精讲精练·专项突破 第三章《圆锥曲线的方程》单元能力提升（含详细解析） (11)
文档属性
| 名称 | 精讲精练·专项突破 第三章《圆锥曲线的方程》单元能力提升（含详细解析） (11) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 124.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-18 16:28:06 | ||
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文档简介
精讲精练·专项突破
2021-2022学年高二上学期人教版（2019）
第三章 《圆锥曲线的方程》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021·海东模拟）双曲线 的渐近线方程为 ，则 （ ）
A．4 B．2 C． D．
2．（2021高二上·绥化开学考）若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2 ，则点P到抛物线的焦点F的距离为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（2021高三上·信阳开学考）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 作一条直线与双曲线右支交于 ， 两点，坐标原点为 ，若 ， ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·盘州模拟）已知双曲线 的右焦点为 ，若 到直线 的距离为 ，则 的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
5．（2021·浙江模拟）已知双曲线方程： （a＞0，b＞0），A点为双曲线的左焦点，M点为双曲线的右顶点，N点的坐标为（0，-b），P为双曲线左支上的移动点，连接AN，MN，MP，AP，若ANMP为平行四边形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（）已知 ， 是抛物线 上的点， 是 轴上的点， 轴， 为等边三角形，则 的横坐标为（ ）
A． B． C．3 D．
7．（2021·林芝模拟）已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（ ）
A．2 B．3 C． D．
8．（）已知椭圆：，过其左焦点作直线l交椭圆于P，A两点，取P点关于x轴的对称点B.若G点为的外心，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．以上都不对
二、多选题
9．（2021高二上·白城期中）已知方程 ＋ ＝1表示的曲线为C.则以下四个判断正确的为（ ）
A．当1＜t＜4时，曲线C表示椭圆
B．当t＞4或t＜1时，曲线C表示双曲线
C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜
D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t＞4
10．（2020高二上·重庆期末）已知 是椭圆 上的一动点，离心率为 ，椭圆与 轴的交点分别为 ，左、右焦点分别为 、 ．下列关于椭圆的四个结论中正确的是（ ）
A．若 的斜率存在且分别为 、 ，则 为一定值．
B．根据光学现象知道：从 发出的光线经过椭圆反射后一定会经过 ．若一束光线从 出发经椭圆反射，当光线第 次到达 时，光线通过的总路程为 ．
C．设 ，则关于 的方程 一定有解．
D．平面内动点 到定点 的距离与它到定直线 距离的比值是一个正常数，则动点 的轨迹是一个椭圆．
11．（2022·烟台模拟）已知双曲线C：，，为C的左、右焦点，则（ ）
A．双曲线和C的离心率相等
B．若P为C上一点，且，则的周长为
C．若直线与C没有公共点，则或
D．在C的左、右两支上分别存在点M，N使得
12．（2021高二下·湖北期中）已知椭圆 ： 的左 右端点分别为 ， ，点 ， 是椭圆 上关于原点对称的两点(异于左右端点)，且 ，则下列说法正确的有（ ）
A．椭圆 的离心率为
B．椭圆 的离心率不确定
C． 的值受点 ， 的位置影响
D． 的最小值为
三、填空题
13．一个正三角形的两个顶点在抛物线 上，另一个顶点是坐标原点，如果这个三角形的面积为36 ，那么 ＝ .
14．（2021高二下·开封期末）已知抛物线 的焦点为 ，直线 过点 交抛物线于 ， 两点，且 ．直线 ， 分别过点 ， ，且与 轴平行，在直线 ， 上分别取点 ， ，（ ， 分别在点 ， 的右侧），分别作 和 的角平分线相交于点 ，则 的面积为 ．
15．（2020高二上·滨州期末）如图，过抛物线 的焦点 的直线 交抛物线于点 ， ，交其准线于点 ，若 ，且 ，则此抛物线的方程为 ．
16．（2022·岳阳模拟）已知抛物线的焦点为F，P为抛物线上一动点，点，当的周长最小时，点P的坐标为 ．
四、解答题
17．（2021高三上·新都月考）已知椭圆 ： 过点 ，离心率为 ，点 、 分别为其左、右焦点．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若 上存在两个点 、 ，椭圆上有两个点 、 ，满足 、 、 三点共线， 、 、 三点共线，且 ，若四边形 的面积为 ，求直线 的方程．
18．（2022·安康模拟）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于两点.
（1）证明：以AB为直径的圆与直线相切；
（2）设(1)中的切点为，且点位于轴上方，若的面积为，求直线的方程.
19．（2021·呼和浩特模拟）如图，抛物线 的焦点为F，四边形DFMN是边长为1的正方形，点M在抛物线E上，过焦点F的直线l交抛物线E于A，B两点（直线l不垂直于x轴），交直线ND于第三象限的点C．
（1）求抛物线E的方程；
（2）若直线MA，MB，MC的斜率分别记为 判断 是否是定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由．
20．（2020高二上·泰州期末）已知 ， 分别是双曲线 的左，右顶点，直线 （不与坐标轴垂直）过点 ，且与双曲线 交于 ， 两点.
（1）若 ，求直线 的方程；
（2）若直线 与 相交于点 ，求证：点 在定直线上.
21．（2021高二上·和平期末）已知椭圆的离心率为，焦距为.斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若，求的最大值；
（Ⅲ）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.若、和点 共线，求.
22．（2020高二上·启东期末）已知椭圆 的长轴长为 ，椭圆 的右焦点到右准线的距离为 .
（1）求椭圆 的方程
（2）若 在椭圆 上且在第一象限， 、 分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线 、 分别交 轴、 轴于点 、 .
①求证： 为定值；
②求 面积的最小值
答案解析部分
1．【答案】A
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意可得 ， ，则 .
故答案为：A.
【分析】 利用已知条件，求解a, b,结合双曲线的渐近线方程，求解m即可.
2．【答案】A
【考点】抛物线的定义；抛物线的标准方程
【解析】【解答】解：由题意可设点P为，代入 y2=4x ，解得x=3，
则点P到准线x=-1的距离d=3+1=4，
根据抛物线的定义易得点P到抛物线的焦点F的距离d=4
故答案为：A
【分析】根据抛物线的定义与标准方程直接求解即可.
3．【答案】B
【考点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：如图,因为|BF|=5a ,所以|BF|=5a-2a=3a，
因为|OA|=c=|FE|，所以∠F1AF2=90°，
在Rt△AF1B中，|AF1|2+|AB|2=|BF1|2, 即(|AF2|+2a)2+(|AF2|+3a)2=(5a)2，
解得|AF2|=a ,
则|AF1|=a+2a=3a，
在Rt△AF1F2中，由a2+(3a)2=(2c)2得
故答案为：B
【分析】根据双曲线的定义及几何性质，结合离心率求解即可.
4．【答案】C
【考点】点到直线的距离公式；双曲线的简单性质
【解析】【解答】 到直线 的距离为 ，
由题意知 ，解得 ，
即 ，又双曲线的离心率 ，
，
故答案为：C.
【分析】 求出右焦点 到渐近线 的距离，即可求出双曲线离心率.
5．【答案】B
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：依题意 ， ， ，因为 为平行四边形，所以 ，因为 在双曲线上，所以 ， 即 ，解得 或 （舍去）
故答案为：B
【分析】依题意表示出A,M,N，再根据四边形 为平行四边形，得到P的坐标，再代入双曲线方程，计算可得。
6．【答案】B
【考点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】设 ， ，
因为 为等边三角形，所以点 为线段 的中垂线与抛物线 的交点，
即 ，且 ，解得 ，从而 .
故答案为：B
【分析】利用三角形ABC是正三角形，可知B是线段AC的中垂线与抛物线的交点，以及B的纵坐标为A的纵坐标的一半，建立数量关系即可得出答案。
7．【答案】B
【考点】抛物线的应用
【解析】【解答】据题意得，设，则，或，因为位于轴两侧所以.所以两面积之和为。
故答案为：B
【分析】利用抛物线的标准方程确定焦点的位置，进而得出焦点F 的坐标，设 ，再利用已知条件结合代入法和位于轴两侧所以，进而结合三角形的面积公式和求和法得出两面积之和，再结合均值不等式求最值的方法得出与面积之和的最小值。
8．【答案】C
【考点】椭圆的简单性质；圆锥曲线的综合
【解析】【解答】根据题意可得，显然直线的斜率存在，故可设其方程为，
联立椭圆方程可得： ，设 ，
故 ， ， ，
故 ，
设 的中点为 ，则其坐标为 ，
显然 轴垂直平分 ，故可设 ，又 直线方程为： ，
令 ，解得 ，故 ，
故 .
故答案为：C.
【分析】设 方程为，联立椭圆方程，由弦长公式可求，设的中点为，由韦达定理及中点坐标公式可得其坐标为，进而得到GH直线方程，即可求，从而解决问题。
9．【答案】B,C,D
【考点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；双曲线的定义；双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：若曲线 ＋ ＝1 ： 表示椭圆，则 解得且 ，故A错误；
若曲线 ＋ ＝1 ： 表示双曲线，则 (4-t)(t-1)<0，解得t<1 或t>4 ，故B正确；
若曲线 ＋ ＝1 ： 表示焦点在x轴上的椭圆，则 ，解得，故C正确；
若曲线 ＋ ＝1 ： 表示焦点在y轴上的双曲线，则 ，解得t>4，故D正确；
故选：BCD
【分析】根据椭圆、双曲线的定义及标准方程求解即可.
10．【答案】A,C
【考点】椭圆的简单性质；余弦定理
【解析】【解答】对于A：由题意知 ，设 ，因为点P在椭圆上，所以 ，
所以 ，即 ，又 ，
所以 ，即 为定值，A符合题意；
对于B：由椭圆性质可知，设P为椭圆上任意一点，则 ，所以第 次到 ，总路程为 ，B不符合题意；
对于C：在 中，由余弦定理得 ，
，
所以 有解，C符合题意；
对于D：由椭圆的第二定义：平面上到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数(即椭圆圆心率)的点的集合．则该常数为小于1的正数，D不符合题意，
故答案为：AC．
【分析】 根据椭圆性质和斜率公式，计算判断A；根据椭圆性质判断B；根据余弦定理和解方程判断C；根据二次曲线定义判断D.
11．【答案】B,C
【考点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】A：双曲线C：的离心率
双曲线 的离心率
则双曲线 和C的离心率不一定相等.判断错误；
B：P为C： 上一点，且
则有 ，整理得
则 的周长为 .判断正确；
C：由 ，可得
由题意可知，方程 无解
当 时，方程 有解；
当 时，则有 ，解之得 或
故若直线 与C没有公共点，则 或 .判断正确；
D：根据题意，过双曲线C的左焦点 的直线 方程可设为
令 ，由 ，可得
由 ，可得
则有 ，则有 ，
整理得 ，显然不成立.
当过双曲线C的左焦点 的直线 为水平直线时，方程为
则 ， ，即 .
综上可知，不存在分别在C的左、右两支上M，N使得 .判断错误.
故答案为：BC
【分析】利用已知条件结合双曲线的离心率公式得出双曲线 和C的离心率不一定相等，再结合已知条件和三角形的周长公式和线线垂直的位置关系得出三角形的周长，再利用直线与双曲线的位置关系，即直线与C没有公共点，得出实数t的取值范围，根据题意，过双曲线C的左焦点的直线方程可设为，令，由结合向量共线的坐标表示得出，再利用直线与双曲线相交，联立二者方程结合韦达定理得出，整理得，显然不成立，当过双曲线C的左焦点的直线为水平直线时，方程为，进而得出点M,N的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用向量共线定理得出，得出不存在分别在C的左、右两支上M，N使得，进而找出正确的选项。
12．【答案】A,D
【考点】直线的斜率；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设 ，则 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以离心率 ，所以A符合题意，B不符合题意；
因为点 ， 是椭圆 上关于原点对称的两点，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，
因为 ，所以 ，不受 ， 位置影响，所以C不符合题意；
设 ，由题意得 ，则有 ，
所以 ，
当且仅当 时取等号，即当 时，即当点 为短轴的端点时 最大，此时 最小， ，
，
所以 ，
所以D符合题意，
故答案为：AD.
【分析】 由题意画出图形，设出P的坐标，结合A1，As的坐标，由，可得，求出備圆的离心車判断A与B；再由四边形A1PA2Q为平行四边形，结合斜率等式判断C；由△A PA2中的边角关系判断D.
13．【答案】
【考点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】由题意可得，正三角形的另外两个顶点关于x轴对称，
设其它两个顶点的坐标分别为 ,
把顶点 代入抛物线方程可得 ，解得 ，
正三角形的边长为 ，
故这个正三角形的面积： =36 ，
解得 ， ．
故答案为： ．
【分析】 根据题意由对称性可得除原点外的另外两个顶点关于x轴对称，由正三角形的面积公式可得正三角形的边长，讨论a>0和a<0，设出另两个顶点的坐标，代入抛物线方程，即可得到所求值．
14．【答案】
【考点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】由抛物线 可得：焦点 ，
作出抛物线的准线 ，设 两点在 上的摄影分别是 ，
连接 、 ，过点 作 于点 ，
设 方程为 ，
由 可得： ，
所以 ，
由抛物线的定义可得： ，解得： ，
所以 ，不妨取 ，则直线 的倾斜角为 ，
因为 轴，所以 ，
因为 轴， 轴，所以 ，
因为 、 分别是 和 的角平分线，
所以 ，可得 ，
因为 是 的角平分线，所以 ，
由二倍角的余弦公式可得 ，
，
在 中， ， ，
所以 的面积为 ，
故答案为： .
【分析】 当直线的斜率不存在时，写出直线的方程，求出|AB|=4，不合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设出点A与B的坐标，联立抛物线的方程，由，求出k的值，再由三角形的面积公式求出△PAB的面积.
15．【答案】
【考点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】设 ，作 垂直准线于点 ，设准线与 轴交于 ，则 ，又 ，得 ，∴ ，所以 ，又 ，所以 为 的中点，所以 ，所以此抛物线的方程为 。所以答案应填： 。
【分析】设 ，作 垂直准线于点 ，设准线与 轴交于 ，则 ，又 ，得 ，∴ ，所以 ，又 ，所以 为 的中点，再利用中点的性质，进而求出p的值，从而求出抛物线的标准方程。
16．【答案】
【考点】抛物线的应用
【解析】【解答】如图，设是抛物线的准线，过P作于H，作于，
则，，，
，易知当三点共线时，最小，且最小值为，
所以的周长最小值为3，此时，，即。
故答案为：。
【分析】设直线是抛物线的准线，过P作于H，作于，则，，，再利用抛物线的定义得出，再结合几何法易知当三点共线时，最小，进而求出最小值，再利用三角形的周长公式得出三角形的周长最小值，进而得出此时对应的点P的坐标。
17．【答案】（1）解：由题意得 ， 可得： ， ，
又因为 ，可得 ， ，
所以椭圆 的标准方程为
（2）解：由（1）知： ，
①当直线 斜率不存在时，直线 的斜率为 ，
易得 ， ， 不符合题意；
②当直线 斜率存在时，设直线方程为 ，
与 联立得 ．
设 ， ，则 ， ，
所以 ，
因为 ，所以直线 的方程为 ，
将直线与椭圆 联立，得 ．
设 ， ，则 ， ，
所以
所以四边形 的面积 ，
所以 ，整理可得： ，
解得： ，即 ．
所以直线 的方程为 和
【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 利用椭圆 ： 过点 结合代入法得出a,b的关系式，再利用椭圆的离心率为 结合椭圆的离心率公式，从而求出a,c的关系式 ，再结合椭圆中a,b,c三者的关系式，从而求出a,b,c的值，进而求出椭圆的标准方程。
（2） 由（1）知椭圆的焦点F的坐标，当直线 斜率不存在时，直线 的斜率为 ，易得 ， ，再利用四边形的面积公式得出 ， 不符合题意；当直线 斜率存在时，设 ， ，再设直线的点斜式方程为 ，与 联立结合韦达定理得出 ， ，再利用弦长公式得出 ，再利用 ，所以两直线垂直斜率之积等于-1，从而设出直线 的点斜式方程为 ，再设 ， ，将直线与椭圆 联立结合韦达定理得出 ， ，再利用弦长公式得出 ，再利用四边形的面积公式结合三角形的面积公式，再利用四边形面积与三角形的面积关系式，得出四边形 的面积 ，再利用已知条件结合一元二次方程求根的方法，从而求出直线的斜率，进而求出直线 的方程。
18．【答案】（1）解：由题意得抛物线的焦点为，准线方程为.
设，
弦AB的中点，
则到准线的距离为，
∴以AB为直径的圆与直线相切.
（2）解：由题可知直线的斜率不能为0，设直线的方程为，
由得,，设，
则，
∴.
点的坐标为，则点到直线AB的距离为，
故，
解得，即，又点位于轴上方，∴，
∴直线的方程为.
【考点】直线与圆的位置关系；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)只需证明AB中点到的距离为即可；
(2)设直线 的方程为，结合(1)中AB长度和△ABP面积，求出m即可.
19．【答案】（1）解： ， ，四边形 是边长为1的正方形，
， ，代入抛物线 方程 得： ，
抛物线 的方程为： ．
（2） 是定值，理由如下：
由（1）可知 ， ， ， ，
设直线 的方程为 ，
联立方程 ，消去 得： ，
设 ， ， ， ，
， ，
联立方程 ，得 ， ，
， ，
，
把 ， 代入得：
，
，
为定值．
【考点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 ( 1 )由F的坐标求出点M的坐标,代入抛物线方程，即可求出p的值,从而得到抛物线E的方程；
（2）由( 1 )可知 ， ， ， 设 ， ， ， ，设直线 的方程为 与抛物线方程联立,利用韦达定理可得 ， ，联立直线与准线方程，求出点C的坐标，利用斜率公式表达出 ,把 ， 代入 的表达式,化简整理,即可得到 为定值.
20．【答案】（1）解：设直线 的方程为 ，设 ， ，把直线 与双曲线
联立方程组， ，可得 ，
则 ，
， ，由 ，可得 ，
即 ①， ②，
把①式代入②式，可得 ，解得 ， ，
即直线 的方程为 或 ．
（2）解：直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
直线 与 的交点为 ，故 ，即 ，
进而得到 ，又 ，
故 ，解得
故点 在定直线 上．
【考点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 （1）根据题意设出直线l的方程为x=my+2，与双曲线的方程联立，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，解方程可得m，进而得到所求直线方程；
（2）首先分别求得直线AC，BD的方程，联立方程计算出再由已知条件计算出x的值由此即可得证出结论。
21．【答案】解：（Ⅰ）由题意得，所以，
又，所以，所以，
所以椭圆的标准方程为；
（Ⅱ）设直线的方程为，
由消去可得，
则，即，
设，，则，，
则，
易得当时，，故的最大值为；
（Ⅲ）设，，，，
则①，②，
又，所以可设，直线的方程为，
由消去可得，
则，即，
又，代入①式可得，所以，
所以，同理可得．
故，，
因为三点共线，所以，
将点的坐标代入化简可得，即．
【考点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 （Ⅰ） 由已知条件即可得出a与c的取值，结合椭圆里a、b、c的关系计算出b的值 从而即可得出椭圆的方程。
（Ⅱ） 根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m的两根之和与两根之积的代数式，结合弦长公式代入整理化简利用二次函数的性质即可求出弦长的最大值。
（Ⅲ） 首先设出点的坐标，并代入到椭圆的方程由此整理化简结合斜率的坐标公式计算出直线的斜率，然后由点斜式求出直线的方程并联立椭圆的方程消元后得到关于x的方程，结合韦达定理计算出，结合斜率的坐标公式整理化简计算出点的坐标，再结合向量的坐标公式以及三点共线的性质定理，代入整理化简计算出k的取值即可。
22．【答案】（1）解：因为椭圆 的长轴长为 ，所以 ，即 .
又因为椭圆 上的右焦点到右准线的距离为 ，所以 ，即 ，
整理可得 ， ，解得 ，所以 ，
所以椭圆 的方程为 ；
（2）解：①设点 ，则直线 ，直线 ，
所以 ， ，
所以 ，
，
所以
，
因为点 在椭圆 上，所以 ，
所以 （定值）；
③
.
当且仅当 ，即 ， 时取等号.
所以 面积的最小值为 .
【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 （1）由已知条件等差a，b，c的关系式，解方程可得a=2，b=1，进而得到椭圆方程；
(2)① 根据题意射出点的坐标由此得出直线的方程，求出直线在坐标轴上的截距由此得到结合题意整理化简即可得出为定值。
③ 首先由已知条件得到三角形的面积公式整理由基本不等式即可求出最小值。
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2021-2022学年高二上学期人教版（2019）
第三章 《圆锥曲线的方程》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021·海东模拟）双曲线 的渐近线方程为 ，则 （ ）
A．4 B．2 C． D．
2．（2021高二上·绥化开学考）若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2 ，则点P到抛物线的焦点F的距离为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（2021高三上·信阳开学考）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 作一条直线与双曲线右支交于 ， 两点，坐标原点为 ，若 ， ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·盘州模拟）已知双曲线 的右焦点为 ，若 到直线 的距离为 ，则 的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
5．（2021·浙江模拟）已知双曲线方程： （a＞0，b＞0），A点为双曲线的左焦点，M点为双曲线的右顶点，N点的坐标为（0，-b），P为双曲线左支上的移动点，连接AN，MN，MP，AP，若ANMP为平行四边形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（）已知 ， 是抛物线 上的点， 是 轴上的点， 轴， 为等边三角形，则 的横坐标为（ ）
A． B． C．3 D．
7．（2021·林芝模拟）已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（ ）
A．2 B．3 C． D．
8．（）已知椭圆：，过其左焦点作直线l交椭圆于P，A两点，取P点关于x轴的对称点B.若G点为的外心，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．以上都不对
二、多选题
9．（2021高二上·白城期中）已知方程 ＋ ＝1表示的曲线为C.则以下四个判断正确的为（ ）
A．当1＜t＜4时，曲线C表示椭圆
B．当t＞4或t＜1时，曲线C表示双曲线
C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜
D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t＞4
10．（2020高二上·重庆期末）已知 是椭圆 上的一动点，离心率为 ，椭圆与 轴的交点分别为 ，左、右焦点分别为 、 ．下列关于椭圆的四个结论中正确的是（ ）
A．若 的斜率存在且分别为 、 ，则 为一定值．
B．根据光学现象知道：从 发出的光线经过椭圆反射后一定会经过 ．若一束光线从 出发经椭圆反射，当光线第 次到达 时，光线通过的总路程为 ．
C．设 ，则关于 的方程 一定有解．
D．平面内动点 到定点 的距离与它到定直线 距离的比值是一个正常数，则动点 的轨迹是一个椭圆．
11．（2022·烟台模拟）已知双曲线C：，，为C的左、右焦点，则（ ）
A．双曲线和C的离心率相等
B．若P为C上一点，且，则的周长为
C．若直线与C没有公共点，则或
D．在C的左、右两支上分别存在点M，N使得
12．（2021高二下·湖北期中）已知椭圆 ： 的左 右端点分别为 ， ，点 ， 是椭圆 上关于原点对称的两点(异于左右端点)，且 ，则下列说法正确的有（ ）
A．椭圆 的离心率为
B．椭圆 的离心率不确定
C． 的值受点 ， 的位置影响
D． 的最小值为
三、填空题
13．一个正三角形的两个顶点在抛物线 上，另一个顶点是坐标原点，如果这个三角形的面积为36 ，那么 ＝ .
14．（2021高二下·开封期末）已知抛物线 的焦点为 ，直线 过点 交抛物线于 ， 两点，且 ．直线 ， 分别过点 ， ，且与 轴平行，在直线 ， 上分别取点 ， ，（ ， 分别在点 ， 的右侧），分别作 和 的角平分线相交于点 ，则 的面积为 ．
15．（2020高二上·滨州期末）如图，过抛物线 的焦点 的直线 交抛物线于点 ， ，交其准线于点 ，若 ，且 ，则此抛物线的方程为 ．
16．（2022·岳阳模拟）已知抛物线的焦点为F，P为抛物线上一动点，点，当的周长最小时，点P的坐标为 ．
四、解答题
17．（2021高三上·新都月考）已知椭圆 ： 过点 ，离心率为 ，点 、 分别为其左、右焦点．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若 上存在两个点 、 ，椭圆上有两个点 、 ，满足 、 、 三点共线， 、 、 三点共线，且 ，若四边形 的面积为 ，求直线 的方程．
18．（2022·安康模拟）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于两点.
（1）证明：以AB为直径的圆与直线相切；
（2）设(1)中的切点为，且点位于轴上方，若的面积为，求直线的方程.
19．（2021·呼和浩特模拟）如图，抛物线 的焦点为F，四边形DFMN是边长为1的正方形，点M在抛物线E上，过焦点F的直线l交抛物线E于A，B两点（直线l不垂直于x轴），交直线ND于第三象限的点C．
（1）求抛物线E的方程；
（2）若直线MA，MB，MC的斜率分别记为 判断 是否是定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由．
20．（2020高二上·泰州期末）已知 ， 分别是双曲线 的左，右顶点，直线 （不与坐标轴垂直）过点 ，且与双曲线 交于 ， 两点.
（1）若 ，求直线 的方程；
（2）若直线 与 相交于点 ，求证：点 在定直线上.
21．（2021高二上·和平期末）已知椭圆的离心率为，焦距为.斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若，求的最大值；
（Ⅲ）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.若、和点 共线，求.
22．（2020高二上·启东期末）已知椭圆 的长轴长为 ，椭圆 的右焦点到右准线的距离为 .
（1）求椭圆 的方程
（2）若 在椭圆 上且在第一象限， 、 分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线 、 分别交 轴、 轴于点 、 .
①求证： 为定值；
②求 面积的最小值
答案解析部分
1．【答案】A
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意可得 ， ，则 .
故答案为：A.
【分析】 利用已知条件，求解a, b,结合双曲线的渐近线方程，求解m即可.
2．【答案】A
【考点】抛物线的定义；抛物线的标准方程
【解析】【解答】解：由题意可设点P为，代入 y2=4x ，解得x=3，
则点P到准线x=-1的距离d=3+1=4，
根据抛物线的定义易得点P到抛物线的焦点F的距离d=4
故答案为：A
【分析】根据抛物线的定义与标准方程直接求解即可.
3．【答案】B
【考点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：如图,因为|BF|=5a ,所以|BF|=5a-2a=3a，
因为|OA|=c=|FE|，所以∠F1AF2=90°，
在Rt△AF1B中，|AF1|2+|AB|2=|BF1|2, 即(|AF2|+2a)2+(|AF2|+3a)2=(5a)2，
解得|AF2|=a ,
则|AF1|=a+2a=3a，
在Rt△AF1F2中，由a2+(3a)2=(2c)2得
故答案为：B
【分析】根据双曲线的定义及几何性质，结合离心率求解即可.
4．【答案】C
【考点】点到直线的距离公式；双曲线的简单性质
【解析】【解答】 到直线 的距离为 ，
由题意知 ，解得 ，
即 ，又双曲线的离心率 ，
，
故答案为：C.
【分析】 求出右焦点 到渐近线 的距离，即可求出双曲线离心率.
5．【答案】B
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：依题意 ， ， ，因为 为平行四边形，所以 ，因为 在双曲线上，所以 ， 即 ，解得 或 （舍去）
故答案为：B
【分析】依题意表示出A,M,N，再根据四边形 为平行四边形，得到P的坐标，再代入双曲线方程，计算可得。
6．【答案】B
【考点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】设 ， ，
因为 为等边三角形，所以点 为线段 的中垂线与抛物线 的交点，
即 ，且 ，解得 ，从而 .
故答案为：B
【分析】利用三角形ABC是正三角形，可知B是线段AC的中垂线与抛物线的交点，以及B的纵坐标为A的纵坐标的一半，建立数量关系即可得出答案。
7．【答案】B
【考点】抛物线的应用
【解析】【解答】据题意得，设，则，或，因为位于轴两侧所以.所以两面积之和为。
故答案为：B
【分析】利用抛物线的标准方程确定焦点的位置，进而得出焦点F 的坐标，设 ，再利用已知条件结合代入法和位于轴两侧所以，进而结合三角形的面积公式和求和法得出两面积之和，再结合均值不等式求最值的方法得出与面积之和的最小值。
8．【答案】C
【考点】椭圆的简单性质；圆锥曲线的综合
【解析】【解答】根据题意可得，显然直线的斜率存在，故可设其方程为，
联立椭圆方程可得： ，设 ，
故 ， ， ，
故 ，
设 的中点为 ，则其坐标为 ，
显然 轴垂直平分 ，故可设 ，又 直线方程为： ，
令 ，解得 ，故 ，
故 .
故答案为：C.
【分析】设 方程为，联立椭圆方程，由弦长公式可求，设的中点为，由韦达定理及中点坐标公式可得其坐标为，进而得到GH直线方程，即可求，从而解决问题。
9．【答案】B,C,D
【考点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；双曲线的定义；双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：若曲线 ＋ ＝1 ： 表示椭圆，则 解得且 ，故A错误；
若曲线 ＋ ＝1 ： 表示双曲线，则 (4-t)(t-1)<0，解得t<1 或t>4 ，故B正确；
若曲线 ＋ ＝1 ： 表示焦点在x轴上的椭圆，则 ，解得，故C正确；
若曲线 ＋ ＝1 ： 表示焦点在y轴上的双曲线，则 ，解得t>4，故D正确；
故选：BCD
【分析】根据椭圆、双曲线的定义及标准方程求解即可.
10．【答案】A,C
【考点】椭圆的简单性质；余弦定理
【解析】【解答】对于A：由题意知 ，设 ，因为点P在椭圆上，所以 ，
所以 ，即 ，又 ，
所以 ，即 为定值，A符合题意；
对于B：由椭圆性质可知，设P为椭圆上任意一点，则 ，所以第 次到 ，总路程为 ，B不符合题意；
对于C：在 中，由余弦定理得 ，
，
所以 有解，C符合题意；
对于D：由椭圆的第二定义：平面上到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数(即椭圆圆心率)的点的集合．则该常数为小于1的正数，D不符合题意，
故答案为：AC．
【分析】 根据椭圆性质和斜率公式，计算判断A；根据椭圆性质判断B；根据余弦定理和解方程判断C；根据二次曲线定义判断D.
11．【答案】B,C
【考点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】A：双曲线C：的离心率
双曲线 的离心率
则双曲线 和C的离心率不一定相等.判断错误；
B：P为C： 上一点，且
则有 ，整理得
则 的周长为 .判断正确；
C：由 ，可得
由题意可知，方程 无解
当 时，方程 有解；
当 时，则有 ，解之得 或
故若直线 与C没有公共点，则 或 .判断正确；
D：根据题意，过双曲线C的左焦点 的直线 方程可设为
令 ，由 ，可得
由 ，可得
则有 ，则有 ，
整理得 ，显然不成立.
当过双曲线C的左焦点 的直线 为水平直线时，方程为
则 ， ，即 .
综上可知，不存在分别在C的左、右两支上M，N使得 .判断错误.
故答案为：BC
【分析】利用已知条件结合双曲线的离心率公式得出双曲线 和C的离心率不一定相等，再结合已知条件和三角形的周长公式和线线垂直的位置关系得出三角形的周长，再利用直线与双曲线的位置关系，即直线与C没有公共点，得出实数t的取值范围，根据题意，过双曲线C的左焦点的直线方程可设为，令，由结合向量共线的坐标表示得出，再利用直线与双曲线相交，联立二者方程结合韦达定理得出，整理得，显然不成立，当过双曲线C的左焦点的直线为水平直线时，方程为，进而得出点M,N的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用向量共线定理得出，得出不存在分别在C的左、右两支上M，N使得，进而找出正确的选项。
12．【答案】A,D
【考点】直线的斜率；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设 ，则 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以离心率 ，所以A符合题意，B不符合题意；
因为点 ， 是椭圆 上关于原点对称的两点，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，
因为 ，所以 ，不受 ， 位置影响，所以C不符合题意；
设 ，由题意得 ，则有 ，
所以 ，
当且仅当 时取等号，即当 时，即当点 为短轴的端点时 最大，此时 最小， ，
，
所以 ，
所以D符合题意，
故答案为：AD.
【分析】 由题意画出图形，设出P的坐标，结合A1，As的坐标，由，可得，求出備圆的离心車判断A与B；再由四边形A1PA2Q为平行四边形，结合斜率等式判断C；由△A PA2中的边角关系判断D.
13．【答案】
【考点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】由题意可得，正三角形的另外两个顶点关于x轴对称，
设其它两个顶点的坐标分别为 ,
把顶点 代入抛物线方程可得 ，解得 ，
正三角形的边长为 ，
故这个正三角形的面积： =36 ，
解得 ， ．
故答案为： ．
【分析】 根据题意由对称性可得除原点外的另外两个顶点关于x轴对称，由正三角形的面积公式可得正三角形的边长，讨论a>0和a<0，设出另两个顶点的坐标，代入抛物线方程，即可得到所求值．
14．【答案】
【考点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】由抛物线 可得：焦点 ，
作出抛物线的准线 ，设 两点在 上的摄影分别是 ，
连接 、 ，过点 作 于点 ，
设 方程为 ，
由 可得： ，
所以 ，
由抛物线的定义可得： ，解得： ，
所以 ，不妨取 ，则直线 的倾斜角为 ，
因为 轴，所以 ，
因为 轴， 轴，所以 ，
因为 、 分别是 和 的角平分线，
所以 ，可得 ，
因为 是 的角平分线，所以 ，
由二倍角的余弦公式可得 ，
，
在 中， ， ，
所以 的面积为 ，
故答案为： .
【分析】 当直线的斜率不存在时，写出直线的方程，求出|AB|=4，不合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设出点A与B的坐标，联立抛物线的方程，由，求出k的值，再由三角形的面积公式求出△PAB的面积.
15．【答案】
【考点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】设 ，作 垂直准线于点 ，设准线与 轴交于 ，则 ，又 ，得 ，∴ ，所以 ，又 ，所以 为 的中点，所以 ，所以此抛物线的方程为 。所以答案应填： 。
【分析】设 ，作 垂直准线于点 ，设准线与 轴交于 ，则 ，又 ，得 ，∴ ，所以 ，又 ，所以 为 的中点，再利用中点的性质，进而求出p的值，从而求出抛物线的标准方程。
16．【答案】
【考点】抛物线的应用
【解析】【解答】如图，设是抛物线的准线，过P作于H，作于，
则，，，
，易知当三点共线时，最小，且最小值为，
所以的周长最小值为3，此时，，即。
故答案为：。
【分析】设直线是抛物线的准线，过P作于H，作于，则，，，再利用抛物线的定义得出，再结合几何法易知当三点共线时，最小，进而求出最小值，再利用三角形的周长公式得出三角形的周长最小值，进而得出此时对应的点P的坐标。
17．【答案】（1）解：由题意得 ， 可得： ， ，
又因为 ，可得 ， ，
所以椭圆 的标准方程为
（2）解：由（1）知： ，
①当直线 斜率不存在时，直线 的斜率为 ，
易得 ， ， 不符合题意；
②当直线 斜率存在时，设直线方程为 ，
与 联立得 ．
设 ， ，则 ， ，
所以 ，
因为 ，所以直线 的方程为 ，
将直线与椭圆 联立，得 ．
设 ， ，则 ， ，
所以
所以四边形 的面积 ，
所以 ，整理可得： ，
解得： ，即 ．
所以直线 的方程为 和
【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 利用椭圆 ： 过点 结合代入法得出a,b的关系式，再利用椭圆的离心率为 结合椭圆的离心率公式，从而求出a,c的关系式 ，再结合椭圆中a,b,c三者的关系式，从而求出a,b,c的值，进而求出椭圆的标准方程。
（2） 由（1）知椭圆的焦点F的坐标，当直线 斜率不存在时，直线 的斜率为 ，易得 ， ，再利用四边形的面积公式得出 ， 不符合题意；当直线 斜率存在时，设 ， ，再设直线的点斜式方程为 ，与 联立结合韦达定理得出 ， ，再利用弦长公式得出 ，再利用 ，所以两直线垂直斜率之积等于-1，从而设出直线 的点斜式方程为 ，再设 ， ，将直线与椭圆 联立结合韦达定理得出 ， ，再利用弦长公式得出 ，再利用四边形的面积公式结合三角形的面积公式，再利用四边形面积与三角形的面积关系式，得出四边形 的面积 ，再利用已知条件结合一元二次方程求根的方法，从而求出直线的斜率，进而求出直线 的方程。
18．【答案】（1）解：由题意得抛物线的焦点为，准线方程为.
设，
弦AB的中点，
则到准线的距离为，
∴以AB为直径的圆与直线相切.
（2）解：由题可知直线的斜率不能为0，设直线的方程为，
由得,，设，
则，
∴.
点的坐标为，则点到直线AB的距离为，
故，
解得，即，又点位于轴上方，∴，
∴直线的方程为.
【考点】直线与圆的位置关系；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)只需证明AB中点到的距离为即可；
(2)设直线 的方程为，结合(1)中AB长度和△ABP面积，求出m即可.
19．【答案】（1）解： ， ，四边形 是边长为1的正方形，
， ，代入抛物线 方程 得： ，
抛物线 的方程为： ．
（2） 是定值，理由如下：
由（1）可知 ， ， ， ，
设直线 的方程为 ，
联立方程 ，消去 得： ，
设 ， ， ， ，
， ，
联立方程 ，得 ， ，
， ，
，
把 ， 代入得：
，
，
为定值．
【考点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 ( 1 )由F的坐标求出点M的坐标,代入抛物线方程，即可求出p的值,从而得到抛物线E的方程；
（2）由( 1 )可知 ， ， ， 设 ， ， ， ，设直线 的方程为 与抛物线方程联立,利用韦达定理可得 ， ，联立直线与准线方程，求出点C的坐标，利用斜率公式表达出 ,把 ， 代入 的表达式,化简整理,即可得到 为定值.
20．【答案】（1）解：设直线 的方程为 ，设 ， ，把直线 与双曲线
联立方程组， ，可得 ，
则 ，
， ，由 ，可得 ，
即 ①， ②，
把①式代入②式，可得 ，解得 ， ，
即直线 的方程为 或 ．
（2）解：直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
直线 与 的交点为 ，故 ，即 ，
进而得到 ，又 ，
故 ，解得
故点 在定直线 上．
【考点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 （1）根据题意设出直线l的方程为x=my+2，与双曲线的方程联立，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，解方程可得m，进而得到所求直线方程；
（2）首先分别求得直线AC，BD的方程，联立方程计算出再由已知条件计算出x的值由此即可得证出结论。
21．【答案】解：（Ⅰ）由题意得，所以，
又，所以，所以，
所以椭圆的标准方程为；
（Ⅱ）设直线的方程为，
由消去可得，
则，即，
设，，则，，
则，
易得当时，，故的最大值为；
（Ⅲ）设，，，，
则①，②，
又，所以可设，直线的方程为，
由消去可得，
则，即，
又，代入①式可得，所以，
所以，同理可得．
故，，
因为三点共线，所以，
将点的坐标代入化简可得，即．
【考点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 （Ⅰ） 由已知条件即可得出a与c的取值，结合椭圆里a、b、c的关系计算出b的值 从而即可得出椭圆的方程。
（Ⅱ） 根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m的两根之和与两根之积的代数式，结合弦长公式代入整理化简利用二次函数的性质即可求出弦长的最大值。
（Ⅲ） 首先设出点的坐标，并代入到椭圆的方程由此整理化简结合斜率的坐标公式计算出直线的斜率，然后由点斜式求出直线的方程并联立椭圆的方程消元后得到关于x的方程，结合韦达定理计算出，结合斜率的坐标公式整理化简计算出点的坐标，再结合向量的坐标公式以及三点共线的性质定理，代入整理化简计算出k的取值即可。
22．【答案】（1）解：因为椭圆 的长轴长为 ，所以 ，即 .
又因为椭圆 上的右焦点到右准线的距离为 ，所以 ，即 ，
整理可得 ， ，解得 ，所以 ，
所以椭圆 的方程为 ；
（2）解：①设点 ，则直线 ，直线 ，
所以 ， ，
所以 ，
，
所以
，
因为点 在椭圆 上，所以 ，
所以 （定值）；
③
.
当且仅当 ，即 ， 时取等号.
所以 面积的最小值为 .
【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 （1）由已知条件等差a，b，c的关系式，解方程可得a=2，b=1，进而得到椭圆方程；
(2)① 根据题意射出点的坐标由此得出直线的方程，求出直线在坐标轴上的截距由此得到结合题意整理化简即可得出为定值。
③ 首先由已知条件得到三角形的面积公式整理由基本不等式即可求出最小值。
20