精讲精练·专项突破 第三章《圆锥曲线的方程》单元能力提升（含详细解析） (22)
文档属性
| 名称 | 精讲精练·专项突破 第三章《圆锥曲线的方程》单元能力提升（含详细解析） (22) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 178.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-18 16:28:06 | ||
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文档简介
精讲精练·专项突破
2021-2022学年高二上学期人教版（2019）
第三章 《圆锥曲线的方程》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021·怀柔模拟）曲线 与曲线 的（ ）
A．焦距相等 B．实半轴长相等
C．虚半轴长相等 D．离心率相等
【答案】A
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由双曲线 可知， ， ，
由双曲线 可知 ，
所以焦距相等，实半轴长不相等，虚半轴长不相等，离心率不相等.
故答案为：A
【分析】根据题意由双曲线的简单性质即可求出a、b、c的值，对选项逐一判断即可得出答案。
2．（2021高二下·湖北期中）已知双曲线 ： 的渐近线方程为 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为双曲线 ： 的渐近线方程为 ，
所以双曲线 为焦点为 轴上的双曲线，且
所以 ，所以双曲线的离心率为： .
故答案为：B
【分析】根据题意由双曲线的性质以及离心率的公式代入数值计算出结果即可。
3．（2021高二上·潮州期末）过椭圆 的上顶点与右顶点的直线方程为 ，则椭圆 的标准方程为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】确定直线位置的几何要素；椭圆的简单性质
【解析】【解答】在直线方程 中，
令x=0，得y=2，得到椭圆的上顶点坐标为（0,2），即b=2，
令y=0，得x=4，得到椭圆的右顶点坐标为（4,0），即a=4，
从而得到椭圆方程为： .
故答案为：A.
【分析】首先由特殊值法求出直线在坐标轴上的截距，由此即可得出椭圆的顶点以及焦点的坐标，从而得出a与b的值，从而得出椭圆的方程。
4．（2021·静安模拟）下列四个选项中正确的是（ ）
A．关于 的方程 ( )的曲线是圆
B．设复数 是两个不同的复数，实数 ，则关于复数 的方程 的所有解在复平面上所对应的点的轨迹是椭圆
C．设 为两个不同的定点， 为非零常数，若 ，则动点 的轨迹为双曲线的一支
D．双曲线 与椭圆 有相同的焦点
【答案】D
【考点】轨迹方程；二元二次方程表示圆的条件；双曲线的简单性质
【解析】【解答】A. 当 时，方程 ( )表示的曲线是圆，故错误；
B. 设复数 所对应的点A，B，复数 所对应的点C，方程 表示点C到点AB的距离和为2a，当 时，轨迹是椭圆，故错误；
C.设 为两个不同的定点， 为非零常数，若 ，当 时，动点 的轨迹为双曲线的一支，故错误；
D.因为双曲线 ，所以 ，所以其焦点坐标为 和 ，椭圆 ， ，所以其焦点坐标为 和 ，故正确；
故答案为：D
【分析】 利用二元二次方程表示圆的体积判断A；轨迹方程判断B；双曲线定义判断C；求出焦点坐标判断D；
5．（2021·宿州模拟）抛物线 的焦点为 ，其准线 与 轴交于点 ，点 在抛物线 上，当 时， 的面积为（ ）
A．4 B． C．8 D．
【答案】C
【考点】抛物线的定义；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】如图所示，作 ，垂足为 ，根据抛物线的定义，可得 ，
由 ，可得 为等腰直角三角形，
所以 ，所以 且 ，
所以 ．
故答案为：C.
【分析】根据题意由抛物线的定义即可得出，再由已知条件整理得出 为等腰直角三角形，结合，整理得出 且 ，由此计算出三角形的面积即可。
6．（2021高二上·重庆市月考）已知抛物线：的焦点为，点为上一点，若，则的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【考点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】因为点在抛物线上，则，抛物线的准线：，
又因为，于是由得：，因此，，而，解得，
所以抛物线的准线方程为。
故答案为：B
【分析】利用抛物线的标准方程确定焦点的位置，进而求出准线的方程，再利用已知条件结合抛物线的定义，从而得出，所以，再利用，从而求出p的值，进而求出抛物线的准线方程。
7．（2022·广州模拟）设抛物线的焦点为F，过点的直线与E相交于A，B两点，与E的准线相交于点C，点B在线段AC上，，则与的面积之比（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】如图，过点B作BD垂直准线于点D，则由抛物线定义可知：，
设直线AB为 ， ， ， ，不妨设 ，则 ，
所以 ，解得： ，则 ，解得： ，则 ，
所以 ，解得： ，则直线AB为 ，
所以当 时，即 ，解得： ，则 ，
联立 与 得： ，则 ，
所以 ，其中 .
故答案为：C
【分析】根据题意由设而不求法设出点的坐标，再由抛物线的定义以及性质计算出点的坐标，结合斜率公式求出直线的方程，并联立直线与抛物线的方程消元后结合韦达定理计算出点的纵坐标，并把结果代入到三角形的面积公式，由此计算出答案。
8．（2021高三上·哈尔滨月考）已知点 是抛物线 的对称轴与准线的交点，点 为抛物线的焦点，点 在抛物线上且满足 ，若 取最大值时，点 恰好在以 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【考点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，
∵|PA|=m|PB|， ∴|PA|=m|PN| ∴ ，
设PA的倾斜角为 ，则 ，
当m取得最大值时， 最小，此时直线PA与抛物线相切，
设直线PA的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，
∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1， ∴P（2，1），
∴双曲线的实轴长为PA﹣PB=2（ ﹣1）， ∴双曲线的离心率为 。
故答案为：B．
【分析】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，再利用|PA|=m|PB|， 得出 ，设PA的倾斜角为 ，再利用正弦函数的定义得出 ，当m取得最大值时， 最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的斜截式方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2﹣4kx+4=0，再利用判别式法得出直线PA的斜率，进而求出点P的坐标，再结合双曲线的实轴长的定义，得出双曲线的实轴长， 再结合双曲线的离心率公式，从而求出双曲线的离心率。
二、多选题
9．（2020高二上·海安期末）双曲线 与双曲线 （ ）
A．焦距相等 B．实轴长相等 C．离心率相等 D．渐近线相同
【答案】A,D
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线 ， ，则 ，则焦距 ，实轴长 ，
离心率 ，渐近线方程 ，
双曲线 ， ，则 ，则焦距 ，实轴长 ，
离心率 ，渐近线方程 ，
比较后可知两个双曲线的焦距相等，渐近线方程相同。
故答案为：AD
【分析】利用已知条件结合双曲线焦距的定义、实轴长的定义、离心率的公式、渐近线的方程求解方法，进而找出正确的选项。
10．（2021高二下·河源月考）已知椭圆 ： ，过其左焦点且斜率为 的直线 在 轴上的截距的绝对值大于椭圆 的短半轴的长，则以下结论正确的是（ ）
A．椭圆 的焦距为 B．直线 的方程为
C． 的取值范围是 D．椭圆C的离心率可以为
【答案】B,C,D
【考点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意可知： ，左焦点为 ，所以椭圆 的焦距为 ，故答案为：项A不符合题意;直线 的方程为： ，B符合题意；
当 时， ，又直线 在 轴上的截距的绝对值大于椭圆 的短半轴的长，所以 ，即 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，即 ，所以C，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】由椭圆焦点坐标求出焦距为由此判断出选项A错误；由已知条件即可判断出选项B正确；由椭圆的性质整理得到关于m的不等式求解出m的取值范围，再由离心率公式整理得到e的取值范围由此判断出选项C、D，从而得出答案。
11．（2021高二上·浦城期中）过M（1，1）作斜率为2的直线与双曲线 相交于A、B两点，若M是AB的中点，则下列表述正确的是（ ）
A．bC．离心率 D．b>a
【答案】C,D
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设 ，
则 ，
两式相减得 ，
化简得 ，
因为M（1，1）是AB的中点，
所以 ，即 ，
所以 ，渐近线方程为 ，离心率为 ，
故答案为：CD
【分析】 根据已知条件，利用“点差法”和双曲线的性质结合中点坐标公式，求出 ，逐项进行分析，可得答案。
12．（2020高二上·烟台期末）如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在 轴上， ， ， 为椭圆的顶点， 为右焦点，延长 与 交于点 ，若 为钝角，则该椭圆的离心率可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C,D
【考点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意设 ， ， ， ，
则 ， ，
且 为向量 与 的夹角，
因为 为钝角，
则 ，即 ， ， ，
即 ，又 ，
所以 ，即 ，解得 ，
又 ，所以 。
故答案为：BCD．
【分析】由题意设 ， ， ， ，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，且 为向量 与 的夹角，再利用 为钝角结合数量积的定义，从而结合数量积的坐标表示得出，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式，得出a,c的不等关系，再利用椭圆的离心率公式变形，从而结合椭圆的离心率的取值范围，进而求出该椭圆的离心率的取值范围，进而求出该椭圆的离心率可能的值。
三、填空题
13．（2020高二上·高州期末）已知双典线 的焦距为 ，且两条渐近线互相垂直，则双曲线虚轴的长为 .
【答案】4
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意得，双曲线的渐近线方程为 ，
因为两条渐近线互相垂直，所以 ，得 ，
因为焦距为 ，即2c= ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以双曲线的虚轴的长为4.
故答案为：4
【分析】根据题意由双曲线的简单性质即可求出渐近线的方程，由此得出a与b的关系，由已知条件即可得出c的取值，然后由椭圆的 a、b 、c 三者的关系计算出a与b的值，由此即可得出椭圆的方程。
14．已知直线l过点M（2，0），N（3，1），且与抛物线y2=8x交于A，B两点，则|AB|= .
【答案】16
【考点】抛物线的定义
【解析】【解答】由题意知，点M恰为抛物线的焦点，
，故直线l的方程为y=x-2，
代入抛物线的方程，得x2-12x+4=0，
故
则xA+xB=12，
|AB|= xA+xB+4=16.
故答案为：16
【分析】由题意知直线l的方程为y=x-2，代入抛物线的方程，得x2-12x+4=0，根据一元二次方程的根与系的关系得xA+xB=12，再由抛物线的定义可得答案。
15．（2021·富平模拟）已知F是抛物线 的焦点，P是抛物线上的一个动点，A（3，1），则 周长的最小值为 .
【答案】
【考点】两点间的距离公式；抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】 的焦点坐标为 ,求 周长的最小值，即求 的最小值，
设点 在准线上的射影为 ，
根据抛物线的定义，可知
因此， 的最小值，即 的最小值
根据平面几何知识，可得当 ， ， 三点共线时 最小，
因此的最小值为 ，
，所以 周长的最小值为 ，
故答案为： ．
【分析】根据题意由抛物线的定义整理即可得出，结合已知条件即可得出可得当 ， ， 三点共线时 最小，结合两点间的距离计算出答案。
16．（2021·桂林模拟）过 作与双曲线 （ ， 的两条渐近线平行的直线，分别交两渐近线于A、B两点，若 四点共圆（为坐标原点），则双曲线的离心率为 ．
【答案】
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可得 ，
∵直线 、 都平行于渐近线，
∴可设直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
∴过点 平行与 的直线 的方程为 ，
过点 平行与 的直线 的方程为 ，
分别联立方程 ， ，
解得 ， ，即线段 与 互相垂直平分，
则四边形 为菱形，其外接圆圆心在 、 的交点处，
∴ ，
则 即 ，
∵ ， ，
∴双曲线的离心率 ，
故答案为： ．
【分析】 根据题意写出， ，， 直线的直线方程，分别联立可得AB点坐标，分析得四边形 为菱形，则，利用垂直向量的数量积为0可得a与b的关系，结合双曲线中abc的关系可计算离心率。
四、解答题
17．（2022·宝鸡模拟）已知曲线C上任一点到点的距离比它到直线的距离小2．经过点的直线l与曲线C交于A，B两点．
（1）求曲线C的方程；
（2）若曲线C在点A，B处的切线交于点P，求面积的最小值．
【答案】（1）解：因为曲线C上任一点到点的距离比它到直线的距离小2．
所以曲线C上任一点到点的距离与它到直线的距离相等．是抛物线，
且，，所以的方程是；
（2）解：设，，
设过点的切线方程是，
由得，
，又，所以，，
切线方程为，，，
即，同理过点的切线方程是，
由得，即，
斜率存在时，设直线的方程是，显然，
由得，所以，，
，，
点到直线的距离为，
，
当斜率不存在时，易得（不妨设在第一象限），
方程是，即，方程是，即，
由，得，即，此时到的距离为6，，
，
综上，的最小值是36．
【考点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）已知条件变形可得曲线C是抛物线，由此可求其方程；
（2）设 ，，求出切线PA，PB的方程，联立求得P点坐标，斜率存在时，设直线的方程是，显然，与抛物线方程联立，消元后应用韦达定理得，，由焦点弦长公式得，与点到直线距离公式得P到直线AB的距离，从而可得面积（用m表示）后得其取值范围，再求出直线AB斜率不存在时面积，即可得最小值．
18．（2022高三上·贵州月考）已知椭圆的左 右焦点分别为和，且，，，四点中恰有三点在椭圆C上.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点P是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线和与直线分别交于G和H两点，设直线和的斜率分别为和，若线段GH的长度小于，求的最大值.
【答案】（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.
又由，知C不经过，所以点在C上.
所以解得
所以椭圆C的标准方程为；
（2）设，如图，过点P作直线轴，
分别交x轴和直线于M，N两点.
易知，则，即，
由，得，所以，
由，得，从而
所以当时，，即的最大值为.
【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1) 由题设知C经过，两点，代入椭圆方程求得a2，b2，进而可得 椭圆C的标准方程；
(2) 设，过点P作直线 轴， 分别交x轴和直线于M，N两点，由 得 ， 由 得 结合 即可求出 的最大值.
19．（2021·西安模拟）已知圆 与抛物线 交于 、 两点（ 在第一象限）， .
（1）求抛物线 的方程；
（2）设过A点的两条直线 与 关于直线 对称，直线 与 与抛物线 都有两个不同交点，且另一交点分别为 、 ，求直线 的斜率.
【答案】（1）由对称轴可知：A,B的纵坐标为，|AB|=,
因为（OA为圆O的半径），所以A的横坐标为
于是,代入Y2=2px (p>0),得8=4p,解得p=2 . 所以抛物线S的方程为y2=4x
（2）如图
设M(x1,y1),N(x2,y2),，由题意知，l1，l2存在斜率，
设AM：，（关于x=2对称，则kl1=kl2）
∴
而，同理，
【考点】圆的标准方程；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】(1) 根据对称性，得到A,B纵标，计算出AB的长度，由圆的垂径定理，得到 A,B的横坐标，从而得到A的坐标，代入抛物线方程，解方程，得出P的值，从而得到抛物线方程y2=4x；
（2）先设M(x1,y1),N(x2,y2)坐标，根据l1，l2关于x轴对称可知，它们的斜率互为相反数,设为k,-k,
再分别写出l1，l2的方程，然后与抛物线方程联立，用韦达定理得到关系式，最终求出kMN.
20．（2021·平顶山模拟）已知椭圆 的离心率 ，过右焦点 的直线 与椭圆交于 ， 两点， 在第一象限，且 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）在 轴上是否存在点 ，满足对于过点 的任一直线 与椭圆 的两个交点 ， ，都有 为定值？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：由 ，及 ，得 ，设椭圆方程为 ，联立方程组 得 ．则 ，
所以 ．所以 ．
所以椭圆 的方程为 ．
（2）解：当直线 不与 轴重合时，设 ，联立方程组
得 ．
设 ， ， ，则有 ， ．
于是
，
若 为定值，则有 ，得 ， ．
此时 ：当直线 与 轴重合时， ， ，
也有 ．
综上，存在点 ，满足 为定值．
【考点】平面向量数量积的运算；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)首先由已知条件结合椭圆的简单性质即可设出椭圆的方程再联立直线与椭圆的方程，整理求出点的坐标再由弦长公式求出b的值，由此得出椭圆的方程即可。
(2)根据题意 当直线 不与 轴重合时 由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于n的两根之和与两根之积的代数式，再由数量积的坐标公式代入整理即可得到求解出t的值即可。 当直线 与 轴重合时，结合已知条件以及数量积的坐标公式计算出t的值由此得证出结论。
21．（2021高二上·鸡东期中）已知双曲线 经过点（2，3），两条渐近线的夹角为 ，直线 交双曲线于A,B两点.
（1）求双曲线C的方程.
（2）若直线l过双曲线的右焦点 ，在x轴上是否存在点 ，使得直线 绕点 无论怎样转动，都有 成立？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）双曲线的渐近线方程为 .因为两条渐近线的夹角为 ,
所以渐近线 的倾斜角为 或 ，所以 或 .
又点（2,3）在双曲线C上，所以 ，
故 或 ，
解得 ，所以双曲线C的方程为 .
（2）双曲线的右焦点为 .
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 ，
设 ，因为 ，所以 ，
整理得 ①，
由 ，可得 .
因为直线l与双曲线有两个不同的交点，
所以 ，且 ，所以 .
由题设知①对任意的 均成立，又 ，
所以①可转化为 ，
整理得 对任意的 均成立，
故 ，所以 .
当直线l的斜率不存在时， ，
此时 或 ，
则 ，解得 .
综上，存在点 ，使 恒成立.
【考点】直线的点斜式方程；双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据双曲线的简单性质与标准方程，结合直线的斜率与倾斜角的关系求解即可；
（2）由题，当直线l的斜率不存在时，易得m=-1，再求解当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x-2)，结合韦达定理和向量的数量积运算得3(m2-1)+(5+4m-m2)k2=0对任意的 均成立，进而得 ，解方程即可得结论.
22．（2021高二上·浙江期末）已知椭圆 的左 右顶点分别为A，B，椭圆C的左 右焦点分别为F1，F2，点 为椭圆C的下顶点，直线MA与MB的斜率之积为 .
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点P，Q为椭圆C上位于x轴下方的两点，且 ，求四边形 面积的最大值.
【答案】（1）解：由题知： ，
， ，
又 ，∴椭圆 .
（2）解：延长QF2交椭圆于N点，连接 ， ，如下图所示：
，
∴设直线 ， ， .
由 ，得 ，
， ，
.
，由勾形函数的单调性得，
根据对称性得： ，且 ，
，
∴四边形 面积的最大值为 .
【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 由题知： ，再利用两点求斜率公式结合直线MA与MB的斜率之积为 ，从而得出 的值，再利用点 为椭圆C的下顶点， 得出 的值 ，进而得出椭圆的标准方程。
（2） 延长QF2交椭圆于N点，连接 ， ，再利用 结合点斜式方程，设直线 ， ， ，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合韦达定理得出 ， ，再利用韦达定理得出 ，再利用 结合勾形函数的单调性得出 ，根据对称性得： ，且 ，得出 ，再利用求和法和三角形的面积公式以及，从而得出四边形 面积的最大值。
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2021-2022学年高二上学期人教版（2019）
第三章 《圆锥曲线的方程》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021·怀柔模拟）曲线 与曲线 的（ ）
A．焦距相等 B．实半轴长相等
C．虚半轴长相等 D．离心率相等
【答案】A
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由双曲线 可知， ， ，
由双曲线 可知 ，
所以焦距相等，实半轴长不相等，虚半轴长不相等，离心率不相等.
故答案为：A
【分析】根据题意由双曲线的简单性质即可求出a、b、c的值，对选项逐一判断即可得出答案。
2．（2021高二下·湖北期中）已知双曲线 ： 的渐近线方程为 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为双曲线 ： 的渐近线方程为 ，
所以双曲线 为焦点为 轴上的双曲线，且
所以 ，所以双曲线的离心率为： .
故答案为：B
【分析】根据题意由双曲线的性质以及离心率的公式代入数值计算出结果即可。
3．（2021高二上·潮州期末）过椭圆 的上顶点与右顶点的直线方程为 ，则椭圆 的标准方程为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】确定直线位置的几何要素；椭圆的简单性质
【解析】【解答】在直线方程 中，
令x=0，得y=2，得到椭圆的上顶点坐标为（0,2），即b=2，
令y=0，得x=4，得到椭圆的右顶点坐标为（4,0），即a=4，
从而得到椭圆方程为： .
故答案为：A.
【分析】首先由特殊值法求出直线在坐标轴上的截距，由此即可得出椭圆的顶点以及焦点的坐标，从而得出a与b的值，从而得出椭圆的方程。
4．（2021·静安模拟）下列四个选项中正确的是（ ）
A．关于 的方程 ( )的曲线是圆
B．设复数 是两个不同的复数，实数 ，则关于复数 的方程 的所有解在复平面上所对应的点的轨迹是椭圆
C．设 为两个不同的定点， 为非零常数，若 ，则动点 的轨迹为双曲线的一支
D．双曲线 与椭圆 有相同的焦点
【答案】D
【考点】轨迹方程；二元二次方程表示圆的条件；双曲线的简单性质
【解析】【解答】A. 当 时，方程 ( )表示的曲线是圆，故错误；
B. 设复数 所对应的点A，B，复数 所对应的点C，方程 表示点C到点AB的距离和为2a，当 时，轨迹是椭圆，故错误；
C.设 为两个不同的定点， 为非零常数，若 ，当 时，动点 的轨迹为双曲线的一支，故错误；
D.因为双曲线 ，所以 ，所以其焦点坐标为 和 ，椭圆 ， ，所以其焦点坐标为 和 ，故正确；
故答案为：D
【分析】 利用二元二次方程表示圆的体积判断A；轨迹方程判断B；双曲线定义判断C；求出焦点坐标判断D；
5．（2021·宿州模拟）抛物线 的焦点为 ，其准线 与 轴交于点 ，点 在抛物线 上，当 时， 的面积为（ ）
A．4 B． C．8 D．
【答案】C
【考点】抛物线的定义；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】如图所示，作 ，垂足为 ，根据抛物线的定义，可得 ，
由 ，可得 为等腰直角三角形，
所以 ，所以 且 ，
所以 ．
故答案为：C.
【分析】根据题意由抛物线的定义即可得出，再由已知条件整理得出 为等腰直角三角形，结合，整理得出 且 ，由此计算出三角形的面积即可。
6．（2021高二上·重庆市月考）已知抛物线：的焦点为，点为上一点，若，则的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【考点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】因为点在抛物线上，则，抛物线的准线：，
又因为，于是由得：，因此，，而，解得，
所以抛物线的准线方程为。
故答案为：B
【分析】利用抛物线的标准方程确定焦点的位置，进而求出准线的方程，再利用已知条件结合抛物线的定义，从而得出，所以，再利用，从而求出p的值，进而求出抛物线的准线方程。
7．（2022·广州模拟）设抛物线的焦点为F，过点的直线与E相交于A，B两点，与E的准线相交于点C，点B在线段AC上，，则与的面积之比（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】如图，过点B作BD垂直准线于点D，则由抛物线定义可知：，
设直线AB为 ， ， ， ，不妨设 ，则 ，
所以 ，解得： ，则 ，解得： ，则 ，
所以 ，解得： ，则直线AB为 ，
所以当 时，即 ，解得： ，则 ，
联立 与 得： ，则 ，
所以 ，其中 .
故答案为：C
【分析】根据题意由设而不求法设出点的坐标，再由抛物线的定义以及性质计算出点的坐标，结合斜率公式求出直线的方程，并联立直线与抛物线的方程消元后结合韦达定理计算出点的纵坐标，并把结果代入到三角形的面积公式，由此计算出答案。
8．（2021高三上·哈尔滨月考）已知点 是抛物线 的对称轴与准线的交点，点 为抛物线的焦点，点 在抛物线上且满足 ，若 取最大值时，点 恰好在以 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【考点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，
∵|PA|=m|PB|， ∴|PA|=m|PN| ∴ ，
设PA的倾斜角为 ，则 ，
当m取得最大值时， 最小，此时直线PA与抛物线相切，
设直线PA的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，
∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1， ∴P（2，1），
∴双曲线的实轴长为PA﹣PB=2（ ﹣1）， ∴双曲线的离心率为 。
故答案为：B．
【分析】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，再利用|PA|=m|PB|， 得出 ，设PA的倾斜角为 ，再利用正弦函数的定义得出 ，当m取得最大值时， 最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的斜截式方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2﹣4kx+4=0，再利用判别式法得出直线PA的斜率，进而求出点P的坐标，再结合双曲线的实轴长的定义，得出双曲线的实轴长， 再结合双曲线的离心率公式，从而求出双曲线的离心率。
二、多选题
9．（2020高二上·海安期末）双曲线 与双曲线 （ ）
A．焦距相等 B．实轴长相等 C．离心率相等 D．渐近线相同
【答案】A,D
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线 ， ，则 ，则焦距 ，实轴长 ，
离心率 ，渐近线方程 ，
双曲线 ， ，则 ，则焦距 ，实轴长 ，
离心率 ，渐近线方程 ，
比较后可知两个双曲线的焦距相等，渐近线方程相同。
故答案为：AD
【分析】利用已知条件结合双曲线焦距的定义、实轴长的定义、离心率的公式、渐近线的方程求解方法，进而找出正确的选项。
10．（2021高二下·河源月考）已知椭圆 ： ，过其左焦点且斜率为 的直线 在 轴上的截距的绝对值大于椭圆 的短半轴的长，则以下结论正确的是（ ）
A．椭圆 的焦距为 B．直线 的方程为
C． 的取值范围是 D．椭圆C的离心率可以为
【答案】B,C,D
【考点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意可知： ，左焦点为 ，所以椭圆 的焦距为 ，故答案为：项A不符合题意;直线 的方程为： ，B符合题意；
当 时， ，又直线 在 轴上的截距的绝对值大于椭圆 的短半轴的长，所以 ，即 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，即 ，所以C，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】由椭圆焦点坐标求出焦距为由此判断出选项A错误；由已知条件即可判断出选项B正确；由椭圆的性质整理得到关于m的不等式求解出m的取值范围，再由离心率公式整理得到e的取值范围由此判断出选项C、D，从而得出答案。
11．（2021高二上·浦城期中）过M（1，1）作斜率为2的直线与双曲线 相交于A、B两点，若M是AB的中点，则下列表述正确的是（ ）
A．bC．离心率 D．b>a
【答案】C,D
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设 ，
则 ，
两式相减得 ，
化简得 ，
因为M（1，1）是AB的中点，
所以 ，即 ，
所以 ，渐近线方程为 ，离心率为 ，
故答案为：CD
【分析】 根据已知条件，利用“点差法”和双曲线的性质结合中点坐标公式，求出 ，逐项进行分析，可得答案。
12．（2020高二上·烟台期末）如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在 轴上， ， ， 为椭圆的顶点， 为右焦点，延长 与 交于点 ，若 为钝角，则该椭圆的离心率可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C,D
【考点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意设 ， ， ， ，
则 ， ，
且 为向量 与 的夹角，
因为 为钝角，
则 ，即 ， ， ，
即 ，又 ，
所以 ，即 ，解得 ，
又 ，所以 。
故答案为：BCD．
【分析】由题意设 ， ， ， ，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，且 为向量 与 的夹角，再利用 为钝角结合数量积的定义，从而结合数量积的坐标表示得出，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式，得出a,c的不等关系，再利用椭圆的离心率公式变形，从而结合椭圆的离心率的取值范围，进而求出该椭圆的离心率的取值范围，进而求出该椭圆的离心率可能的值。
三、填空题
13．（2020高二上·高州期末）已知双典线 的焦距为 ，且两条渐近线互相垂直，则双曲线虚轴的长为 .
【答案】4
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意得，双曲线的渐近线方程为 ，
因为两条渐近线互相垂直，所以 ，得 ，
因为焦距为 ，即2c= ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以双曲线的虚轴的长为4.
故答案为：4
【分析】根据题意由双曲线的简单性质即可求出渐近线的方程，由此得出a与b的关系，由已知条件即可得出c的取值，然后由椭圆的 a、b 、c 三者的关系计算出a与b的值，由此即可得出椭圆的方程。
14．已知直线l过点M（2，0），N（3，1），且与抛物线y2=8x交于A，B两点，则|AB|= .
【答案】16
【考点】抛物线的定义
【解析】【解答】由题意知，点M恰为抛物线的焦点，
，故直线l的方程为y=x-2，
代入抛物线的方程，得x2-12x+4=0，
故
则xA+xB=12，
|AB|= xA+xB+4=16.
故答案为：16
【分析】由题意知直线l的方程为y=x-2，代入抛物线的方程，得x2-12x+4=0，根据一元二次方程的根与系的关系得xA+xB=12，再由抛物线的定义可得答案。
15．（2021·富平模拟）已知F是抛物线 的焦点，P是抛物线上的一个动点，A（3，1），则 周长的最小值为 .
【答案】
【考点】两点间的距离公式；抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】 的焦点坐标为 ,求 周长的最小值，即求 的最小值，
设点 在准线上的射影为 ，
根据抛物线的定义，可知
因此， 的最小值，即 的最小值
根据平面几何知识，可得当 ， ， 三点共线时 最小，
因此的最小值为 ，
，所以 周长的最小值为 ，
故答案为： ．
【分析】根据题意由抛物线的定义整理即可得出，结合已知条件即可得出可得当 ， ， 三点共线时 最小，结合两点间的距离计算出答案。
16．（2021·桂林模拟）过 作与双曲线 （ ， 的两条渐近线平行的直线，分别交两渐近线于A、B两点，若 四点共圆（为坐标原点），则双曲线的离心率为 ．
【答案】
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可得 ，
∵直线 、 都平行于渐近线，
∴可设直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
∴过点 平行与 的直线 的方程为 ，
过点 平行与 的直线 的方程为 ，
分别联立方程 ， ，
解得 ， ，即线段 与 互相垂直平分，
则四边形 为菱形，其外接圆圆心在 、 的交点处，
∴ ，
则 即 ，
∵ ， ，
∴双曲线的离心率 ，
故答案为： ．
【分析】 根据题意写出， ，， 直线的直线方程，分别联立可得AB点坐标，分析得四边形 为菱形，则，利用垂直向量的数量积为0可得a与b的关系，结合双曲线中abc的关系可计算离心率。
四、解答题
17．（2022·宝鸡模拟）已知曲线C上任一点到点的距离比它到直线的距离小2．经过点的直线l与曲线C交于A，B两点．
（1）求曲线C的方程；
（2）若曲线C在点A，B处的切线交于点P，求面积的最小值．
【答案】（1）解：因为曲线C上任一点到点的距离比它到直线的距离小2．
所以曲线C上任一点到点的距离与它到直线的距离相等．是抛物线，
且，，所以的方程是；
（2）解：设，，
设过点的切线方程是，
由得，
，又，所以，，
切线方程为，，，
即，同理过点的切线方程是，
由得，即，
斜率存在时，设直线的方程是，显然，
由得，所以，，
，，
点到直线的距离为，
，
当斜率不存在时，易得（不妨设在第一象限），
方程是，即，方程是，即，
由，得，即，此时到的距离为6，，
，
综上，的最小值是36．
【考点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）已知条件变形可得曲线C是抛物线，由此可求其方程；
（2）设 ，，求出切线PA，PB的方程，联立求得P点坐标，斜率存在时，设直线的方程是，显然，与抛物线方程联立，消元后应用韦达定理得，，由焦点弦长公式得，与点到直线距离公式得P到直线AB的距离，从而可得面积（用m表示）后得其取值范围，再求出直线AB斜率不存在时面积，即可得最小值．
18．（2022高三上·贵州月考）已知椭圆的左 右焦点分别为和，且，，，四点中恰有三点在椭圆C上.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点P是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线和与直线分别交于G和H两点，设直线和的斜率分别为和，若线段GH的长度小于，求的最大值.
【答案】（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.
又由，知C不经过，所以点在C上.
所以解得
所以椭圆C的标准方程为；
（2）设，如图，过点P作直线轴，
分别交x轴和直线于M，N两点.
易知，则，即，
由，得，所以，
由，得，从而
所以当时，，即的最大值为.
【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1) 由题设知C经过，两点，代入椭圆方程求得a2，b2，进而可得 椭圆C的标准方程；
(2) 设，过点P作直线 轴， 分别交x轴和直线于M，N两点，由 得 ， 由 得 结合 即可求出 的最大值.
19．（2021·西安模拟）已知圆 与抛物线 交于 、 两点（ 在第一象限）， .
（1）求抛物线 的方程；
（2）设过A点的两条直线 与 关于直线 对称，直线 与 与抛物线 都有两个不同交点，且另一交点分别为 、 ，求直线 的斜率.
【答案】（1）由对称轴可知：A,B的纵坐标为，|AB|=,
因为（OA为圆O的半径），所以A的横坐标为
于是,代入Y2=2px (p>0),得8=4p,解得p=2 . 所以抛物线S的方程为y2=4x
（2）如图
设M(x1,y1),N(x2,y2),，由题意知，l1，l2存在斜率，
设AM：，（关于x=2对称，则kl1=kl2）
∴
而，同理，
【考点】圆的标准方程；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】(1) 根据对称性，得到A,B纵标，计算出AB的长度，由圆的垂径定理，得到 A,B的横坐标，从而得到A的坐标，代入抛物线方程，解方程，得出P的值，从而得到抛物线方程y2=4x；
（2）先设M(x1,y1),N(x2,y2)坐标，根据l1，l2关于x轴对称可知，它们的斜率互为相反数,设为k,-k,
再分别写出l1，l2的方程，然后与抛物线方程联立，用韦达定理得到关系式，最终求出kMN.
20．（2021·平顶山模拟）已知椭圆 的离心率 ，过右焦点 的直线 与椭圆交于 ， 两点， 在第一象限，且 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）在 轴上是否存在点 ，满足对于过点 的任一直线 与椭圆 的两个交点 ， ，都有 为定值？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：由 ，及 ，得 ，设椭圆方程为 ，联立方程组 得 ．则 ，
所以 ．所以 ．
所以椭圆 的方程为 ．
（2）解：当直线 不与 轴重合时，设 ，联立方程组
得 ．
设 ， ， ，则有 ， ．
于是
，
若 为定值，则有 ，得 ， ．
此时 ：当直线 与 轴重合时， ， ，
也有 ．
综上，存在点 ，满足 为定值．
【考点】平面向量数量积的运算；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)首先由已知条件结合椭圆的简单性质即可设出椭圆的方程再联立直线与椭圆的方程，整理求出点的坐标再由弦长公式求出b的值，由此得出椭圆的方程即可。
(2)根据题意 当直线 不与 轴重合时 由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于n的两根之和与两根之积的代数式，再由数量积的坐标公式代入整理即可得到求解出t的值即可。 当直线 与 轴重合时，结合已知条件以及数量积的坐标公式计算出t的值由此得证出结论。
21．（2021高二上·鸡东期中）已知双曲线 经过点（2，3），两条渐近线的夹角为 ，直线 交双曲线于A,B两点.
（1）求双曲线C的方程.
（2）若直线l过双曲线的右焦点 ，在x轴上是否存在点 ，使得直线 绕点 无论怎样转动，都有 成立？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）双曲线的渐近线方程为 .因为两条渐近线的夹角为 ,
所以渐近线 的倾斜角为 或 ，所以 或 .
又点（2,3）在双曲线C上，所以 ，
故 或 ，
解得 ，所以双曲线C的方程为 .
（2）双曲线的右焦点为 .
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 ，
设 ，因为 ，所以 ，
整理得 ①，
由 ，可得 .
因为直线l与双曲线有两个不同的交点，
所以 ，且 ，所以 .
由题设知①对任意的 均成立，又 ，
所以①可转化为 ，
整理得 对任意的 均成立，
故 ，所以 .
当直线l的斜率不存在时， ，
此时 或 ，
则 ，解得 .
综上，存在点 ，使 恒成立.
【考点】直线的点斜式方程；双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据双曲线的简单性质与标准方程，结合直线的斜率与倾斜角的关系求解即可；
（2）由题，当直线l的斜率不存在时，易得m=-1，再求解当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x-2)，结合韦达定理和向量的数量积运算得3(m2-1)+(5+4m-m2)k2=0对任意的 均成立，进而得 ，解方程即可得结论.
22．（2021高二上·浙江期末）已知椭圆 的左 右顶点分别为A，B，椭圆C的左 右焦点分别为F1，F2，点 为椭圆C的下顶点，直线MA与MB的斜率之积为 .
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点P，Q为椭圆C上位于x轴下方的两点，且 ，求四边形 面积的最大值.
【答案】（1）解：由题知： ，
， ，
又 ，∴椭圆 .
（2）解：延长QF2交椭圆于N点，连接 ， ，如下图所示：
，
∴设直线 ， ， .
由 ，得 ，
， ，
.
，由勾形函数的单调性得，
根据对称性得： ，且 ，
，
∴四边形 面积的最大值为 .
【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 由题知： ，再利用两点求斜率公式结合直线MA与MB的斜率之积为 ，从而得出 的值，再利用点 为椭圆C的下顶点， 得出 的值 ，进而得出椭圆的标准方程。
（2） 延长QF2交椭圆于N点，连接 ， ，再利用 结合点斜式方程，设直线 ， ， ，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合韦达定理得出 ， ，再利用韦达定理得出 ，再利用 结合勾形函数的单调性得出 ，根据对称性得： ，且 ，得出 ，再利用求和法和三角形的面积公式以及，从而得出四边形 面积的最大值。
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