精讲精练·专项突破 第三章《圆锥曲线的方程》单元能力提升（含详细解析） (32)
文档属性
| 名称 | 精讲精练·专项突破 第三章《圆锥曲线的方程》单元能力提升（含详细解析） (32) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 126.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-18 16:28:06 | ||
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文档简介
精讲精练·专项突破
2021-2022学年高二上学期人教版（2019）
第三章 《圆锥曲线的方程》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021高二下·梅河口期末）已知函数 ，则 等于（ ）
A．3 B．2
C．1 D．
【答案】D
【考点】对数的运算性质；分段函数的应用
【解析】【解答】解：由题意得
则
故答案为：D
【分析】根据分段函数的定义，结合对数运算求解即可.
2．（2021·济南模拟）若函数 在R上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】函数单调性的性质；对数函数的单调性与特殊点；分段函数的应用
【解析】【解答】因函数 在R上单调递增，
则有 在 上递增， 在 上也递增，
根据增函数图象特征知，点 不能在点 上方，
于是得 ，解得 ，所以实数a的取值范围是 .
故答案为：A
【分析】由分段函数的解析式结合一次函数和对数函数的单调性即可得出关于a的不等式组，求解出a的取值范围即可。
3．（2021高一下·定远期中）设函数，用二分法求方程近似解的过程中，计算得到，，则方程的近似解落在区间（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】二分法求方程的近似解
【解析】【解答】取，因为，所以方程近似解，
取 ，因为 ，
所以方程近似解 ，
故答案为：A.
【分析】 根据二分法求区间根的方法只须找到满足f(a) f(b) < 0即可求出答案。
4．（2022高一上·宁波期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上人定为醉酒驾车，某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了，如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时25%的速度减少，那么他至少要经过几个小时后才能驾车（参考数据：，）（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
【答案】B
【考点】函数模型的选择与应用
【解析】【解答】经过t小时后，体内的酒精含量为：，
只需，
∴t＞＝＝≈＝3.8，
∴他至少要经过4个小时后才能驾车.
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合指数与对数的互化公式和对数的运算法则，进而得出他至少要经过4个小时后才能驾车。
5．（2021高一上·柳州月考）下列函数在上单调递增且存在零点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】函数单调性的性质；函数的零点与方程根的关系；函数的零点
【解析】【解答】对称轴为，故在单调递减，在上单调递增，A不符合题意；，故不存在零点，B不符合题意；没有零点，C不符合题意；在在上单调递增且当x=1时，，故存在零点，符合要求.
故答案为：D
【分析】根据题意由函数零点的定义以及函数的单调性，结合题意对选项逐一判断即可得出答案。
6．（2021高二上·常熟月考）已知方程 的实数解为 ，且 ， ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【考点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】解： ，令 ， 在同一坐标系画出图象可得
由图可知 ，令 ，
，
，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】 先转化为两个简单函数判断交点所在区间的大致范围，再由零点判定定理确定即可.
7．（2020高一上·山西期末）利用二分法求方程 的近似解，已求得 的部分函数值的数据如下表：
x 1 2 1.5 1.75 1.625 1.5625
-1 0.6931 -0.0945 0.3096 0.1105 0.0088
则当精确度为0.1时，该方程的近似解可取为（ ）
A．1.55 B．1.62 C．1.71 D．1.76
【答案】A
【考点】二分法求方程的近似解；函数零点的判定定理
【解析】【解答】设函数 的零点为 ，
由表格信息可知：
所以 ，
取 ，由于 ， ，
所以 ，
取 ，由于 ， ，
所以 ，
取 ，由于 ， ，
所以 ，
取 ，由于 ， ，
所以 ，
因为精确度为0.1，
观察选项，函数 的零点近似值为1.55，
所以方程 的近似解为1.55.
故答案为：A.
【分析】 利用表格中的数据，在结合零点的存在性定理进行分析求解即可.
8．（2020高一上·来宾期末）已知函数 ，若函数 无零点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】函数的最值及其几何意义；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】设 ，则 的解为 ，由题意可知， 无解，
即 ，解得 。
故答案为：A
【分析】设 结合绝对值的定义求出绝对值方程 的解为 ，由题意可知， 无解，从而结合函数的最值求出方法得出函数的最值，进而求出实数a的取值范围。
二、多选题
9．（2020高一上·中山期末）小王从甲地到乙地往返的速度分别为 和 ，其全程的平均速度为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,D
【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用
【解析】【解答】设甲、乙两地之间的距离为 ，则全程所需的时间为 ，
.
，由基本不等式可得 ，
，
另一方面 ，
，
，则 .
故答案为：AD.
【分析】设甲、乙两地之间的距离为 ，则全程所需的时间为 ，再利用速度等于距离除以时间，从而得出，再利用结合均值不等式求最值的方法和作差法，从而比较出的大小，从而选出正确的选项。
10．（2020高一上·台州期末）设 ，某学生用二分法求方程 的近似解（精确度为 ），列出了它的对应值表如下：
x 0 1 1.25 1.375 1.4375 1.5 2
-6 -2 -0.87 -0.28 0.02 0.33 3
若依据此表格中的数据，则得到符合要求的方程的近似解可以为（ ）
A．1.25 B．1.376 C．1.4092 D．1.5
【答案】B,C
【考点】二分法求方程的近似解
【解析】【解答】 ， ，
故方程的近似解在 内
，故 任意数都可作为近似解
故答案为：BC
【分析】由表格中的数值可知 ， ，根据结合近似根的精确度即可得出答案。
11．（2020高一上·邯郸期末）在以下函数中，恰有1个零点的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B
【考点】函数的零点
【解析】【解答】A：由 ，所以该函数只有一个零点，符合题意；
B：由 ，所以该函数只有一个零点，符合题意；
C：由 或 ，所以该函数有两个零点，不符合题意；
D：当 时， 或 ，所以该函数当 时有两个零点，不符合题意，
故答案为：AB
【分析】利用已知条件结合函数零点求解方法，从而找出恰有1个零点的函数。
12．（2021高三上·湖南期中）已知函数 下列说法正确的是（ ）
A．对于 都存在零点
B．若 恒成立，则正实数a的最小值为
C．若 图像与直线 分别交于A，B两点，则 的最小值为
D．存在直线 与 的图像分别交于A，B两点，使得 在A处的切线与 在B处的切线平行
【答案】B,C,D
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；不等式的综合；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：对于A，因为 ，所以 ，令 ，存在 使得 ，故 在 单调递减，在区间 单调递增， 的最小值为 ，当 时， 不存在零点，A不符合题意.
对于B，不等式化为 ，令 ，则 ，所以 在 上递增，故同构可得： ，即 的最大值，令 ，则 ，所以 时 ，当 时 ，所以 ，所以 成立，B符合题意.
对于C，可知 ， ， ，令
在 上递增，且 ，当 ，
当 ，所以， ，C符合题意.
对于D，假设存在 满足题意，可知
，因为在 在A处与 在B处的切线平行所以有， ，即 ，得 ，故存在m符合题意，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】 对函数h(x)求导，利用函数单调性与导数的关系，求得h(x)的最小值，因此可得h(x)不存在零点由此判断出选项A错误；利用不等式，构造函数，利用函数的单调性，分离参数可得，结合其导函数的性质即可得出函数的单调性，由此即可求出函数的最大值，由此即可求得a的取值范围，从而判断出选项B正确；根据题意设出A和B点坐的标，由此求得，构造函数，利用函数单调性与导数的关系，即可求得最小值，因此求得的最小值，由此即可判断出选项C正确；由C选项可知，f(x)在A处与g(x)在B处的切线平行，因此可得，化简可得，由此即可求得m的值，所以存在m符合题意，由此判断出选项D正确，从而得出答案。
三、填空题
13．（2021高三上·浙江期末）我国古代数学著作《田亩比类乘除捷法》中有这样一个问题：“给银八百六十四两，只云所得银之两数比总分人数，其银多十二两.问总是几人，每人各得几两”，其意思是：“现一共有银子八百六十四两，只知道每个人分到的银子数目的两倍比总人数多十二，则一共有 人，每个人分得 两银子”.
【答案】36；24
【考点】函数模型的选择与应用
【解析】【解答】设共有人，则每人分得两银子，
因为每个人分到的银子数目的两倍比总人数多十二，
所以，即，解得或（舍去），
所以一共有36人，每人分得24两银子。
故答案为：36；24。
【分析】设共有人，则每人分得两银子，再利用每个人分到的银子数目的两倍比总人数多十二，从而解方程求出x的值，进而得出一共有的人数，进而得出每人分得的银子两数。
14．（2020高一上·上海期末）设 ，则满足 的实数x的取值范围是 .
【答案】（-∞，0）
【考点】分段函数的应用
【解析】【解答】作出函数 的图像
如图，满足
，解得 .
故答案为：（-∞，0）.
【分析】先得到函数的单调性，再利用函数的单调性即可解出不等式的解集。
15．（2021·苏州开学考）已知函数 ，若函数 恰有四个零点，则实数b的取值范围是 ．
【答案】
【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的零点与方程根的关系；函数的零点
【解析】【解答】当 时， ，
时， ，
时， ，
时， ，
即 ，如图，画出函数的图象，
若函数 恰有四个零点，即 和 有4个交点，根据数形结合可知 .
故答案为：
【分析】首先由绝对的几何意义化简整理得到函数的解析式，结合二次函数、一次函数的图象作出函数f(x)的图象，利用数形结合法以及零点的定义即可求出 和 有4个交点，由此得到b的取值范围。
16．（2021高一上·潍坊月考）定义在上的函数满足：
①当时，
②．
（1）若有唯一解，则实数的取值范围为 ；
（2）若函数的零点从小到大依次记为，，，，，则当时， ．
【答案】（1）
（2）1452
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；恒过定点的直线；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】（1）由函数的定义知，的图象在上是一段折线，起始点，顶点，如图，
又，因此在，图象又是一段折线，起始点，顶点，
同理，在，上，图象都是折线，起始点，顶点，
顶点都在直线上．
直线过定点，，，
由图可知，若有唯一解，则实数的取值范围为或。
（2）作直线，函数的零点，即的图象与直线的交点的横坐标，如图，由，因此，，…，，
所以。
故答案为：；1452。
【分析】（1）由分段函数的解析式画出分段函数的图像在上是一段折线，起始点，顶点，再利用，因此在，分段函数的图象又是一段折线，起始点，顶点，同理，在，上，图象都是折线，起始点，顶点，顶点都在直线上，从而推出直线过定点，，再利用两点求斜率公式，进而求出直线PB的斜率，由图可知，若有唯一解的实数的取值范围。
（2）作直线，再利用函数的零点与两函数交点的横坐标的等价关系，即函数的零点为函数的图象与直线的交点的横坐标，再利用两函数的图像和，从而得出，，…，，进而结合等比数列前n项和公式，从而求出的值。
四、解答题
17．（2021·上海模拟）已知下表为函数 部分自变量取值及其对应函数值，为了便于研究，相关函数值取非整数值时，取值精确到0.01.
0.61 -0.59 -0.56 -0.35 0 0.26 0.42 1.57 3.27
0.07 0.02 -0.03 -0.22 0 0.21 0.20 -10.04 -101.63
据表中数据，研究该函数的一些性质；
（1）判断函数 的奇偶性，并证明；
（2）判断函数 在区间[0.55,0.6]上是否存在零点，并说明理由；
（3）判断 的正负，并证明函数 在 上是单调递减函数.
【答案】（1）解：因为 ，所以 ， ，由 ，
所以 为奇函数．
（2）解：由已知可得 ， ，所以 在 ，所以 在 上存在零点.
（3）解：因为 在 上存在零点 ， 是奇函数，所以 在 上存在零点 ，
所以 ，
而 ，所以
因为 在 上存在零点，
所以 ， ．
设
，
因为 ；
所以 ，
又因为 ，所以
所以 在 上是单调递减函数．
【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断；函数零点的判定定理
【解析】【分析】 (1)根据条件确定d=0,然后根据函数奇偶性的定义判断f (x)的奇偶性；
(2)根据根的存在性定理进行判断即可;
(3)根据函数的单调性的定义证明即可.
18．（2021·成都模拟）已知函数 ，其中 ．
（Ⅰ）若 存在唯一极值点，且极值为0，求 的值；
（Ⅱ）讨论 在区间 上的零点个数．
【答案】解：（Ⅰ）由已知，可得 ．
①若 ，则当 时， 恒成立，
∴ 在 上单调递增，与 存在极值点矛盾；
②若 ，则由 得 ．
∴当 时， ；当 时， ．
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增．
∴ 存在唯一极小值点 ．
∴ ．
∴ 或 ．
（Ⅱ）①当 时， 在 上恒成立，∴ 在 上单调递增．
∵ ， ，
（ⅰ）当 时， ；
（ⅱ）当 时， ．
∴ ．
∴由零点存在性定理，知 在 上有1个零点；
②当 时，
∵当 时， ；当 时， ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增．
∴ ．
（ⅰ）当 时， ，此时 在 上有1个零点；
（ⅱ）当 时， ，此时 在 上无零点；
（ⅲ）当 时， ， ．
（a）当 ，即 时， 在 上有1个零点；
（b）当 ，即 时， 在 上有2个零点；
③当 时， 在 上恒成立， 在 上单调递减．
∵ ， ，
∴ 在 上有1个零点，
综上，当 时， 在 上无零点；
当 或 或 时， 在 上有1个零点；
当 时， 在 上有2个零点．
【考点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理
【解析】【分析】(1) 求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合函数的极值为0，得到关于a的方程，解出即可；
（2）通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合零点存在性定理判断即可．
19．（2021高二下·淄博期末）已知函数 ，其中 是自然对数的底数．
（1）判断函数 在区间 上的单调性，并求最小值；
（2）设 ，证明：函数 在区间 上有唯一零点．
【答案】（1）由已知可得， ，
当 时， ，
所以 ，
所以 在区间 上是单调递增的，
故函数在 上的最小值为 ．
（2）由已知条件可知： ，
当 时， ， ，
所以 在区间 上是单调递增的，
又 ， ，
所以存在唯一 ，使得 ，
所以 时， ，函数 单调递减，
时， ，函数 单调递增，
因为 ，
所以函数 在区间 上没有零点．
又 ， ，
所以函数 在区间 上存在唯一零点，
故函数 在区间 上有唯一零点．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值；函数零点的判定定理
【解析】【分析】(1)首先对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性以及单调区间，结合余弦函数的性质即可求出最小值。
(2)首先整理化简得出函数g(x)的解析式，再对其求导结合导函数的性质即可得出函数g(x)的单调性，由函数的单调性结合零点的定义即可得出答案。
20．（2020高一上·东莞期末）某篮球运动员为了测试自己的投篮最佳距离，他在每个测试点投篮30次，得到投篮命中数量y（单位：个）与测试点投篮距离x（单位：米）的部分数据如下表：
x 3 5 6 8
y 25 29 28 20
为了描述球员在测试点投篮命中数量y与投篮距离x的变化关系，现有以下三种 函数模型供选择：① ，② ，③ .
（1）选出你认为最符合实际的函数模型并说明理由，同时求出相应的函数解析式；
（2）在第（1）问的条件下，若函数 在闭区间 上的最大值为29，最小值为4，求 的取值范围.
【答案】（1）解：由表中数据可知， 先单调递增后单调递减，
因为 与 都是单调函数，所以不符合题意；
因为 先单调递增后单调递减，所以符合题意.
由表格数据得 ，
解得 ，所以 .
（2）解：由(1)知 ，故对称轴为 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
因为 ， ，所以 ，
又因为 时， 或 ，
所以 ，
综上所述， .
故m的范围是
【考点】函数单调性的性质；二次函数在闭区间上的最值；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】(1)由已知的图表中的数据结合函数的单调性即可得出 先单调递增后单调递减，从而得到 与 不符合题意，然后由二次函数的单调性即可得到 符合题意，再由特殊值代入法计算出a与b的值，从而得到函数的解析式。
(2)根据题意由二次函数图象以及单调性，结合函数的最值即可求出m的取值范围。
21．（2021高一上·太原期中）“国庆节”期间，某商场进行如下的优惠促销活动：
优惠1：一次购买商品的价格，每满 元立减 元；
优惠2：在优惠 之后，每满 元再减 元．
例如，一次购买商品的价格为 元，则实际支付额为 元，其中 表示不大于x的最大整数．又如，一次购买商品的价格为 元，则实际支付额为 元．
（1）小明计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品，他是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由；
（2）求一次购买商品实际支付额 （单位：元）关于一次购买商品价格 （单位：元）的解析式；
（3）若小明在该商场一次购买商品实际支付额 ，求这次他购买商品价格 的值．
【答案】（1）分两次支付：支付额为 元，
一次支付：支付额为 元，
因为 ，所以一次支付好.
（2）使用优惠1后：应支付 ，
使用优惠2后：应支付
（3）当 时， ，
因为 ，所以 ， ， ， ， ，
当 时， 可得 符合题意，
当 时， 可得 符合题意，
当 时， 可得 不满足 不符合题意，
当 时， 可得 不满足 不符合题意，
当 时， 可得 不满足 不符合题意，
综上所述：这次他购买商品价格 的值为178或183元.
【考点】函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）利用某商场进行的优惠促销活动结合已知条件，从而结合比较法得出一次支付好。
（2）利用某商场进行的优惠促销活动结合已知条件，从而求出一次购买商品实际支付额 （单位：元）关于一次购买商品价格 （单位：元）的解析式 。
（3）利用某商场进行的优惠促销活动结合已知条件，从而结合分类讨论的方法，从而求出这次他购买商品价格 的值。
22．（2021·潍坊模拟）设函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若关于 的方程 有两个实根，设为 ， （ ），证明： ．
【答案】（1）解：由于 ，又 ，
故在点 的切线斜率 ，
因此所求切线方程 ，
即
（2）解：由于 ，
故 时， ， 单调递减，
时， ， 单调递增，
由图易知， ， ，
由（1）可知，在 点的切线方程为 ，
设 与 的交点横坐标为 ，且
即 ，下证 ．
由于 在 单调递减，故只需证明 即可．
设 （ ）．
，
故 ， ，函数单调递减，
， ，函数单调递增，
因此 ，
即 ．
又 在 处的切线方程为 ，
设 与 的交点横坐标为 ，，即 ，下证 ．
由于 在 单调递增，故只需证明 即可，
设 ，
，函数在 单调递减， ，
即 ．
综上易知， ，
即
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；分析法的思考过程、特点及应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1） 利用求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，从而求出切点坐标，再利用点斜式求出曲线在切点处的切线的方程。
（2） 利用求导的方法判断函数的单调性，从而画出函数的图像，由于 ，由图易知， ， ，由（1）可知，在 点的切线方程为 ，设 与 的交点横坐标为 ，且 ，即 ，下证 ，由于函数 在 单调递减，故只需证明 即可，设 （ ），再利用求导的方法判断函数的单调性，因此 ，即 ，又因为函数 在 处的切线方程为 ，设 与 的交点横坐标为 ，即 ，下证 ，由于 在 单调递增，故只需证明 即可，设 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，则 ，即 ，综上证出 成立。
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2021-2022学年高二上学期人教版（2019）
第三章 《圆锥曲线的方程》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021高二下·梅河口期末）已知函数 ，则 等于（ ）
A．3 B．2
C．1 D．
【答案】D
【考点】对数的运算性质；分段函数的应用
【解析】【解答】解：由题意得
则
故答案为：D
【分析】根据分段函数的定义，结合对数运算求解即可.
2．（2021·济南模拟）若函数 在R上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】函数单调性的性质；对数函数的单调性与特殊点；分段函数的应用
【解析】【解答】因函数 在R上单调递增，
则有 在 上递增， 在 上也递增，
根据增函数图象特征知，点 不能在点 上方，
于是得 ，解得 ，所以实数a的取值范围是 .
故答案为：A
【分析】由分段函数的解析式结合一次函数和对数函数的单调性即可得出关于a的不等式组，求解出a的取值范围即可。
3．（2021高一下·定远期中）设函数，用二分法求方程近似解的过程中，计算得到，，则方程的近似解落在区间（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】二分法求方程的近似解
【解析】【解答】取，因为，所以方程近似解，
取 ，因为 ，
所以方程近似解 ，
故答案为：A.
【分析】 根据二分法求区间根的方法只须找到满足f(a) f(b) < 0即可求出答案。
4．（2022高一上·宁波期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上人定为醉酒驾车，某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了，如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时25%的速度减少，那么他至少要经过几个小时后才能驾车（参考数据：，）（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
【答案】B
【考点】函数模型的选择与应用
【解析】【解答】经过t小时后，体内的酒精含量为：，
只需，
∴t＞＝＝≈＝3.8，
∴他至少要经过4个小时后才能驾车.
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合指数与对数的互化公式和对数的运算法则，进而得出他至少要经过4个小时后才能驾车。
5．（2021高一上·柳州月考）下列函数在上单调递增且存在零点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】函数单调性的性质；函数的零点与方程根的关系；函数的零点
【解析】【解答】对称轴为，故在单调递减，在上单调递增，A不符合题意；，故不存在零点，B不符合题意；没有零点，C不符合题意；在在上单调递增且当x=1时，，故存在零点，符合要求.
故答案为：D
【分析】根据题意由函数零点的定义以及函数的单调性，结合题意对选项逐一判断即可得出答案。
6．（2021高二上·常熟月考）已知方程 的实数解为 ，且 ， ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【考点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】解： ，令 ， 在同一坐标系画出图象可得
由图可知 ，令 ，
，
，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】 先转化为两个简单函数判断交点所在区间的大致范围，再由零点判定定理确定即可.
7．（2020高一上·山西期末）利用二分法求方程 的近似解，已求得 的部分函数值的数据如下表：
x 1 2 1.5 1.75 1.625 1.5625
-1 0.6931 -0.0945 0.3096 0.1105 0.0088
则当精确度为0.1时，该方程的近似解可取为（ ）
A．1.55 B．1.62 C．1.71 D．1.76
【答案】A
【考点】二分法求方程的近似解；函数零点的判定定理
【解析】【解答】设函数 的零点为 ，
由表格信息可知：
所以 ，
取 ，由于 ， ，
所以 ，
取 ，由于 ， ，
所以 ，
取 ，由于 ， ，
所以 ，
取 ，由于 ， ，
所以 ，
因为精确度为0.1，
观察选项，函数 的零点近似值为1.55，
所以方程 的近似解为1.55.
故答案为：A.
【分析】 利用表格中的数据，在结合零点的存在性定理进行分析求解即可.
8．（2020高一上·来宾期末）已知函数 ，若函数 无零点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】函数的最值及其几何意义；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】设 ，则 的解为 ，由题意可知， 无解，
即 ，解得 。
故答案为：A
【分析】设 结合绝对值的定义求出绝对值方程 的解为 ，由题意可知， 无解，从而结合函数的最值求出方法得出函数的最值，进而求出实数a的取值范围。
二、多选题
9．（2020高一上·中山期末）小王从甲地到乙地往返的速度分别为 和 ，其全程的平均速度为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,D
【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用
【解析】【解答】设甲、乙两地之间的距离为 ，则全程所需的时间为 ，
.
，由基本不等式可得 ，
，
另一方面 ，
，
，则 .
故答案为：AD.
【分析】设甲、乙两地之间的距离为 ，则全程所需的时间为 ，再利用速度等于距离除以时间，从而得出，再利用结合均值不等式求最值的方法和作差法，从而比较出的大小，从而选出正确的选项。
10．（2020高一上·台州期末）设 ，某学生用二分法求方程 的近似解（精确度为 ），列出了它的对应值表如下：
x 0 1 1.25 1.375 1.4375 1.5 2
-6 -2 -0.87 -0.28 0.02 0.33 3
若依据此表格中的数据，则得到符合要求的方程的近似解可以为（ ）
A．1.25 B．1.376 C．1.4092 D．1.5
【答案】B,C
【考点】二分法求方程的近似解
【解析】【解答】 ， ，
故方程的近似解在 内
，故 任意数都可作为近似解
故答案为：BC
【分析】由表格中的数值可知 ， ，根据结合近似根的精确度即可得出答案。
11．（2020高一上·邯郸期末）在以下函数中，恰有1个零点的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B
【考点】函数的零点
【解析】【解答】A：由 ，所以该函数只有一个零点，符合题意；
B：由 ，所以该函数只有一个零点，符合题意；
C：由 或 ，所以该函数有两个零点，不符合题意；
D：当 时， 或 ，所以该函数当 时有两个零点，不符合题意，
故答案为：AB
【分析】利用已知条件结合函数零点求解方法，从而找出恰有1个零点的函数。
12．（2021高三上·湖南期中）已知函数 下列说法正确的是（ ）
A．对于 都存在零点
B．若 恒成立，则正实数a的最小值为
C．若 图像与直线 分别交于A，B两点，则 的最小值为
D．存在直线 与 的图像分别交于A，B两点，使得 在A处的切线与 在B处的切线平行
【答案】B,C,D
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；不等式的综合；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：对于A，因为 ，所以 ，令 ，存在 使得 ，故 在 单调递减，在区间 单调递增， 的最小值为 ，当 时， 不存在零点，A不符合题意.
对于B，不等式化为 ，令 ，则 ，所以 在 上递增，故同构可得： ，即 的最大值，令 ，则 ，所以 时 ，当 时 ，所以 ，所以 成立，B符合题意.
对于C，可知 ， ， ，令
在 上递增，且 ，当 ，
当 ，所以， ，C符合题意.
对于D，假设存在 满足题意，可知
，因为在 在A处与 在B处的切线平行所以有， ，即 ，得 ，故存在m符合题意，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】 对函数h(x)求导，利用函数单调性与导数的关系，求得h(x)的最小值，因此可得h(x)不存在零点由此判断出选项A错误；利用不等式，构造函数，利用函数的单调性，分离参数可得，结合其导函数的性质即可得出函数的单调性，由此即可求出函数的最大值，由此即可求得a的取值范围，从而判断出选项B正确；根据题意设出A和B点坐的标，由此求得，构造函数，利用函数单调性与导数的关系，即可求得最小值，因此求得的最小值，由此即可判断出选项C正确；由C选项可知，f(x)在A处与g(x)在B处的切线平行，因此可得，化简可得，由此即可求得m的值，所以存在m符合题意，由此判断出选项D正确，从而得出答案。
三、填空题
13．（2021高三上·浙江期末）我国古代数学著作《田亩比类乘除捷法》中有这样一个问题：“给银八百六十四两，只云所得银之两数比总分人数，其银多十二两.问总是几人，每人各得几两”，其意思是：“现一共有银子八百六十四两，只知道每个人分到的银子数目的两倍比总人数多十二，则一共有 人，每个人分得 两银子”.
【答案】36；24
【考点】函数模型的选择与应用
【解析】【解答】设共有人，则每人分得两银子，
因为每个人分到的银子数目的两倍比总人数多十二，
所以，即，解得或（舍去），
所以一共有36人，每人分得24两银子。
故答案为：36；24。
【分析】设共有人，则每人分得两银子，再利用每个人分到的银子数目的两倍比总人数多十二，从而解方程求出x的值，进而得出一共有的人数，进而得出每人分得的银子两数。
14．（2020高一上·上海期末）设 ，则满足 的实数x的取值范围是 .
【答案】（-∞，0）
【考点】分段函数的应用
【解析】【解答】作出函数 的图像
如图，满足
，解得 .
故答案为：（-∞，0）.
【分析】先得到函数的单调性，再利用函数的单调性即可解出不等式的解集。
15．（2021·苏州开学考）已知函数 ，若函数 恰有四个零点，则实数b的取值范围是 ．
【答案】
【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的零点与方程根的关系；函数的零点
【解析】【解答】当 时， ，
时， ，
时， ，
时， ，
即 ，如图，画出函数的图象，
若函数 恰有四个零点，即 和 有4个交点，根据数形结合可知 .
故答案为：
【分析】首先由绝对的几何意义化简整理得到函数的解析式，结合二次函数、一次函数的图象作出函数f(x)的图象，利用数形结合法以及零点的定义即可求出 和 有4个交点，由此得到b的取值范围。
16．（2021高一上·潍坊月考）定义在上的函数满足：
①当时，
②．
（1）若有唯一解，则实数的取值范围为 ；
（2）若函数的零点从小到大依次记为，，，，，则当时， ．
【答案】（1）
（2）1452
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；恒过定点的直线；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】（1）由函数的定义知，的图象在上是一段折线，起始点，顶点，如图，
又，因此在，图象又是一段折线，起始点，顶点，
同理，在，上，图象都是折线，起始点，顶点，
顶点都在直线上．
直线过定点，，，
由图可知，若有唯一解，则实数的取值范围为或。
（2）作直线，函数的零点，即的图象与直线的交点的横坐标，如图，由，因此，，…，，
所以。
故答案为：；1452。
【分析】（1）由分段函数的解析式画出分段函数的图像在上是一段折线，起始点，顶点，再利用，因此在，分段函数的图象又是一段折线，起始点，顶点，同理，在，上，图象都是折线，起始点，顶点，顶点都在直线上，从而推出直线过定点，，再利用两点求斜率公式，进而求出直线PB的斜率，由图可知，若有唯一解的实数的取值范围。
（2）作直线，再利用函数的零点与两函数交点的横坐标的等价关系，即函数的零点为函数的图象与直线的交点的横坐标，再利用两函数的图像和，从而得出，，…，，进而结合等比数列前n项和公式，从而求出的值。
四、解答题
17．（2021·上海模拟）已知下表为函数 部分自变量取值及其对应函数值，为了便于研究，相关函数值取非整数值时，取值精确到0.01.
0.61 -0.59 -0.56 -0.35 0 0.26 0.42 1.57 3.27
0.07 0.02 -0.03 -0.22 0 0.21 0.20 -10.04 -101.63
据表中数据，研究该函数的一些性质；
（1）判断函数 的奇偶性，并证明；
（2）判断函数 在区间[0.55,0.6]上是否存在零点，并说明理由；
（3）判断 的正负，并证明函数 在 上是单调递减函数.
【答案】（1）解：因为 ，所以 ， ，由 ，
所以 为奇函数．
（2）解：由已知可得 ， ，所以 在 ，所以 在 上存在零点.
（3）解：因为 在 上存在零点 ， 是奇函数，所以 在 上存在零点 ，
所以 ，
而 ，所以
因为 在 上存在零点，
所以 ， ．
设
，
因为 ；
所以 ，
又因为 ，所以
所以 在 上是单调递减函数．
【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断；函数零点的判定定理
【解析】【分析】 (1)根据条件确定d=0,然后根据函数奇偶性的定义判断f (x)的奇偶性；
(2)根据根的存在性定理进行判断即可;
(3)根据函数的单调性的定义证明即可.
18．（2021·成都模拟）已知函数 ，其中 ．
（Ⅰ）若 存在唯一极值点，且极值为0，求 的值；
（Ⅱ）讨论 在区间 上的零点个数．
【答案】解：（Ⅰ）由已知，可得 ．
①若 ，则当 时， 恒成立，
∴ 在 上单调递增，与 存在极值点矛盾；
②若 ，则由 得 ．
∴当 时， ；当 时， ．
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增．
∴ 存在唯一极小值点 ．
∴ ．
∴ 或 ．
（Ⅱ）①当 时， 在 上恒成立，∴ 在 上单调递增．
∵ ， ，
（ⅰ）当 时， ；
（ⅱ）当 时， ．
∴ ．
∴由零点存在性定理，知 在 上有1个零点；
②当 时，
∵当 时， ；当 时， ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增．
∴ ．
（ⅰ）当 时， ，此时 在 上有1个零点；
（ⅱ）当 时， ，此时 在 上无零点；
（ⅲ）当 时， ， ．
（a）当 ，即 时， 在 上有1个零点；
（b）当 ，即 时， 在 上有2个零点；
③当 时， 在 上恒成立， 在 上单调递减．
∵ ， ，
∴ 在 上有1个零点，
综上，当 时， 在 上无零点；
当 或 或 时， 在 上有1个零点；
当 时， 在 上有2个零点．
【考点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理
【解析】【分析】(1) 求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合函数的极值为0，得到关于a的方程，解出即可；
（2）通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合零点存在性定理判断即可．
19．（2021高二下·淄博期末）已知函数 ，其中 是自然对数的底数．
（1）判断函数 在区间 上的单调性，并求最小值；
（2）设 ，证明：函数 在区间 上有唯一零点．
【答案】（1）由已知可得， ，
当 时， ，
所以 ，
所以 在区间 上是单调递增的，
故函数在 上的最小值为 ．
（2）由已知条件可知： ，
当 时， ， ，
所以 在区间 上是单调递增的，
又 ， ，
所以存在唯一 ，使得 ，
所以 时， ，函数 单调递减，
时， ，函数 单调递增，
因为 ，
所以函数 在区间 上没有零点．
又 ， ，
所以函数 在区间 上存在唯一零点，
故函数 在区间 上有唯一零点．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值；函数零点的判定定理
【解析】【分析】(1)首先对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性以及单调区间，结合余弦函数的性质即可求出最小值。
(2)首先整理化简得出函数g(x)的解析式，再对其求导结合导函数的性质即可得出函数g(x)的单调性，由函数的单调性结合零点的定义即可得出答案。
20．（2020高一上·东莞期末）某篮球运动员为了测试自己的投篮最佳距离，他在每个测试点投篮30次，得到投篮命中数量y（单位：个）与测试点投篮距离x（单位：米）的部分数据如下表：
x 3 5 6 8
y 25 29 28 20
为了描述球员在测试点投篮命中数量y与投篮距离x的变化关系，现有以下三种 函数模型供选择：① ，② ，③ .
（1）选出你认为最符合实际的函数模型并说明理由，同时求出相应的函数解析式；
（2）在第（1）问的条件下，若函数 在闭区间 上的最大值为29，最小值为4，求 的取值范围.
【答案】（1）解：由表中数据可知， 先单调递增后单调递减，
因为 与 都是单调函数，所以不符合题意；
因为 先单调递增后单调递减，所以符合题意.
由表格数据得 ，
解得 ，所以 .
（2）解：由(1)知 ，故对称轴为 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
因为 ， ，所以 ，
又因为 时， 或 ，
所以 ，
综上所述， .
故m的范围是
【考点】函数单调性的性质；二次函数在闭区间上的最值；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】(1)由已知的图表中的数据结合函数的单调性即可得出 先单调递增后单调递减，从而得到 与 不符合题意，然后由二次函数的单调性即可得到 符合题意，再由特殊值代入法计算出a与b的值，从而得到函数的解析式。
(2)根据题意由二次函数图象以及单调性，结合函数的最值即可求出m的取值范围。
21．（2021高一上·太原期中）“国庆节”期间，某商场进行如下的优惠促销活动：
优惠1：一次购买商品的价格，每满 元立减 元；
优惠2：在优惠 之后，每满 元再减 元．
例如，一次购买商品的价格为 元，则实际支付额为 元，其中 表示不大于x的最大整数．又如，一次购买商品的价格为 元，则实际支付额为 元．
（1）小明计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品，他是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由；
（2）求一次购买商品实际支付额 （单位：元）关于一次购买商品价格 （单位：元）的解析式；
（3）若小明在该商场一次购买商品实际支付额 ，求这次他购买商品价格 的值．
【答案】（1）分两次支付：支付额为 元，
一次支付：支付额为 元，
因为 ，所以一次支付好.
（2）使用优惠1后：应支付 ，
使用优惠2后：应支付
（3）当 时， ，
因为 ，所以 ， ， ， ， ，
当 时， 可得 符合题意，
当 时， 可得 符合题意，
当 时， 可得 不满足 不符合题意，
当 时， 可得 不满足 不符合题意，
当 时， 可得 不满足 不符合题意，
综上所述：这次他购买商品价格 的值为178或183元.
【考点】函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）利用某商场进行的优惠促销活动结合已知条件，从而结合比较法得出一次支付好。
（2）利用某商场进行的优惠促销活动结合已知条件，从而求出一次购买商品实际支付额 （单位：元）关于一次购买商品价格 （单位：元）的解析式 。
（3）利用某商场进行的优惠促销活动结合已知条件，从而结合分类讨论的方法，从而求出这次他购买商品价格 的值。
22．（2021·潍坊模拟）设函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若关于 的方程 有两个实根，设为 ， （ ），证明： ．
【答案】（1）解：由于 ，又 ，
故在点 的切线斜率 ，
因此所求切线方程 ，
即
（2）解：由于 ，
故 时， ， 单调递减，
时， ， 单调递增，
由图易知， ， ，
由（1）可知，在 点的切线方程为 ，
设 与 的交点横坐标为 ，且
即 ，下证 ．
由于 在 单调递减，故只需证明 即可．
设 （ ）．
，
故 ， ，函数单调递减，
， ，函数单调递增，
因此 ，
即 ．
又 在 处的切线方程为 ，
设 与 的交点横坐标为 ，，即 ，下证 ．
由于 在 单调递增，故只需证明 即可，
设 ，
，函数在 单调递减， ，
即 ．
综上易知， ，
即
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；分析法的思考过程、特点及应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1） 利用求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，从而求出切点坐标，再利用点斜式求出曲线在切点处的切线的方程。
（2） 利用求导的方法判断函数的单调性，从而画出函数的图像，由于 ，由图易知， ， ，由（1）可知，在 点的切线方程为 ，设 与 的交点横坐标为 ，且 ，即 ，下证 ，由于函数 在 单调递减，故只需证明 即可，设 （ ），再利用求导的方法判断函数的单调性，因此 ，即 ，又因为函数 在 处的切线方程为 ，设 与 的交点横坐标为 ，即 ，下证 ，由于 在 单调递增，故只需证明 即可，设 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，则 ，即 ，综上证出 成立。
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