2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册8.6.3平面与平面垂直（第一课时）课件(共29张PPT)

(共29张PPT)
2022
第八章立体几何初步
8.6.3平面与平面垂直（第一课时）
目录
CONTENTS
01
知识回顾
03
面面垂直判定定理
02
平面与平面所成的角
04
课堂总结
01
知识回顾
1.线面角？
平面的斜线
斜足
斜线在平面上的射影
斜线与平面所成的角
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，
叫做这条直线和这个平面所成的角．
3.直线与平面垂直的性质定理？
2.直线与平面垂直的判定定理？
若a⊥α，b⊥α，则a//b.
接下来我们将要探索平面与平面垂直的判定与性质.
思考
1.平面与平面垂直该如何定义呢？
研究直线与直线垂直时，是先定义了角的概念，利用角刻画两条相交直线的位置关系，进而研究直线与直线互相垂直这一特殊位置关系.
要研究平面与平面互相垂直，那就需要先引入两个平面所成的角(二面角)的概念，用以刻画两个相交平面的位置关系，进而研究两个平面互相垂直.
接下来我们就来看看二面角及相关概念是如何定义的？
02
平面与平面所成的角
二面角（面面角）
1.半平面：平面上的一条直线将平面分割成两部分，每一部分叫半平面.
2.二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.
注：棱AB，面分别为α，β的二面角记作二面角α-AB-β.
有时为了方便，也可在α，β内(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角P-AB-Q.
如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α-l-β或二面角P-l-Q.
α
β
l
A
B

P

Q
思考：(1)在日常生活中,有没有典型的二面角？
门窗开合，墙体建设，等等
A
B
O
l
A′
B′
O′
α
β
思考：(2)我们常说把门开大一些,是指哪个角大一些
受此启发,你认为应该怎样刻画二面角的大小呢
∠AOB，∠A‘O’B‘。。。。
α
β
l
A
B
O

3.二面角的平面角：在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
注意：(1)其中∠AOB的大小与点O的位置无关;
(2)表示二面角的平面角的两边一定要垂直于棱.
二面角的大小是用它的平面角来度量的. 二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.
4.二面角的取值范围:
因此，二面角的平面角的取值范围为__________.
α(β)
l
A(B)
O
(2)∠AOB=180°，即二面角的平面角为180°时，表示二面角的两个半平面展开成一个平面.
α
β
l
A
B
O
[0°, 180°]
注：异面直线所成角___________，线面角____________.
(0°, 90°]
[0°, 90°]
(1)∠AOB=0°，即二面角的平面角为0°，表示二面角的两个半平面重叠成一个半平面.
例1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，截面C1D1AB与底面ABCD所成二面角C1-AB-C的大小为______．
解析：∵AB⊥BC，AB⊥BC1，∴∠C1BC为二面角C1-AB-C的平面角，大小为45°.
∴二面角C1-AB-C的大小为45°
例2：在正方体ABCD A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成锐二面角A1 BD A的正切值为________．
O
求二面角大小的步骤：
例3：若P是△ABC所在平面外一点，而△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝ ，求二面角P BC A的大小。
O
B
P
C
A
例4：已知SA垂直于直角梯形ABCD所在的平面，AD∥BC，∠ABC＝90°且SA＝AB＝BC＝2AD，求侧面SDC与侧面SAB所成二面角的正切值．
例4：已知SA垂直于直角梯形ABCD所在的平面，AD∥BC，∠ABC＝90°且SA＝AB＝BC＝2AD，求侧面SDC与侧面SAB所成二面角的正切值．
特殊地：∠AOB=90°，即二面角的平面角为直角时，我们把这种二面角角叫做直二面角.
5.平面与平面垂直的定义：一般地，两个平面α，β相交，如果它们所成的二面角α-l-β是直二面角，就说平面α与β互相垂直. 记作α⊥β.
α
β
l
A
B
O
03
面面垂直判定定理
面面垂直判定定理
α⊥β
文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
符号语言：若a α，a⊥β，则α⊥β. 图形语言：
a
A
B
D
C
E
例5：已知 正方体ABCD-A'B'C'D'. 求证：平面A'BD⊥平面ACC'A'.
证明： ∵ABCD-A'B'C'D'是正方体，
∴AA'⊥平面ABCD.
又BD 平面ABCD，
∴AA'⊥BD.
又AC⊥BD，AC∩AA'=A，
∴BD⊥平面ACC'A'，
又BD 平面A'BD，
∴平面A'BD⊥平面ACC'A'.
B
D
C
A′
B′
C′
D′
A
证明：∵ABC-A'B'C'是正三棱柱，
∴AA'⊥平面ABC.
又BD 平面ABC，
∴AA'⊥BD.
∵△ABC是正三角形，且D是AC的中点，
∴ AC⊥BD，
又AC∩AA'=A，
∴BD⊥平面ACC'A'，
又BD 平面BDC'，
∴平面BDC'⊥平面ACC'A'.
例6：在正三棱柱ABC-A′B′C′中，D是棱AC的中点.
求证：平面BDC′⊥平面ACC′A′.
B
D
C
A′
B′
C′
A
例7： 已知 AB是⊙O的直径, PA垂直于⊙O所在 的平面, C是圆周上不同于A, B的任意一点. 求证：平面PAC⊥平面PBC.
∵点C是圆周上不同于A, B的任意一点，AB是⊙O的直径，
∴∠BCA=90°，即BC ⊥AC.
又∵PA∩AC=A，
∴BC ⊥平面PAC.
又∵BC 平面PBC，
∴平面PAC ⊥平面PBC.
证明：设⊙O所在的平面为α，PA⊥α，BC α，
∴PA ⊥BC.
P
A
B
O
C
例8：(1)AB⊥平面BCD，BC⊥CD，哪些平面互相垂直
(2)已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，哪些平面互相垂直
平面ABC⊥平面BCD
平面ABD⊥平面BCD
平面ABC⊥平面ACD
平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAB⊥平面ABCD，
平面PBC⊥平面PAB，
平面PAB⊥平面PAD，
平面PDC⊥平面PAD，
04
课堂总结
课堂总结
1．二面角
2．二面角如何求解
3．面面垂直的定义
4．面面垂直的判定定理
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