精讲精练·专项突破 第三章《圆锥曲线的方程》单元能力提升（含详细解析） (17)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高二上学期人教版（2019）
第三章 《圆锥曲线的方程》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2020高二上·迁安期末）若抛物线 的焦点坐标为 ，则 的值为（　　）
A． B． C．8 D．4
2．（2021高二上·舟山期末）双曲线的焦点坐标是（　　）
A． B． C． D．
3．（2021·新高考Ⅰ）已知F1,F2是椭圆C： 的两个焦点，点M在C 上，则|MF1|·|MF2|的最大值为（　　）
A．13 B．12 C．9 D．6
4．（2021·晋中模拟）已知抛物线C： ，焦点为F，过F的直线交C于A，B两点，交其准线于点M，且 ，则 （　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
5．（2022·广西模拟）已知双曲线的左 右焦点分别为，，点是双曲线渐近线上一点，且(其中为坐标原点)，交双曲线于点，且，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
6．（2022·汉中模拟）已知M是抛物线C：上的一点，F为抛物线C的焦点，以MF为直径的圆与y轴相切于点(0，)，则点M的横坐标为（　　）
A．－3 B．－2 C．－4 D．－2
7．（2021高二下·舟山期末）在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且|AB|＝2，|AD|＝1，|CD|＝2x，其中x∈(0,1)，以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，若对任意x∈(0,1)，不等式t＜e1＋e2恒成立，则t的最大值为（　　）
A． B． C． D．
8．（2021高二上·河北月考）已知双曲线：的左 右焦点分别为，，其离心率为，过坐标原点的直线交双曲线于A，两点，为双曲线上异于A，的一动点，设，的斜率分别为，，则的最小值为(　　)
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2021高二上·如皋月考）已知双曲线 上一点P到左焦点的距离为10，则点P到右焦点的距离可能是（　　）
A．2 B．18 C．20 D．42
10．（2021高二上·浙江期末）已知椭圆 的左、右两个焦点分别为 ， ，P为椭圆上一动点， ，则下列结论正确的有（　　）
A． 的周长为8 B． 的最大面积为
C．存在点P使得 D． 的最大值为5
11．（2021·潍坊模拟）已知双曲线 的左，右焦点分别为 ，一条渐近线方程为 ， 为 上一点，则以下说法正确的是（　　）
A． 的实轴长为 B． 的离心率为
C． D． 的焦距为
12．（2021高三上·普宁月考）如图，抛物线 与 轴交于点 ，顶点坐标为 ，与 轴的交点在 ， 之间（包含端点），则下列结论正确的是（　　）
A．当 时， B．
C． D．
三、填空题
13．（2021高二上·昌吉期中）已知焦点在x轴上的椭圆的焦距为，则m的值为　 　．
14．已知抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，点 到焦点的距离是6，则其标准方程为　 　．
15．（2021高二下·衢州期末）斜率为 的直线 经过双曲线 的左焦点 ，与双曲线的左、右两支分别交于 ， 两点，若线段 的垂直平分线经过右焦点 ，则双曲线的离心率为　 　．
16．（2020高二上·烟台期末）汽车前照灯的反射镜为一个抛物面．它由抛物线沿它的对称轴旋转一周形成．通常前照灯主要是由灯泡、反射镜和透镜三部分组成，其中灯泡位于抛物面的焦点上．由灯泡发出的光经抛物面反射镜反射后形成平行光束，再经过进镜的折射等作用达到照亮路面的效果．如图，从灯泡发出的光线 经抛物线 反射后，沿 平行射出， 的角平分线 所在的直线方程为 ，则抛物线方程为　 　．
四、解答题
17．（2021高二上·金华期末）已知抛物线 上一点 到抛物线焦点的距离为 ，点 关于坐标原点对称，过点 作 轴的垂线， 为垂足，直线 与抛物线 交于 两点.
（1）求抛物线 的方程；
（2）设直线 与 轴交点分别为 ，求 的值；
（3）若 ，求 .
18．（2021高二上·石景山期末）椭圆：，经过点，且离心率为.
（1）求椭圆E的方程；
（2）过椭圆右焦点的直线与椭圆E交于，PQ两点，点，O为坐标原点，证明：.
19．（2021·湖北模拟）已知抛物线 的焦点为点 ， 为 上一点，若点 到原点的距离与点 到点 的距离都是 ．
（1）求 的标准方程；
（2）动点 在抛物线 上，且在直线 的右侧，过点 作椭圆 的两条切线分别交直线 于 ， 两点．当 时，求点 的坐标．
20．（2022高三上·吕梁月考）在平面直角坐标系中，已知椭圆的右准线为（定义：椭圆C的右准线方程为，其中）.点P是右准线上的动点，过点P作椭圆C的两条切线，分别与y轴交于M，N两点.当P在x轴上时，.
（1）求椭圆C的方程；
（2）求的最小值.
21．（2021高二上·东莞月考）已知动点M到定点F（1，0）的距离与到定直线 的距离之比为定值 ．
（1）求动点M轨迹L的方程；
（2）设L的左、右焦点分别为 ， ，过点 作直线l与轨迹L交于A，B两点， ，求 的面积．
22．（2021高二上·攀枝花月考）已知动圆过定点 且与直线 相切.
（1）求动圆圆心的轨迹 的方程；
（2）过原点 的直线 交轨迹 于 点，与直线 交于 点，过点 作 轴的垂线交轨迹 于 点，求证：直线 过定点.
答案解析部分
1．【答案】A
【考点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】抛物线的标准方程为 ，
因为抛物线 的焦点坐标为 ，
所以 ，所以 。
故答案为：A.
【分析】将抛物线的方程转化为抛物线的标准方程，再利用抛物线的标准方程求出焦点的坐标，再结合已知条件，从而求出实数a的值。
2．【答案】B
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题可知：双曲线的焦点在轴上，且，，
所以双曲线的焦点坐标为。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合双曲线的标准方程确定焦点的位置，进而求出焦点的坐标。
3．【答案】C
【考点】基本不等式在最值问题中的应用；椭圆的定义
【解析】【解答】解：由椭圆的定义可知a2=9,b2=4,|MF1|+|MF2|=2a=6，
则由基本不等式可得|MF1||MF2|≤，
当且仅当|MF1|=|MF2|=3时，等号成立.
故答案为：C
【分析】根据椭圆的定义，结合基本不等式求解即可.
4．【答案】A
【考点】抛物线的定义；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】设过点F的直线 为： ， ， ，
由 得 ，
由 ，得 ，
所以 ， , 与 联立可得： ，
所以直线 的斜率为 ，即直线 的倾斜角为 ，
所以在 中， ，所以 ．
故答案为：A.
【分析】 根据题意设出直线AB的方程，与抛物线联立求出两根之和AF及两根之积，再由，可得A，B的纵坐标的关系，与两根之和及两根之积联立求出坐标AB斜率，进而可得直线AB的倾斜角，在直角三角形FF'M中可得|MF|与|FF'|的关系，求出的值.
5．【答案】C
【考点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；余弦定理
【解析】【解答】根据双曲线的对称性，不妨设点在第二象限，设，因为，点到直线的距离，
所以 ，因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，
由双曲线的定义可知 ，在 中，由余弦定理可得 ，整理得 ，
所以 ，即离心率 .
故答案为：C.
【分析】设 ，确定点到直线的距离，进而确定，结合双曲线的定义可得，进而在中由余弦定理即可求出a=b,即可求解。
6．【答案】A
【考点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】设，因为以MF为直径的圆与y轴相切于点(0，)，由抛物线性质知，则，代入抛物线C：，得。
故答案为：A.
【分析】设 ，以MF为直径的圆与y轴相切于点(0，)，由抛物线性质知点M的纵坐标，再结合代入法得出点M的横坐标。
7．【答案】B
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】在等腰梯形 中，过点D作AB的垂线，垂足于H，
在 中， ，
由余弦定理可得：
，
设双曲线的实半轴为 ，椭圆的长半轴为 ，
由双曲线的定义可知： ， ，
由椭圆的定义可知： ， ，
所以 所以 ，
所以 ，
令 ，则 ，
令 ， ，
，
所以函数 在区间 上单调递减，即 ，
所以 ，由 恒成立，则 ，从而得出实数t的最大值为。
故答案为：B
【分析】在等腰梯形 中，过点D作AB的垂线，垂足于H，在 中，利用余弦定理结合双曲线的定义和椭圆的定义，再结合双曲线和椭圆的离心率公式，再结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出双曲线和椭圆的离心率的和的取值范围，从而结合不等式恒成立问题求解方法，从而求出实数t的取值范围，进而求出实数t的最大值。
8．【答案】B
【考点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】设，，由题意得A，关于原点对称，∴，
∴，，
∴，
∴。
故答案为：B.
【分析】设，，由题意得A，关于原点对称，从而结合点与点关于点对称的求解方法，再结合中点坐标公式，从而求出点B的坐标，再利用两点求斜率公式，从而求出的值，再利用均值不等式求最值的方法，从而求出 的最小值。
9．【答案】A,B
【考点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为双曲线的方程为 ，
所以双曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值为 ，点P到左焦点的距离为10，
所以点P到右焦点的距离为2或18
故答案为：AB
【分析】首先由双曲线的简单性质即可求出a的取值，由此得出点P到左焦点的距离，结合双曲线的定义即可得出答案。
10．【答案】A,B
【考点】椭圆的应用
【解析】【解答】对A，由椭圆 ，可得 的周长为： ，A符合题意；
对B，当P为椭圆短轴顶点时， 的面积最大，且最大面积为： ，B符合题意；
对C，当P为椭圆短轴顶点时， 为最大，此时 ，即 为锐角，所以不存在点P使得 ，C不符合题意；
对D，由椭圆 ，所以 ，又 ，所以 ，所以 ，D不符合题意.
故答案为：AB.
【分析】由椭圆 结合三角形的周长公式和椭圆的定义，可得 的周长；当P为椭圆短轴顶点时， 的面积最大，再利用三角形的面积公式得出最大面积；当P为椭圆短轴顶点时， 为最大，再利用余弦定理得出此时 ，即 为锐角，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系，所以不存在点P使得 ；由椭圆 ，得出焦点 ，再利用 结合两点距离公式得出的值 ，再结合几何法和椭圆的图形特征，所以 ，从而找出结论正确的选项。
11．【答案】A,D
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由双曲线方程知：渐近线方程为 ，而一条渐近线方程为 ，
∴ ，故 ，
∴双曲线：实轴长 ，离心率为 ，由于 可能在 不同分支上则有 ，焦距为 .
∴A、D符合题意，B、C不符合题意.
故答案为：AD
【分析】 由双曲线的渐近线方程求得a，再由隐含条件求得c，然后逐一核对四个选项得答案．
12．【答案】A,C
【考点】抛物线的应用
【解析】【解答】解：依题意抛物线 与 轴交于点 ，顶点坐标为 ，所以函数与 轴的另一交点为 ，所以当 时， ，A符合题意；
当 时， ，B不符合题意；
抛物线 与 轴交于点 ，且 ，
，
，
， ，
，
，
，
，
，所以C符合题意，D不符合题意。
故答案为：AC．
【分析】利用已知条件结合抛物线的图像的特征，从而找出结论正确的选项。
13．【答案】
【考点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】因为焦点在x轴上的椭圆的焦距为，
所以，
所以。
故答案为：。
【分析】焦点在x轴上的椭圆的焦距为结合椭圆的标准方程确定焦点的位置，进而求出a,b,c的值，再结合椭圆中a,b,c三者的关系式，从而求出m的值。
14．【答案】 或
【考点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】设焦点 ，即 ，
解得 或 ．
当焦点为 时，抛物线开口方向向左，其方程为 ；
当焦点为 时，抛物线开口方向向左，其方程为 ．
故答案为： 或
【分析】根据题意由两点间距离求出关于a的方程计算出a的值再由抛物线焦点的位置即可求出抛物线的方程。
15．【答案】3
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】设双曲线的焦距为 ，
因为线段 的垂直平分线经过右焦点 ，所以 ，
由双曲线的定义可得： ，
设直线 的倾斜角为 ，则 ，所以 为锐角，
所以由 可得： ，
在 中，由余弦定理可得：
，
解得： ，所以离心率 。
故答案为：3。
【分析】设双曲线的焦距为 ，利用线段 的垂直平分线经过右焦点 ，所以 ，由双曲线的定义可得： ，设直线 的倾斜角为 ，再利用直线的斜率与直线倾斜角的关系式，再结合已知条件，则 ，再结合正切函数值在各象限的符号，所以 为锐角，再利用同角三角函数基本关系式得出角的正弦值和余弦值，再利用余弦定理，从而求出a,c的关系式，再利用双曲线的离心率公式变形求出双曲线的离心率。
16．【答案】
【考点】抛物线的标准方程
【解析】【解答】设 ，因为 在直线 上，所以 ，
又因为 ，所以 ，
又因为 平分 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
又因为 与 轴的交点为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
又由抛物线的焦半径公式可知： ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，所以抛物线方程为 。
故答案为： 。
【分析】设 ，利用点 在直线 上，从而结合代入法得出 ，再利用 ，所以 ，再利用 平分 ，所以 ，所以 ，所以 ，再利用 与 轴的交点为 ，从而求出点M的坐标，再利用抛物线的标准方程求出焦点的坐标，再利用抛物线的定义得出的长 ，又由抛物线的焦半径公式可知的长 ，再利用已知条件得出p的值，从而求出抛物线的标准方程。
17．【答案】（1）解：抛物线的准线方程为： ，
因为点 到抛物线焦点的距离为 ，
所以有 ；
（2）解：由题意知， ， ，设 ，则 ， ， ， ，
所以直线 的方程为 ，
联立 ，消去 得， ，解得 ，
设 ， ， ， ，
不妨取 ， ，
直线 的斜率为 ，其方程为 ，
令 ，则 ，
同理可得 ，
所以 ，
而 ，
所以 ；
（3）解： ，其中 ，
，
，
因为 ，
所以 ，
化简得 ，
解得 （舍负），即 ，
所以 ．
【考点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 利用抛物线的标准方程求出抛物线的准线方程，再利用点 到抛物线焦点的距离为 ，再结合抛物线的定义得出p的值，从而得出抛物线的标准方程。
（2） 由题意知， ， ，设 ，则 ， ， ， ，再利用两点式得出直线 的方程，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程求出交点的纵坐标，再利用两点求斜率公式得出直线 的斜率，再结合点斜式求出直线AM的方程，再利用赋值法得出 ，同理可得 ，再利用两点求距离公式得出 ，再结合 ，从而得出 的值。
（3）利用弦长公式得出 ，其中 ，再利用两点距离公式得出 ， ，再结合 ，化简得 ，再结合换元法，从而解一元二次方程求出满足要求的 ，进而得出 的值。
18．【答案】（1）解：由题设知，，，
又，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）解：由（1）可得椭圆的右焦点为，
当直线斜率存在时，设直线的方程为，，，
代入椭圆方程，
可得，易知，
，，
则，
，
，
，
则；
当直线PQ斜率不存在时，PQ垂直x轴，
由对称性易知，
综上，.
【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据条件可得b，结合离心率和a, b, c三者关系可得a，从而求得椭圆E的方程；
(2)分析条件,要证明结论只需证明直线MP, MQ斜率之和为0即可，分PQ斜率存在与不存在两种情况分别证明可得 .
19．【答案】（1）解：设 ，因此有 ，抛物线的准线为：
则 ，解得 （负值舍去），
所以 的标准方程为 ；
（2）不妨设 ， ， ， ， ．
设过点 作椭圆的切线方程为 ，①
由 ，得 ，
由 得 ，
所以 ， ，
在①中令 得， ，
，
解得 ，点 的坐标为 ．
【考点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意设出点的坐标，结合题意即可得出关于点A的坐标的方程组，求解出p的柱从而得出抛物线的方程。
(2)首先设出直线的斜率以及点的坐标，进而得出 过点 作椭圆的切线方程，再联立直线与椭圆的方程消元后得到关于x的方程，由韦达定理即可得出，，再由特殊值代入法得出结合弦长公式整理即可得出，由此求解出t的值以及点M的坐标。
20．【答案】（1）解：由题意可知，当P点坐标为时，，
不妨设点M在点N上方，则，
所以直线与椭圆C相切，将直线与椭圆方程联立，
消去y，整理得，
则，整理得，
又，解得或（舍去），所以，
即椭圆C的方程为；
（2）解：设，切线方程为，
将切线方程与椭圆联立，
消去y，整理得，
则，
整理得，
设切线斜率为，直线斜率为，
则，，且，，
所以，
将，代入上式，整理得，
当时，上述等号成立，即的最小值为4.
【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1) 不妨设点M在点N上方，则， 将直线NP的方程与椭圆方程联立，利用 ，得到 ，结合准线方程，求出a2, b2的值，即可得到椭圆C的方程；
(2)设P (4, t)，求出切线方程与椭圆方程联立，利用，得到 ， 设切线斜率为，直线斜率为， 求出M, N的坐标，利用韦达定理表示出|MN|，利用二次函数的性质求出 的最小值.
21．【答案】（1）解：设 ，d为点M到定直线 的距离，根据题意得
，即 ，
化简得 ，即
∴动点M轨迹L的方程
（2）由题意可得 ， ，设直线l的方程为 ，
将直线l的方程代入 中，得 ，
设 ， ，则 ， ．
所以 ， ，
所以
，
由 ，解得 ．
所以 ， ，
因此 ．
【考点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设M(x,y) ，根据点到直线的距离公式列出等式并化简即得；
（2）根据直线与椭圆的位置关系结合向量运算的坐标表示，结合三角形面积公式求解即可.．
22．【答案】（1）解：∵动圆过定点 ，且与直线 相切，
∴曲线 是以点 为焦点，直线 为准线的抛物线，其方程为： .
（2）解：设 ，则直线 的方程为： .
∴ ，
∴直线 的斜率 ，
∴直线 的方程为 ，整理可得： ，
∴直线 过定点 .
【考点】直线的点斜式方程；直线的斜截式方程；抛物线的定义
【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义与标准方程求解即可；
（2）根据直线的斜率公式，结合直线的点斜式方程与斜截式方程求解即可.
17