精讲精练·专项突破 第三章《圆锥曲线的方程》单元能力提升（含详细解析） (30)

精讲精练·专项突破
2021-2022学年高二上学期人教版（2019）
第三章 《圆锥曲线的方程》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2020高一上·蓬江期末） 表示不超过x的最大整数，例如， ．若 是函数 的零点，则 （　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【考点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】因为函数 在定义域 上连续的增函数，
且 ，
又∵ 是函数 的零点，
∴ ，
所以 ，
故答案为：B．
【分析】 可判断函数f (x)在定义域(0, +∞)上连续，且是增函数，从而由零点判定定理求解.
2．（2021高一上·桂林月考）已知12是函数 的一个零点，则 的值是（　　）
A．1 B．0 C．2 D． +1
【答案】B
【考点】函数的值；分段函数的应用；函数的零点
【解析】【解答】由题意知： ，可得 ，
∴ ，则 .
∴ .
故答案为：B
【分析】由已知条件结合零点的定义代入到函数的解析式，由对数的运算性质整理即可得出m的取值，从而得到函数的解析式，再把数值代入计算出结果即可。
3．（2022高一上·温州期末）已知函数，若在定义域上恒成立，则的值是（　　）
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【考点】函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由题设，定义域为，
令，可得或，
∴在上，在上，
若，
∴要使在定义域上恒成立，则在上，在上，
∴或也是的零点，则：
，无解；，可得；，无解；
∴。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合函数的定义域和不等式恒成立问题求解方法，再结合函数零点求解方法，进而得出 的值 。
4．（2021·富平模拟）若函数 满足 ，且 时， ，已知函数 则函数 在区间 内的零点个数为（　　）
A．14 B．13 C．12 D．11
【答案】C
【考点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质；分段函数的应用；函数的零点
【解析】【解答】解：因为 ，所以函数 是周期为2函数，
因为 时， ，所以作出它的图象，则 的图象如图所示：（注意拓展它的区间）
再作出函数 的图象，
容易得出到交点为12个．
故答案为：C．
【分析】由已知条件结合周期公式即可得出函数的周期值，结合对数函数和指数函数的图象，再由题意作出函数的图象，利用零点的定义由数形结合法即可得出答案。
5．（2021·大庆模拟）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是 ，空气的温度是 ， 分钟后物体的温度 可由公式 求得. 把温度是 的物体，放在 的空气中冷却 分钟后，物体的温度是 ，则 约为（　　）（ ）
A．1.69 B．2.89 C．4.58 D．6.61
【答案】B
【考点】函数模型的选择与应用
【解析】【解答】由题意 ， ， ， ，
故答案为：B．
【分析】利用实际问题的已知条件结合公式 ，再利用代入法和指数与对数的互化公式，进而求出t约为的值。
6．（2022·昆明模拟）某商用无人机公司从2016年1月份开始投产，已知前4个月的产量分别为1万台，1.2万台，1.3万台，1.35万台，由于产品技术先进、质量可靠，前几个月的产品销售情况良好，为了方便营销人员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估测后几个月的产量，通过模拟多个函数模型，发现模拟函数比较接近客观实际，用该函数模型估计第5个月的产量是（单位：万台）（　　）
A．1.37 B．1.375 C．1.38 D．1.385
【答案】B
【考点】函数模型的选择与应用
【解析】【解答】对于函数模型，将前三个月产量的坐标代入，有，
解得，，，则，
当时，，与实际产量相符，
即由前4个月产量可得函数，
所以当时，。
故答案为：B
【分析】利用函数模型，将前三个月产量的坐标代入，从而解方程组求出a,b,c的值，进而求出函数的解析式，再利用代入法得出当时，，与实际产量相符，从而由前4个月产量可得函数，再利用赋值法估计出第5个月的产量。
7．（2022·永州模拟）在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数.假设某种传染病的基本传染数为，1个感染者在每个传染期会接触到个新人，这个人中有个人接种过疫苗（称为接种率），那么1个感染者传染人数为.已知某种传染病在某地的基本传染数，为了使1个感染者传染人数不超过1，则该地疫苗的接种率至少为（　　）
A．45% B．55% C．65% D．75%
【答案】D
【考点】函数模型的选择与应用
【解析】【解答】为了使得1个感染者传染人数不超过1，只需，即，
因为，故，可得。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件得出，再利用结合代入法，从而解不等式得出的取值范围，进而得出该地疫苗的接种率至少的百分数。
8．（2021高三上·五华月考）设 是定义域为 的奇函数，且 ，当 时， ， ．将函数 的正零点从小到大排序，则 的第4个正零点为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】函数奇偶性的性质；奇偶函数图象的对称性；函数的零点
【解析】【解答】解：∵ 是定义域为 的奇函数，
∴f(0)=0
由 知f(x)关于直线x=1对称，则f(2)=f(0)=0，
即f(2)=1+b=0，则b=-1，
又 ，则f(1)=3，即a-1-1=3，解得
则在[1,2]上，f(x)=42-x-1，如图所示，
在[1,2]上的图象作关于直线x=1对称可得在[0，1]上的图象，
在[0,2]上的图象作关于点(0,0)对称可得在[-2,0]上的图象，
以此类推可得f(x)的图象，
由g(x)=0得f(x)=1，可见第四个零点x4=x2+4，
在[1,2]上，f(x)=1，即42-x=2，则，即
则x4=x2+4=
故答案为：C
【分析】根据函数的奇偶性与对称性，结合函数的零点，运用数形结合思想求解即可.
二、多选题
9．（2020高一上·昭阳期末）下列函数中，是奇函数且存在零点的是（　　）
A．y=x3+x B．y=log2x C．y=2x2-3 D．y=x|x|
【答案】A,D
【考点】函数奇偶性的判断；函数零点的判定定理
【解析】【解答】A中，y=x3+x为奇函数，且存在零点x=0，与题意相符；
B中，y=log2x定义域不关于原点对称，故其为非奇非偶函数，与题意不符；
C中，y=2x2-3为偶函数，与题意不符；
D中，y=x|x|是奇函数，且存在零点x=0，与题意相符.
故答案为：AD.
【分析】利用已知条件结合奇函数的定义和零点存在性定理，从而找出是奇函数且存在零点的函数。
10．（2020高一上·肇庆期末）下列说法中正确的是（　　）
A．函数 只有一个零点，且该零点在区间 上
B．若 是定义在 上的奇函数， ，且当 时， ，则
C．已知 的定义域为 ，且 为奇函数， 为偶函数，则 一定是奇函数
D．实数 是命题“ ”为假命题的充分不必要条件
【答案】B,C,D
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；奇函数；函数奇偶性的判断；函数零点的判定定理
【解析】【解答】函数 在 上单调递增，又 ，
所以该零点在区间 上，A不符合题意；
由 得， ，
又 是定义在 上的奇函数，所以 ，
当 时， ，所以 ，
故 ，所以 ，B符合题意；
由 为奇函数，得 ，
由 为偶函数，得 ，
所以 ，
所以函数 的周期为8，故 ，所以 一定是奇函数，C符合题意；
命题“ ”为假命题，则“ ”为真命题，
当 时，“ ”为真命题，
当 时，由 可得
所以命题“ ”为假命题的充要条件是
故实数 是命题“ ”为假命题的充分不必要条件，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】利用已知条件结合零点存在性定理、奇函数的定义、奇函数和偶函数的定义判断函数奇偶性的方法、充分条件、必要条件的判断方法，进而找出说法正确的选项。
11．（2021高一上·靖远期末）设函数，则（　　）
A．当时，的值域为
B．当的单调递增区间为时，
C．当时，函数有2个零点
D．当时，关于x的方程有3个实数解
【答案】A,B,D
【考点】函数的值域；函数单调性的性质；根的存在性及根的个数判断；函数的零点
【解析】【解答】对A，当时，若x>1，，若x≤1，，于是的值域为，A符合题意；
的单调递增区间是和，因为的单调递增区间是，所以，即，B符合题意；
当时，由，得，当时，令，得.此方程有唯一解，得，即，C不符合题意；
当时，如图所示，
的图象与直线有3个交点，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】由a的取值即可得出函数的解析式，然后由指数函数和二次函数的性质即可求出函数的值域，由此判断出选项A正确；结合指数函数和二次函数的单调性即可得出函数的单调性，由此即可求出a的取值范围，由此判断出选项B正确；由零点和方程根的关系即可求出a的取值范围，由此即可判断出选项C错误；利用数形结合法即可求出，当时 方程解的个数，由此即可判断出选项D正确，从而即可得出答案。
12．（2022·莆田模拟）已知定义在上的函数（　　）
A．若恰有两个零点，则的取值范围是
B．若恰有两个零点，则的取值范围是
C．若的最大值为，则的取值个数最多为2
D．若的最大值为，则的取值个数最多为3
【答案】A,C
【考点】三角函数的最值；函数零点的判定定理
【解析】【解答】令，
若恰有两个零点，则有：，
解得的取值范围是：，
若的最大值为，分两种情况讨论：
①当，即时，根据正弦函数的单调性可知，，
解得：
②当，即时，根据正弦函数的单调性可知，在上单调递增
则有：，
结合函数与在上的图象可知，如下图：
故存在唯一的，使得，
综上可知，若的最大值为，则的取值个数最多为2。
故答案为：AC
【分析】令，若恰有两个零点结合零点存在性定理，得出实数的取值范围，若的最大值为，再利用分类讨论的方法，①当，得出时，再根据正弦函数的单调性求出函数的最大值，进而求出的值；②当，得出时，再根据正弦函数的单调性可知函数在上的单调性，进而求出函数得知最大值，即，再结合函数与在上的图象可知，得出存在唯一的，使得，进而得出若的最大值为时的实数的取值最多的个数，从而找出正确的选项。
三、填空题
13．若二次函数 的两个零点分别是2和3，则 的值为　 　.
【答案】-4
【考点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】因为二次函数 的两个零点分别是2和3，
所以一元二次方程 的两个根分别是2和3，
由一元二次方程根与系数关系得： ，解得 ，
因此， 。
故答案为：-4。
【分析】利用函数的零点与方程的根的等价关系，因为二次函数 的两个零点分别是2和3，所以一元二次方程 的两个根分别是2和3，再利用韦达定理求出a,b的值，从而求出2a+b的值。
14．（2020高一上·沈阳期末）已知函数 则不等式 的解集是　 　．
【答案】{x｜x≤1}
【考点】分段函数的应用
【解析】【解答】∵函数 ，
∴当x-1≥0，即 时， ，故 ；
当 ，即 时， ，故 ；
∴不等式 的解集是：{x|x≤1}.
故答案为：{x|x≤1}.
【分析】分x-1≥0和两种情况代入对应的解析式求解，即可求得不等式 的解集。
15．（2020高一上·天津期末）若f(x)＝ 是定义在R上的减函数，则a的取值范围是　 　.
【答案】
【考点】函数单调性的性质；分段函数的应用
【解析】【解答】由题意知， ，
解得 ，所以 .
故答案为：
【分析】由题意结合一次函数的单调性：一次项系数大于零为增函数，一次项系数小于零为减函数；即可得到关于a的不等式组求解出a的取值范围即可。
16．（2021高二下·湖北开学考）已知函数 (其中e为无理数且 )在 上有两个零点，且 使 成立，则实数a的取值范围为　 　.
【答案】 且
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由函数 在 上有两个零点，即方程 在 上有两个解，
即方程 在 上有不等于2的根，
令 ，则 ，
所以函数 在 上为单调递增函数，
所以 且 ，
又由 使 成立，即 使得 成立，
即 使 ，即 使 成立，
函数 在 上为单调递增函数，所以 ，
综上可知，实数a的取值范围为 且 。
故答案为： 且 。
【分析】由函数 在 上有两个零点，再结合函数的零点与方程的根的等价关系，即方程 在 上有两个解，即方程 在 上有不等于2的根，令 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，所以函数 在 上为单调递增函数，所以 且 ，又由 使 成立，即 使得 成立，即 使 成立，再利用函数 在 上的单调性，所以 ，从而求出实数a的取值范围。
四、解答题
17．（2020高一上·吉林期末）某沙漠原来面积为 ，经过绿化改造，每年沙漠面积的减少率为 ，当沙漠面积到原来面积的一半时，所用时间是 年，已知到2020年年末，沙漠剩余面积为原来面积的
（1）求
（2）到2020年年末，该沙漠已改造了多少年？
【答案】（1）解：由题意，可得 ，整理得 .
（2）解：设经过 年剩余面积为原来的 ，可得 ，
所以 ，
由（1）知 ，即 ，可得 ，解得 .
答：到2020年年末，该沙漠已改造了5年.
【考点】函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件建立函数模型，从而求出p的值。
（2）利用已知条件建立函数模型，再利用（1）的结论结合指数幂的运算法则，从而求出到2020年年末，该沙漠已改造了的年数。
18．（2020高三上·兴宁期末）小明在某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案．甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前54单没有奖励，超过54单的部分每单奖励20元.
（1）请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y（单位：元）与送货单数n的函数关系式；
（2）根据该公司所有派送员100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数满足以下条件：在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图，其中当某天的派送量指标在 时，日平均派送量为 单．若将频率视为概率，回答下列问题：
①估计这100天中的派送量指标的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ；
②根据以上数据，设每名派送员的日薪为 （单位：元），试分别求出甲、乙两种方案的日薪 的分布列及数学期望. 请利用数学期望帮助小明分析他选择哪种薪酬方案比较合适？并说明你的理由.
【答案】（1）解：甲： ，乙： ，故为
，
（2）解：①读图可知,20个0.1,30个0.3,20个0.5,20个0.7,10个0.9，故平均数
②甲:
P(概率) 0.2 0.3 0.2 0.2 0.1
X（日薪） 152 154 156 158 160
EX=
乙：
P（概率） 0.2 0.3 0.2 0.2 0.1
X（日薪） 140 140 180 220 260
EX=
乙的期望更高，故答案为：择乙方案．
【考点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【分析】（1）根据题意，列出解析式即可；
（2） ① 分别计算出每个区间中点值的个数，然后乘以总数，求和，除以个数，即可得到平均值 ② 分别计算出每个指标下薪资待遇，计算期望，比较大小做出选择。
19．（2021·河北模拟）已知函数 ．
（1）从① ，② 这两个条件中选择一个，求 零点的个数；
（2）若 ，讨论函数 的单调性．
注：若第（1）问选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】（1）选①，当 时， ， ，
令 ，
则 ，所以 在 上是单调递增函数，
设 为 的根，
由 ， ，
所以 ，
当 时 ， 单调递减，
当 时 ， 单调递增，
所以 在 处有最小值， ，且 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ， ，
此时 有2个零点；
选②，当 时， ， ，
令 ，
则 ，所以 在 上是单调递增函数，
在 上是单调递减函数，
在 有最大值 ，所以 ， 是单调递增函数，
因为 ， ，
所以 ， 在 单调且连续，所以存在 使得 ，
即零点的个数为1.
（2）若 ， ，令 ，
所以 ，
令 ，得 或 ，
当 时，
（i） 时， ， 单调递增，
（ii） 时， ， 单调递减，
（iii） 时， ， 单调递增，
当 时，
由 时， ， 单调递增，
当 时，
（i） 或 时， ， 单调递增，
（ii） 时， ， 单调递减.
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理
【解析】【分析】 (1)若选①:求出f(x), h(x)= f' (x),利用导数判断h (x )的单调性,结合函数零点的存在性定理，即可判断f (x )零点的个数；
若选②:求出f(x),令h(x)= f' (x),利用导数判断h (x )的单调性,结合函数零点的存在性定理,即可判断f (x )零点的个数；
(2)令函数g(x)= xf(x),求出g' (x)= 0的根，分 ， ， 三种情况，判断导函数的正负，从而得到函数的单调性.
20．（2021高一上·青岛期中）某科研单位在研发某种合金产品的过程中发现了一种新型合金材料，由大数据分析得到该产品的性能指标值y（y值越大产品性能越好）与这种新型合金材料的含量x（单位：克）的关系：当 时，y是x的二次函数；当 时， ．测得的部分数据如下表所示：
x 0 2 4 12 …
y －4 4 4 …
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）求该新型合金材料的含量x为何值时产品性能达到最佳．
【答案】（1）当 时，y是x的二次函数，设 ，
由 ， 可得 ，
由 ， 可得 ①，
由 ， 可得 ②，
由①②得 ， ，
即
当 时， ，
由 ， ，可得 ，即
综上，
（2）1°当 时， ，
所以当 时，y取得最大值5
2°当 时， 单调递减，所以当 时，y取得最大值4
综上所述，当该新型合金材料的含量为3时产品性能达到最佳．
【考点】函数解析式的求解及常用方法；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最值及其几何意义；分段函数的应用
【解析】【分析】(1)根据题意由特殊值代入法计算出a与b的值，从而得到函数的解析式。
(2)由已知条件把实际问题转化为数学问题，结合题意由二次函数和指数函数的性质即可求出函数的最值。
21．（2021·嘉定模拟）数学建模小组检测到相距3米的A，B两光源的强度分别为a，b，异于A，B的线段 上任意一点C处的光强度y等于两光源到该处的强度之和，设 米.
（1）假设某处的光强度与光源的强度成正比，与到光源的距离的平方成反比，比例系数为常数 ，测得数据：当 时， ；当 时， ，求A，B两处的光强度，并写出函数 的解析式；
（2）假设某处的光强度与光源的强度成正比，与到光源的距离成反比，比例系数为常数 ，测得数据：当 时， ；当 时， ，问何处的光强度最弱？并求最弱处的光强度.
【答案】（1）解：由已知，得
所以 ， ，故 ，
（2）解：由已知，得 ，所以 ，
故 ， .
因为 ，
当且仅当
所以当 时的C处，光强度最弱为
【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1） 由已知，得 ，再利用当 时， ；当 时， ，从而结合代入法解方程组求出a,b的值，进而求出函数的解析式。
（2） 由已知，得 ，再利用当 时， ；当 时， ，从而结合代入法解方程组求出a,b的值，进而求出函数的解析式为 ， ，
因为 ，再结合均值不等式求最值的方法，从而求出当 时的C处，光强度最弱为 。
22．（2021高一上·深圳竞赛）将连续正整数1，2，……，n (n∈N*)从小到大排列构成一个数123……*n，F(n)为这个数的位数(如n=12时，此数为123456 789 101 112，共有15个数字，F(12)=15)，现从这个数中随机取一个数字，p(n)为恰好取到0的概率．
（1）求p(100)；
（2）令g(n)为这个数中数字0的个数，f(n)为这个数中数字9的个数，h(n)= f(n)-g(n)，S={n|h(n)=1，n≤100，n∈N*}，求当n∈S时p(n)的最大值．
【答案】（1）解：当 n=100时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率为p(100)= -
（2）当n=b(1≤b≤9，b∈N)， g(n)=0；
当n=10k+b(1≤k≤9， 0≤b≤9， k∈N*， b∈N)时，g(n)=k；
当n=100时，g(n)=11， 即g(n)=
同理有f(n)=
由h(n)= f(n)-g(n)=1，可知n=9，19， 29，39， 49，59，69， 79，89，90，
所以当n≤100时，S={9，19， 29，39，49，59，69， 79，89，90}．
当n=9时，P(9)=0
当n=90时，p(90)=
当n=10k+9(1≤k≤8，k∈N*)时，p(n)=
由y= 关于k单调递增，故当n=10k+9(1≤k≤8， k∈N *)时，p(n)的最大值为p(89)=
又 <
所以当n∈S时，p(n)的最大为 -
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；古典概型及其概率计算公式；分段函数的应用
【解析】【分析】（1）根据古典概型概率计算公式求解即可；
（2）根据分段函数的定义，结合题意分别求得函数g(n),f(n)，再根据h(n)= f(n)-g(n)=1，结合古典概型概率计算公式，利用分类讨论思想求解即可.
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