精讲精练·专项突破 第三章《圆锥曲线的方程》单元能力提升（含详细解析） (24)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高二上学期人教版（2019）
第三章 《圆锥曲线的方程》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2020高二上·金台期末）点 到点 的距离比它到直线 的距离小2，则点 的轨迹方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【考点】轨迹方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】因为点 到点 的距离比它到直线 的距离少2，
所以将直线 左移2个单位，得到直线 ，即 ，
可得点 到直线 的距离等于它到点 的距离，
根据抛物线的定义，可得点 的轨迹是以点 为焦点，以直线 为准线的抛物线，设抛物线方程为 ，可得 ，得 ，
所以抛物线的方程为 ，即为 点的轨迹方程.
故答案为：B．
【分析】 由题意得点M到直线x=4的距离和它到点（-4，0）的距离相等，故点M的轨迹是以点（-4，0）为焦点，以直线x=4为准线的抛物线，由此即可得出答案．
2．（2020高二上·东莞期末）已知抛物线 ，过其焦点F的直线l交抛物线于 ， 两点，若 ，3， 三个数构成等差数列，则线段 的长为（　　）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】B
【考点】等差数列的性质；抛物线的定义
【解析】【解答】由题意，抛物线 ，可得其焦点坐标为 ，
根据抛物线的定义，可得 ，
又由 ，3， 三个数构成等差数列，所以 ，
所以 .
故答案为：8.
【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再利用抛物线的定义以及等差数列的性质即可求解。
3．（2022高三上·朝阳期末）双曲线的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为双曲线，所以,
所以双曲线的渐近线方程为.
故答案为：A
【分析】由双曲线的简单性质，即可得出答案。
4．（2021·河北模拟）已知抛物线 上存在关于直线 对称的相异两点 、 ，则 等于（　　）
A．3 B．4 C． D．
【答案】C
【考点】抛物线的定义；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】设直线 的方程为 ，由 ，进而可求出 的中点 ，又由 在直线 上可求出 ，∴ ，由弦长公式可求出 ．本题考查直线与圆锥曲线的位置关系．自本题起运算量增大．
故答案为：C
【分析】 根据题意首先设出直线AB的方程，与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理求得x1+×2的值，进而可求AB中M的坐标，代入直线x+y=0中求得b，进而由弦长公式求得|AB|.
5．（2021·嵊州模拟）已知 是双曲线 的右焦点，直线 经过点 且与双曲线相交于 两点，记该双曲线的离心率为 ，直线 的斜率为 ，若 ，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】平面向量的坐标运算；直线的斜率；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意，设直线 的方程为 ，
联立方程组 ，整理得 ，
设 ，可得 ，
因为 ，即 ，可得 ，
代入上式，可得 ， 可得 ，
整理得 ，即 ，
又由 ，可得 ，即 ，
所以 ，可得 ，即 .
故答案为：C.
【分析】根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与双曲线的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m的两根之和与两根之积的代数式，结合向量的坐标公式整理得出，结合已知条件即可得出，整理即可得出答案。
6．如图， ， 分别是双曲线 的左、右焦点，点 是双曲线与圆 在第二象限的一个交点，点 在双曲线上，且 ，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】连接 ，设 ,设 ， ，由双曲线的定义可得 .
由条件可得 ，则 ，即
在 中，
由 ，则 ，由双曲线的定义可得 .
在 中，
由余弦定理可得：
即
所以
结合上面得到的式子： ，可得
所以 ，则 ，即
所以 ，即
故答案为：A
【分析】连接 ，设 ，由条件可得，可得，由条件得，由双曲线的定义可得，由余弦定理可得，可得，可解得从而
可得答案。
7．（2021高一上·玉林期中）已知F是椭圆 的一个焦点，若直线 与椭圆相交于A，B两点，且 ，则椭圆离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】连接A，B与左右焦点F， 的连线，由 ，
由椭圆及直线的对称性知：四边形 为平行四边形，且 ，
在△ 中， ，
∴ ，可得 ，即 ，则 ，
∴椭圆的离心率 ，
故答案为：C．
【分析】根据题意由椭圆的简单性质即可得出四边形 为平行四边形，且 ，再由三角形中的几何计算关系结合余弦定理整理化简，然后由基本不等式即可得出即，结合离心率公式即可求出e的取值范围。
8．（2021高三上·郴州月考）已知点 是椭圆 ： 上一点，点 是椭圆 的左 右焦点，若 的内切圆半径的最大值为 ，则椭圆 的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【考点】椭圆的简单性质；椭圆的应用
【解析】【解答】由题意可得： ， ，
设 的内切圆半径为 ，
所以 ，
因为 的内切圆半径的最大值为 ，
所以
因为 ，
所以 ，可得 ，
所以椭圆 的离心率为 。
故答案为：B.
【分析】由题意结合椭圆的定义和焦距的定义，可得 ， ，设 的内切圆半径为 ，再利用三角形的面积公式结合拼凑法，得出 ，再利用三角形 的内切圆半径的最大值为 ，从而得出 ，再利用三角形的面积公式结合几何法，得出 ，可得 ，再结合椭圆中a,b,c三者的关系式，从而求出a,c的关系式，进而利用椭圆的离心率公式变形求出椭圆 的离心率。
二、多选题
9．（2020高二上·如皋期末）已知双曲线 的离心率 ，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．双曲线 的渐近线方程为
C．双曲线 的实轴长等于
D．双曲线 的准线为
【答案】A,B,C
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】对于A选项，由于方程 表示双曲线，则 ，解得 ，
所以，双曲线 的标准方程为 ，则 ， ， ，
所以， ，解得 ，A选项正确；
对于B选项， ， ，双曲线 的渐近线方程为 ，B选项正确；
对于C选项，双曲线 的实轴长为 ，C选项正确；
对于D选项，双曲线 的渐近线方程为 ，D选项错误.
故答案为：ABC.
【分析】利用双曲线的离心率公式结合已知条件，进而求出m的值，进而求出双曲线的标准方程，从而确定焦点的位置，进而求出a的值，从而结合实轴的定义求出双曲线的实轴长和渐近线方程、准线方程，从而找出说法正确的选项。
10．（2021高二上·沈阳月考）过双曲线的右焦点,作一条渐近线的垂线，垂足为点，与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率可能为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意可知：右焦点，则到渐近线的距离为，
①、当点、点在点同侧时，图像如下：
，，点是点、点中点，,
，，，故双曲线的离心率可能为2；
②、当点、点在点两侧时，图像如下：
，，，,
在中，，
，，，
故双曲线的离心率可能为；
综上所述：双曲线的离心率可能为或2。
故答案为：AC
【分析】由题意可知右焦点，再利用点到直线的距离公式，得出点到渐近线的距离为，再利用分类讨论的方法，①、当点、点在点同侧时，再利用已知条件得出点F是点、点中点，所以,进而得出，再利用直线的倾斜角与直线的斜率的关系式和二倍角的正切公式，从而得出a,b的关系式，再利用双曲线中a,b,c三者的关系式，从而求出a,c的关系式，进而结合双曲线的离心率公式变形，从而求出双曲线的离心率；②、当点、点在点两侧时，再利用已知条件得出，所以,进而得出，再利用正切函数的定义和二倍角的正切公式，从而得出a,b的关系式，再利用双曲线中a,b,c三者的关系式，从而求出a,c的关系式，进而结合双曲线的离心率公式变形，从而求出双曲线的离心率。
11．（2020高二上·滨州期末）若方程 所表示的曲线为 ，则下列命题正确的是（　　）
A．若 为椭圆，则
B．若 为双曲线，则 或
C．曲线 可能是圆
D．若 为焦点在 轴上的椭圆，则
【答案】B,C
【考点】二元二次方程表示圆的条件；椭圆的定义；双曲线的定义
【解析】【解答】对于A选项，若 为椭圆，则 ，解得 ，A选项错误；
对于B选项，若 为双曲线，则 ，即 ，解得 或 ，B选项正确；
对于C选项，若曲线 为圆，则 ，解得 ，C选项正确；
对于D选项，若 为焦点在 轴上的椭圆，则 ，解得 ，D选项错误.
故答案为：BC.
【分析】利用已知条件结合椭圆的定义、双曲线的定义和圆的定义，再结合椭圆焦点的位置，进而找出命题正确的选项。
12．（2021高二上·浙江期中）已知椭圆 ： 上有一点 ， 分别为左 右焦点， ， 的面积为 ，则下列选项正确的是（　　）
A．若 ，则
B．若 ，则满足题意的点 有四个
C．椭圆 内接矩形周长的最大值为20
D．若 为钝角三角形，则
【答案】B,C,D
【考点】椭圆的应用
【解析】【解答】∵椭圆 ： ，
∴ ，∴ ， ，
设 ，则 ， ，
若 ，则 ，所以 不存在，A不符合题意；
若 ，则 ，可得 ，故满足题意的点 有四个，B符合题意；
设椭圆 内接矩形的一个顶点为 ，
则椭圆 内接矩形周长为 其中 ，
由 得 ，
∴椭圆 内接矩形周长的范围为 ，即 ，C符合题意；
由上知 不可能为钝角，由对称性不妨设 是钝角，
先考虑临界情况，当 为直角时，易得 ，此时 ，
当 为钝角三角形时， ，所以 ，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】利用椭圆 ： 得出a,b的值，再结合椭圆中a,b,c三者的关系式，从而求出c的值，再结合椭圆的定义和焦距的定义，得出 的值，设 ，再利用三角形的面积公式，得出 ， ，再利用分类讨论的方法结合已知条件，若 ，则 ，所以三角形 不存在；若 ，从而得出满足题意的点 有四个；设椭圆 内接矩形的一个顶点为 ，再结合矩形的周长公式和辅助角公式，从而得出椭圆 内接矩形周长为 其中 ，再由 结合正弦型函数的图像求值域的方法，得出椭圆 内接矩形周长的范围；由上知 不可能为钝角，由对称性不妨设 是钝角，先考虑临界情况，当 为直角时，易得 ，从而结合三角形面积公式，进而求出此时三角形 的面积，当 为钝角三角形时， ，从而结合三角形面积公式，得出三角形 的面积 的取值范围，进而找出正确的选项。
三、填空题
13．（2020高二上·张家口期末）点 是椭圆 的一个焦点，则实数m的值为　 　．
【答案】3
【考点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】依题意，知椭圆的焦点在y轴上，∴ ， 且 ，
∴ ，解得 （舍）或 ，∴ 。
故答案为：3。
【分析】依题意，知椭圆的焦点在y轴上，从而得出a,b的值和m的取值范围，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式，从而得出c的值，再利用代入法得出m的值。
14．（2022高三上·“智桂杯”联考）已知双曲线的左 右焦点分别为 ，点在双曲线上，的内切圆圆心为，且满足，，则双曲线的离心率为　 　.
【答案】
【考点】双曲线的应用
【解析】【解答】由，即，即,所以，又因为是的角平分线，所以，即，即，所以，从而，解得或（舍去）。
故答案为：。
【分析】由结合数量积的运算法则和两向量垂直数量积为0的等价关系，所以，再利用是的角平分线，所以，再利用焦距的定义结合两点距离公式，从而得出，再利用双曲线中a,b,c三者的关系式，所以，再结合双曲线的离心率公式变形，进而解方程结合双曲线的离心率的取值范围，从而求出双曲线的离心率的值。
15．（2021·湖北模拟）如图，在 中， ，点 为 的中点，点 为线段 垂直平分线上的一点，且 ，四边形 为矩形，固定边 ，在平面 内移动顶点 ，使得 的内切圆始终与 切于线段 的中点，且 在直线 的同侧，在移动过程中，当 取得最小值时，点 到直线 的距离为　 　．
【答案】
【考点】函数的最值及其几何意义；抛物线的定义；抛物线的简单性质；双曲线的定义
【解析】【解答】设内切圆分别与AC,BC切于点F,G，BE的中点为H，则 ，所以 .
∴点C在以A,B为焦点的双曲线的右支上．
以AB所在的直线为x轴，以ED所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则B(2,0)，D(0,3)，易得 ，故点C在双曲线 的右支上．
∵ ,所以当 三点共线时，且C在线段BD上时， 取得最小值．
将直线 的方程 与 联立消去y整理得 ，解得 ．结合图形可得 取得最小值时点C的横坐标为 ，即点C到AH的距离为 ．
答案：
【分析】根据题意由已知条件结合双曲线的定义即可得出，点C在以A,B为焦点的双曲线的右支上，由此作出图象，利用数形结合法即可得出当 三点共线时，且C在线段BD上时， 取得最小值，联立直线与双曲线的方程求的取得最小值时点C的横坐标，由此即可得出答案。
16．（2021高二下·河池期末）过抛物线 ： 的焦点 作直线 与抛物线交于 ， 两点，则当点 ， 到直线 的距离之和最小时，线段 的长度为　 　．
【答案】
【考点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】依题意，抛物线 的焦点 ，设直线 的方程为 ，
由 可得 ，
设 ， ，则 ，
所以 ，则线段 的中点坐标 ，
到直线 的距离为 ，
则点 ， 到直线 的距离之和 ，
当 时， 取最小值，此时 。
故答案为： 。
【分析】依题意，由抛物线 的方程确定焦点的位置，从而求出焦点 ，设直线 的斜截式方程为 ，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程，设 ， ，再结合韦达定理，则 ，再结合代入法得出 ，再利用中点坐标公式得出线段 的中点坐标 ，再利用点到直线的距离公式求出点 到直线 的距离为 ，则点 ， 到直线 的距离之和 ，再利用二次函数的图像求最值的方法，得出当 时， 取最小值，从而求出此时线段 的长度 。
四、解答题
17．（2020高二上·佛山期末）已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知 为坐标原点，若平行四边形 的三个顶点 ， ， 均在椭圆 上，求证：平行四边形 的面积为定值.
【答案】（1）解：依题意，可得 结合 ，
解得 ， ， ，所以椭圆 的方程为 .
（2）解：设 ， ，则 ，
且平行四边形 的面积为三角形 面积的两倍.
（ⅰ）若直线 的斜率不存在，
设直线 的方程为 ，
则 ， ，故 ，
代入椭圆 的方程中，解得 ，
则 ， ，平行四边形 的面积为3.
（ⅱ）若直线 的斜率存在，
设直线 的方程为 ，联立 ，
消元 整理得 ，
则 ，
， ，
代入椭圆 的方程，得 ，
整理得 ，
于是 ，
则平行四边形 的面积为3.
综上，平行四边形 的面积为定值3.
【考点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由已知条件结合椭圆的 a、b 、c 三者的关系即可得出关于a、b、c的值，由此得出椭圆的方程。
(2) （ⅰ） 若直线 的斜率不存在 ，根据题意求出直线的方程从而得出点的坐标，再把点的坐标代入求解出t的值，然后由弦长公式以及三角形的面积公式代入数值计算出结果即可。
（ⅱ）若直线 的斜率存在 ，由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于和m的两根之和与两根之积的代数式，然后把点的坐标代入整理即可得出，结合弦长公式以及三角形的面积公式整理即可得出 平行四边形 的面积 ，由此即可得出结论。
18．（2021高二上·丰台期末）已知椭圆：过点，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线被椭圆截得的弦长为，求的值.
【答案】（1）解：依题意得，因离心率为，则椭圆半焦距，于是得，
所以椭圆E的方程为.
（2）解：设直线与椭圆E的交点为(，)，(，)，
由消去y并整理得：， 解得，
依题意，即，
整理得：，即，解得，即，
所以的值是.
【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)根据给定条件可得椭圆长半轴长a，由离心率求出半焦距c，再根据a,b,c之间的关系，求出b，即求出椭圆的方程；
(2) 设直线与椭圆E的交点为(，)，(，)， 联立直线与椭圆方程，结合弦长公式可得 ，求解出k的值.
19．（2021高三上·江西月考）已知抛物线上一点到其焦点的距离为，过点作两条斜率为，的直线，分别与该抛物线交于，与，两点，且，．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）由抛物线上一点到其焦点的距离为，
所以，解得，
故抛物线的方程为；
（Ⅱ）设直线，与抛物线联立，
可得，
设，，
则，，
所以
，
点到直线的距离为，
所以，
同理可得，
因为，且
所以，
整理可得：，即，所以，
所以，
由可得，
即，即，所以，
综上所述，的取值范围为．
【考点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)由抛物线的定义以及点在抛物线上，列出方程组 ，求解出p，即可得到 抛物线的方程；
(2) 设直线，与抛物线联立， 得到韦达定理，由弦长公式和点到直线的距离公式分别求出|AB|和点F到直线 的距离d，求出△FAB的面积，同理求出△PCD的面积，由题意列出关系式，结合判别式大于0，求解出t的范围.
20．（2021高二下·肥东月考）设F1，F2是椭圆 的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，求△F1PF2的面积．
【答案】解：由椭圆 有 .
由椭圆的定义有 ，又
所以 ， ，又 .
在△ 中，
所以△ 为直角三角形， △ 的面积为
【考点】椭圆的定义；三角形中的几何计算
【解析】【分析】利用椭圆的标准方程确定焦点的位置，进而求出a,b的值，再结合椭圆中a,b,c三者的关系式，进而求出c的值，再利用椭圆的定义结合已知条件 |PF1|∶|PF2|＝2∶1， 进而解方程组求出 ， ，再利用焦距定义得出 ，再利用勾股定理判断出三角形△ 为直角三角形， 再利用三角形面积公式，进而求出三角形△F1PF2的面积。
21．（2022高三上·清远期末）设抛物线的焦点为F，准线为l，过焦点F且斜率为1的直线与抛物线C交于A，B两点，若的中点到准线l的距离为4．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设P为l上任意一点，过点P作C的切线，切点为Q，试判断F是否在以为直径的圆上．
【答案】（1）解：设，则
所以，整理得，
所以．
因为直线的方程为，
所以．
因为的中点到准线l的距离为4，
所以，得，
故抛物线C的方程为．
（2）解：设，可知切线的斜率存在且不为0，
设切线的方程为，
联立方程组得，
由，得，即，
所以方程的根为，
所以，即．
因为，所以，
所以，即F在以为直径的圆上．
【考点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 设，再利用代入法，则再利用作差法得出，再利用已知条件设直线的点斜式方程，再转化为直线的斜截式方程为，再利用代入法结合，得出，再利用的中点到准线l的距离为4结合抛物线的定义和中位线的性质，得出p的值，进而求出抛物线C的标准方程。
（2） 设，可知切线的斜率存在且不为0，设切线的点斜式方程为，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合判别式法，得出，从而求出点P的坐标，进而求出方程的根为，再利用代入法得出，从而得出点Q的坐标，再利用向量的坐标表示得出向量的坐标，再结合数量积的坐标表示得出，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，所以，再结合直径所对的圆周角为直角的性质，从而判断出点F在以为直径的圆上。
22．（2021高二上·长春月考）已知椭圆 的中心是坐标原点 ，左右焦点分别为 设 是椭圆 上一点，满足 轴， ，椭圆 的离心率为 .
（参考公式：已知 的三边分别是 ，且内切圆的半径是 ，则 的面积
）
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过椭圆 左焦点 且不与 轴重合的直线 与椭圆相交于 两点，求 内切圆半径的最大值.
【答案】（1）解：由题意 是椭圆 上一点，满足 轴， ，离心率为 ．
所以 ，解得 所以 ．
（2）解：由（1）可知 ， ，
设直线 为 ，由 ，消去 得 ，设 ， ，则 ， ，所以
所以 ，
令内切圆的半径为 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，当且仅当 ， ，即 时等号成立，所以当 时， 取得最大值 ；
【考点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据椭圆的几何性质，结合椭圆的标准方程求解即可；
(2)根据椭圆的定义，利用直线与椭圆的位置关系，结合三角形的面积公式，以及基本不等式求最值即可求解.
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