精讲精练·专项突破 第三章《圆锥曲线的方程》单元能力提升（含详细解析） (19)
文档属性
| 名称 | 精讲精练·专项突破 第三章《圆锥曲线的方程》单元能力提升（含详细解析） (19) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 192.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-18 16:28:06 | ||
图片预览
文档简介
精讲精练·专项突破
2021-2022学年高二上学期人教版（2019）
第三章 《圆锥曲线的方程》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021高三上·台州期末）若椭圆的离心率为，则实数的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
2．（2021高二上·重庆市月考）双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
3．（2021·梧州模拟）已知双曲线 的焦点到渐近线的距离为 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
4．（2021高三上·河南月考）已知抛物线的焦点为F，P为C上一点，点，，设取最小值和最大值时对应的点分别为，，且，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．（2021·渭滨模拟）已知 ， 是双曲线 的两个焦点，以线段 为边作正三角形 ，若边 的中点在双曲线上，则双曲线 的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
6．（2022·盐湖模拟）过点P作抛物线的切线，切点分别为，若的重心坐标为，且P在抛物线上，则D的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·广东模拟）如图，已知，分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上一点，以点P为圆心，为半径的圆交y轴于A，B两点．若的最大值为，则C的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
8．（2020高二上·烟台期末）设 ， 是椭圆 的焦点，若椭圆 上存在一点 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2021高二上·深圳期中）2020年11月28日，“嫦娥五号”顺利进入环月轨道，其轨道是以月球的球心F为一个焦点的椭圆(如图所示).已知它的近月点A(离月球表面最近的点)距离月球表面m千米，远月点B(离月球表面最远的点)距离月球表面n千米， 为椭圆的长轴，月球的半径为R千米.设该椭圆的长轴长，焦距分别为 ， ，则下列结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·石家庄模拟）已知椭圆 的左右焦点分别为 、 ，长轴长为4，点 在椭圆内部，点 在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）
A．离心率的取值范围为
B．当离心率为 时， 的最大值为
C．存在点 使得
D． 的最小值为1
11．（2021·沈阳模拟）已知双曲线 的左焦点 ，过 且与 轴垂直的直线与双曲线交于 两点， 为坐标原点， 的面积为 ，则下列结论正确的有（ ）
A．双曲线 的方程为
B．双曲线 的两条渐近线所成的锐角为
C． 到双曲线 渐近线的距离为
D．双曲线 的离心率为
12．（2021高二上·东莞月考）我们通常称离心率为 的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知C： ， ， ， ， 为顶点， ， 为焦点，P为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有（ ）
A．
B．
C． 轴，且
D．四边形 的内切圆过焦点 ，
三、填空题
13．（2020高二上·阳泉期末）若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则 的取值范围是 .
14．（2021高二上·长春月考）某条河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5m时，水面宽8m，一条木船宽4m，木船露出水面上的部分高为0.75m.水面上涨到与抛物线拱顶相距 米时，木船不能通过.
15．（2021·佛山模拟）已知抛物线 的焦点为F，准线l交x轴于点K，过F作倾斜角为 的直线与C交于A，B两点，若 ，则 ．
16．（2020高二上·潍坊期末）已知双曲线 上一点 坐标为 为双曲线 的右焦点，且 垂直于 轴.过点 分别作双曲线 的两条渐近线的平行线，它们与两条渐近线围成的图形面积等于1，则该双曲线的离心率是 .
四、解答题
17．（2021高三上·江门月考）已知椭圆C与双曲线有相同的焦点，且该椭圆经过点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知椭圆左焦点为，过作直线与椭圆交于两点，若弦中点在直线上，求直线的方程.
18．（2020高二上·新邵期末）已知椭圆 的离心率为 ， ， 分别为椭圆的左、右焦点， 为椭圆上顶点， 的面积为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 与椭圆 交于不同两点 ， ，已知 ， ，求实数 的取值范围．
19．（2020高二上·葫芦岛期末）已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线 上，且 外接圆的圆心到准线的距离为 .
（1）求抛物线 的方程；
（2）若点 在抛物线 上 ，过点 作斜率为 的直线 与抛物线 交于 两点，求 面积的取值范围.
20．（2021高二上·浦城期中）已知动圆 过点 且与直线 相切，圆心 的轨迹为曲线 ．
（1）求曲线 的方程；
（2）若 ， 是曲线 上的两个点且直线 过 的外心，其中 为坐标原点，求证：直线 过定点．
21．（2021高二上·台州期末）已知椭圆的离心率为，椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆上．
（1）求△面积的最大值；
（2）设过点P的椭圆的切线方程为，试用k，m表示点P的坐标；
（3）设点P坐标为，求证：一条光线从点发出到达P点，经过椭圆反射后，反射光线必经过点．
22．（2022·马鞍山模拟）已知椭圆：的左顶点为，右焦点为，离心率为，为椭圆上一点，轴，且的面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆交于两点，为的中点，作射线交椭圆于点，交直线：于点，且满足，证明：直线过定点，并求出此定点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【考点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】在椭圆中，，，，
由于椭圆的离心率为，即，解得。
故选：C.
【分析】利用已知条件结合椭圆的离心率公式，从而结合椭圆中a,b的值以及椭圆中a,b,c三者的关系式，得出a,b,c的值，进而得出m的值。
2．【答案】C
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由双曲线的方程可得，，，，
所以。
故答案为：C.
【分析】利用双曲线的标准方程确定焦点的位置，进而求出a,b的值，再结合双曲线中a,b,c三者的关系式，从而求出c的值，再结合双曲线的离心率公式，进而球双曲线的离心率的值。
3．【答案】B
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】取双曲线的右焦点 ，取双曲线的渐近线 ，即 ，
依题意得 ，即 ，
所以离心率 .
故答案为：B
【分析】根据题意由双曲线的性质结合渐近线的方程求出a与b的关系式再离心率的公式与整体思想求出结果即可。
4．【答案】A
【考点】平面向量数量积的运算；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：如图所示，
与抛物线相切时，最小，与抛物线相切时，最大.
由得，所以.
设切点为，切线的斜率为，
所以切线方程为,
因为切线过点，所以，即.
因为有两个切点，所以，
设，则有，
所以，
所以，
代入韦达定理得或.
因为，所以.
故答案为：A
【分析】如图所示，与抛物线相切时，最小，与抛物线相切时，最大，设切点为，切线的斜率为，由切线方程得到，再由韦达定理得，化简 代入韦达定理可得答案。
5．【答案】D
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】依题意知，若双曲线焦点为 ， ，
∴ ，则△ 的高为 ，即 ，
∴ ，代入双曲线方程： ，整理得： ，
∵ ，
∴ ，整理得 ，得 ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：D．
【分析】 不妨设 ， 分别是双曲线的左、右焦点，M在y轴正半轴上，则可表示出F1和M的坐标，进而可表示出线段MF1的中点坐标代入双曲线方程，化简整理即可求得双曲线 的离心率。
6．【答案】A
【考点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】设，，由可得
故 ，即 ①，同理 ②
联立①②可得 ，则
所以 ，即 ，解得
故 ，则 ，D的焦点坐标为
故答案为：A
【分析】由已知设切点坐标为 ，利用导数写出切线 的方程，联立求出交点P的坐标 ，代入重心坐标公式，利用已知条件可求出P的坐标，再代入抛物线方程，求出m，进而求出D的焦点坐标 。
7．【答案】D
【考点】椭圆的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】设，则，
∵，∴，
由几何关系可知，，
∵的最大值为，∴的最大值为．
令，此函数为关于的二次函数，且函数图象开口向下，
则其最大值可能在区间端点处或对称轴处取得．
①若当在对称轴处取得最大值时，即时y取得最大值，
即，则，解得，此时，
∵，∴应舍去；
②若当时y取得最大值，即，
整理得，解得：或，
∵，∴和均舍去；
③若当时y取得最大值为，即，
整理得，解得：或（舍去），
综上所述可知.
故答案为：．
【分析】根据题意结合已知条件以及椭圆的简单性质即可求出的最值，再由二次函数的图象和性质即可得出函数最值的情况，再对点的横坐标分情况讨论，结合椭圆的简单性质整理化简计算出满足题意的离心率的值。
8．【答案】B
【考点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】因为椭圆方程为 ， ，排除A,D选项，
所以椭圆焦点在 轴， ， ，所以
当 点为椭圆短轴的端点时， 取得最大角，设 ，
则 ，解得 ，
的取值范围是 ， 。
故答案为：B．
【分析】利用椭圆标准方程为 ，从而求出实数m的取值范围， 所以椭圆焦点在 轴， ， ，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式，从而求出c的值，再利用当点 为椭圆短轴的端点时， 取得最大角，设 ，再利用角 的取值范围结合正弦函数的图像，从而求出角的正弦值得取值范围，进而求出实数m得取值范围。
9．【答案】B,C
【考点】椭圆的定义；椭圆的应用
【解析】【解答】由题意可知 ，所以 ，
因为 ， ，所以
故答案为：BC
【分析】根据题意把实际问题转化为数学问题，结合椭圆的定义计算出结果即可。
10．【答案】B,D
【考点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量数量积的运算；椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意可得 ，所以 ，
由点 在椭圆内部可得： ，
可得 ，即 ，所以 ，
对A， ，所以 ，A不符合题意；
对B，当 时， ， ,
，B符合题意；
对C，由A知 ，当 时，当 在短轴端点时，
最大，此时 ，此时 ，
由 ，故可得 在椭圆在最扁时的最大值都小于 ，
所以不存在点 使得 ，即C不符合题意；
对D， ，D符合题意；
故答案为：BD.
【分析】根据题意即可求粗a的值，再由点P在椭圆的内部带入计算出b的取值范围，由离心率的取值范围即可判断出选项A错误，由当三点共线时且Q点在x轴的下放时，结合基本不等式即可得出最值由此判断出选项B正确，由数量积的运算公式即可得出即，从而得到不存在点Q满足题意由此判断出选项C错误，结合基本不等式即可求出最值由此判断出选项D正确，从而得出答案。
11．【答案】A,B,D
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为双曲线的左焦点为 ，
所以 ，
又因为过 与 轴垂直的直线与双曲线交于 ，
所以 的面积为 ，即 ，
又 ，
所以 ，
所以双曲线 的方程为 ，A符合题意；
则双曲线 的渐近线方程为 ，所以两渐近线的夹角为 ，B符合题意;
到双曲线 渐近线的距离为 ,C不符合题意；
双曲线 的离心率为 .D符合题意；
故答案为：ABD
【分析】 由已知求得A的坐标，结合三角形AOB的面积求得a，进一步求得b，然后逐一核对四个选项得答案．
12．【答案】B,D
【考点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：A： ，则 ，即 或 （舍），
解得： ，所以A不正确；
B：若 ，则由射影定理可得： ，即 ，
所以 ，即 ， ，解得 ；所以B正确；
C：若 ，所以 ，又 ，则 ，
所以 ，即 ， ， ，所以C不正确；
D：因为四边形为菱形，若命题正确则内切圆的圆心为原点，由圆的对称性可知，
圆心到直线 的距离等于c，
因为直线 的方程为： ，即 ，所以原点到直线的距离 ，
由题意知 ，又 ，整理得： ， ， ，解得 ，所以 ，所以D正确，
故答案为：BD．
【分析】根据各个选项对应的条件，建立基本量的齐次式，得到关于离心率的方程，求得离心率即可判断.
13．【答案】
【考点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可得 ，解得 .
故答案为： .
【分析】由椭圆方程的简单性质即可得出关于m的不等式组，求解出m的取值范围即可。
14．【答案】2
【考点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；抛物线的应用
【解析】【解答】解：建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=-2py（p＞0）．
将点（4，﹣5）代入求得p= ．
∴．
将点（2，y1）代入方程求得．
则所求距离为（m），
故答案为2．
【分析】根据抛物线的定义，以及标准方程，结合抛物线的应用求解即可.
15．【答案】
【考点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】依题意 ，设 ，如图所示， 在第一象限.
设直线 的方程为 ，
由 消去 得 ，
所以 ， ，
，
依题意 ，所以 ，
，
，
化简得 ，
，
消去 并化简得 ，
即 ，解得 ，负根舍去.
所以 ，
，由于 ，所以 .
故答案为：
【分析】根据题意设出点的坐标再由斜截式设出直线的方程再联立直线与抛物线的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m的两根之和与两根之积的代数式，结合斜率的公式整理得到，计算出m的值从而求出，由此得到即可。
16．【答案】 或
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意知， ，
双曲线 的渐近线方程为 ，
设过点 且与渐近线 平行的直线与渐近线 相交于点 ，如图所示，
直线 的方程为 ，
将其与 联立，解得 ， ，即 ， ，
，
点 ， 到直线 的距离为 ，
所围图形面积等于1，
，即 ，
化简得 ，
点 ， 在双曲线上， ，即 ，
，
又 ， ， 或 ， ，
离心率 或 。
故答案为： 或 。
【分析】利用已知条件结合双曲线中a,b,c三者的关系式得出c的值，进而结合双曲线的渐近线方程，从而求出双曲线的渐近线方程，设过点 且与渐近线 平行的直线与渐近线 相交于点 ，从而设出直线 的点斜式方程为 ，将其与 联立，从而求出两直线交点A的坐标，即 ， ，再利用两点距离公式得出 ，再利用点到直线的距离公式得出点 ， 到直线 的距离为 ，再利用所围图形面积等于1，再结合矩形的面积公式得出 ，再利用点 ， 在双曲线上结合代入法，从而得出 ，进而求出ab的值，再利用双曲线中a,b,三者的关系式，从而求出a,b的值，再结合双曲线的离心率公式，从而求出双曲线的离心率。
17．【答案】（1）由题意，椭圆与双曲线有相同的焦点为，
设椭圆的方程为：，
方法一：因为椭圆过点，可得，
又由及，解得，
所以椭圆的方程为；
方法二：
由题意，椭圆与双曲线有相同的焦点为，
所以，得，
所以，
所以椭圆的方程为；
（2）当直线与轴重合时不满足题意；当直线与轴不重合时，设直线方程为，
由消化简得，
设，得，
因为弦中点在直线，所以，解得或，
所以直线l的方程为或.
【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由题意求出椭圆的焦点，再结合条件求出a2，b2，即可求出椭圆C的标准方程；
(2) 当直线与轴重合时不满足题意；当直线与轴不重合时，设直线方程为， 联立椭圆方程，利用韦达定理和终点公式求出m的值，进而求出直线的方程.
18．【答案】（1）解：由题意， ，
又 ， ，解得 ， ，
∴椭圆 的方程为 ．
（2）解：由 ，消去 整理得 ，
设 ， ，则 ，
由 ，
又设 中点 的坐标为 ，
∴ ， ，
即 ．
∵ ，∴ ，即 ，
∴ ，∴ ，解得 ．
∴ 的取值范围 ．
【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)利用三角形的面积，结合离心率,求出a，b,即可得到椭圆方程；
(2) 由 ，消去 整理得 ，设 ，
利用韦达定理，又设MN中点D的坐标为 ，求出D的坐标，通过 ,说明垂直推出 ,然后求解m的取值范围.
19．【答案】（1）解：由题意， 的焦点为 ，准线
由 外接圆的圆心在 的垂直平分线上
所以外接圆的圆心横坐标为
又因为 外接圆的圆心到准线的距离为
所以 ，所以 ，所以抛物线的方程为
（2）解：设直线 的方程为
由韦达定理得
因为 轴，则
因为 ，令
所以
所以 ，即
所以 的面积的取值范围为
【考点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)求出外接圆的圆心横坐标为 ，利用△FOM外接圆的圆心到准线的距离为 ，求出p=2,得到抛物线的方程；
(2) 设直线 的方程为 ， ，由韦达定理，结合弦长公式，求解三角形的面积的表面积，利用不等式的性质求解范围即可.
20．【答案】（1）由题意 到点 的距离等于点 到直线 的距离，所以 点轨迹是以 为焦点，直线 为准线的抛物线， ， ，
抛物线方程即 点轨迹方程是 ．
（2）因为直线 过 的外心，所以 ， 的斜率一定存在，
设 方程为 ，代入抛物线方程得 ， 或 ，
所以 ， ，即 ，同理得 ，
直线 方程为 ，整理得 ，
时， ，所以直线 过定点 ．
【考点】抛物线的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)根据抛物线的定义即可得曲线 的方程；
(2) 的斜率一定存在，设 方程为 ， 代入抛物线方程求得A点坐标，同理求得B点坐标，再由两点式写出直线AB方程，由此证得直线 过定点．
21．【答案】（1）解：由题设，，又，则，可得，
∴椭圆方程为，而在椭圆上下顶点时，△面积的最大，
∴.
（2）解：联立与，整理得：，
∵直线与椭圆相切，即，
∴，故，
∴，则，故
（3）解：由P处的切线方程为，故切线斜率为，
设的左切角为，的右切角为，而，，
由到角公式：，，
∴，即，
当P为或时，过P的切线方程分别为、，
由椭圆的对称性知：光线从点发出到达P点，经过椭圆反射后，反射光线必经过点.
综上，一条光线从点发出到达P点，经过椭圆反射后，反射光线必经过点，得证．
【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 由题设结合椭圆的离心率公式得出c的值，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式得出b的值，进而得出椭圆的标准方程，再利用在椭圆上下顶点时，得出三角形△面积的最大，再利用三角形的面积公式得出三角形 △面积的最大值。
（2） 利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合直线与椭圆相切，得出，再利用判别式法得出
，进而得出，再利用代入法得出，从而用k，m表示点P的坐标。
（3） 由P处的切线方程为，得出切线斜率，设的左切角为，的右切角为，再利用两点求斜率公式得出，，由到角公式得出，，得出， 从而得出，当P为或时，得出过P的切线方程，由椭圆的对称性知：光线从点发出到达P点，经过椭圆反射后，反射光线必经过点，从而得出一条光线从点发出到达P点，经过椭圆反射后，反射光线必经过点。
22．【答案】（1）解：因为，
，则，
又，
解得，故椭圆的方程为
（2）解：当直线斜率存在且不为0时，设：（），
由，
得：，，
故，
则：，与：联立得，：，
：与：联立得：，
因为，则，
即，解得，则：，恒过点，
当时，易知，
由得，则：过点，
当斜率不存在时，设，易知，
由得，则：过点,
综上，直线过定点.
【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 利用椭圆：的左顶点为，右焦点为，离心率为，再结合双曲线的离心率公式得出a,c的关系式，再结合为椭圆上一点，轴，且的面积为，从而结合三角形的面积公式和椭圆中a,b,c三者的关系式，进而求出a,b,c的值，从而求出椭圆的标准方程。
（2） 利用分类讨论的方法，当直线斜率存在且不为0时，设直线：（），，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程求出交点M的坐标，再利用两点求斜率公式得出直线OM的斜率，再结合点斜式求出直线OM的方程，再将直线OM方程与：联立得出点N的坐标，再将直线：与椭圆：联立出点R的坐标，再利用结合两点距离公式得出，从而得出，再利用点斜式得出直线的方程为：，再利用点斜式得出直线恒过点， 当时，易知，由得出m的值，从而得出直线：过点；当斜率不存在时，设直线，易知，由得出t的值，从而得出直线：过点, 进而证出 直线过定点，并求出此定点的坐标 。
20
2021-2022学年高二上学期人教版（2019）
第三章 《圆锥曲线的方程》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021高三上·台州期末）若椭圆的离心率为，则实数的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
2．（2021高二上·重庆市月考）双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
3．（2021·梧州模拟）已知双曲线 的焦点到渐近线的距离为 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
4．（2021高三上·河南月考）已知抛物线的焦点为F，P为C上一点，点，，设取最小值和最大值时对应的点分别为，，且，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．（2021·渭滨模拟）已知 ， 是双曲线 的两个焦点，以线段 为边作正三角形 ，若边 的中点在双曲线上，则双曲线 的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
6．（2022·盐湖模拟）过点P作抛物线的切线，切点分别为，若的重心坐标为，且P在抛物线上，则D的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·广东模拟）如图，已知，分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上一点，以点P为圆心，为半径的圆交y轴于A，B两点．若的最大值为，则C的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
8．（2020高二上·烟台期末）设 ， 是椭圆 的焦点，若椭圆 上存在一点 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2021高二上·深圳期中）2020年11月28日，“嫦娥五号”顺利进入环月轨道，其轨道是以月球的球心F为一个焦点的椭圆(如图所示).已知它的近月点A(离月球表面最近的点)距离月球表面m千米，远月点B(离月球表面最远的点)距离月球表面n千米， 为椭圆的长轴，月球的半径为R千米.设该椭圆的长轴长，焦距分别为 ， ，则下列结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·石家庄模拟）已知椭圆 的左右焦点分别为 、 ，长轴长为4，点 在椭圆内部，点 在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）
A．离心率的取值范围为
B．当离心率为 时， 的最大值为
C．存在点 使得
D． 的最小值为1
11．（2021·沈阳模拟）已知双曲线 的左焦点 ，过 且与 轴垂直的直线与双曲线交于 两点， 为坐标原点， 的面积为 ，则下列结论正确的有（ ）
A．双曲线 的方程为
B．双曲线 的两条渐近线所成的锐角为
C． 到双曲线 渐近线的距离为
D．双曲线 的离心率为
12．（2021高二上·东莞月考）我们通常称离心率为 的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知C： ， ， ， ， 为顶点， ， 为焦点，P为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有（ ）
A．
B．
C． 轴，且
D．四边形 的内切圆过焦点 ，
三、填空题
13．（2020高二上·阳泉期末）若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则 的取值范围是 .
14．（2021高二上·长春月考）某条河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5m时，水面宽8m，一条木船宽4m，木船露出水面上的部分高为0.75m.水面上涨到与抛物线拱顶相距 米时，木船不能通过.
15．（2021·佛山模拟）已知抛物线 的焦点为F，准线l交x轴于点K，过F作倾斜角为 的直线与C交于A，B两点，若 ，则 ．
16．（2020高二上·潍坊期末）已知双曲线 上一点 坐标为 为双曲线 的右焦点，且 垂直于 轴.过点 分别作双曲线 的两条渐近线的平行线，它们与两条渐近线围成的图形面积等于1，则该双曲线的离心率是 .
四、解答题
17．（2021高三上·江门月考）已知椭圆C与双曲线有相同的焦点，且该椭圆经过点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知椭圆左焦点为，过作直线与椭圆交于两点，若弦中点在直线上，求直线的方程.
18．（2020高二上·新邵期末）已知椭圆 的离心率为 ， ， 分别为椭圆的左、右焦点， 为椭圆上顶点， 的面积为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 与椭圆 交于不同两点 ， ，已知 ， ，求实数 的取值范围．
19．（2020高二上·葫芦岛期末）已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线 上，且 外接圆的圆心到准线的距离为 .
（1）求抛物线 的方程；
（2）若点 在抛物线 上 ，过点 作斜率为 的直线 与抛物线 交于 两点，求 面积的取值范围.
20．（2021高二上·浦城期中）已知动圆 过点 且与直线 相切，圆心 的轨迹为曲线 ．
（1）求曲线 的方程；
（2）若 ， 是曲线 上的两个点且直线 过 的外心，其中 为坐标原点，求证：直线 过定点．
21．（2021高二上·台州期末）已知椭圆的离心率为，椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆上．
（1）求△面积的最大值；
（2）设过点P的椭圆的切线方程为，试用k，m表示点P的坐标；
（3）设点P坐标为，求证：一条光线从点发出到达P点，经过椭圆反射后，反射光线必经过点．
22．（2022·马鞍山模拟）已知椭圆：的左顶点为，右焦点为，离心率为，为椭圆上一点，轴，且的面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆交于两点，为的中点，作射线交椭圆于点，交直线：于点，且满足，证明：直线过定点，并求出此定点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【考点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】在椭圆中，，，，
由于椭圆的离心率为，即，解得。
故选：C.
【分析】利用已知条件结合椭圆的离心率公式，从而结合椭圆中a,b的值以及椭圆中a,b,c三者的关系式，得出a,b,c的值，进而得出m的值。
2．【答案】C
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由双曲线的方程可得，，，，
所以。
故答案为：C.
【分析】利用双曲线的标准方程确定焦点的位置，进而求出a,b的值，再结合双曲线中a,b,c三者的关系式，从而求出c的值，再结合双曲线的离心率公式，进而球双曲线的离心率的值。
3．【答案】B
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】取双曲线的右焦点 ，取双曲线的渐近线 ，即 ，
依题意得 ，即 ，
所以离心率 .
故答案为：B
【分析】根据题意由双曲线的性质结合渐近线的方程求出a与b的关系式再离心率的公式与整体思想求出结果即可。
4．【答案】A
【考点】平面向量数量积的运算；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：如图所示，
与抛物线相切时，最小，与抛物线相切时，最大.
由得，所以.
设切点为，切线的斜率为，
所以切线方程为,
因为切线过点，所以，即.
因为有两个切点，所以，
设，则有，
所以，
所以，
代入韦达定理得或.
因为，所以.
故答案为：A
【分析】如图所示，与抛物线相切时，最小，与抛物线相切时，最大，设切点为，切线的斜率为，由切线方程得到，再由韦达定理得，化简 代入韦达定理可得答案。
5．【答案】D
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】依题意知，若双曲线焦点为 ， ，
∴ ，则△ 的高为 ，即 ，
∴ ，代入双曲线方程： ，整理得： ，
∵ ，
∴ ，整理得 ，得 ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：D．
【分析】 不妨设 ， 分别是双曲线的左、右焦点，M在y轴正半轴上，则可表示出F1和M的坐标，进而可表示出线段MF1的中点坐标代入双曲线方程，化简整理即可求得双曲线 的离心率。
6．【答案】A
【考点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】设，，由可得
故 ，即 ①，同理 ②
联立①②可得 ，则
所以 ，即 ，解得
故 ，则 ，D的焦点坐标为
故答案为：A
【分析】由已知设切点坐标为 ，利用导数写出切线 的方程，联立求出交点P的坐标 ，代入重心坐标公式，利用已知条件可求出P的坐标，再代入抛物线方程，求出m，进而求出D的焦点坐标 。
7．【答案】D
【考点】椭圆的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】设，则，
∵，∴，
由几何关系可知，，
∵的最大值为，∴的最大值为．
令，此函数为关于的二次函数，且函数图象开口向下，
则其最大值可能在区间端点处或对称轴处取得．
①若当在对称轴处取得最大值时，即时y取得最大值，
即，则，解得，此时，
∵，∴应舍去；
②若当时y取得最大值，即，
整理得，解得：或，
∵，∴和均舍去；
③若当时y取得最大值为，即，
整理得，解得：或（舍去），
综上所述可知.
故答案为：．
【分析】根据题意结合已知条件以及椭圆的简单性质即可求出的最值，再由二次函数的图象和性质即可得出函数最值的情况，再对点的横坐标分情况讨论，结合椭圆的简单性质整理化简计算出满足题意的离心率的值。
8．【答案】B
【考点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】因为椭圆方程为 ， ，排除A,D选项，
所以椭圆焦点在 轴， ， ，所以
当 点为椭圆短轴的端点时， 取得最大角，设 ，
则 ，解得 ，
的取值范围是 ， 。
故答案为：B．
【分析】利用椭圆标准方程为 ，从而求出实数m的取值范围， 所以椭圆焦点在 轴， ， ，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式，从而求出c的值，再利用当点 为椭圆短轴的端点时， 取得最大角，设 ，再利用角 的取值范围结合正弦函数的图像，从而求出角的正弦值得取值范围，进而求出实数m得取值范围。
9．【答案】B,C
【考点】椭圆的定义；椭圆的应用
【解析】【解答】由题意可知 ，所以 ，
因为 ， ，所以
故答案为：BC
【分析】根据题意把实际问题转化为数学问题，结合椭圆的定义计算出结果即可。
10．【答案】B,D
【考点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量数量积的运算；椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意可得 ，所以 ，
由点 在椭圆内部可得： ，
可得 ，即 ，所以 ，
对A， ，所以 ，A不符合题意；
对B，当 时， ， ,
，B符合题意；
对C，由A知 ，当 时，当 在短轴端点时，
最大，此时 ，此时 ，
由 ，故可得 在椭圆在最扁时的最大值都小于 ，
所以不存在点 使得 ，即C不符合题意；
对D， ，D符合题意；
故答案为：BD.
【分析】根据题意即可求粗a的值，再由点P在椭圆的内部带入计算出b的取值范围，由离心率的取值范围即可判断出选项A错误，由当三点共线时且Q点在x轴的下放时，结合基本不等式即可得出最值由此判断出选项B正确，由数量积的运算公式即可得出即，从而得到不存在点Q满足题意由此判断出选项C错误，结合基本不等式即可求出最值由此判断出选项D正确，从而得出答案。
11．【答案】A,B,D
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为双曲线的左焦点为 ，
所以 ，
又因为过 与 轴垂直的直线与双曲线交于 ，
所以 的面积为 ，即 ，
又 ，
所以 ，
所以双曲线 的方程为 ，A符合题意；
则双曲线 的渐近线方程为 ，所以两渐近线的夹角为 ，B符合题意;
到双曲线 渐近线的距离为 ,C不符合题意；
双曲线 的离心率为 .D符合题意；
故答案为：ABD
【分析】 由已知求得A的坐标，结合三角形AOB的面积求得a，进一步求得b，然后逐一核对四个选项得答案．
12．【答案】B,D
【考点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：A： ，则 ，即 或 （舍），
解得： ，所以A不正确；
B：若 ，则由射影定理可得： ，即 ，
所以 ，即 ， ，解得 ；所以B正确；
C：若 ，所以 ，又 ，则 ，
所以 ，即 ， ， ，所以C不正确；
D：因为四边形为菱形，若命题正确则内切圆的圆心为原点，由圆的对称性可知，
圆心到直线 的距离等于c，
因为直线 的方程为： ，即 ，所以原点到直线的距离 ，
由题意知 ，又 ，整理得： ， ， ，解得 ，所以 ，所以D正确，
故答案为：BD．
【分析】根据各个选项对应的条件，建立基本量的齐次式，得到关于离心率的方程，求得离心率即可判断.
13．【答案】
【考点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可得 ，解得 .
故答案为： .
【分析】由椭圆方程的简单性质即可得出关于m的不等式组，求解出m的取值范围即可。
14．【答案】2
【考点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；抛物线的应用
【解析】【解答】解：建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=-2py（p＞0）．
将点（4，﹣5）代入求得p= ．
∴．
将点（2，y1）代入方程求得．
则所求距离为（m），
故答案为2．
【分析】根据抛物线的定义，以及标准方程，结合抛物线的应用求解即可.
15．【答案】
【考点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】依题意 ，设 ，如图所示， 在第一象限.
设直线 的方程为 ，
由 消去 得 ，
所以 ， ，
，
依题意 ，所以 ，
，
，
化简得 ，
，
消去 并化简得 ，
即 ，解得 ，负根舍去.
所以 ，
，由于 ，所以 .
故答案为：
【分析】根据题意设出点的坐标再由斜截式设出直线的方程再联立直线与抛物线的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m的两根之和与两根之积的代数式，结合斜率的公式整理得到，计算出m的值从而求出，由此得到即可。
16．【答案】 或
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意知， ，
双曲线 的渐近线方程为 ，
设过点 且与渐近线 平行的直线与渐近线 相交于点 ，如图所示，
直线 的方程为 ，
将其与 联立，解得 ， ，即 ， ，
，
点 ， 到直线 的距离为 ，
所围图形面积等于1，
，即 ，
化简得 ，
点 ， 在双曲线上， ，即 ，
，
又 ， ， 或 ， ，
离心率 或 。
故答案为： 或 。
【分析】利用已知条件结合双曲线中a,b,c三者的关系式得出c的值，进而结合双曲线的渐近线方程，从而求出双曲线的渐近线方程，设过点 且与渐近线 平行的直线与渐近线 相交于点 ，从而设出直线 的点斜式方程为 ，将其与 联立，从而求出两直线交点A的坐标，即 ， ，再利用两点距离公式得出 ，再利用点到直线的距离公式得出点 ， 到直线 的距离为 ，再利用所围图形面积等于1，再结合矩形的面积公式得出 ，再利用点 ， 在双曲线上结合代入法，从而得出 ，进而求出ab的值，再利用双曲线中a,b,三者的关系式，从而求出a,b的值，再结合双曲线的离心率公式，从而求出双曲线的离心率。
17．【答案】（1）由题意，椭圆与双曲线有相同的焦点为，
设椭圆的方程为：，
方法一：因为椭圆过点，可得，
又由及，解得，
所以椭圆的方程为；
方法二：
由题意，椭圆与双曲线有相同的焦点为，
所以，得，
所以，
所以椭圆的方程为；
（2）当直线与轴重合时不满足题意；当直线与轴不重合时，设直线方程为，
由消化简得，
设，得，
因为弦中点在直线，所以，解得或，
所以直线l的方程为或.
【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由题意求出椭圆的焦点，再结合条件求出a2，b2，即可求出椭圆C的标准方程；
(2) 当直线与轴重合时不满足题意；当直线与轴不重合时，设直线方程为， 联立椭圆方程，利用韦达定理和终点公式求出m的值，进而求出直线的方程.
18．【答案】（1）解：由题意， ，
又 ， ，解得 ， ，
∴椭圆 的方程为 ．
（2）解：由 ，消去 整理得 ，
设 ， ，则 ，
由 ，
又设 中点 的坐标为 ，
∴ ， ，
即 ．
∵ ，∴ ，即 ，
∴ ，∴ ，解得 ．
∴ 的取值范围 ．
【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)利用三角形的面积，结合离心率,求出a，b,即可得到椭圆方程；
(2) 由 ，消去 整理得 ，设 ，
利用韦达定理，又设MN中点D的坐标为 ，求出D的坐标，通过 ,说明垂直推出 ,然后求解m的取值范围.
19．【答案】（1）解：由题意， 的焦点为 ，准线
由 外接圆的圆心在 的垂直平分线上
所以外接圆的圆心横坐标为
又因为 外接圆的圆心到准线的距离为
所以 ，所以 ，所以抛物线的方程为
（2）解：设直线 的方程为
由韦达定理得
因为 轴，则
因为 ，令
所以
所以 ，即
所以 的面积的取值范围为
【考点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)求出外接圆的圆心横坐标为 ，利用△FOM外接圆的圆心到准线的距离为 ，求出p=2,得到抛物线的方程；
(2) 设直线 的方程为 ， ，由韦达定理，结合弦长公式，求解三角形的面积的表面积，利用不等式的性质求解范围即可.
20．【答案】（1）由题意 到点 的距离等于点 到直线 的距离，所以 点轨迹是以 为焦点，直线 为准线的抛物线， ， ，
抛物线方程即 点轨迹方程是 ．
（2）因为直线 过 的外心，所以 ， 的斜率一定存在，
设 方程为 ，代入抛物线方程得 ， 或 ，
所以 ， ，即 ，同理得 ，
直线 方程为 ，整理得 ，
时， ，所以直线 过定点 ．
【考点】抛物线的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)根据抛物线的定义即可得曲线 的方程；
(2) 的斜率一定存在，设 方程为 ， 代入抛物线方程求得A点坐标，同理求得B点坐标，再由两点式写出直线AB方程，由此证得直线 过定点．
21．【答案】（1）解：由题设，，又，则，可得，
∴椭圆方程为，而在椭圆上下顶点时，△面积的最大，
∴.
（2）解：联立与，整理得：，
∵直线与椭圆相切，即，
∴，故，
∴，则，故
（3）解：由P处的切线方程为，故切线斜率为，
设的左切角为，的右切角为，而，，
由到角公式：，，
∴，即，
当P为或时，过P的切线方程分别为、，
由椭圆的对称性知：光线从点发出到达P点，经过椭圆反射后，反射光线必经过点.
综上，一条光线从点发出到达P点，经过椭圆反射后，反射光线必经过点，得证．
【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 由题设结合椭圆的离心率公式得出c的值，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式得出b的值，进而得出椭圆的标准方程，再利用在椭圆上下顶点时，得出三角形△面积的最大，再利用三角形的面积公式得出三角形 △面积的最大值。
（2） 利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合直线与椭圆相切，得出，再利用判别式法得出
，进而得出，再利用代入法得出，从而用k，m表示点P的坐标。
（3） 由P处的切线方程为，得出切线斜率，设的左切角为，的右切角为，再利用两点求斜率公式得出，，由到角公式得出，，得出， 从而得出，当P为或时，得出过P的切线方程，由椭圆的对称性知：光线从点发出到达P点，经过椭圆反射后，反射光线必经过点，从而得出一条光线从点发出到达P点，经过椭圆反射后，反射光线必经过点。
22．【答案】（1）解：因为，
，则，
又，
解得，故椭圆的方程为
（2）解：当直线斜率存在且不为0时，设：（），
由，
得：，，
故，
则：，与：联立得，：，
：与：联立得：，
因为，则，
即，解得，则：，恒过点，
当时，易知，
由得，则：过点，
当斜率不存在时，设，易知，
由得，则：过点,
综上，直线过定点.
【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 利用椭圆：的左顶点为，右焦点为，离心率为，再结合双曲线的离心率公式得出a,c的关系式，再结合为椭圆上一点，轴，且的面积为，从而结合三角形的面积公式和椭圆中a,b,c三者的关系式，进而求出a,b,c的值，从而求出椭圆的标准方程。
（2） 利用分类讨论的方法，当直线斜率存在且不为0时，设直线：（），，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程求出交点M的坐标，再利用两点求斜率公式得出直线OM的斜率，再结合点斜式求出直线OM的方程，再将直线OM方程与：联立得出点N的坐标，再将直线：与椭圆：联立出点R的坐标，再利用结合两点距离公式得出，从而得出，再利用点斜式得出直线的方程为：，再利用点斜式得出直线恒过点， 当时，易知，由得出m的值，从而得出直线：过点；当斜率不存在时，设直线，易知，由得出t的值，从而得出直线：过点, 进而证出 直线过定点，并求出此定点的坐标 。
20