精讲精练·专项突破 第三章《圆锥曲线的方程》单元能力提升（含详细解析） (16)
文档属性
| 名称 | 精讲精练·专项突破 第三章《圆锥曲线的方程》单元能力提升（含详细解析） (16) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 120.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-18 16:28:06 | ||
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文档简介
精讲精练·专项突破
2021-2022学年高二上学期人教版（2019）
第三章 《圆锥曲线的方程》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021高二上·成都期末）抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】抛物线中，，解得，即，
所以抛物线的准线方程是。
故答案为：C
【分析】利用抛物线的标准方程求出抛物线的准线方程。
2．（2020高二上·晋中期末）抛物线 的焦点到准线的距离是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【考点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】因为抛物线的方程为 ，
所以焦点到准线的距离是 ，
故答案为：B.
【分析】由抛物线的方程即可求出p的值，然后由抛物线的性质即可求出焦点到准线的距离。
3．（2021高三上·金台月考）已知椭圆，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使得，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】所以，又，所以，
，
故答案为：D．
【分析】由已知条件结合椭圆的定义即可得出，再由题意即可求出，结合离心率公式即可得出答案。
4．（2021·中卫模拟）设 ， 是双曲线 的左、右焦点， 是坐标原点，过 作 的一条渐近线的垂线，垂足为 .若 ，则 的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题可得双曲线的渐近线方程为 ，
， ， ，
因为 ，所以 ，
在 中， ，
中， ，
因为 ，所以 ，
所以
可得 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
故答案为：D
【分析】 双曲线的渐近线方程为 ，则 ， ， ，在 中， ， 中， ，利用 ，可得 ，再利用 即可求得结果．
5．（2020高二上·贵港期末）如图，已知抛物线 ，圆 ，过圆心 的直线 与抛物线和圆依次交于点 ， ， ， ，则 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【考点】抛物线的应用
【解析】【解答】由抛物线 ： ，得焦点为 ，
圆的标准方程为 ，所以圆心为 ，半径 ，
设 ， ，设直线 ： ，
将直线 代入抛物线方程可得 ，即 ， ，
故 。
故答案为：B
【分析】由抛物线 ： ，得出焦点坐标，再利用圆的标准方程，从而求出圆心坐标和半径的长，设 ， ，设直线 ： ，将直线 代入抛物线方程结合韦达定理得出 的值，进而结合代入法求出 的值，再利用抛物线的定义，从而求出 的值 。
6．（2021·吴忠模拟）已知抛物线 上一点 到焦点 的距离等于 ，则直线 的斜率为（ ）
A．2 B．±2 C． D．
【答案】D
【考点】抛物线的定义
【解析】【解答】由题意，点 ，因为 ，可得 ，又因为点 在抛物线上，所以 ，则 ，所以点 ，则 .
故答案为：D.
【分析】 求出抛物线的焦点坐标，设出A，利用抛物线 上一点A到它焦点F的距离为6，求出A的横坐标，然后求解斜率．
7．（2021高二下·温州期末）如图，已知椭圆 ： ，过椭圆 上第一象限的点 作椭圆的切线与 轴相交于 点， 是坐标原点，作 于 .则 （ ）
A．恒为定值 B．有最小值没最大值
C．有最大值没最小值 D．既没最大值也没最小值
【答案】A
【考点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】不妨设切线PM方程为 ，
联立切线方程和椭圆方程 ，消去y得 ，
所以 ，得 ，
即 ，由韦达定理可得 ，解得 ，
所以 ，可求得 ， ，
∴ 为定值。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件，不妨设切线PM方程为 ，再利用切线与椭圆相交，联立切线方程和椭圆方程结合判别式法合韦达定理，从而求出点M的坐标和点P的坐标，再利用数量积的定义，从而推出为定值。
8．（2021·邵阳模拟）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 且斜率为 的直线与其左支交于点 ，若存在 ，使 ， ，且 ，则双曲线的离心率为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】向量的线性运算性质及几何意义；平面向量数量积的运算；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴点Q在直线F2P上，且F1Q⊥F2P，
∵
∵F1Q⊥F2P
∴
∴
∴
∵直线QF2斜率位-1，且过点（c,0）
∴直线QF2的方程为：y=c-x
∵F1Q⊥F2P，且直线F1Q过点（-c,0）
∴直线F1Q的方程为：y=x+c
由得x=0,y=c，即点Q（0，c）
∴
∴
∴点Q为直线PF2的中点，
∴点P为（-c,2c）
又∵点P位于双曲线上，
∴
又∵b2=c2-a2
∴c4+a4-6a2c2=0
∴
∴
故答案为：D
【分析】根据向量的线性运算以及向量的数量积运算，结合直线间的垂直关系，利用点在双曲线上的几何性质，结合双曲线的几何性质求解即可.
二、多选题
9．（2021高二上·大连期末）下列圆锥曲线中，焦点在x轴上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【考点】椭圆的简单性质；抛物线的简单性质；双曲线的简单性质；圆锥曲线的共同特征
【解析】【解答】解：对于A，表示焦点在x轴上的椭圆，A符合题意；
对于B，表示焦点在y轴上的双曲线，B不正确；
对于C，表示焦点在x轴上的抛物线，C符合题意；
对于D，表示焦点在y轴上的抛物线，D不正确；
故答案为：AC．
【分析】由椭圆、双曲线以及抛物线的方程以及简单性质，对选项逐一判断即可得出答案。
10．（2021高二上·长春月考）已知 为椭圆 的上顶点，以 为圆心， 为半径的圆与 的长轴相交于 两点，与 相交于 两点.下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若 ，则椭圆的离心率为
D．若 ，且 ，则 的面积为
【答案】A,B,C
【考点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；椭圆的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：
对于选项A：O为坐标原点，由题意可知|AB|=|AC|=a ，因为A为椭圆的上顶点，所以B，C分别是椭圆的左 右焦点， ，故A正确；
对于选项B：根据对称性知|BM|=|CN| ，所以|BM|+|BN=|CN|+|BN|=2a=|AB|+|AC|，故B正确；
对于选项C：若 ，则 ，所以 ，故C正确；
对于选项D：根据圆的性质， ，设NB=x,NC=y ，根据椭圆的定义和余弦定理得 解得 ，所以,故D不正确
故选：ABC
【分析】利用椭圆的定义以及a,b,c的关系可判断选项A；
利用根据对称性|BM|=|CN|结合椭圆的定义即可判断选项B；
由，可得，利用可判断选项C；
由利用椭圆的定义结合余弦定理可求出xy的值，即可求面积，即可判断选项D.
11．（2022·衡阳模拟）已知双曲线的左焦点为F，过点F作C的一条渐近线的平行线交C于点A，交另一条渐近线于点B．若，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的渐近线方程为
B．双曲线C的离心率为
C．点A到两渐近线的距离的乘积为
D．O为坐标原点，则
【答案】B,C,D
【考点】向量的共线定理；双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线的渐近线方程为，
不妨设过点F的直线与直线 平行，交于C于点A.
对于A：设双曲线半焦距为c，
过点F与直线 平行的直线的方程为 ，与 联立，解得
，由 ，设 ，所以 ，
可得 ，依题：
，得 ，故渐近线方程为 ，A不符合题意；
对于B：由 可得 ，B符合题意；
对于C：A到两渐近线距离的乘积 ，C符合题意
对于D：
故 ，
故 ，所以D符合题意．
故答案为：BCD
【分析】根据共线向量的性质，结合双曲线的渐近线方程，离心率公式逐一判断即可。
12．（2021高二上·河北期中）已知双曲线 ： 与椭圆 有公共焦点， 的左 右焦点分别为 ， ，且经过点 ，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线 的标准方程为
B．若直线 与双曲线 无交点，则
C．设 ，过点 的动直线与双曲线 交于 ， 两点（异于点 ），若直线 与直线 的斜率存在，且分别记为 ， ，则
D．若动直线 与双曲线 恰有1个公共点，且与双曲线 的两条渐近线分别交于点 ， ，则 （ 为坐标原点）的面积为定值1
【答案】A,C,D
【考点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】对于A选项，由题意 ，且 ，联立解得 ，所以双曲线 的标准方程为 ，A符合题意；
对于B选项，因为双曲线 的渐近线方程为 ，所以直线 与双曲线 无交点，则 ，B不符合题意；
对于C选项，过点 的动直线斜率存在且不为0，故设该动直线为 .设 ， ，联立 得 ，所以 解得 且 且 ， ， ，则 ，C符合题意；
对于D，由于动直线 与双曲线 恰有1个公共点，且与双曲线 的两条渐近线分别交于点 ， ，当直线 的斜率不存在时， ： ， ， ；当动直线 的斜率存在时，且斜率 时，不妨设直线 ： ，故由 ，从而 ，化简得 .又因为双曲线 的渐近线方程为 ，故由 从而点 ，同理可得， ，所以 ，又因为原点 到直线 ： 的距离 ，所以 ，又由 ，所以 ，故 的面积为定值1，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】 利用双曲线 ： 与椭圆 有公共焦点， 再结合椭圆中a,b的值结合椭圆中a,b,c三者的关系式，从而求出c的值，进而求出双曲线中c的值，再利用双曲线中a,b,c三者的关系式，得出a,b的关系式，再利用双曲线经过点 ， 再结合代入法得出a,b的关系式，从而解方程组求出a,b的值，进而求出双曲线的标准方程；再利用已知条件结合直线与双曲线的位置关系判断方法，从而求出实数的取值范围；再利用已知条件结合点斜式方程设出过点 的动直线方程，再结合动直线与双曲线相交，联立二者方程求出交点P,Q的坐标，再利用两点求斜率公式，从而求出直线 与直线 的斜率之和；利用已知条件结合动直线l与双曲线的位置关系，再利用双曲线的渐近线求解方法，从而求出双曲线的两条渐近线，再利用动直线与两渐近线相交，联立二者方程求出交点M,N的坐标，再利用两点距离公式和点到直线的距离公式，从而结合三角形的面积公式，进而求出三角形 （ 为坐标原点）的面积，从而找出说法正确的选项。
三、填空题
13．已知 为椭圆 上一点， ， 为椭圆 的焦点，则 的周长为 .
【答案】10
【考点】椭圆的定义
【解析】【解答】由题得 ，
由题得 的周长为 .
故答案为：10
【分析】求得椭圆的，运用椭圆的定义，即可得到所求周长。
14．（2020高二上·上海期末）焦点在 轴上的双曲线 焦距长为4，则实数 的值为 .
【答案】3
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意 ，双曲线方程可以化为 ，
又双曲线 焦距长为4，
则 ，
得 .
故答案为：3.
【分析】首先整理双曲线的方程化为标准式，再由双曲线的性质即可得出计算出m的值即可。
15．（2021·西城模拟）已知双曲线 ，则C的渐近线方程是 ；过C的左焦点且与x轴垂直的直线交其渐近线于M，N两点，O为坐标原点，则 的面积是 ．
【答案】；
【考点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为双曲线 ，所以 ， ，所以 ，即 ，所以渐近线方程为 ，焦点坐标为 与 ，
当 时 ，即 ，所以
故答案为： ， ；
【分析】 利用双曲线的标准方程，求解渐近线方程得到第一空；求出M坐标，然后求解三角形的面积解答第二空．
16．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线 －y2＝1的渐近线与抛物线x2＝4 y的准线相交于A，B两点，则三角形OAB的面积为 ．
【答案】
【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线 －y2＝1的渐近线为： ,
抛物线x2＝4 y的准线为： .
联立两直线得： .
三角形OAB的面积为 .
故答案为 .
【分析】首先由双曲线的方程求出渐近线方程，再由抛物线的性质求出准线的方程联立两条直线的方程求出交点坐标，结合两点间的距离公式以及三角形的面积公式计算出结果即可。
四、解答题
17．（2021高二上·西青期末）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且经过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）求双曲线的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离.
【答案】（1）解：在双曲线中，，，
则渐近线方程为，
∵双曲线与双曲线有相同的渐近线，
，
∴方程可化为，
又双曲线经过点，代入方程，
，解得，，
∴双曲线的方程为.
（2）解：由（1）知双曲线中，
，，，
∴实轴长，离心率为，
设双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为，
，
即焦点到渐近线的距离为.
【考点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【分析】（1） 在双曲线中，得出，，再利用双曲线的渐近线方程得出渐近线方程为，再利用双曲线与双曲线有相同的渐近线，得出的值，从而将所求的双曲线C的标准方程化为，再利用所求的双曲线经过点结合代入法得出a,b的值，进而求出双曲线的标准方程。
（2） 由（1）知双曲线中a,b的值，再利用双曲线中a,b,c三者的关系式得出c的值，再结合实轴的定义和双曲线的离心率公式，从而求出实轴长和离心率，设双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为，再将渐近线方程转化为直线的一般式方程，再利用点到直线的距离公式得出焦点到渐近线的距离。
18．已知抛物线 与直线 相交于 、 两点.
（1）求证： ；
（2）当 的面积等于 时，求 的值.
【答案】（1）证明：设 、 ；
直线过定点 ， ， ，
由 、 、 共线 ，
∴ ，
又 ，∴ ，
∴ ，
∴
（2）解： ，则 ，得 ，
则 ，
∴ ，
【考点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1) 根据题意设出点的坐标，进而得到向量和的坐标再由向量共线的性质整理即可得出，结合数量积的运算公式整理即可得出线线垂直。
(2)首先联立直线与抛物线的方程消元后得到关于y的方程结合韦达定理求出两根之和与两根之积关于k的代数式，由此得出再由三角形的面积公式结合已知条件 的面积等于 计算出k的值。
19．（2021高三上·五华月考）已知抛物线 ： ， 是坐标原点， 是 的焦点， 是 上一点， ， ．
（1）求 的标准方程；
（2）设点 在 上，过 作两条互相垂直的直线 ， ，分别交 于 ， 两点（异于 点）．证明：直线 恒过定点．
【答案】（1）解：由 ， ，可得 ，
代入 ： ．
解得 或 （舍），从而 ：
（2）解：由题意可得 ，直线 的斜率不为0，设直线 的方程为 ，
设 ， ，
由 ，得 ，从而 ，
且 ， ．
又 ，
，
∵
∴ ，
故 ，
整理得 ．
即 ，
从而 或 ，即 或 ．
若 ，则 ，过定点 ，与 点重合，不符合：
若 ，则 ，过定点 ．
综上，直线 过异于 点的定点 ．
【考点】恒过定点的直线；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)首先由已知条件由三角形的几何性质即可求出点M的坐标，再把点的坐标代入到抛物线的方程计算出p的值，由此得出抛物线的方程即可。
(2)根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与抛物线的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m和n的两根之和与两根之积的代数式，然后由数量积的坐标公式整理化简即可得出，由此整理直线的方程即可得出直线过的定点坐标即可。
20．（2021高三上·如皋月考）已知双曲线 ，点 的坐标为 ，过 的直线 交双曲线 于点 .
（1）若直线 又过 的左焦点 ，求 的值；
（2）若点 的坐标为 ，求证： 为定值.
【答案】（1）由双曲线 可得 ， ，所以 ，
所以 ，设 ， ，
，所以直线 的方程为 ，
由 联立得： ，
所以 ，
.
（2）由题意知直线 的斜率存在，不妨设直线 ，
由 可得： ，
所以 ， ， ， ，
.
所以 为定值.
【考点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 由双曲线 可得a,b的值，再利用双曲线中a,b,c三者的关系式得出c的值，从而求出焦点F的坐标，设 ， ，再利用两点求斜率公式得出直线PF的斜率，从而结合斜截式求出直线 的方程为 ，再利用直线与双曲线相交，联立二者方程结合韦达定理得出 ，再利用两点距离公式得出 的值 。
（2） 由题意知直线 的斜率存在，不妨设直线的斜截式方程为 ，再利用直线与双曲线相交，联立二者方程结合韦达定理，得出 ， ， 再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积的坐标表示，从而证出 为定值。
21．（2022·江西模拟）如图，椭圆的两顶点，，离心率，过y轴上的点的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P，直线与直线交于点Q.
（1）当且时，求直线l的方程；
（2）当点P异于A，B两点时，设点P与点Q横坐标分别为，，是否存在常数使成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：椭圆的方程，由题可得；
由，结合，得，
椭圆的标准方程：；
当直线l的斜率不存在时，，与题意不符，
故设直线l的方程为，代入椭圆方程
整理得，设，，
，；
，
解得.则直线l的方程为或.
（2）解：当直线l的斜率不存在时，直线l与y轴重合，
由椭圆的对称性可知直线与直线平行，不符合题意；
由题意可设直线的方程：代入椭圆方程，
得；设，，
，；
①
直线的方程为②
则直线的方程为③
由②③得
由①代入，得，
解得，即；且知；（常数）
即点P与点Q横坐标之积为定值4.故存在常数
【考点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意求出椭圆的方程，分斜率存在、不存在讨论.当斜率存在时，设直线l的方程为，代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求解k即可；
（2）分直线斜率存在、不存在讨论.由 题意可设直线的方程：，，，联立方程组，利用韦达定理结合已知条件求解为定值，即可求得.
22．（2021高二下·河池期末）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过点 的直线在 轴上的截距为1，且与椭圆交于 ， 两点， 到直线 的距离为 ，椭圆的离心率为 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点 的坐标为 ， ，求 面积的最大值．
【答案】（1）设 ，因为过点 的直线在 轴上的截距为1，
所以直线 的方程为 ，即 ，
因为 到直线 的距离为 ，所以 ，解得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，因为 ，
所以椭圆的方程为 ．
（2）设 ， ，由（1）知直线 的方程为 ，
由 ，消去 得 ，
由韦达定理得 ， ，
则 ， ，
因为 ， ，
所以
，
所以 ，解得 ．
由弦长公式得 ．
由点到直线距离公式得 到直线 的距离 ，
所以 ，
所以，当 时， 的最大值是 ．
【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 设 ，因为过点 的直线在 轴上的截距为1，从而设出直线 的截距式方程为 ，即 ，因为 到直线 的距离为 ，再利用点到直线的距离公式，从而求出c的值，
因为 ，再结合椭圆的离心率公式，从而求出a的值，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式，从而求出b的值，进而求出椭圆的标准方程。
（2） 设 ， ，由（1）知直线 的斜截式方程为 ，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合韦达定理得出 和 的值，再利用代入法求出 和 的值，因为 ，再利用数量积的坐标表示得出 ，再利用数量积的坐标表示，所以 ，再利用结合一元二次不等式求解集的方法，从而求出实数m的取值范围，再利用弦长公式得 的值，再由点到直线距离公式得出点 到直线 的距离为 ，再利用三角形的面积公式得出 ，再利用几何法得出当 时的 的最大值。
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2021-2022学年高二上学期人教版（2019）
第三章 《圆锥曲线的方程》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021高二上·成都期末）抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】抛物线中，，解得，即，
所以抛物线的准线方程是。
故答案为：C
【分析】利用抛物线的标准方程求出抛物线的准线方程。
2．（2020高二上·晋中期末）抛物线 的焦点到准线的距离是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【考点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】因为抛物线的方程为 ，
所以焦点到准线的距离是 ，
故答案为：B.
【分析】由抛物线的方程即可求出p的值，然后由抛物线的性质即可求出焦点到准线的距离。
3．（2021高三上·金台月考）已知椭圆，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使得，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】所以，又，所以，
，
故答案为：D．
【分析】由已知条件结合椭圆的定义即可得出，再由题意即可求出，结合离心率公式即可得出答案。
4．（2021·中卫模拟）设 ， 是双曲线 的左、右焦点， 是坐标原点，过 作 的一条渐近线的垂线，垂足为 .若 ，则 的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题可得双曲线的渐近线方程为 ，
， ， ，
因为 ，所以 ，
在 中， ，
中， ，
因为 ，所以 ，
所以
可得 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
故答案为：D
【分析】 双曲线的渐近线方程为 ，则 ， ， ，在 中， ， 中， ，利用 ，可得 ，再利用 即可求得结果．
5．（2020高二上·贵港期末）如图，已知抛物线 ，圆 ，过圆心 的直线 与抛物线和圆依次交于点 ， ， ， ，则 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【考点】抛物线的应用
【解析】【解答】由抛物线 ： ，得焦点为 ，
圆的标准方程为 ，所以圆心为 ，半径 ，
设 ， ，设直线 ： ，
将直线 代入抛物线方程可得 ，即 ， ，
故 。
故答案为：B
【分析】由抛物线 ： ，得出焦点坐标，再利用圆的标准方程，从而求出圆心坐标和半径的长，设 ， ，设直线 ： ，将直线 代入抛物线方程结合韦达定理得出 的值，进而结合代入法求出 的值，再利用抛物线的定义，从而求出 的值 。
6．（2021·吴忠模拟）已知抛物线 上一点 到焦点 的距离等于 ，则直线 的斜率为（ ）
A．2 B．±2 C． D．
【答案】D
【考点】抛物线的定义
【解析】【解答】由题意，点 ，因为 ，可得 ，又因为点 在抛物线上，所以 ，则 ，所以点 ，则 .
故答案为：D.
【分析】 求出抛物线的焦点坐标，设出A，利用抛物线 上一点A到它焦点F的距离为6，求出A的横坐标，然后求解斜率．
7．（2021高二下·温州期末）如图，已知椭圆 ： ，过椭圆 上第一象限的点 作椭圆的切线与 轴相交于 点， 是坐标原点，作 于 .则 （ ）
A．恒为定值 B．有最小值没最大值
C．有最大值没最小值 D．既没最大值也没最小值
【答案】A
【考点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】不妨设切线PM方程为 ，
联立切线方程和椭圆方程 ，消去y得 ，
所以 ，得 ，
即 ，由韦达定理可得 ，解得 ，
所以 ，可求得 ， ，
∴ 为定值。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件，不妨设切线PM方程为 ，再利用切线与椭圆相交，联立切线方程和椭圆方程结合判别式法合韦达定理，从而求出点M的坐标和点P的坐标，再利用数量积的定义，从而推出为定值。
8．（2021·邵阳模拟）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 且斜率为 的直线与其左支交于点 ，若存在 ，使 ， ，且 ，则双曲线的离心率为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】向量的线性运算性质及几何意义；平面向量数量积的运算；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴点Q在直线F2P上，且F1Q⊥F2P，
∵
∵F1Q⊥F2P
∴
∴
∴
∵直线QF2斜率位-1，且过点（c,0）
∴直线QF2的方程为：y=c-x
∵F1Q⊥F2P，且直线F1Q过点（-c,0）
∴直线F1Q的方程为：y=x+c
由得x=0,y=c，即点Q（0，c）
∴
∴
∴点Q为直线PF2的中点，
∴点P为（-c,2c）
又∵点P位于双曲线上，
∴
又∵b2=c2-a2
∴c4+a4-6a2c2=0
∴
∴
故答案为：D
【分析】根据向量的线性运算以及向量的数量积运算，结合直线间的垂直关系，利用点在双曲线上的几何性质，结合双曲线的几何性质求解即可.
二、多选题
9．（2021高二上·大连期末）下列圆锥曲线中，焦点在x轴上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【考点】椭圆的简单性质；抛物线的简单性质；双曲线的简单性质；圆锥曲线的共同特征
【解析】【解答】解：对于A，表示焦点在x轴上的椭圆，A符合题意；
对于B，表示焦点在y轴上的双曲线，B不正确；
对于C，表示焦点在x轴上的抛物线，C符合题意；
对于D，表示焦点在y轴上的抛物线，D不正确；
故答案为：AC．
【分析】由椭圆、双曲线以及抛物线的方程以及简单性质，对选项逐一判断即可得出答案。
10．（2021高二上·长春月考）已知 为椭圆 的上顶点，以 为圆心， 为半径的圆与 的长轴相交于 两点，与 相交于 两点.下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若 ，则椭圆的离心率为
D．若 ，且 ，则 的面积为
【答案】A,B,C
【考点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；椭圆的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：
对于选项A：O为坐标原点，由题意可知|AB|=|AC|=a ，因为A为椭圆的上顶点，所以B，C分别是椭圆的左 右焦点， ，故A正确；
对于选项B：根据对称性知|BM|=|CN| ，所以|BM|+|BN=|CN|+|BN|=2a=|AB|+|AC|，故B正确；
对于选项C：若 ，则 ，所以 ，故C正确；
对于选项D：根据圆的性质， ，设NB=x,NC=y ，根据椭圆的定义和余弦定理得 解得 ，所以,故D不正确
故选：ABC
【分析】利用椭圆的定义以及a,b,c的关系可判断选项A；
利用根据对称性|BM|=|CN|结合椭圆的定义即可判断选项B；
由，可得，利用可判断选项C；
由利用椭圆的定义结合余弦定理可求出xy的值，即可求面积，即可判断选项D.
11．（2022·衡阳模拟）已知双曲线的左焦点为F，过点F作C的一条渐近线的平行线交C于点A，交另一条渐近线于点B．若，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的渐近线方程为
B．双曲线C的离心率为
C．点A到两渐近线的距离的乘积为
D．O为坐标原点，则
【答案】B,C,D
【考点】向量的共线定理；双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线的渐近线方程为，
不妨设过点F的直线与直线 平行，交于C于点A.
对于A：设双曲线半焦距为c，
过点F与直线 平行的直线的方程为 ，与 联立，解得
，由 ，设 ，所以 ，
可得 ，依题：
，得 ，故渐近线方程为 ，A不符合题意；
对于B：由 可得 ，B符合题意；
对于C：A到两渐近线距离的乘积 ，C符合题意
对于D：
故 ，
故 ，所以D符合题意．
故答案为：BCD
【分析】根据共线向量的性质，结合双曲线的渐近线方程，离心率公式逐一判断即可。
12．（2021高二上·河北期中）已知双曲线 ： 与椭圆 有公共焦点， 的左 右焦点分别为 ， ，且经过点 ，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线 的标准方程为
B．若直线 与双曲线 无交点，则
C．设 ，过点 的动直线与双曲线 交于 ， 两点（异于点 ），若直线 与直线 的斜率存在，且分别记为 ， ，则
D．若动直线 与双曲线 恰有1个公共点，且与双曲线 的两条渐近线分别交于点 ， ，则 （ 为坐标原点）的面积为定值1
【答案】A,C,D
【考点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】对于A选项，由题意 ，且 ，联立解得 ，所以双曲线 的标准方程为 ，A符合题意；
对于B选项，因为双曲线 的渐近线方程为 ，所以直线 与双曲线 无交点，则 ，B不符合题意；
对于C选项，过点 的动直线斜率存在且不为0，故设该动直线为 .设 ， ，联立 得 ，所以 解得 且 且 ， ， ，则 ，C符合题意；
对于D，由于动直线 与双曲线 恰有1个公共点，且与双曲线 的两条渐近线分别交于点 ， ，当直线 的斜率不存在时， ： ， ， ；当动直线 的斜率存在时，且斜率 时，不妨设直线 ： ，故由 ，从而 ，化简得 .又因为双曲线 的渐近线方程为 ，故由 从而点 ，同理可得， ，所以 ，又因为原点 到直线 ： 的距离 ，所以 ，又由 ，所以 ，故 的面积为定值1，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】 利用双曲线 ： 与椭圆 有公共焦点， 再结合椭圆中a,b的值结合椭圆中a,b,c三者的关系式，从而求出c的值，进而求出双曲线中c的值，再利用双曲线中a,b,c三者的关系式，得出a,b的关系式，再利用双曲线经过点 ， 再结合代入法得出a,b的关系式，从而解方程组求出a,b的值，进而求出双曲线的标准方程；再利用已知条件结合直线与双曲线的位置关系判断方法，从而求出实数的取值范围；再利用已知条件结合点斜式方程设出过点 的动直线方程，再结合动直线与双曲线相交，联立二者方程求出交点P,Q的坐标，再利用两点求斜率公式，从而求出直线 与直线 的斜率之和；利用已知条件结合动直线l与双曲线的位置关系，再利用双曲线的渐近线求解方法，从而求出双曲线的两条渐近线，再利用动直线与两渐近线相交，联立二者方程求出交点M,N的坐标，再利用两点距离公式和点到直线的距离公式，从而结合三角形的面积公式，进而求出三角形 （ 为坐标原点）的面积，从而找出说法正确的选项。
三、填空题
13．已知 为椭圆 上一点， ， 为椭圆 的焦点，则 的周长为 .
【答案】10
【考点】椭圆的定义
【解析】【解答】由题得 ，
由题得 的周长为 .
故答案为：10
【分析】求得椭圆的，运用椭圆的定义，即可得到所求周长。
14．（2020高二上·上海期末）焦点在 轴上的双曲线 焦距长为4，则实数 的值为 .
【答案】3
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意 ，双曲线方程可以化为 ，
又双曲线 焦距长为4，
则 ，
得 .
故答案为：3.
【分析】首先整理双曲线的方程化为标准式，再由双曲线的性质即可得出计算出m的值即可。
15．（2021·西城模拟）已知双曲线 ，则C的渐近线方程是 ；过C的左焦点且与x轴垂直的直线交其渐近线于M，N两点，O为坐标原点，则 的面积是 ．
【答案】；
【考点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为双曲线 ，所以 ， ，所以 ，即 ，所以渐近线方程为 ，焦点坐标为 与 ，
当 时 ，即 ，所以
故答案为： ， ；
【分析】 利用双曲线的标准方程，求解渐近线方程得到第一空；求出M坐标，然后求解三角形的面积解答第二空．
16．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线 －y2＝1的渐近线与抛物线x2＝4 y的准线相交于A，B两点，则三角形OAB的面积为 ．
【答案】
【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线 －y2＝1的渐近线为： ,
抛物线x2＝4 y的准线为： .
联立两直线得： .
三角形OAB的面积为 .
故答案为 .
【分析】首先由双曲线的方程求出渐近线方程，再由抛物线的性质求出准线的方程联立两条直线的方程求出交点坐标，结合两点间的距离公式以及三角形的面积公式计算出结果即可。
四、解答题
17．（2021高二上·西青期末）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且经过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）求双曲线的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离.
【答案】（1）解：在双曲线中，，，
则渐近线方程为，
∵双曲线与双曲线有相同的渐近线，
，
∴方程可化为，
又双曲线经过点，代入方程，
，解得，，
∴双曲线的方程为.
（2）解：由（1）知双曲线中，
，，，
∴实轴长，离心率为，
设双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为，
，
即焦点到渐近线的距离为.
【考点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【分析】（1） 在双曲线中，得出，，再利用双曲线的渐近线方程得出渐近线方程为，再利用双曲线与双曲线有相同的渐近线，得出的值，从而将所求的双曲线C的标准方程化为，再利用所求的双曲线经过点结合代入法得出a,b的值，进而求出双曲线的标准方程。
（2） 由（1）知双曲线中a,b的值，再利用双曲线中a,b,c三者的关系式得出c的值，再结合实轴的定义和双曲线的离心率公式，从而求出实轴长和离心率，设双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为，再将渐近线方程转化为直线的一般式方程，再利用点到直线的距离公式得出焦点到渐近线的距离。
18．已知抛物线 与直线 相交于 、 两点.
（1）求证： ；
（2）当 的面积等于 时，求 的值.
【答案】（1）证明：设 、 ；
直线过定点 ， ， ，
由 、 、 共线 ，
∴ ，
又 ，∴ ，
∴ ，
∴
（2）解： ，则 ，得 ，
则 ，
∴ ，
【考点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1) 根据题意设出点的坐标，进而得到向量和的坐标再由向量共线的性质整理即可得出，结合数量积的运算公式整理即可得出线线垂直。
(2)首先联立直线与抛物线的方程消元后得到关于y的方程结合韦达定理求出两根之和与两根之积关于k的代数式，由此得出再由三角形的面积公式结合已知条件 的面积等于 计算出k的值。
19．（2021高三上·五华月考）已知抛物线 ： ， 是坐标原点， 是 的焦点， 是 上一点， ， ．
（1）求 的标准方程；
（2）设点 在 上，过 作两条互相垂直的直线 ， ，分别交 于 ， 两点（异于 点）．证明：直线 恒过定点．
【答案】（1）解：由 ， ，可得 ，
代入 ： ．
解得 或 （舍），从而 ：
（2）解：由题意可得 ，直线 的斜率不为0，设直线 的方程为 ，
设 ， ，
由 ，得 ，从而 ，
且 ， ．
又 ，
，
∵
∴ ，
故 ，
整理得 ．
即 ，
从而 或 ，即 或 ．
若 ，则 ，过定点 ，与 点重合，不符合：
若 ，则 ，过定点 ．
综上，直线 过异于 点的定点 ．
【考点】恒过定点的直线；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)首先由已知条件由三角形的几何性质即可求出点M的坐标，再把点的坐标代入到抛物线的方程计算出p的值，由此得出抛物线的方程即可。
(2)根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与抛物线的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m和n的两根之和与两根之积的代数式，然后由数量积的坐标公式整理化简即可得出，由此整理直线的方程即可得出直线过的定点坐标即可。
20．（2021高三上·如皋月考）已知双曲线 ，点 的坐标为 ，过 的直线 交双曲线 于点 .
（1）若直线 又过 的左焦点 ，求 的值；
（2）若点 的坐标为 ，求证： 为定值.
【答案】（1）由双曲线 可得 ， ，所以 ，
所以 ，设 ， ，
，所以直线 的方程为 ，
由 联立得： ，
所以 ，
.
（2）由题意知直线 的斜率存在，不妨设直线 ，
由 可得： ，
所以 ， ， ， ，
.
所以 为定值.
【考点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 由双曲线 可得a,b的值，再利用双曲线中a,b,c三者的关系式得出c的值，从而求出焦点F的坐标，设 ， ，再利用两点求斜率公式得出直线PF的斜率，从而结合斜截式求出直线 的方程为 ，再利用直线与双曲线相交，联立二者方程结合韦达定理得出 ，再利用两点距离公式得出 的值 。
（2） 由题意知直线 的斜率存在，不妨设直线的斜截式方程为 ，再利用直线与双曲线相交，联立二者方程结合韦达定理，得出 ， ， 再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积的坐标表示，从而证出 为定值。
21．（2022·江西模拟）如图，椭圆的两顶点，，离心率，过y轴上的点的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P，直线与直线交于点Q.
（1）当且时，求直线l的方程；
（2）当点P异于A，B两点时，设点P与点Q横坐标分别为，，是否存在常数使成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：椭圆的方程，由题可得；
由，结合，得，
椭圆的标准方程：；
当直线l的斜率不存在时，，与题意不符，
故设直线l的方程为，代入椭圆方程
整理得，设，，
，；
，
解得.则直线l的方程为或.
（2）解：当直线l的斜率不存在时，直线l与y轴重合，
由椭圆的对称性可知直线与直线平行，不符合题意；
由题意可设直线的方程：代入椭圆方程，
得；设，，
，；
①
直线的方程为②
则直线的方程为③
由②③得
由①代入，得，
解得，即；且知；（常数）
即点P与点Q横坐标之积为定值4.故存在常数
【考点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意求出椭圆的方程，分斜率存在、不存在讨论.当斜率存在时，设直线l的方程为，代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求解k即可；
（2）分直线斜率存在、不存在讨论.由 题意可设直线的方程：，，，联立方程组，利用韦达定理结合已知条件求解为定值，即可求得.
22．（2021高二下·河池期末）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过点 的直线在 轴上的截距为1，且与椭圆交于 ， 两点， 到直线 的距离为 ，椭圆的离心率为 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点 的坐标为 ， ，求 面积的最大值．
【答案】（1）设 ，因为过点 的直线在 轴上的截距为1，
所以直线 的方程为 ，即 ，
因为 到直线 的距离为 ，所以 ，解得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，因为 ，
所以椭圆的方程为 ．
（2）设 ， ，由（1）知直线 的方程为 ，
由 ，消去 得 ，
由韦达定理得 ， ，
则 ， ，
因为 ， ，
所以
，
所以 ，解得 ．
由弦长公式得 ．
由点到直线距离公式得 到直线 的距离 ，
所以 ，
所以，当 时， 的最大值是 ．
【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 设 ，因为过点 的直线在 轴上的截距为1，从而设出直线 的截距式方程为 ，即 ，因为 到直线 的距离为 ，再利用点到直线的距离公式，从而求出c的值，
因为 ，再结合椭圆的离心率公式，从而求出a的值，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式，从而求出b的值，进而求出椭圆的标准方程。
（2） 设 ， ，由（1）知直线 的斜截式方程为 ，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合韦达定理得出 和 的值，再利用代入法求出 和 的值，因为 ，再利用数量积的坐标表示得出 ，再利用数量积的坐标表示，所以 ，再利用结合一元二次不等式求解集的方法，从而求出实数m的取值范围，再利用弦长公式得 的值，再由点到直线距离公式得出点 到直线 的距离为 ，再利用三角形的面积公式得出 ，再利用几何法得出当 时的 的最大值。
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