高2014届第四学期入学考试数学(文)答案
一、选择题(每题5分,共50分)
1.某雷达测速区规定:凡车速大于或等于70 km/h的汽车视为“超速”,并将受到处罚,如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图,则从图中可以看出被处罚的汽车大约有( B ).
A.30辆 B.40辆 C.60辆 D.80辆
解析 由题图可知,车速大于或等于70 km/h的汽车的频率为0.02×10=0.2,则将被处罚的汽车大约有200×0.2=40(辆).
答案 B
2.已知直线平行,则a= ( C )
A.0 B.1 C. D.
3.已知=( B )
A. B. C. D.
4.点E是正四面体ABCD的棱AD的中点,则异面直线BE与AC所成的角的余弦值为( A )
A. B. C. D.
5.设等差数列的前n项和为,若,,则当取最小值时,n等于
( A )
A.6 B.7 C.8 D.9
6.设 A、B、C、D是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确的是D
若AC与BD共面,则AD与BC 共面
若AC与BD是异面直线,则AD与BC是异面直线
若AB=AC,DB=DC,则ADBC
若AB=AC,DB=DC,则AD=BC
7.某单位员工按年龄分为A,B,C三组,其人数之比为5:4:1,现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本,已知C组中甲、乙二人均被抽到的概率是则该单位员工总数为 ( B )
A.110 B.100 C.90 D.80
8.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的的值为( C )
A.
B.0
C.1
D.2
9. 某零件的正(主)视图与侧(左)视图均是如图所示的图形(实线组成半径为的半圆,虚线是等腰三角形的两腰),俯视图是一个半径为的圆(包括圆心),则该零件的体积是( C )
A. B.
C. D.
10.四面体的四个面的面积分别为、、、,记其中最大的面积为,则的取值范围是( C )
A. B. C. (] D. []
二、填空题(每题5分,共25分)
11.圆的圆心到直线的距离为 .
答案
12. 已知递增的等比数列中,则 .
13. 如图,在正方体中,点P是上底面内一动点,则三棱锥的主视图与左视图的面积的比值为____1_____.
14.在△中,,,,在上任取一点,使△为钝角三角形的概率为
15.空间三条直线中,任何两条不共面,且两两互相垂直,直线与这三条直线所成的角都为,则= 。
三、解答题(共六道大题,75分)
16.(本小题满分12分)
如图,在平面四边形ABCD中,AB=AD=2,是正三角形.
(1)将四边形ABCD的面积表示为的函数;
(2)求的最大值及此时的值.
………………………………4分
…………………………………………5分
……6分
……………9分
……………………………………10分
. ……………………12分
17. (本小题满分12分)
空气质量指数PM2.5(单位:μg/m3)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这个值越高,解代表空气污染越严重:
PM2.5日均浓度
0~35
35~75
75~115
115~150
150~250
>250
空气质量级别
一级
二级
三级
四级
五级
六级
空气质量类别
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
某市2012年3月8日—4月7日(30天)对空气质量指数PM2.5进行检测,获得数据后整理得到如下条形图:
(1)估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率;
(2)从空气质量级别为三级和四级的数据中任取2个,求至少有一天空气质量类别为中度污染的概率。
……6
……12
18.(本小题满分12分)
如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,且,,侧面底面,. 若.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)设侧棱的中点是,求证:平面.
解:(Ⅰ)因为 ,
所以.
又因为侧面底面,
且侧面底面,
所以底面.
而底面,
所以.
在底面中,
因为,,
所以 , 所以.
又因为, 所以平面. ……………………………6分
(Ⅱ)设侧棱的中点为,
连结,,,
则,且.
由已知,
所以. 又,
所以. 且.
所以四边形为平行四边形,所以.
因为平面,平面,
所以平面. ………………………………………………………12
19.(本小题满分12分)
已知平面区域恰好被面积最小的圆及其内部所覆盖.
(Ⅰ)试求圆的方程.
(Ⅱ)若斜率为1的直线与圆交于不同两点满足,求直线的方程.
解:(Ⅰ)由题意知此平面区域表示的是以构成的三角形及其内部,且△是直角三角形,所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),半径是,所以圆的方程是. ……6
(Ⅱ)设直线的方程是:.因为,所以圆心到直线的距离是,即解得:.
所以直线的方程是: . ……12
20.(本小题满分13分)
如图,已知正方形在水平面上的正投影(投影线垂直于投影面)是四边形,其中与重合,且.
(1)证明平面,并指出四边形的形状;
(2)如果四边形中,,,正方形的边长为,
求多面体-的体积.
证明:(1)依题意,平面,
平面,
平面,
所以. ……………2分
(法1)在上取点,使得,
连结,,如图5-1.
因为,且,
所以是平行四边形,,且.
又是正方形,,且,
所以,且,故是平行四边形, ………………………………3分
从而,又平面,平面,
所以平面. ………………………………………………………………4分
四边形是平行四边形(注:只需指出四边形的形状,不必证明).……5分
(法2)因为,平面,平面,
所以平面.
因为是正方形,所以,又平面,平面,
所以平面. ………………………………………………………………3分
而平面,平面,,
所以平面平面,又平面,所以平面. …………4分
四边形是平行四边形(注:只需指出四边形的形状,不必证明).……5分
解:(2)依题意,在Rt△中,,
在Rt△中,,
所以.
(注:或) ………………7分
连结,,如图5-2,
在Rt△中,.
所以,故.……8分
V==
21.(本小题满分14分)
在平面上有一系列点对每个自然数,点位于函数的图象上.以点为圆心的⊙与轴都相切,且⊙与⊙又彼此外切.若,且 .
(1)求证:数列是等差数列;
(2)设⊙的面积为,,求证:
解:(1)依题意,⊙的半径,⊙与⊙彼此外切,
, ,……3
两边平方,化简得, 即.
, , .
∴ 数列是等差数列. ……6
(2) 由题设,,∴, ……8
, ……10
=
= . ……14
高2014级2012-2013学年度下期2月月考数学(文)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的.
1.某雷达测速区规定:凡车速大于或等于70 km/h的汽车视为“超速”,并将受到处罚,如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图,则从图中可以看出被处罚的汽车大约有( ▲ ).
A.30辆 B.40辆 C.60辆 D.80辆
2.已知直线平行,则a=( ▲ )
A.0 B.1 C. D.
3.已知=( ▲ )
A. B. C. D.
4.点E是正四面体ABCD的棱AD的中点,则异面直线BE与AC所成的角的余弦值为( ▲ )
A. B. C. D.
5.设等差数列的前n项和为,若,,则当取最小值时,n等于( ▲ )
A.6 B.7 C.8 D.9
6.设 A、B、C、D是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确的是( ▲ )
若AC与BD共面,则AD与BC 共面
若AC与BD是异面直线,则AD与BC是异面直线
若AB=AC,DB=DC,则ADBC
若AB=AC,DB=DC,则AD=BC
7.某单位员工按年龄分为A,B,C三组,其人数之比为5:4:1,现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本,已知C组中甲、乙二人均被抽到的概率是则该单位员工总数为( ▲ )
A.110 B.100 C.90 D.80
8.某程序框图如右图所示,则该程序运行后输出的的值为( ▲ )
A.
B.0
C.1
D.2
9. 某零件的正(主)视图与侧(左)视图均是如图所示的图形(实线组成半径为的半圆,虚线是等腰三角形的两腰),俯视图是一个半径为的圆(包括圆心),则该零件的体积是(▲ )
A. B.
C. D.
10.四面体的四个面的面积分别为、、、,记其中最大的面积为,则的取值范围是(▲ )
A. B. C. (] D. []
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,满分25分.
11.圆的圆心到直线的距离为 ▲ .
12. 已知递增的等比数列中,则 ▲ .
13. 如图,在正方体中,点P是上底面内一动点,则三棱锥的主视图与左视图的面积的比值为____▲_____.
14.在△中,,,,在上任取一点,使△为钝角三角形的概率为______▲_______
15.空间三条直线中,任何两条不共面,且两两互相垂直,直线与这三条直线所成的角都为,则= ▲ 。
三、解答题:本大题共6小题,满分75分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16. (本小题满分12分)
空气质量指数PM2.5(单位:μg/m3)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这个值越高,就代表空气污染越严重:
PM2.5日均浓度
0~35
35~75
75~115
115~150
150~250
>250
空气质量级别
一级
二级
三级
四级
五级
六级
空气质量类别
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
某市2012年3月8日—4月7日(30天)对空气质量指数PM2.5进行检测,获得数据后整理得到如下条形图:
(Ⅰ)估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率;
(Ⅱ)从空气质量级别为三级和四级的数据中任取2个,求至少有一天空气质量类别为中度污染的概率。
17.(本小题满分12分)
如图,在平面四边形ABCD中,AB=AD=2,是正三角形.
(Ⅰ)将四边形ABCD的面积表示为的函数;
(Ⅱ)求的最大值及此时的值.
18.(本小题满分12分)
如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,且,,侧面底面,. 若.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)设侧棱的中点是,求证:平面.
19.(本小题满分12分)
已知平面区域恰好被面积最小的圆及其内部所覆盖.
(Ⅰ)试求圆的方程.
(Ⅱ)若斜率为1的直线与圆交于不同两点满足,求直线的方程.
20.(本小题满分13分)
如图,已知正方形在水平面上的正投影(投影线垂直于投影面)是四边形,其中与重合,且.
(Ⅰ)证明平面,并指出四边形的形状;
(Ⅱ)如果四边形中,,,正方形的边长为,求多面体-的体积.
21.(本小题满分14分)
在平面上有一系列点对每个自然数,点位于函数的图象上.以点为圆心的⊙与轴都相切,且⊙与⊙又彼此外切.若,且 .
(Ⅰ)求证:数列是等差数列;
(Ⅱ)设⊙的面积为,,求证:
高2014级2012-2013学年度下期2月月考数学(理)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.某雷达测速区规定:凡车速大于或等于70 km/h的汽车视为“超速”,并将受到处罚,如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图,则从图中可以看出被处罚的汽车大约有( ▲ ).
A.30辆 B.40辆 C.60辆 D.80辆
2.已知直线平行,则a=( ▲ ) ( )
A.0 B.1 C. D.
3.已知=( ▲ )
A. B. C. D.
4.点E是正四面体ABCD的棱AD的中点,则异面直线BE与AC所成的角的余弦值为( ▲ )
A. B. C. D.
5.设等差数列的前n项和为,若,,则当取最小值时,n等于( ▲ )
A.6 B.7 C.8 D.9
6.设 A、B、C、D是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确的是( ▲ )
若AC与BD共面,则AD与BC 共面
若AC与BD是异面直线,则AD与BC是异面直线
若AB=AC,DB=DC,则ADBC
若AB=AC,DB=DC,则AD=BC
7.某单位员工按年龄分为A,B,C三组,其人数之比为5:4:1,现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本,已知C组中甲、乙二人均被抽到的概率是则该单位员工总数为( ▲ )
A.110 B.100 C.90 D.80
8. 某零件的正(主)视图与侧(左)视图均是如图所示的图形(实线组成半径为的半圆,虚线是等腰三角形的两腰),俯视图是一个半径为的圆(包括圆心),则该零件的体积是( ▲ )
A. B.
C. D.
9.阅读右侧的算法框图,输出的结果的值为( ▲ )
A.
B.
C.
D.0
10.四面体的四个面的面积分别为、、、,记其中最大的面积为,则的取值范围是( ▲ )
A. B. C.[] D. (]
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,满分25分.
11.圆的圆心到直线的距离为 ▲ .
12. 已知递增的等比数列中,则 ▲ .
13. 如图,在正方体中,点P是上底面内一动点,则三棱锥的主视图与左视图的面积的比值为___▲____.
14.在△中,,,,在上任取一点,使△为钝角三角形的概率为 ▲ .
15.空间三条直线中,任何两条不共面,且两两互相垂直,直线与这三条直线所成的角都为,则= ▲ 。
三、解答题:本大题共6小题,满分75分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16. (本小题满分12分)
空气质量指数PM2.5(单位:μg/m3)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这个值越高,就代表空气污染越严重:
PM2.5日均浓度
0~35
35~75
75~115
115~150
150~250
>250
空气质量级别
一级
二级
三级
四级
五级
六级
空气质量类别
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
某市2012年3月8日—4月7日(30天)对空气质量指数PM2.5进行检测,获得数据后整理得到如下条形图:
(Ⅰ)估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率;
(Ⅱ)从空气质量级别为三级和四级的数据中任取2个,求至少有一天空气质量类别为中度污染的概率。
17.(本小题满分12分)
如图,在平面四边形ABCD中,AB=AD=2,是正三角形.
(Ⅰ)将四边形ABCD的面积表示为的函数;
(Ⅱ)求的最大值及此时的值.
18.(本小题满分12分)
如图所示,在三棱锥中,,平面平面,于点, ,,.
(Ⅰ)求三棱锥的体积;
(Ⅱ)证明△为直角三角形.
19.(本小题满分12分)
已知以点 (t∈R , t ≠ 0)为圆心的圆与轴交于点O, A,与y轴交于点O, B,其中O为原点.
(Ⅰ)求证:△OAB的面积为定值;
(Ⅱ)设直线与圆C交于点M, N,若OM = ON,求圆C的方程.
20.(本小题满分13分)
如图,已知正方形在水平面上的正投影(投影线垂直于投影面)是四边形,其中与重合,且.
(Ⅰ)证明平面,并指出四边形的形状;
(Ⅱ)如果四边形中,,,正方形的边长为,求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
21.(本小题满分14分)
已知曲线,过C上一点作斜率的直线,交曲线于另一点,再过作斜率为的直线,交曲线C于另一点,…,过作斜率为的直线,交曲线C于另一点…,其中,
(I)求与的关系式;
(II)判断与2的大小关系,并证明你的结论;
(III)求证:.
高2014届第四学期入学考试数学(理)答案
一、选择题(每题5分,共50分)
1.某雷达测速区规定:凡车速大于或等于70 km/h的汽车视为“超速”,并将受到处罚,如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图,则从图中可以看出被处罚的汽车大约有( B ).
A.30辆 B.40辆 C.60辆 D.80辆
解析 由题图可知,车速大于或等于70 km/h的汽车的频率为0.02×10=0.2,则将被处罚的汽车大约有200×0.2=40(辆).
答案 B
2.已知直线平行,则a=( C )
A.0 B.1 C. D.
3.已知=( B )
A. B. C. D.
4.点E是正四面体ABCD的棱AD的中点,则异面直线BE与AC所成的角的余弦值为( A )
A. B. C. D.
5.设等差数列的前n项和为,若,,则当取最小值时,n等于 ( A )
A.6 B.7 C.8 D.9
6.设 A、B、C、D是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确的是( D )
若AC与BD共面,则AD与BC 共面
若AC与BD是异面直线,则AD与BC是异面直线
若AB=AC,DB=DC,则ADBC
若AB=AC,DB=DC,则AD=BC
7.某单位员工按年龄分为A,B,C三组,其人数之比为5:4:1,现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本,已知C组中甲、乙二人均被抽到的概率是,则该单位员工总数为 ( B )
A.110 B.100 C.90 D.80
8. 某零件的正(主)视图与侧(左)视图均是如图所示的图形(实线组成半径为的半圆,虚线是等腰三角形的两腰),俯视图是一个半径为的圆(包括圆心),则该零件的体积是(C)
A. B.
C. D.
9.阅读右侧的算法框图,输出的结果的值为 (D)
A. B. C. D.0
10.四面体的四个面的面积分别为、、、,记其中最大的面积为,则的取值范围是( D )
A. B. C. [] D. (]
二、填空题(每题5分,共25分)
11.圆的圆心到直线的距离为 .
12. 已知递增的等比数列中,则 .
13. 如图,在正方体中,点P是上底面内一动点,则三棱锥的主视图与左视图的面积的比值为____1_____.
14.在△中,,,,在上任取一点,使△为钝角三角形的概率为
15.空间三条直线中,任何两条不共面,且两两互相垂直,直线与这三条直线所成的角都为,则= .
三、解答题(共六道大题,75分)
16. (本小题满分12分)
空气质量指数PM2.5(单位:μg/m3)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这个值越高,就代表空气污染越严重:
PM2.5日均浓度
0~35
35~75
75~115
115~150
150~250
>250
空气质量级别
一级
二级
三级
四级
五级
六级
空气质量类别
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
某市2012年3月8日—4月7日(30天)对空气质量指数PM2.5进行检测,获得数据后整理得到如下条形图:
(1)估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率;
(2)从空气质量级别为三级和四级的数据中任取2个,求至少有一天空气质量类别为中度污染的概率。
16.解:
……6
……12
17.(本小题满分12分)
如图,在平面四边形ABCD中,AB=AD=2,是正三角形.
(1)将四边形ABCD的面积表示为的函数;
(2)求的最大值及此时的值.
………………………………4分
…………………………………………5分
……6分
……………9分
……………………………………10分
. ……………………12分
18.(本小题满分12分)
如图5所示,在三棱锥中,,平面平面,于点, ,,.
(1)求三棱锥的体积;
(2)证明△为直角三角形.
18.(1)证明:因为平面平面,平面平面, 平面,,
所以平面. ……1
记边上的中点为,在△中,因为,
所以.
因为,,
所以.…………2
所以△的面积.……………………………………………………3
因为,
所以三棱锥的体积.……………………4
(2)证法1:因为,所以△为直角三角形.
因为,,
所以.………6
连接,在△中,
因为,,,
所以.……8
由(1)知平面,又平面,
所以.
在△中,因为,,,
所以.在中,因为,,,
所以.所以为直角三角形.……12
19.(本小题满分12分)
已知以点 (t∈R , t ≠ 0)为圆心的圆与轴交于点O, A,与y轴交于点O, B,其中O为原点.
(1)求证:△OAB的面积为定值;
(2)设直线与圆C交于点M, N,若OM = ON,求圆C的方程.
19.解:(1),.
设圆的方程是 …………2
令,得;令,得……4
,即:的面积为定值.……8
(2)垂直平分线段.
直线的方程是…………8
,无解,这样的圆不存在。…………………………12
如果把题纠正过来了,答案如下:
(2)垂直平分线段.
,直线的方程是
,解得:
当时,圆心的坐标为,,
此时到直线的距离,
圆与直线相交于两点.
当时,圆心的坐标为,,
此时到直线的距离
圆与直线不相交,
不符合题意舍去.
圆的方程为
20.(本小题满分13分)
如图,已知正方形在水平面上的正投影(投影线垂直于投影面)是四边形,其中与重合,且.
(1)证明平面,并指出四边形的形状;
(2)如果四边形中,,,正方形的边长为,求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
20.证明:(1)依题意,平面,
平面,
平面,
所以. ……………2分
(法1)在上取点,使得,
连结,,如图5-1.
因为,且,
所以是平行四边形,,且.
又是正方形,,且,
所以,且,故是平行四边形, ………………………………3分
从而,又平面,平面,
所以平面. ………………………………………………………………4分
四边形是平行四边形(注:只需指出四边形的形状,不必证明).……5分
(法2)因为,平面,平面,
所以平面.
因为是正方形,所以,又平面,平面,
所以平面. ………………………………………………………………3分
而平面,平面,,
所以平面平面,又平面,所以平面. …………4分
四边形是平行四边形(注:只需指出四边形的形状,不必证明).……5分
解:(2)依题意,在Rt△中,,
在Rt△中,,
所以.
(注:或) ………………7分
连结,,如图5-2,
在Rt△中,.
所以,故.……8分
(法1)延长,相交于点,
则,而,所以.
连结,则是平面与平面
的交线.
在平面内作,垂足为,
连结.
因为平面,平面,所以.
从而平面,.
所以是平面与平面所成的一个锐二面角. …………………………10分
在Rt△中,,
在Rt△中,.
所以,
即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.……………………13分
(法2)以为原点,为轴,为轴,为轴,
建立空间直角坐标系(如图5-3),
则平面的一个法向量.
设平面的一个法向量为,
因为,,,
所以,,
而,,
所以且,
即,
取,则,,所以平面的一个法向量为.
(注:法向量不唯一,可以是与共线的任一非零向量)……………………10分
.
所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. …………………13分
(法3)由题意,正方形在水平面上的正投影是四边形,
所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值. …………………10分
而,,所以,
所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. …………………13分
21.(本小题满分14分)
已知曲线,过C上一点作斜率的直线,交曲线于另一点,再过作斜率为的直线,交曲线C于另一点,…,过作斜率为的直线,交曲线C于另一点…,其中,
(1)求与的关系式;
(2)判断与2的大小关系,并证明你的结论;
(3)求证:.
21.解:(1)由已知过斜率为的直线为
,
直线交曲线C于另一点
所以= 2分
即,≠0,
所以 4分
(2)解:当为奇数时,;当n为偶数时,
因为, 6分
注意到,所以与异号
由于,所以,以此类推,
当时,;
当时, 8分
(3)由于,,
所以≥1(,…) 9分
所以≤ 10分
所以≤≤≤…≤ 12分
所以≤
14分
石室中学高2014级2012—2013学年度下期2月月考
数学(文科)答题卷
姓名
准考证号
班级 考室
注
意
事
项
1.答题前先将姓名、班级、准考证号填写清楚。
2.第Ⅰ卷用2B铅笔将对应题目的答案标号涂黑。
3.第Ⅱ卷使用黑色字迹签字笔书写,笔迹清楚。
4.保持卡面清洁,严禁折叠,严禁做标记。
填涂样例
正确填涂
错误填涂
缺
考
(考生禁填)
一.选择题 (50分)
二.填空题 (25分)
11. 12 13. 14. 15.
三.解答题(75 分)
16.(12分)
17.(12分)
18.(12分)
19.(12分)
20.(13分)
21.(14分)
石室中学高2014级2012—2013学年度下期2月月考
数学(理科)答题卷
姓名
准考证号
班级 考室
注
意
事
项
1.答题前先将姓名、班级、准考证号填写清楚。
2.第Ⅰ卷用2B铅笔将对应题目的答案标号涂黑。
3.第Ⅱ卷使用黑色字迹签字笔书写,笔迹清楚。
4.保持卡面清洁,严禁折叠,严禁做标记。
填涂样例
正确填涂
错误填涂
缺
考
(考生禁填)
一.选择题 (50分)
二.填空题 (25分)
11. 12 13. 14. 15.
三.解答题(75 分)
16.(12分)
17.(12分)
18.(12分)
19.(12分)
20.(13分)
21.(14分)