精讲精练·专项突破 第三章《圆锥曲线的方程》单元能力提升(含详细解析) (13)

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名称 精讲精练·专项突破 第三章《圆锥曲线的方程》单元能力提升(含详细解析) (13)
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资源类型 试卷
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2022-04-18 16:28:06

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精讲精练·专项突破
2021-2022学年高二上学期人教版(2019)
第三章 《圆锥曲线的方程》 单元能力提升(含详细解析)
一、单选题
1.(2020高二上·农安期末)已知抛物线C: ( )的准线为l,圆M: 与l相切,则 (  )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.(2022高二下·河南月考)若双曲线的一个焦点为,则的值为(  )
A. B.-1 C.1 D.
3.已知双曲线 为等轴双曲线,且焦点到渐近线的距离为 ,则该双曲线的方程为(  )
A. B. C. D.
4.(2021高三上·巴中月考)已知双曲线 的左 右焦点分别为 , ,点 在双曲线 的左支上,若 ,且线段 的中点在 轴上,则双曲线 的离心率为(  )
A. B. C.2 D.3
5.(2021高二下·贵溪月考)若抛物线y2= 2px (p>0)上一点P到准线及对称轴的距离分别为10和6, 则p的值等于(  )
A.2或18 B.4或18 C.2或16 D.4或16
6.(2021高三上·五华月考)已知 是双曲线 : 的右焦点, 是坐标原点,过 作 的一条渐近线的垂线,垂足为 ,并交 轴于点 .若 ,则 的离心率为(  )
A. B. C.2 D.
7.(2022·永州模拟)设抛物线的焦点为,为抛物线上的点,且与轴不垂直,在直线上的射影为,若的垂心在抛物线上,则(  )
A.9 B.10 C.11 D.12
8.(2022·浙江模拟)设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线上任意一点,且点P在第一象限,M是线段PF上的点,若,则直线的斜率的最大值为(  )
A. B. C. D.
二、多选题
9.(2021高二上·肇东月考)下列说法正确的是(  )
A.椭圆 比椭圆 形状更接近圆
B.等轴双曲线的离心率为
C.双曲线的实轴长一定大于虚轴长
D.双曲线的离心率越大,图像的张口就越大
10.(2020高二上·张家口期末)已知双曲线C: ,下列对双曲线C判断正确的是(  )
A.实轴长是虚轴长的2倍 B.焦距为4
C.离心率为 D.渐近线方程为
11.(2020高二上·溧阳期末)已知曲线 ,(  )
A.若 ,则 是焦点在 轴上的椭圆
B.若 ,则 是椭圆,且其离心率
C.若 ,则 是双曲线,其渐近线方程为
D.若 ,则 是双曲线,其离心率为 或
12.(2020高二上·梅县期末)如图所示,某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点 变轨进入以月球球心 为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行,之后卫星在点 第二次变轨进入仍以 为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行,最终卫星在点 第三次变轨进入以 为圆心的圆形轨道III绕月飞行,若用 和 分别表示椭圆轨道I和II的焦距,用 和 分别表示椭圆轨道I和II的长轴长,则下列式子正确的是(  )
A. B.
C. D.
三、填空题
13.(2021高二上·延庆期末)抛物线的焦点到准线的距离是   .
14.已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为   .
15.(2020高二上·金山期末)焦点在 轴上,焦距为6,且经过点 的双曲线的标准方程为   .
16.(2021高二上·聊城期中)已知,是椭圆的两个焦点,且椭圆上存在一点P,使得,则椭圆C的离心率的最小值为   .若点M,N分别是圆和椭圆C上的动点,当椭圆C的离心率取得最小值时,的最大值是   .
四、解答题
17.(2020高二上·广安期末)已知点 ,直线 为平面上的动点,过点 作 的垂线,垂足为点 ,且 .
(1)求动点 的轨迹 的方程;
(2)过点 的直线交轨迹 于 两点,交直线 于点 .若 , ,求 的值.
18.(2020高二上·惠州期末)如图,抛物线 与椭圆 相交于两点 、 ,线段 交 轴于点 ,椭圆 短轴的两个端点分别是 、 ,且 .
(1)求抛物线 与椭圆 的标准方程;
(2)设 是线段 上不同于点 的任意一点,直线 、 分别交椭圆 于点 、 ,求证:直线 过定点,并求出该定点的坐标.
19.已知椭圆的焦点恰为椭圆长轴的端点,且的短轴长为2.
(1)求的方程;
(2)若直线与直线平行,且与交于两点,,求的最小值.
20.(2021·长春模拟)在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 为参数 ,以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 的极坐标方程为 .
(1)求曲线 的普通方程与直线 的直角坐标方程;
(2)若直线 与曲线 交于 两点,点 ,求 的值.
21.(2020高二上·重庆期末)已知抛物线 的焦点为 、 为抛物线 上两个不同的动点,当 过 且与 轴平行时 的面积为2.
(1)求抛物线 的方程;
(2)分别过 作 垂直于 轴,若 ,求 与 轴的交点的横轴标的取值范围.
22.(2021·义乌模拟)已知抛物线 ,椭圆 ,点M为椭圆C2上的一个动点,抛物线C1的准线与椭圆C2相交所得的弦长为 . 直线 与抛物线C1交于 两点,线段 分别与抛物线C1交于 两点,恰好满足 .
(1)求椭圆C2的标准方程;
(2)求以 为直径的圆面积的最大值.
答案解析部分
1.【答案】B
【考点】圆的切线方程;抛物线的简单性质
【解析】【解答】解:抛物线 的准线 与圆 相切,可得 ,解得 。
故答案为:B.
【分析】利用抛物线标准方程求出准线方程,再利用直线与圆相切的位置关系判断方法,从而求出p的值。
2.【答案】B
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为双曲线的一个焦点为,
所以 , ,
所以 ,解得 ,
故答案为:B
【分析】 利用双曲线方程以及焦点坐标,列出m的关系式,求解即可.
3.【答案】D
【考点】双曲线的标准方程;双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为曲线 为等轴双曲线,所以 ,则 ,
即焦点的坐标为 ,其渐近线方程为 ,
因为焦点到渐近线的距离为 ,所以 ,
则双曲线的标准方程为 ,即 .
故答案为:D
【分析】利用等轴双曲线的性质以及双曲线里a、b、c的关系,即可求出焦点坐标以及渐近线方程,结合点到直线的距离公式计算出a的值由此得到双曲线的方程。
4.【答案】B
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意,得 ,
故 ,
又因为 的中点在 轴上,故 ,
所以 ,
所以 ,故 。
故答案为:B
【分析】利用已知条件结合双曲线的定义,从而得出 ,故 ,再利用 的中点在 轴上,故 ,再结合几何法和勾股定理得出a,c的关系式,再利用双曲线的离心率公式,从而求出双曲线的离心率。
5.【答案】A
【考点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】设 ,则
,即
解得 或18
故答案为:A
【分析】 根据题意,设,由抛物线的几何性质结合抛物线的方程可得 ,解可得p的值,即可得答案.
6.【答案】A
【考点】直线的斜率;双曲线的简单性质
【解析】【解答】设 ,则 ,
∵ ,∴ ,∴ ,
∴ ,∴ ,∴ ,
∴ 离心率 ,
故答案为:A.
【分析】由已知条件设,由此得出边的大小,再由结合三角形中的几何计算关系计算出的值,结合斜率的公式即可得出a与b的关系,由双曲线里的 a、b 、c 三者的关系,结合离心率公式代入数值计算出结果。
7.【答案】B
【考点】抛物线的简单性质;直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】过点作,垂足为点,设线段交抛物线于点,易知点,
将代入,可得,不妨取点,
设点,则,则,,
由已知可得,即,
因为点与点不重合,则,从而,则点,
因此,。
故答案为:B.
【分析】过点作,垂足为点,设线段交抛物线于点,易知点,将代入,可得y的值,进而得出点,设点,则,再利用向量的坐标表示得出,的坐标表示,再结合数量积的坐标表示结合两向量垂直数量积为0的等价关系,得出,再利用点与点不重合,则,从而,进而求出点,再利用抛物线的定义得出的值。
8.【答案】B
【考点】抛物线的简单性质;直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】如图,
由题可知,设P点坐标为,则
,当且仅当时,等号成立。
故答案为:B.
【分析】利用抛物线的标准方程得出焦点坐标,再利用已知条件设P点坐标为,再利用三角形法则和向量共线定理,从而结合平面向量基本定理和向量的坐标运算,得出向量的坐标,再利用两点求斜率公式结合均值不等式求最值的方法,从而得出直线的斜率的最大值。
9.【答案】B,D
【考点】椭圆的标准方程;椭圆的简单性质;双曲线的简单性质
【解析】【解答】解:椭圆 的标准方程是 ,则 a=6,b=2,
椭圆 中 ,离心率为 ,
因此椭圆比椭圆形状更接近圆,A错;
等轴双曲线的离心率为,B正确,
双曲线的实轴长可以小于虚轴长,C错;
双曲线的离心率越大,假设a不变,则c越大,焦点设顶点越远,图像的张口就越大,D正确.
故选:BD.
【分析】根据椭圆的标准方程与几何性质可判断A,根据双曲线的性质可判断BCD.
10.【答案】B,D
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】∵双曲线C: ∴ . .∴∴ .∴双曲线的实轴长是 ,虚轴长是 ,A不符合题意;焦距为 .B符合题意;离心率为 ,C不符合题意:渐近线方程为 ,D符合题意.
故答案为:BD
【分析】利用双曲线的标准方程确定焦点的位置,从而求出a,b的值,再利用双曲线的长轴长和短轴长的定义,从而得出实轴长和虚轴长的关系;再利用双曲线中a,b,c三者的关系式,从而求出c的值,进而求出双曲线的焦距;再利用双曲线的离心率公式,从而求出双曲线的离心率;再利用双曲线的渐近线方程求解方法得出双曲线的渐近线,进而找出双曲线C判断正确的选项。
11.【答案】A,C,D
【考点】椭圆的标准方程;椭圆的简单性质
【解析】【解答】解:曲线 ,
若 ,则 是焦点在 轴上的椭圆,故 正确;
若 ,则 是椭圆,且 ,故 错误;
若 ,则 是双曲线,其渐近线方程为 ,故 正确;
若 ,则 是双曲线,
当 ,可得双曲线的焦点在 轴上,可得 ,
当 ,可得双曲线的焦点在 轴上,可得 ,故 正确.
故答案为:ACD.
【分析】由椭圆的方程结合焦点的位置即可求出选项A正确;结合椭圆的简单性质即可判断出选项B错误;由双曲线的方程以及简单性质即可判断出选项C正确;由双曲线的焦点位置结合双曲线的方程即可判断出选项D正确,由此即可得出答案。
12.【答案】B,C
【考点】椭圆的简单性质;不等式的基本性质
【解析】【解答】由题图可得 ,A不正确;
,B符合题意;
由 得 ,即 ,
即 ,C符合题意,D不正确.
故答案为:BC
【分析】由图象以及不等式的基本性质即可判断出选项A正确;由椭圆的几何性质即可判断出选项B正确;由选项B的结论变形即可判断出选项C正确、D错误;由此即可得出答案。
13.【答案】4
【考点】抛物线的定义
【解析】【解答】由y2=2px=8x知p=4,又焦点到准线的距离就是p,所以焦点到准线的距离为4.
【分析】根据抛物线的方程求出p的值,即可求得焦点到准线的距离 。
14.【答案】
【考点】轨迹方程;圆与圆的位置关系及其判定;双曲线的标准方程
【解析】【解答】如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.
根据两圆外切的条件,
得|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|,
因为|MA|=|MB|,
所以|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|,
即|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2,
所以点M到两定点C1,C2的距离的差是常数且小于|C1C2|=6.
又根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小),其中a=1,c=3,则b2=8.故点M的轨迹方程为 .
故答案为:
【分析】根据题意设出动圆的心坐标以及半径,由题意即可出|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2,是常数且小于|C1C2|=6,由此得出点M的轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线的左支,由双曲线的性质计算出a与b的值由此得到双曲线的方程即为点M的轨迹方程。
15.【答案】
【考点】双曲线的标准方程;双曲线的简单性质
【解析】【解答】焦点在x轴上,焦距为6,c=3,且经过点 可得 ,
所以 .
双曲线的标准方程为: .
故答案为 .
【分析】由已知条件即可得出a与c的值,再由双曲线里a、b、c的关系式,计算出b的取值,由此得出双曲线的方程。
16.【答案】;
【考点】椭圆的简单性质;椭圆的应用
【解析】【解答】如图所示:
当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时,
P对两个焦点的张角渐渐增大,
当且仅当P点位于短轴端点处时,张角达到最大值,
由椭圆上存在一点P,使得,可得中,,
可得中,,
所以,即,
所以椭圆离心率e的最小值,由,,,
解得,,
圆的圆心,半径,
,,
而当取得最大值时,取得最大值,
所以当共线时,取得最大值,
所以,

故答案为:,。
【分析】当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时,点P对两个焦点的张角渐渐增大,当且仅当P点位于短轴端点处时,张角达到最大值,由椭圆上存在一点P,使得,可得在中,,可得中,,再利用正弦函数的图像的单调性,得出,再利用正弦函数的定义结合椭圆的离心率公式得出椭圆离心率e的最小值;再由结合椭圆中a,b,c三者的关系式,得出a,c的关系式,再结合椭圆的离心率公式得出a,c的值,再利用圆D的标准方程求出圆心坐标和半径长,再利用椭圆的定义得出的值,从而得出,而当取得最大值时,取得最大值,所以当共线时,取得最大值,进而求出当椭圆C的离心率取得最小值时,的最大值。
17.【答案】(1)解:设点 ,则 ,由 ,
得 , 化简得曲线 的方程为 ;
(2)解:由于直线 不能垂直于 轴,且又过 轴上的定点,
设直线 的方程为 ,则 ,
设 , ,联立方程组
消去 得 , ,故
由 , ,得
利用对应的纵坐标相等,得 , ,整理得 , ,
所以 .
【考点】数量积的坐标表达式;抛物线的简单性质;曲线与方程;直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由已知条件即可设出点的坐标,由此即可求出向量的坐标,结合数量积的坐标公式整理即可得出曲线的方程。
(2)根据题意设出直线的方程,由直线的方程求出点的坐标,再联立直线与抛物线的方程消元后得到关于y的方程,结合韦达定理即可求出关于m的两根之和与两根之积的代数式,然后由向量的坐标公式整理得到,整理即可得到的值。
18.【答案】(1)解:设抛物线 与椭圆 的方程分别为 和 ,
由点 在抛物线 上,得 ,所以 ,
故抛物线 的标准方程为 .
因为 , ,又 ,且 ,
所以 ,得 .
由点 在椭圆 上,所以 ,得 .
故椭圆 的标准方程为 .
(2)解:设 ,其中 ,且 ,
则直线 、 的方程分别为 , .
将 代入 ,整理得 ,得 或 .
当 时, ,所以
同理可得 ,
所以直线 的斜率 ,
故直线 的方程为 .
所以当 时, ,这说明直线 恒过定点 .
【考点】椭圆的标准方程;抛物线的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)设抛物线C与椭圆E的方程分别为 和 ,把点P坐标代入抛物线C上,解得p的值,再由 ,用坐标表示可解得b的值,把点P代入椭圆E方程,解得a2,进而可得答案;
(2)设T(t,1),其中 ,且 ,写出直线AT、BT的方程,联立椭圆的方程,解得M, N坐标,进而可得直线MN的方程,进而可得答案.
19.【答案】(1)由题意可得
解得
故的方程为;
(2)设直线的方程为,
联立得.
设,则,
,即且.
所以,
因为且,
所以当时,取得最小值,且最小值为,
故的最小值为.
【考点】数量积的坐标表达式;椭圆的标准方程;椭圆的简单性质;直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由已知条件结合椭圆的简单性质即可得出a与b的取值,从而考虑得出椭圆的方程。
(2)根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程,消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m的两根之和与两根之积的代数式,然后由数量积的坐标公式代入整理化简得到,然后由二次函数的图象和性质计算出最小值即可。
20.【答案】(1)解:由题得 ,平方相加即得曲线 的普通方程为 ,
因为 ,所以 ,
所以直线 的直角坐标方程为
(2)解:由题得点 在直线 上,直线的参数方程为 ,
代入椭圆的方程得 ,
所以 .
所以
【考点】椭圆的简单性质;直线与圆锥曲线的综合问题;点的极坐标和直角坐标的互化;参数方程化成普通方程
【解析】【分析】(1)根据题意由参数方程和普通方程互化整理即可得出普通方程,再由极坐标和普通方程的互化公式整理即可得出直线的方程。
(2)由已知条件整理得到直线的参数方程,再联立直线与椭圆的方程,结合韦达定理整理得到,由两点间的距离公式代入数值计算出结果即可。
21.【答案】(1)解:当 过 且与 轴平行时 ,

抛物线 的方程为
(2)解:设 , 与 轴的焦点设为 ,由抛物线的几何图形可知无论 , 位于 轴的同侧或异侧,都有 ,
, ,
又 时三角形 不存在

与 轴的交点的横轴标的取值范围是
【考点】椭圆的定义;椭圆的简单性质
【解析】【分析】 (1)直接利用三角形OMH的面积列式求解p,可得抛物线方程;
(2) 设 ,再设 与 轴的焦点设为 ,由图可得 , 结合 ,得 ,即1>3|m-1|,由此求得m的取值范围.
22.【答案】(1)抛物线C1的准线方程
因为抛物线C1的准线与椭圆C2相交的弦长
所以抛物线C1的准线与椭圆C2交点
得 得
∴椭圆C2的标准方程为
(2) 两点是 的中点

可得
由点S在抛物线上,有 化简得
同理
是 的两个根,
,解得
根据点M在椭圆上,所以
令 ,
则 ,
在 上恒成立
所以 在 上单调递减. 则
所以 在 上单调递减.
所以 时, 取到最大值64
,此时以 为直径的圆面积的最大值为 .
【考点】椭圆的标准方程;抛物线的简单性质;直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)首先由题意求出抛物线的准线方程,再由已知条件求出抛物线C1的准线与椭圆C2交点的坐标,再把点的坐标代入椭圆的方程求出b的值,从而得到椭圆的方程。
(2)结合题意设出点的坐标,再由中点的性质得出点S、T的坐标,并把点的坐标代入到抛物线的方程,整理得到 同理 ,结合二次函数根的存在性对判别式进行判断,整理得到,再由两点间的距离得出
,构造函数结合导函数的性质得出函数f(x)的单调性,再由函数的单调性即可求出函数即的最值,从而得出 此时以 为直径的圆面积的最大值为 .
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