所以 ，
又因为 ，所以 ， ．又因为 ，
所以 ， ，所以 ．
故答案为：A．
【分析】 由已知条件设出点的坐标，由此求出直线的斜率，利用斜率乘积推出a、b关系，结合焦距，转化求解出a的值，由此即可推出|AB|的值。
6．【答案】C
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线 ，令 ，则 ，显然 ，
则一条渐近线方程为 ，
绕其对称中心顺时针旋转120°后可得到某一函数的图象，
则渐近线就需要旋转到与坐标轴重合，
故渐近线方程 的倾斜角为120°，即 ，
该函数在区间 上存在最小值，可知 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：C
【分析】 双曲线，令 ，则 ，显然mn > 0，由题意可得直线，倾斜角等于120°，即，可得双曲线方程，可求双曲线C的离心率 .
7．【答案】A
【考点】双曲线的定义
【解析】【解答】当 在圆内时，设 与圆的另一交点为 ，设点 为弦 的中点,
则 , 线段 的中点 在线段 内，则线段 的中垂线交线段 于点 ，如图1 .
连接 , 则 , 所以
则
此时 的轨迹是以 为焦点的椭圆.
当 在圆上时，线段 的中垂线交线段 于圆心 .
当 在圆外时，设 与圆的另一交点为 ，设点 为弦 的中点,
则 , 线段 的中点 在线段 内，则线段 的中垂线交线段 的延长线于点 ，如图2 .
连接 , 则 , 所以
则
此时 的轨迹是以 为焦点的双曲线的一支.
同理当 在圆上运动时，还会得到
所以动点 的轨迹是双曲线，则 在圆外,所以
故答案为：A
【分析】 画出图形，结合双曲线的定义判断选项的正误即可．
8．【答案】B
【考点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；双曲线的应用
【解析】【解答】解：由题意得，
又由题意知△PF1F2为Rt△，设|PF2|=t，则|PF1|=t+2a，
则
则
即
则t=c
则在△PF1F2中，∠PF1F2=30°
则
则
则
故答案为：B
【分析】根据双曲线的定义与几何性质，结合离心率的解法求解即可.
9．【答案】A,B
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】若双曲线焦点在 轴上，因为渐近线方程为 ，故 ， ；
若双曲线焦点在 轴上，由渐近线方程为 ，得 ， 。
故答案为：AB.
【分析】利用已知条件结合分类讨论的方法，再利用双曲线的焦点的位置，从而求出双曲线的渐近线方程，从而求出a,b的关系式，再利用双曲线中a,b,c三者的关系式从，从而求出a,c的关系式，再利用双曲线的离心率公式变形，从而求出双曲线的离心率。
10．【答案】A,C
【考点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】对于A，因为双曲线的一个焦点，渐近线方程化为，
焦点到渐近线的距离为，故正确；
对于B，双曲线的离心率，若的实半轴长，虚半轴长同时增加相同的长度，则离心率，又，所以，即离心率变小，B不符合题意；
对于C，
，
，
又点在双曲线上，
，
，
（定值），C符合题意；
对于D，双曲线的渐近线方程为，.根据双曲线图象可知直线若与双曲线有两个交点，这两个交点必在双曲线的同一支上，D不符合题意；
故答案为：AC
【分析】由双曲线的简单性质即可判断出选项A正确；结合双曲线的方程以及性质即可判断出选项B错误；由斜率的坐标公式整理化简，再把点的坐标代入到双曲线的方程，计算出结果由此即可判断出选项C正确；由双曲线的简单性质结合直线与双曲线的位置关系，即可判断出选项D错误，从而即可得出答案。
11．【答案】B,C
【考点】两点间距离公式的应用；椭圆的简单性质
【解析】【解答】因为 ，所以 ，所以焦点在 轴上，A不符合题意；
又因为焦距为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以长轴长 ，短轴长 ，所以 ，B符合题意；
因为 ，所以离心率 ，C符合题意；
因为椭圆方程 ，取一个焦点 ，设椭圆上的点 ，
所以 ，
又因为 ，当 时 取最大值，所以 ，D不符合题意；
故答案为：BC.
【分析】利用已知条件结合椭圆焦点位置判断方法，从而确定出椭圆焦点的位置；再利用椭圆的长轴长和短轴长的定义，从而得出椭圆C的长轴长是短轴长的 倍；再利用椭圆的焦点位置确定a,b的值，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式得出c的值，进而求出椭圆的焦距，再利用已知条件求出m的值，再结合椭圆的离心率公式，从而求出椭圆C的离心率，利用椭圆方程 ，取一个焦点 ，设椭圆上的点 ，再利用两点距离公式结合 ，从而求出 的最大值，进而求出椭圆C上的点到其一个焦点的最大距离，从而找出正确的选项。
12．【答案】B,C,D
【考点】直线与圆的位置关系；双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】设 与圆的切点分别为 ,如图，
易知， 横坐标相等，
根据题意得
由双曲线定义知 ，即 ，
可得 ,
设 ，则 ，解得 ，
同理可得 的横坐标也为 ，
所以 轴，B符合题意；
双曲线 的渐近线方程为 ，其倾斜角分别为 ，
因为过 且倾斜角为 的直线与双曲线的右支交于 ， 两点，
所以 的取值范围是 ，A不符合题意；
连接 ,由切线的性质可知 ,
所以 ,
,
即 ，若 ，解得 ，
轴，
， , , C符合题意；
对于D， ， ， ,
，又 ， ，
的取值范围是 ，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】首先根据作出图象再结合双曲线的性质以及定义整理得出，设出圆的圆心坐标由直线与圆相切的性质即可得出，同理得出 的横坐标也为 ，再由直线与双曲线的位置关系以及双曲线渐近线的性质，整理得到结合三角形的几何计算关系整理得出，利用已知条件和三角形的几何关系对选项逐一判断即可得出答案。
13．【答案】或者
【考点】抛物线的标准方程
【解析】【解答】设抛物线方程为或，
则 或 ， ，
所以抛物线方程是 或 。
故答案为： 或 。
【分析】利用已知条件结合代入法，进而得出满足要求的抛物线的标准方程。
14．【答案】
【考点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意，设双曲线C的标准方程为 ，又因为双曲线过点(2，2)，所以 。
【分析】用代入法求出的值，从而求出双曲线的标准方程。
15．【答案】-1
【考点】平面向量数量积的运算；椭圆的定义
【解析】【解答】由题意可知， ，由椭圆的定义知， ，则 ，所以 .
故答案为： .
【分析】根据题意由椭圆的定义以及余弦定理代入数值即可计算出，再把数值代入到数量积的运算公式计算出结果即可。
16．【答案】2
【考点】圆的切线方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：解:如图,
由题知OA⊥AF，OB⊥BF且∠AOB=120°
∴∠AOF=60°，又OA=a， OF=ｃ
∴
∴
故答案为：２
【分析】根据圆的切线的性质，结合双曲线的离心率求解即可.
17．【答案】（1）解：由题意知： ，解得 ，
所以椭圆的方程为 ．
（2）解：设 ， ，则 ， ，
，即 ，
即 ，
， ，
，
代入 ，
得 ，
，
点O到直线AB的距离为 ，
．
所以 的面积为定值 ．
【考点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由已知条件以及椭圆里a、b、c的关系，即可得出关于a、b、c的值，从而得出椭圆的方程。
(2)根据题意设出点的坐标，然后由数量积的坐标公式代入整理即可得到，再联立直线与椭圆的方程消元后得到关于x的方程，结合题意由二次函数根的情况即可得出关于n的不等式，由韦达定理就得出两根之和与两根之积的关于n与k的代数式，然后由弦长公式以及点到直线的距离公式和三角形的面积公式代入整理即可得到，代入数值计算出结果即可。
18．【答案】（1）解：由题意： 的顶点为 ，焦距为
故 ，解得： ， ，所以 的方程为：
（2）解：因为直线 与 相交于 ， 两点，且 ， 关于直线 ： 对称，故直线 垂直AB
所以 ，联立 可得 ，设 ， ， 的中点为 ，则 ， ， ，因为 在直线 ： 上，所以 ，即 ，所以 ，即： ， ， 到直线 的距离 ， ，解得： ，
【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件求出c的值再把点的坐标代入到椭圆的方程结合椭圆里a、b、c的关系，即可求出a与b的值由此得到椭圆的方程。
(2)根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程再由中点的坐标结合韦达定理，以及点到直线的距离公式整理即可得到关于k代数式再由三角形的面积公式代入数值计算出k的值即可。
19．【答案】（1）由题意可得： ， ，因为 ，所以 ，
所以 解得： ，
所以椭圆 的标准方程为： ；
（2）由题意可得：圆 的方程为 ，
设 ， ， ， ， ，
则 的直线方程为： ，即 ，
因为 与圆 相切，
所以圆心 到直线 的距离 ，
所以 ，
整理可得： ，
即 ，①
同理可得： ，②
由①②可得： 为方程 的两个不等实根，
所以 ， ，
所以
，
所以 ，
所以 面积为 .
【考点】点到直线的距离公式；椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1） 由题意可得 求出a,b的值，即可求出 的标准方程；
（2） 圆 的方程为 ，设 ， ， ， ，求出直线 ： ，利用圆心到直线的距离等于半径可得 ，同理可得： ，所以 为方程 的两个不等实根，求出 ， ，计算 ，再计算面积 即可求解。
20．【答案】（1）解：由题意得：，，.
解得，，所以双曲线的标准方程为
（2）解：方法1：设，则
依题意有解得，
所以直线的方程为或.
方法2：设直线的方程为，与双曲线的方程联立得：
.
当时
设，，得，.
又因为，所以，，解得.
此时，所以直线MN的方程为或.
（3）解：方法1：设，，
直线PM的方程为，直线ON的方程，
联立两方程，可得①
结合（2）方法2，可得
代入①得
故.
所以直线PM与QN的交点在定直线上.
方法2设直线MN的方程为，与双曲线的方程联立得：
.
设，，，，由根与系数的关系，得
，.
：，：，联立两方程，可得：
，
解得
所以直线PM与QN的交点在定直线上.
【考点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)由离心率和双曲线过定点，求出 ，， 即可求出双曲线的标准方程；
(2) 方法1： 设出点N坐标，解出点M坐标，由题意可以直接解出直线的方程；
方法2：设直线的方程为，与双曲线的方程联立得：，利用韦达定理即可求出 ，即可求出直线的方程；
(3)联立直线方程和椭圆方程，由韦达定理可以表示出两直线方程，即可得出结论.
21．【答案】（1）解：因为动点到的距离与直线的距离相等，
所以曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，
设的方程为，则
故曲线的方程为；
（2）解：由题意设直线的方程为，
联立消整理得，
，
设，，
则，，
因为平分，所以，
故，
所以，
而
由题知，所以，
所以直线的方程为，
当时，，故直线恒过定点.
【考点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 利用动点到的距离与直线的距离相等，再结合抛物线的定义，所以曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，从而设抛物线的方程为，再利用已知条件求出p的值，从而求出抛物线的标准方程。
（2） 由题意设直线的方程为，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合判别式法和韦达定理，得出，设，，则，，再利用平分，所以，再结合两点求斜率公式得出
，由题知，进而求出n的值，从而求出直线的方程，再利用赋值法得出直线恒过的定点坐标。
22．【答案】（1）解：由椭圆的定义可知动点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，
即，，所以曲线E的方程为
（2）解：设，由题，，
则直线的方程为：；
联立
，
（3）解：设，则，
所以
，即动点在以原点为圆心，以为半径的定圆上运动
【考点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合椭圆的定义，进而得出动点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 进而得出a,c的值，再结合椭圆中a,b,c三者的关系式，进而得出b的值，从而得出椭圆E的标准方程。
（2） 设 ，由题意得出，，，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系，再结合数量积的坐标表示和代入法得出点A的坐标，进而得出直线的方程，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程求出交点B的坐标。
（3） 设 ，再利用代入法，则，再结合平面向量基本定理结合向量的坐标运算，得出，再结合圆的定义，从而证出动点在以原点为圆心，以为半径的定圆上运动。
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2021-2022学年高二上学期人教版（2019）
第三章 《圆锥曲线的方程》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021高二下·深州月考）已知椭圆 ，若长轴长为8，离心率为 ，则此椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021高三上·上虞期末）双曲线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·青岛模拟）已知双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
4．（2021·洛阳模拟）已知 分别为双曲线 的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点．若 的最小值为8a，则该双曲线的离心率e的取值范围是．
A．(1, 3] B．(1,2] C．[2,3] D．[3,十∞)
5．（2020高二上·怀仁期末）已知点 ， 是双曲线 （ ， ）的左、右顶点， ， 是双曲线的左、右焦点，若 ， 是双曲线上异于 ， 的动点，且直线 ， 的斜率之积为定值 ，则 （ ）
A．2 B． C． D．4
6．若将双曲线 绕其对称中心顺时针旋转120°后可得到某一函数的图象，且该函数在区间 上存在最小值，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
7．（2021·温州模拟）已知定点 ，动点 在圆 上， 的垂直平分线交直线 于点 ，若动点 的轨迹是双曲线，则 的值可以是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
8．（2021高二下·上虞期末）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，以 为直径的圆与双曲线 在第一象限内的交点为 ，直线 与 轴交点为 ， 为坐标原点， ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2020高二上·迁安期末）已知双曲线 的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10．（2021高三上·广东月考）已知双曲线的方程为两点分别是双曲线的左，右顶点，点是双曲线上任意一点（与两点不重合），记直线的斜率分别为，则（ ）
A．双曲线的焦点到渐近线的距离为4
B．若双曲线的实半轴长，虚半轴长同时增加相同的长度，则离心率变大
C．为定值
D．存在实数使得直线与双曲线左，右两支各有一个交点
11．（2020高二上·沧县期末）已知椭圆 的焦距为4，则（ ）
A．椭圆C的焦点在x轴上
B．椭圆C的长轴长是短轴长的 倍
C．椭圆C的离心率为
D．椭圆C上的点到其一个焦点的最大距离为
12．（2021·济南模拟）已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，过 且倾斜角为 的直线与双曲线的右支交于 ， 两点，记 的内切圆 的半径为 ， 的内切圆 的半径为 ，圆 的面积为 ，圆 的面积为 ，则（ ）
A． 的取值范围是
B．直线 与 轴垂直
C．若 ，则
D． 的取值范围是
三、填空题
13．（2021高二下·浦东期中）以坐标原点为顶点，焦点在坐标轴上且经过点的抛物线的方程是 ．
14．（2021·江西模拟）若双曲线C经过点(2，2)，且与双曲线 具有相同渐近线，则双曲线C的标准方程为 ．
15．（2020高二上·上海期末）已知椭圆 的左、右焦点分别是 ， ， 是 上的点.若 ，则 的值为 .
16．（2021高二上·绥化开学考）过双曲线C： 的一个焦点作圆 的两条切线，切点分别为A，B，若 （O是坐标原点），则双曲线线C的离心率为 ．
四、解答题
17．（2020高二上·吕梁期末）已知椭圆 的一个顶点为 ，离心率为 ，对称中心为O，直线 与椭圆C相交于 ， 两点，设A，B两点对应的相关点分别为 ， ，且 ．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）试判断 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．
18．（2021·榆林模拟）已知椭圆 ： 的焦距与椭圆 的焦距相等，且 经过抛物线 的顶点．
（1）求 的方程；
（2）若直线 与 相交于 ， 两点，且 ， 关于直线 ： 对称， 为 的对称中心，且 的面积为 ，求 的值．
19．（2021高二上·绵阳月考）椭圆 的上顶点为 ，右顶点为 ，椭圆 内有一点 ，且 的面积和椭圆的离心率均为 .
（1）求 的标准方程；
（2）以 为圆心，1为半径做圆 ， 为 轴上的两点， 为椭圆上非坐标轴上的点，若直线 均与圆 相切，求 面积的取值范围.
20．（2022·淮北模拟）已知双曲线过点，离心率为，直线交轴于点，过点作直线交双曲线于两点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若是线段的中点，求直线的方程；
（3）设是直线上关于轴对称的两点，直线与的交点是否在一条直线上？请说明你的理由.
21．（2021高二上·河北月考）已知动点到点的距离与到直线的距离相等，动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）已知，不垂直于坐标轴的直线与曲线相交于，两点，是坐标原点，若平分，问直线是否过定点？若过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由.
22．（2021高二下·浦东期中）在平面直角坐标系中，，，曲线上的动点满足，直线过交曲线于、两点．
（1）求曲线的方程；
（2）当时，在轴上方时，求、的坐标；
（3）设，是曲线上的任意一点，若，求证：动点在定圆上运动．
答案解析部分
1．【答案】D
【考点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】因为椭圆 长轴长为8，所以 ，即 ，
又离心率为 ，所以 ，解得： ，
则 = ，
所以椭圆的标准方程为： 。
故答案为：D
【分析】利用椭圆的标准方程求出a,b的值，再利用长轴长公式和离心率公式结合已知条件，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式，进而求出a,b的值，从而求出椭圆的标准方程。
2．【答案】C
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】在双曲线中，，，则，
因此，双曲线的焦点坐标为。
故选：C.
【分析】利用已知条件结合双曲线的标准方程确定焦点的位置，进而求出焦点的坐标。
3．【答案】C
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：C
【分析】 利用双曲线的渐近线的倾斜角求解斜率，得到a，b关系，然后求解离心率即可．
4．【答案】A
【考点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】 .
当且仅当 ，即 时，上式等号成立，这时 .
又 ，即 ，
因此， .
故答案为：A.
【分析】首先根据题意由双曲线的定义结合基本不等式即可求出，由此得出即，再由题意得出即，结合离心率公式代入数值计算出结果即可。
5．【答案】A
【考点】直线的斜率；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】设 ， ， ，则 ， ，
所以 ，
又因为 ，所以 ， ．又因为 ，
所以 ， ，所以 ．
故答案为：A．
【分析】 由已知条件设出点的坐标，由此求出直线的斜率，利用斜率乘积推出a、b关系，结合焦距，转化求解出a的值，由此即可推出|AB|的值。
6．【答案】C
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线 ，令 ，则 ，显然 ，
则一条渐近线方程为 ，
绕其对称中心顺时针旋转120°后可得到某一函数的图象，
则渐近线就需要旋转到与坐标轴重合，
故渐近线方程 的倾斜角为120°，即 ，
该函数在区间 上存在最小值，可知 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：C
【分析】 双曲线，令 ，则 ，显然mn > 0，由题意可得直线，倾斜角等于120°，即，可得双曲线方程，可求双曲线C的离心率 .
7．【答案】A
【考点】双曲线的定义
【解析】【解答】当 在圆内时，设 与圆的另一交点为 ，设点 为弦 的中点,
则 , 线段 的中点 在线段 内，则线段 的中垂线交线段 于点 ，如图1 .
连接 , 则 , 所以
则
此时 的轨迹是以 为焦点的椭圆.
当 在圆上时，线段 的中垂线交线段 于圆心 .
当 在圆外时，设 与圆的另一交点为 ，设点 为弦 的中点,
则 , 线段 的中点 在线段 内，则线段 的中垂线交线段 的延长线于点 ，如图2 .
连接 , 则 , 所以
则
此时 的轨迹是以 为焦点的双曲线的一支.
同理当 在圆上运动时，还会得到
所以动点 的轨迹是双曲线，则 在圆外,所以
故答案为：A
【分析】 画出图形，结合双曲线的定义判断选项的正误即可．
8．【答案】B
【考点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；双曲线的应用
【解析】【解答】解：由题意得，
又由题意知△PF1F2为Rt△，设|PF2|=t，则|PF1|=t+2a，
则
则
即
则t=c
则在△PF1F2中，∠PF1F2=30°
则
则
则
故答案为：B
【分析】根据双曲线的定义与几何性质，结合离心率的解法求解即可.
9．【答案】A,B
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】若双曲线焦点在 轴上，因为渐近线方程为 ，故 ， ；
若双曲线焦点在 轴上，由渐近线方程为 ，得 ， 。
故答案为：AB.
【分析】利用已知条件结合分类讨论的方法，再利用双曲线的焦点的位置，从而求出双曲线的渐近线方程，从而求出a,b的关系式，再利用双曲线中a,b,c三者的关系式从，从而求出a,c的关系式，再利用双曲线的离心率公式变形，从而求出双曲线的离心率。
10．【答案】A,C
【考点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】对于A，因为双曲线的一个焦点，渐近线方程化为，
焦点到渐近线的距离为，故正确；
对于B，双曲线的离心率，若的实半轴长，虚半轴长同时增加相同的长度，则离心率，又，所以，即离心率变小，B不符合题意；
对于C，
，
，
又点在双曲线上，
，
，
（定值），C符合题意；
对于D，双曲线的渐近线方程为，.根据双曲线图象可知直线若与双曲线有两个交点，这两个交点必在双曲线的同一支上，D不符合题意；
故答案为：AC
【分析】由双曲线的简单性质即可判断出选项A正确；结合双曲线的方程以及性质即可判断出选项B错误；由斜率的坐标公式整理化简，再把点的坐标代入到双曲线的方程，计算出结果由此即可判断出选项C正确；由双曲线的简单性质结合直线与双曲线的位置关系，即可判断出选项D错误，从而即可得出答案。
11．【答案】B,C
【考点】两点间距离公式的应用；椭圆的简单性质
【解析】【解答】因为 ，所以 ，所以焦点在 轴上，A不符合题意；
又因为焦距为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以长轴长 ，短轴长 ，所以 ，B符合题意；
因为 ，所以离心率 ，C符合题意；
因为椭圆方程 ，取一个焦点 ，设椭圆上的点 ，
所以 ，
又因为 ，当 时 取最大值，所以 ，D不符合题意；
故答案为：BC.
【分析】利用已知条件结合椭圆焦点位置判断方法，从而确定出椭圆焦点的位置；再利用椭圆的长轴长和短轴长的定义，从而得出椭圆C的长轴长是短轴长的 倍；再利用椭圆的焦点位置确定a,b的值，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式得出c的值，进而求出椭圆的焦距，再利用已知条件求出m的值，再结合椭圆的离心率公式，从而求出椭圆C的离心率，利用椭圆方程 ，取一个焦点 ，设椭圆上的点 ，再利用两点距离公式结合 ，从而求出 的最大值，进而求出椭圆C上的点到其一个焦点的最大距离，从而找出正确的选项。
12．【答案】B,C,D
【考点】直线与圆的位置关系；双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】设 与圆的切点分别为 ,如图，
易知， 横坐标相等，
根据题意得
由双曲线定义知 ，即 ，
可得 ,
设 ，则 ，解得 ，
同理可得 的横坐标也为 ，
所以 轴，B符合题意；
双曲线 的渐近线方程为 ，其倾斜角分别为 ，
因为过 且倾斜角为 的直线与双曲线的右支交于 ， 两点，
所以 的取值范围是 ，A不符合题意；
连接 ,由切线的性质可知 ,
所以 ,
,
即 ，若 ，解得 ，
轴，
， , , C符合题意；
对于D， ， ， ,
，又 ， ，
的取值范围是 ，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】首先根据作出图象再结合双曲线的性质以及定义整理得出，设出圆的圆心坐标由直线与圆相切的性质即可得出，同理得出 的横坐标也为 ，再由直线与双曲线的位置关系以及双曲线渐近线的性质，整理得到结合三角形的几何计算关系整理得出，利用已知条件和三角形的几何关系对选项逐一判断即可得出答案。
13．【答案】或者
【考点】抛物线的标准方程
【解析】【解答】设抛物线方程为或，
则 或 ， ，
所以抛物线方程是 或 。
故答案为： 或 。
【分析】利用已知条件结合代入法，进而得出满足要求的抛物线的标准方程。
14．【答案】
【考点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意，设双曲线C的标准方程为 ，又因为双曲线过点(2，2)，所以 。
【分析】用代入法求出的值，从而求出双曲线的标准方程。
15．【答案】-1
【考点】平面向量数量积的运算；椭圆的定义
【解析】【解答】由题意可知， ，由椭圆的定义知， ，则 ，所以 .
故答案为： .
【分析】根据题意由椭圆的定义以及余弦定理代入数值即可计算出，再把数值代入到数量积的运算公式计算出结果即可。
16．【答案】2
【考点】圆的切线方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：解:如图,
由题知OA⊥AF，OB⊥BF且∠AOB=120°
∴∠AOF=60°，又OA=a， OF=ｃ
∴
∴
故答案为：２
【分析】根据圆的切线的性质，结合双曲线的离心率求解即可.
17．【答案】（1）解：由题意知： ，解得 ，
所以椭圆的方程为 ．
（2）解：设 ， ，则 ， ，
，即 ，
即 ，
， ，
，
代入 ，
得 ，
，
点O到直线AB的距离为 ，
．
所以 的面积为定值 ．
【考点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由已知条件以及椭圆里a、b、c的关系，即可得出关于a、b、c的值，从而得出椭圆的方程。
(2)根据题意设出点的坐标，然后由数量积的坐标公式代入整理即可得到，再联立直线与椭圆的方程消元后得到关于x的方程，结合题意由二次函数根的情况即可得出关于n的不等式，由韦达定理就得出两根之和与两根之积的关于n与k的代数式，然后由弦长公式以及点到直线的距离公式和三角形的面积公式代入整理即可得到，代入数值计算出结果即可。
18．【答案】（1）解：由题意： 的顶点为 ，焦距为
故 ，解得： ， ，所以 的方程为：
（2）解：因为直线 与 相交于 ， 两点，且 ， 关于直线 ： 对称，故直线 垂直AB
所以 ，联立 可得 ，设 ， ， 的中点为 ，则 ， ， ，因为 在直线 ： 上，所以 ，即 ，所以 ，即： ， ， 到直线 的距离 ， ，解得： ，
【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件求出c的值再把点的坐标代入到椭圆的方程结合椭圆里a、b、c的关系，即可求出a与b的值由此得到椭圆的方程。
(2)根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程再由中点的坐标结合韦达定理，以及点到直线的距离公式整理即可得到关于k代数式再由三角形的面积公式代入数值计算出k的值即可。
19．【答案】（1）由题意可得： ， ，因为 ，所以 ，
所以 解得： ，
所以椭圆 的标准方程为： ；
（2）由题意可得：圆 的方程为 ，
设 ， ， ， ， ，
则 的直线方程为： ，即 ，
因为 与圆 相切，
所以圆心 到直线 的距离 ，
所以 ，
整理可得： ，
即 ，①
同理可得： ，②
由①②可得： 为方程 的两个不等实根，
所以 ， ，
所以
，
所以 ，
所以 面积为 .
【考点】点到直线的距离公式；椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1） 由题意可得 求出a,b的值，即可求出 的标准方程；
（2） 圆 的方程为 ，设 ， ， ， ，求出直线 ： ，利用圆心到直线的距离等于半径可得 ，同理可得： ，所以 为方程 的两个不等实根，求出 ， ，计算 ，再计算面积 即可求解。
20．【答案】（1）解：由题意得：，，.
解得，，所以双曲线的标准方程为
（2）解：方法1：设，则
依题意有解得，
所以直线的方程为或.
方法2：设直线的方程为，与双曲线的方程联立得：
.
当时
设，，得，.
又因为，所以，，解得.
此时，所以直线MN的方程为或.
（3）解：方法1：设，，
直线PM的方程为，直线ON的方程，
联立两方程，可得①
结合（2）方法2，可得
代入①得
故.
所以直线PM与QN的交点在定直线上.
方法2设直线MN的方程为，与双曲线的方程联立得：
.
设，，，，由根与系数的关系，得
，.
：，：，联立两方程，可得：
，
解得
所以直线PM与QN的交点在定直线上.
【考点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)由离心率和双曲线过定点，求出 ，， 即可求出双曲线的标准方程；
(2) 方法1： 设出点N坐标，解出点M坐标，由题意可以直接解出直线的方程；
方法2：设直线的方程为，与双曲线的方程联立得：，利用韦达定理即可求出 ，即可求出直线的方程；
(3)联立直线方程和椭圆方程，由韦达定理可以表示出两直线方程，即可得出结论.
21．【答案】（1）解：因为动点到的距离与直线的距离相等，
所以曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，
设的方程为，则
故曲线的方程为；
（2）解：由题意设直线的方程为，
联立消整理得，
，
设，，
则，，
因为平分，所以，
故，
所以，
而
由题知，所以，
所以直线的方程为，
当时，，故直线恒过定点.
【考点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 利用动点到的距离与直线的距离相等，再结合抛物线的定义，所以曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，从而设抛物线的方程为，再利用已知条件求出p的值，从而求出抛物线的标准方程。
（2） 由题意设直线的方程为，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合判别式法和韦达定理，得出，设，，则，，再利用平分，所以，再结合两点求斜率公式得出
，由题知，进而求出n的值，从而求出直线的方程，再利用赋值法得出直线恒过的定点坐标。
22．【答案】（1）解：由椭圆的定义可知动点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，
即，，所以曲线E的方程为
（2）解：设，由题，，
则直线的方程为：；
联立
，
（3）解：设，则，
所以
，即动点在以原点为圆心，以为半径的定圆上运动
【考点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合椭圆的定义，进而得出动点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 进而得出a,c的值，再结合椭圆中a,b,c三者的关系式，进而得出b的值，从而得出椭圆E的标准方程。
（2） 设 ，由题意得出，，，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系，再结合数量积的坐标表示和代入法得出点A的坐标，进而得出直线的方程，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程求出交点B的坐标。
（3） 设 ，再利用代入法，则，再结合平面向量基本定理结合向量的坐标运算，得出，再结合圆的定义，从而证出动点在以原点为圆心，以为半径的定圆上运动。
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