第9章反比例函数导学案

课 题: §9.1反比例函数
学习目标:
1.理解反比例函数的概念，并会确定反比例函数式中的比例系数；
2.能判断一个给定函数是否为反比例函数，并会根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式
重点、难点：
1,理解反比例函数的概念；
2.确定反比例函数的解析式
学习过程
一.【预学提纲】初步感知、激发兴趣
1. 形如 的函数叫正比例函数，其自变量的取值范围是
2.举出几组在小学中学过的成反比例的两个变量?
3.阅读课本P62的思考和交流，体会实际问题中两个变量的函数关系，观察其函数解析式的共同特点，形如 的函数叫反比例函数；其中，叫 ，自变量的取值范围是 .
4.你觉得确定反比例函数中的比例系数要注意什么？
5.反比例函数的解析式除了像定义中可以表示成，还可以将其变形表示成________
二.【预学练习】初步运用、生成问题
1. 底边为5cm的三角形的面积y(cm2)随底边上的高x（cm）的变化而变化，则其中两个变量的函数关系式为______________
2. 已知和成反比例，且当时，，则该函数的表达式为（ ）
A． B． C． D．
3. 当a= 时，函数是反比例函数?
三.【新知探究】师生互动、揭示通法
问题1. 下列关系式中是的反比例函数吗？如果是，比例系数是多少？
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
问题2. 若函数 是反比例函数，求出m的值并写出该函数解析式.
问题3.写出下列函数关系式，并确定它们是否是反比例函数？
⑴矩形的周长18㎝是随着较短的边（㎝）与较长的边（㎝）的变化而变化；
⑵实数与互为倒数，随着的变化而变化；
四.【解疑助学】生生互动、突出重点
问题4．当时，函数是反比例函数.
问题5．按每分钟的速度向容积为150的水池中注水，注满水池需.写出与的关系式，并判断此关系是不是反比例关系?如果是,请指出比例系数的值.
五.【变式拓展】能力提升、突破难点
问题6.已知，其中与成正比例，与成反比例，并且当时，；当时，，求与的函数关系式.
六.【回扣目标】学有所成、悟出方法
1.什么是反比例函数？如何确定反比例函数中的比例系数？
2.你能举出生活中有反比例函数关系的实例吗?
课 题: §9.2反比例函数的图象与性质（1）
学习目标:
1.会用描点法画反比例函数的图象；
2.通过画图体会反比例函数图象的对称性
3.会判断点是否在反比例函数图象上，会由图象上一点确定函数关系式。
重点、难点：
描点法画函数图象
学习过程
一.【预学提纲】初步感知、激发兴趣
1.你能画出一次函数的图象，说出作图的步骤?
2.课本中在研究反比例函数的图象时，所列表格中的数据有什么特点？你觉得在列表时自变量的取值要注意些什么？
3.再用描点法作反比例函数的时候为什么没有取0？
4.在课本图9-2中请你也模仿着画出反比例函数的图象.
二.【预学练习】初步运用、生成问题
1. 已知反比例函数的图象经过点（2，3），则此函数的关系式是 ．
2. 已知反比例函数的图象经过点P(，2)，则这个函数的图象位于（ ）
A．第二、三象限 B．第一、三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限
三.【新知探究】师生互动、揭示通法
问题1.在同一个坐标系中分别画出反比例函数和的图象。
问题2.下列函数图象中,能表明是反比例函数(为常数,)图象的是（　）
 四.【解疑助学】生生互动、突出重点
问题3.一个数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为200cm2的矩形学具进行展示. 设矩形的宽为xcm，长为ycm，那么这些同学所制作的矩形长y（cm）与宽x（cm）之间的函数关系的图象大致是（ ）

五.【变式拓展】能力提升、突破难点
问题4.若梯形的下底长为，上底长为下底长的，高为，面积为60，求与的函数关系式，并画出草图.
六.【回扣目标】学有所成、悟出方法
1.画函数图象采用的方法是什么?其步骤有哪些?要注意些什么?
2.实际问题中画函数图象要注意什么?
课 题: §9.2 反比例函数的图象与性质（2）
学习目标:
1. 会用待定系数法求反比例函数的关系式；
2..能根据图象分析并掌握反比例函数的性质，进一步感受数形结合的思想方法。
重点、难点：
1.反比例函数的性质；
2.反比例函数中的几何意义
学习过程
一.【预学提纲】初步感知、激发兴趣
1.反比例函数图象的分布与什么量有关？说出具体有怎样的关系.
2.通过预习发现反比例函数图象分布的象限一、三象限或二、四象限，请用不等式的内容解释其中的原因?
3.一次函数的图形是一条连续的直线，而反比例函数图像是不连续的，思考并说出原因?
二.【预学练习】初步运用、生成问题
1. 反比例函数图象每一支曲线上，随的增大而增大，则的值可以是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
2.函数的图象在 象限，且在每个象限内随的增大而 ．
3. 若反比例函数的图象在第二、四象限，则直线不经过第 象限。
三.【新知探究】师生互动、揭示通法
问题1. 已知反比例函数的图象经过点A（4，—2）
(1)求的值；
(2)这个函数的图象分布在哪些象限？在每个象限内随的增大怎样变化？
(3)画出此函数的图象；
(4)判断点B， C，D在这个函数的图象上吗？
(5)点A（4，—2）关于原点x轴、y轴、原点的对称点A1、A2、A3在此函数图象上吗？请你说说反比例函数的图象的对称性？
四.【解疑助学】生生互动、突出重点
问题3.（1）如图，四边形OABC是边长为1的正方形，反比例函数的图象过点B，
①写出点B的坐标和的值．
②若点D是图象上任一点，过点D作DE⊥轴于E，DF⊥轴于E，求四边形DEOF的面积．
五.【变式拓展】能力提升、突破难点
问题4. 已知正比例函数与反比例函数的图象交于两点，点的坐标为．
(1)求正比例函数、反比例函数的表达式；(2)求点的坐标；
(3)分别过点作轴的垂线，垂足分别为C、D，求四边形ACBD的面积．
六.【回扣目标】学有所成、悟出方法
1.反比例函数上任一点作坐标轴的垂线段，形成的四边形与k有着怎么样的关系?
2.说出反比例函数图像的函数增减性?
课 题: §9.2反比例函数的图象与性质(3)
学习目标:
1.会根据条件确定反比例函数的解析式；
2.进一步加深对反比例函数性质的理解.
重点、难点：
1.求反比例函数的解析式
2.根据反比例函数的性质识别函数值或自变量的大小
学习过程
一.【预学提纲】初步感知、激发兴趣
1. 反比例函数中的系数是如何决定其图象所在象限的？
2. 当＞0时，图象分布在哪些象限？在每个象限随的增大如何变化？
当＜0时，图象分布在哪些象限？在每个象限随的增大如何变化？
二.【预学练习】初步运用、生成问题
1. 已知反比例函数y=的图象在每一个象限内，y随x增大而增大，则的取值范围是________．
2. 已知点(，-1)，(，-)，(，2)在函数的图象上，则下列关系式正确的是( )．
A．>> B．> > C．>> D．>>
三.【新知探究】师生互动、揭示通法
问题1. 如图，是反比例函数y = 的图象的一支．
(1)函数图象的另一支在第几象限？
(2)求常数m的取值范围；
(3)点A(－3，y1)、B(－1，y2)、C(2，y3)都在这个反比例函数的图象上，比较y1、、 y2和y3的大小；
(4) 点E(,－3)、F(,－1)、G(,2)也在这个反比例函数的图象上，比较、、 和的大小．
四.【解疑助学】生生互动、突出重点
问题2. 反比例函数和一次函数的图象都过点P(a，2a)．
(1)求a与k的值；
(2)在同一坐标系中画出这两个函数的图象；
(3)若两函数图象的另一个交点是Q(0.5，4)，利用图象指出：当x为何值时，有y1 > y2？
五.【变式拓展】能力提升、突破难点
问题3. 已知反比例函数和一次函数．
(1)若一次函数和反比例函数的图象交于点(-3，m)，求m和k的值；
(2)当k=-2时，设本题中的两个函数图象的交点分别为A、B，那么A、B两点分别在第几象限?∠AOB是锐角还是钝角？(只要求直接写出结论)
六.【回扣目标】学有所成、悟出方法
1. 反比例函数中的对增减性有何影响？
2.根据反比例函数的增减性如何比较自变量或因变量的大小？
课 题: §9.3反比例函数的应用（1）
学习目标:
1.会在实际问题中建立反比例函数模型；
2.会利用反比例函数的相关知识分析和解决一些简单的实际问题．
重点、难点：
建立反比例函数的模型解决实际问题
学习过程
一.【预学提纲】初步感知、激发兴趣
1.在行程问题中，路程=速度×时间，即 ，当一定时，和是哪种函数关系？当一定时，和是哪种函数关系？
2.设长方形的长为，宽为，面积为，当一定时，和满足什么函数关系？
3.一个立方体的体积为 ，底面积为，高为，当一定时，和满足什么函数关系？
二.【预学练习】初步运用、生成问题
1. 已知一个三角形的面积是6，它的底边长是，底边上的高是，则与的函数关系式是_______________；若=3，则=_________；若=6则=___________．
2. 某厂现有300吨煤，这些煤能烧的天数y与平均每天烧的吨数x之间的函数关系是（ ）
A．（＞0） B．（≥0）
C．y＝300x（≥0） D．y＝300x（＞0）
3.已知甲、乙两地相距（千米），汽车从甲地匀速行驶到达乙地，如果汽车每小时耗油量为（升），那么从甲地到乙地汽车的总耗油量（升）与汽车的行驶速度（千米/时）的函数图象大致是（ ）

三.【新知探究】师生互动、揭示通法
问题1. 小明将一篇24000字的社会调查报告录入电脑，打印成文．
⑴如果小明以每分钟120字的速度录入，他需要多长时间才能完成？
⑵完成录入的时间（min）与录入文字的速度（字/min）有怎样的函数关系？
⑶小明希望能在4小时内完成录入任务，那么他每分钟至少应录入多少个字？
四.【解疑助学】生生互动、突出重点
问题2. 某自来水公司计划新建一个容积为4×104m3的长方体蓄水池．
⑴蓄水池的底面积S（m3）与其深度h（m）有怎样的函数关系？
⑵若蓄水池的深度设计为5m，则蓄水池的底面积应为_______m2．
⑶由于绿化以及辅助用地的需要，经过实地测量，蓄水池的长和宽最多只能分别设计为100 m和50 m，那么蓄水池的深度至少达到多少才能满足要求？
五.【变式拓展】能力提升、突破难点
问题3. 如图，李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一个自制类似天平的仪器的左边固定托盘A中放置一个重物，在右边的活动托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，使得仪器左右平衡，改变活动托盘B与点O的距离x（cm），观察活动托盘B中砝码的质量y（g）的变化情况．实验数据记录如下表：
（1）把上表中（x，y）的各组对应值作为点的坐标，在坐标系中描出相应的点，用平滑曲线连接这些点；
（2）观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出函数关系式并加以验证；
（3）当砝码的质量为24g时，活动托盘B与点O的距离是多少cm？
（4）当活动托盘B往左移动时，应往活动托盘B中添加还是减少砝码？
六.【回扣目标】学有所成、悟出方法
1. 在实际问题中，两个变量只要满足什么条件就可以确定是反比例函数关系？
2.利用反比例函数模型解决实际问题，你有哪些经验体会？
课 题: §9.3反比例函数的应用（2）
学习目标:
1.熟练掌握反比例函数中的几何意义及运用此性质解决相关问题；
2.会利用反比例函数的相关知识分析和解决一些简单的几何问题．
重点、难点：
运用反比例函数中的几何意义解决相关问题
利用反比例函数的相关知识分析解决简单的几何问题.
学习过程
一.【预学提纲】初步感知、激发兴趣
1. 反比例函数中的几何意义是什么？
2. 确定反比例函数解析式通常有哪些类型？（知道双曲线上一点的坐标如何求反比例函数解析式？知道过双曲线上一点向坐标轴作的直角三角形或矩形面积如何求反比例函数解析式？）
二.【预学练习】初步运用、生成问题
1. 如图，矩形的面积为3，反比例函数的图象过点，则= ．
2.如图，直线与双曲线相交于点A，点A的纵坐标为3，则k的值为 ．
3.如图，点A（x1，y1）、B（x2，y2）都在双曲线上，且，；分别过点A、B向x轴、y轴作垂线段，垂足分别为C、D、E、F，AC与BF相交于G点，四边形FOCG的面积为2，五边形AEODB的面积为14，则双曲线的解析式为 ．
三.【新知探究】师生互动、揭示通法
问题1. 如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（-3，0）．（1）求点D的坐标；（2）求经过点C的反比例函数解析式．
四.【解疑助学】生生互动、突出重点
问题2. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=8，P是边AD上一动点，CQ⊥BP于Q，（P与A、D不重合），设BP=，CQ=．
（1）求与满足的函数关系式；
（2）当P是AD的中点时，求CQ；
（3）画出函数的图象．
（4）当点P是直线AD上一点时，与是否满足上述函数关系式？
五.【变式拓展】能力提升、突破难点
问题3.如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2）．过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N．
（1）求直线DE的解析式和点M的坐标；
（2）若反比例函数（x＞0）的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；
（3）若反比例函数（x＞0）的图象与△MNB有公共点，请直接写出m的取值范围．
六.【回扣目标】学有所成、悟出方法
1.的几何意义是什么?
2.如何应用反比例函数的相关知识解决实际问题，有哪些注意点?
课 题: 小结与思考(1) §9.1-9.2
学习目标:
1.理解反比例函数的定义，掌握其图象和性质；
2.会根据题目中的条件确定反比例函数解析式；
3.会利用反比例函数的图象和性质解决有关问题
重点、难点：
反比例函数图象和性质的运用
学习过程
一.【复习提纲】初步感知、激发兴趣
1. 什么叫反比例函数?其自变量的取值范围是什么?
2. 反比例函数有哪几种表达形式?
3. 反比例函数有哪些性质？(对称性，图象分布象限，增减性)
4. 反比例函数解析式中的几何意义是什么?
5. 如何确定反比例函数的解析式?
二.【复习练习】初步运用、生成问题
1. 反比例函数的图象位于第一、三象限，其中第一象限内的图象经过点A(1，2)，请在第三象限内的图象上找一个你喜欢的点P，你选择的P点坐标为　　　　．
2. 如图是反比例函数y＝在第二象限内的图象，若图
中的矩形OABC的面积为2，则k＝ ．
3．已知：，与成正比例，与成反比例，且时，；时，. 求时的值．
三.【例题探究】师生互动、揭示通法
问题1.已知反比例函数(为常数，)．
(1)若点在这个函数的图象上，求的值；
(2)若在这个函数图象的每一支上，随的增大而减小，求的取值范围；
问题2. 如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求直线与轴的交点的坐标及△的面积；
(3)求方程的解(直接写出答案)；
(4)求不等式的解集(直接写出答案).
四.【解疑助学】生生互动、突出重点
问题3.函数的图象与直线没有交点，那么k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
五.【变式拓展】能力提升、突破难点
问题4.如图，正比例函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于点，过点作轴的垂线，垂足为，已知的面积为1.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)如果为反比例函数在第一象限图象上的点(点与点不重合)，且点的横坐标为1.
①求的面积；
②在轴上求一点，使最小.
六.【回扣目标】学有所成、悟出方法
在利用反比例函数性质解决问题时，通常要运用哪些性质？
课 题: 小结与思考(2) §9.3
学习目标:
1.理解并掌握反比例函数的图象和有关性质；
2.学会分析问题，利用反比例函数的有关知识解决问题
重点、难点：
利用反比例函数的图象和性质解决综合性问题。
学习过程
一.【复习提纲】初步感知、激发兴趣
1.反比例函数的增减性与值有何关系？如何利用反比例函数的增减性比较函数值的大小?
2.反比例函数解析式中的的几何意义是什么？在求反比例函数的解析式时如何利用的几何意义确定的值?
3.在实际问题中如何利用反比例函数的性质和图象解决问题?
二.【复习练习】初步运用、生成问题
1. 若点A（）、B（）在反比例函数的图像上，
且＜0＜,则、和0的大小关系是（ ）
A. y1＞y2 ＞ 0 B. y1＜y2 ＜0 C. y1＞0＞y2 D. y1＜0＜y2
2. 如图，在直角坐标系中，点是轴正半轴上的一个定点，点是
双曲线（）上的一个动点，当点的横坐标逐渐增大时，
的面积将会（ ）
A．逐渐增大 B．不变 C．逐渐减小 D．先增大后减小
第2题 第3题
3. 已知函数的图象如图所示，当x≥－1时，y的取值范围是（ ）
A.y＜－1 B.y≤－1 C. y≤－1或y＞0 D. y＜－1或y≥0
三.【例题探究】师生互动、揭示通法
问题1. 已知一次函数和反比例函数的图象交于点A(1，1)
(1)求两个函数的解析式；
(2)若点B是轴上一点，且△AOB是直角三角形，求B点的坐标。
四.【解疑助学】生生互动、突出重点
问题2.直线与反比例函数（＜0）的图象相交于点A、点B，与轴交于点C，其中点A的坐标为（－2，4），点B的横坐标为－4.
(1)试确定反比例函数的关系式；
(2)求△AOC的面积.
五.【变式拓展】能力提升、突破难点
问题3. 如图,直线与双曲线交于两点,则的值为( )
A. —5 B. —10 C. 5 D. 10
六.【回扣目标】学有所成、悟出方法
在利用反比例函数解决问题时，你有哪些方法和体会？