苏科版七年级下册第9章 9.4乘法公式 同步练习
一、单选题
1．下列等式成立的是（ ）．
A．(a2)3=a6 B．2a2-3a=-a
C．a6÷a3=a2 D．(a+4)(a-4)=a2-4
2．二次三项式x2-4x+3配方的结果是（ ）
A．（x-2）2+7 B．（x-2）2-1 C．（x+2）2+7 D．（x+2）2-1
3．下列计算中，正确的是（ ）
A．2a2+3a2=5a4 B．（a﹣b）2=a2﹣b2
C．（a3）3=a6 D．（﹣2a2）3=﹣8a6
4．已知实数x、y、z满足x2+y2+z2=4，则（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是（ ）
A．12 B．20 C．28 D．36
5．下列计算正确的是（ ）
A．a5+a5=a10 B．﹣a6 （﹣a）4=a10
C．（﹣bc）4÷（﹣bc）2=b2c2 D．（﹣ab）2 a=﹣a3b2
6．下列运算正确的是（ ）
A．3a+2a=5a2 B．a2 a3=a6
C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 D．（a+b）2=a2+b2
7．（2018八上·新疆期末）计算（﹣a﹣b）2等于（ ）
A．a2+b2 B．a2﹣b2 C．a2+2ab+b2 D．a2﹣2ab+b2
8．下列运算正确的是（ ）
A．（3x2）3=9x6 B．a6÷a2=a3
C．（a+b）2=a2+b2 D．22014﹣22013=22013
9．已知x﹣y=7，xy=2，则x2+y2的值为（ ）
A．53 B．45 C．47 D．51
10．下列计算正确的是（ ）
A．a3 a=a3 B．（2a+b）2=4a2+b2
C．a8b÷a2=a4b D．（﹣3ab3）2=9a2b6
11．下面是一位同学做的四道题：①a3+a3=a6；②（xy2）3=x3y6；③x2 x3=x6；④（﹣a）2÷a=﹣a．其中做对的一道题是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
12．（2016七下·普宁期末）下列各式计算正确的是（ ）
A．（m﹣n）2=m2﹣n2 B．（m+2）2=m2+2m+4
C．（ ﹣m）2= ﹣m+m2 D．（﹣m+n）2=m2+2mn+n2
二、填空题
13．已知x+y=3，xy=2，则x2+y2= ，（x-y）2= .
14．若x2+kx+81是完全平方式，则k的值应是
15．若a+b=6，ab=4，则a2+b2= ．
16．已知x﹣y=，则代数式（x+1）2﹣2x+y（y﹣2x）的值是
17．已知x2﹣y2=14，x﹣y=7，则x+y=
18．计算：20022﹣2001×2003= ．
19．若，则的值是 ．
20．（2016七上·射洪期中）如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”．它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了（a+b）n（n为非负整数）的展开式中a按次数从大到小排列的项的系数．例如，（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字；再如，（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字．请认真观察此图，写出（a+b）4的展开式，（a+b）4= ．
三、解答题
21．（2017八上·鄂托克旗期末）已知（a+b）2=25，（a﹣b）2=9，求ab与a2+b2的值．
22．先化简，再求值：a（a﹣3）+（1﹣a）（1+a），其中a=．
23．（2015七下·海盐期中）先化简，再求值：（2x+3）（2x﹣3）﹣（x﹣2）2﹣3x（x﹣1），其中x=2．
24．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4、12、20都是这种“神秘数”．
（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？试说明理由；
（2）试说明神秘数能被4整除；
（3）两个连续奇数的平方差是神秘数吗？试说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【分析】A.(a2)3=a2X3=a6，正确；
B中2a2-3a≠-a，因为没有同类项可以合并，故错误；
C中，a6÷a3=a6-3=a3，故C错误；
D中，(a+4)(a-4)=a2-16。故选A
【点评】解答本题的关键是读懂题意，找准运算顺序，正确解出代数式.
2．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；配方法的应用
【解析】【分析】在本题中，若所给的式子要配成完全平方式，常数项应该是一次项系数-4的一半的平方；可将常数项3拆分为4和-1，然后再按完全平方公式进行计算．
【解答】x2-4x+3=x2-4x+4-1=（x-2）2-1．
故选B．
【点评】在对二次三项式进行配方时，一般要将二次项系数化为1，然后将常数项进行拆分，使得其中一个常数是一次项系数的一半的平方．
3．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】A、2a2+3a2=5a2，原式错误，故本选项错误；B、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，原式错误，故本选项错误；C、（a3）3=a9，原式错误，故本选项错误；D、（﹣2a2）3=﹣8a6，原式正确，故本选项正确．故选D．
【分析】结合选项分别进行幂的乘方和积的乘方、合并同类项、完全平方公式等运算，然后选择正确选项．
4．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵实数x、y、z满足x2+y2+z2=4，∴（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2=5（x2+y2+z2）﹣4（xy+yz+xz）=20﹣2[（x+y+z）2﹣（x2+y2+z2）]=28﹣2（x+y+z）2≤28；∴当x+y+z=0时（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是28．故选C．
【分析】由题意实数x、y、z满足x2+y2+z2=4，可以将（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2，用x2+y2+z2和（xy+yz+xz）表示出来，然后根据完全平方式的基本性质进行求解．
5．【答案】C
【知识点】整式的混合运算
【解析】解：A、原式=2a5，错误；
B、原式=﹣a10，错误；
C、原式=b2c2，正确；
D、原式=a3b2，错误，
故选C
【分析】A、原式合并同类项得到结果，即可做出判断；
B、原式利用幂的乘方及单项式乘以单项式法则计算得到结果，即可做出判断；
C、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断；
D、原式利用积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断．
6．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】A、应为3a+2a=5a，故本选项错误；B、应为a2 a3=a5，故本选项错误；C、（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，故正确；D、应为（a+b）2=a2+2ab+b2，故本选项错误．故选C．
【分析】根据运算顺序和运算法则即可求出答案．
7．【答案】C
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】（﹣a﹣b）2=a2+2ab+b2．故选C．
【分析】根据两数的符号相同，所以利用完全平方和公式计算即可．
8．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：A、（3x2）3=27x6，原式计算错误，故本选项错误；
B、a6÷a2=a4，原式计算错误，故本选项错误；
C、（a+b）2=a2+2ab+b2，原式计算错误，故本选项错误；
D、22014﹣22013=2×22013﹣22013=22013，原式计算正确，故本选项正确．
故选D．
【分析】分别根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法、完全平方公式等结合选项进行求解，然后选择正确选项．
9．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵x﹣y=7，xy=2，∴x2+y2=（x﹣y）2+2xy=72+2×2=53．故选A．
【分析】根据完全平方公式得到x2+y2=（x﹣y）2+2xy，然后利用整体代入的方法计算．
10．【答案】D
【知识点】整式的混合运算
【解析】解：A、a3 a=a4，故A错误；
B、（2a+b）2=4a2+4ab+b2，故B错误；
C、a8b÷a2=a6b，故C错误；
D、（﹣3ab3）2=9a2b6，故D正确；
故选D．
【分析】根据同底数幂的除法、完全平方公式、单项式除以单项式进行计算即可.
11．【答案】B
【知识点】整式的混合运算
【解析】解：①a3+a3=2a3，故该选项错误；
②（xy2）3=x3y6，该选项正确；
③x2 x3=x5，该选项错误；
④（﹣a）2÷a=a，故该选项错误．
故选B．
【分析】利用多项式的加法；积的乘方；同底数幂相乘；同底数幂相除的运算法则可对四个小题进行分析，即可的问题答案．
12．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：A、原式=m2﹣2mn+n2，错误；
B、原式=m2+4m+4，错误；
C、原式= ﹣m+m2，正确；
D、原式=m2﹣2mn+n2，错误，
故选C
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到结果．
13．【答案】5；1
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【解答】x2+y2=（x+y）2-2xy=32-2×2=5；
（x-y）2=x2+y2-2xy=（x+y）2-4xy=32-4×2=1．
【分析】首先根据完全平方公式将x2+y2、（x-y）2用（x+y）与xy的代数式表示，然后把x+y，xy的值整体代入求值．
14．【答案】±18
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵x2+kx+81是完全平方式，
∴k=±18．
故答案为：±18．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．
15．【答案】28
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】解：∵a+b=6，ab=4，
∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab
=62﹣2×4
=36﹣8
=28．
故答案为：28．
【分析】首先根据完全平方公式将a2+b2用（a+b）与ab的代数式表示，然后把a+b，ab的值整体代入求值．
16．【答案】4
【知识点】整式的混合运算
【解析】解：∵x﹣y=，
∴（x+1）2﹣2x+y（y﹣2x）
=x2+2x+1﹣2x+y2﹣2xy
=x2﹣2xy+y2+1
=（x﹣y）2+1
=（）2+1
=4．
故答案为：4．
【分析】先算乘法，再合并同类项，再变形，最后整体代入求出即可．
17．【答案】2
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：根据平方差公式可知，x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）=14，又x﹣y=7，
则x+y=2，
故答案为：2．
【分析】根据平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）代入计算即可．
18．【答案】1
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式=20022﹣（2002﹣1）×（2002+1）=20022﹣20022+1=1，
故答案为：1
【分析】原式变形后，利用平方差公式化简，计算即可得到结果．
19．【答案】11
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵x﹣=3，
∴（x﹣）2=9，
即x2﹣2+=9，
解得x2+=9+2=11．
故答案为：11．
【分析】把x﹣=3利用完全平方公式两边平方展开，整理即可得解．
20．【答案】a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：根据题意得：（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．
故答案为：．
【分析】由（a+b）=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3可得（a+b）n的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于（a+b）n﹣1的相邻两个系数的和，由此可得（a+b）4的各项系数依次为1、4、6、4、1．
21．【答案】解：∵（a+b）2=25，（a﹣b）2=9，
∴a2+2ab+b2=25①，a2﹣2ab+b2=9②，
∴①+②得：2a2+2b2=34，
∴a2+b2=17，
①﹣②得：4ab=16，
∴ab=4．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】把已知两个式子展开，再相加或相减即可求出答案．
22．【答案】解：原式=a2﹣3a+1﹣a2=1﹣3a，
当a=时，原式=1﹣．
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】原式第一项利用单项式乘以多项式法则计算，第二项利用平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
23．【答案】解：（2x+3）（2x﹣3）﹣（x﹣2）2﹣3x（x﹣1）
=4x2﹣9﹣x2+4x﹣4﹣3x2+3x
=7x﹣13，
当x=2时，原式=7×2﹣13=1
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】利用平方差及完全平方公式化简，再把x=2代入求解即可．
24．【答案】解：（1）是，理由如下：
∵28=82﹣62，2012=5042﹣5022，
∴28是“神秘数”；2012是“神秘数”；
（2）“神秘数”是4的倍数．理由如下：
（2k+2）2﹣（2k）2=（2k+2+2k）（2k+2﹣2k）=2（4k+2）=4（2k+1），
∴“神秘数”是4的倍数；
（3）设两个连续的奇数为：2k+1，2k﹣1，则
（2k+1）2﹣（2k﹣1）2=8k，
而由（2）知“神秘数”是4的倍数，但不是8的倍数，
所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数．
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）根据“神秘数”的定义，只需看能否把28和2012这两个数写成两个连续偶数的平方差即可判断；
（2）运用平方差公式进行计算，进而判断即可；
（3）运用平方差公式进行计算，进而判断即可．
1 / 1苏科版七年级下册第9章 9.4乘法公式 同步练习
一、单选题
1．下列等式成立的是（ ）．
A．(a2)3=a6 B．2a2-3a=-a
C．a6÷a3=a2 D．(a+4)(a-4)=a2-4
【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【分析】A.(a2)3=a2X3=a6，正确；
B中2a2-3a≠-a，因为没有同类项可以合并，故错误；
C中，a6÷a3=a6-3=a3，故C错误；
D中，(a+4)(a-4)=a2-16。故选A
【点评】解答本题的关键是读懂题意，找准运算顺序，正确解出代数式.
2．二次三项式x2-4x+3配方的结果是（ ）
A．（x-2）2+7 B．（x-2）2-1 C．（x+2）2+7 D．（x+2）2-1
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；配方法的应用
【解析】【分析】在本题中，若所给的式子要配成完全平方式，常数项应该是一次项系数-4的一半的平方；可将常数项3拆分为4和-1，然后再按完全平方公式进行计算．
【解答】x2-4x+3=x2-4x+4-1=（x-2）2-1．
故选B．
【点评】在对二次三项式进行配方时，一般要将二次项系数化为1，然后将常数项进行拆分，使得其中一个常数是一次项系数的一半的平方．
3．下列计算中，正确的是（ ）
A．2a2+3a2=5a4 B．（a﹣b）2=a2﹣b2
C．（a3）3=a6 D．（﹣2a2）3=﹣8a6
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】A、2a2+3a2=5a2，原式错误，故本选项错误；B、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，原式错误，故本选项错误；C、（a3）3=a9，原式错误，故本选项错误；D、（﹣2a2）3=﹣8a6，原式正确，故本选项正确．故选D．
【分析】结合选项分别进行幂的乘方和积的乘方、合并同类项、完全平方公式等运算，然后选择正确选项．
4．已知实数x、y、z满足x2+y2+z2=4，则（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是（ ）
A．12 B．20 C．28 D．36
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵实数x、y、z满足x2+y2+z2=4，∴（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2=5（x2+y2+z2）﹣4（xy+yz+xz）=20﹣2[（x+y+z）2﹣（x2+y2+z2）]=28﹣2（x+y+z）2≤28；∴当x+y+z=0时（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是28．故选C．
【分析】由题意实数x、y、z满足x2+y2+z2=4，可以将（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2，用x2+y2+z2和（xy+yz+xz）表示出来，然后根据完全平方式的基本性质进行求解．
5．下列计算正确的是（ ）
A．a5+a5=a10 B．﹣a6 （﹣a）4=a10
C．（﹣bc）4÷（﹣bc）2=b2c2 D．（﹣ab）2 a=﹣a3b2
【答案】C
【知识点】整式的混合运算
【解析】解：A、原式=2a5，错误；
B、原式=﹣a10，错误；
C、原式=b2c2，正确；
D、原式=a3b2，错误，
故选C
【分析】A、原式合并同类项得到结果，即可做出判断；
B、原式利用幂的乘方及单项式乘以单项式法则计算得到结果，即可做出判断；
C、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断；
D、原式利用积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断．
6．下列运算正确的是（ ）
A．3a+2a=5a2 B．a2 a3=a6
C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 D．（a+b）2=a2+b2
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】A、应为3a+2a=5a，故本选项错误；B、应为a2 a3=a5，故本选项错误；C、（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，故正确；D、应为（a+b）2=a2+2ab+b2，故本选项错误．故选C．
【分析】根据运算顺序和运算法则即可求出答案．
7．（2018八上·新疆期末）计算（﹣a﹣b）2等于（ ）
A．a2+b2 B．a2﹣b2 C．a2+2ab+b2 D．a2﹣2ab+b2
【答案】C
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】（﹣a﹣b）2=a2+2ab+b2．故选C．
【分析】根据两数的符号相同，所以利用完全平方和公式计算即可．
8．下列运算正确的是（ ）
A．（3x2）3=9x6 B．a6÷a2=a3
C．（a+b）2=a2+b2 D．22014﹣22013=22013
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：A、（3x2）3=27x6，原式计算错误，故本选项错误；
B、a6÷a2=a4，原式计算错误，故本选项错误；
C、（a+b）2=a2+2ab+b2，原式计算错误，故本选项错误；
D、22014﹣22013=2×22013﹣22013=22013，原式计算正确，故本选项正确．
故选D．
【分析】分别根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法、完全平方公式等结合选项进行求解，然后选择正确选项．
9．已知x﹣y=7，xy=2，则x2+y2的值为（ ）
A．53 B．45 C．47 D．51
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵x﹣y=7，xy=2，∴x2+y2=（x﹣y）2+2xy=72+2×2=53．故选A．
【分析】根据完全平方公式得到x2+y2=（x﹣y）2+2xy，然后利用整体代入的方法计算．
10．下列计算正确的是（ ）
A．a3 a=a3 B．（2a+b）2=4a2+b2
C．a8b÷a2=a4b D．（﹣3ab3）2=9a2b6
【答案】D
【知识点】整式的混合运算
【解析】解：A、a3 a=a4，故A错误；
B、（2a+b）2=4a2+4ab+b2，故B错误；
C、a8b÷a2=a6b，故C错误；
D、（﹣3ab3）2=9a2b6，故D正确；
故选D．
【分析】根据同底数幂的除法、完全平方公式、单项式除以单项式进行计算即可.
11．下面是一位同学做的四道题：①a3+a3=a6；②（xy2）3=x3y6；③x2 x3=x6；④（﹣a）2÷a=﹣a．其中做对的一道题是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【知识点】整式的混合运算
【解析】解：①a3+a3=2a3，故该选项错误；
②（xy2）3=x3y6，该选项正确；
③x2 x3=x5，该选项错误；
④（﹣a）2÷a=a，故该选项错误．
故选B．
【分析】利用多项式的加法；积的乘方；同底数幂相乘；同底数幂相除的运算法则可对四个小题进行分析，即可的问题答案．
12．（2016七下·普宁期末）下列各式计算正确的是（ ）
A．（m﹣n）2=m2﹣n2 B．（m+2）2=m2+2m+4
C．（ ﹣m）2= ﹣m+m2 D．（﹣m+n）2=m2+2mn+n2
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：A、原式=m2﹣2mn+n2，错误；
B、原式=m2+4m+4，错误；
C、原式= ﹣m+m2，正确；
D、原式=m2﹣2mn+n2，错误，
故选C
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到结果．
二、填空题
13．已知x+y=3，xy=2，则x2+y2= ，（x-y）2= .
【答案】5；1
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【解答】x2+y2=（x+y）2-2xy=32-2×2=5；
（x-y）2=x2+y2-2xy=（x+y）2-4xy=32-4×2=1．
【分析】首先根据完全平方公式将x2+y2、（x-y）2用（x+y）与xy的代数式表示，然后把x+y，xy的值整体代入求值．
14．若x2+kx+81是完全平方式，则k的值应是
【答案】±18
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵x2+kx+81是完全平方式，
∴k=±18．
故答案为：±18．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．
15．若a+b=6，ab=4，则a2+b2= ．
【答案】28
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】解：∵a+b=6，ab=4，
∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab
=62﹣2×4
=36﹣8
=28．
故答案为：28．
【分析】首先根据完全平方公式将a2+b2用（a+b）与ab的代数式表示，然后把a+b，ab的值整体代入求值．
16．已知x﹣y=，则代数式（x+1）2﹣2x+y（y﹣2x）的值是
【答案】4
【知识点】整式的混合运算
【解析】解：∵x﹣y=，
∴（x+1）2﹣2x+y（y﹣2x）
=x2+2x+1﹣2x+y2﹣2xy
=x2﹣2xy+y2+1
=（x﹣y）2+1
=（）2+1
=4．
故答案为：4．
【分析】先算乘法，再合并同类项，再变形，最后整体代入求出即可．
17．已知x2﹣y2=14，x﹣y=7，则x+y=
【答案】2
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：根据平方差公式可知，x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）=14，又x﹣y=7，
则x+y=2，
故答案为：2．
【分析】根据平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）代入计算即可．
18．计算：20022﹣2001×2003= ．
【答案】1
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式=20022﹣（2002﹣1）×（2002+1）=20022﹣20022+1=1，
故答案为：1
【分析】原式变形后，利用平方差公式化简，计算即可得到结果．
19．若，则的值是 ．
【答案】11
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵x﹣=3，
∴（x﹣）2=9，
即x2﹣2+=9，
解得x2+=9+2=11．
故答案为：11．
【分析】把x﹣=3利用完全平方公式两边平方展开，整理即可得解．
20．（2016七上·射洪期中）如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”．它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了（a+b）n（n为非负整数）的展开式中a按次数从大到小排列的项的系数．例如，（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字；再如，（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字．请认真观察此图，写出（a+b）4的展开式，（a+b）4= ．
【答案】a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：根据题意得：（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．
故答案为：．
【分析】由（a+b）=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3可得（a+b）n的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于（a+b）n﹣1的相邻两个系数的和，由此可得（a+b）4的各项系数依次为1、4、6、4、1．
三、解答题
21．（2017八上·鄂托克旗期末）已知（a+b）2=25，（a﹣b）2=9，求ab与a2+b2的值．
【答案】解：∵（a+b）2=25，（a﹣b）2=9，
∴a2+2ab+b2=25①，a2﹣2ab+b2=9②，
∴①+②得：2a2+2b2=34，
∴a2+b2=17，
①﹣②得：4ab=16，
∴ab=4．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】把已知两个式子展开，再相加或相减即可求出答案．
22．先化简，再求值：a（a﹣3）+（1﹣a）（1+a），其中a=．
【答案】解：原式=a2﹣3a+1﹣a2=1﹣3a，
当a=时，原式=1﹣．
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】原式第一项利用单项式乘以多项式法则计算，第二项利用平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
23．（2015七下·海盐期中）先化简，再求值：（2x+3）（2x﹣3）﹣（x﹣2）2﹣3x（x﹣1），其中x=2．
【答案】解：（2x+3）（2x﹣3）﹣（x﹣2）2﹣3x（x﹣1）
=4x2﹣9﹣x2+4x﹣4﹣3x2+3x
=7x﹣13，
当x=2时，原式=7×2﹣13=1
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】利用平方差及完全平方公式化简，再把x=2代入求解即可．
24．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4、12、20都是这种“神秘数”．
（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？试说明理由；
（2）试说明神秘数能被4整除；
（3）两个连续奇数的平方差是神秘数吗？试说明理由．
【答案】解：（1）是，理由如下：
∵28=82﹣62，2012=5042﹣5022，
∴28是“神秘数”；2012是“神秘数”；
（2）“神秘数”是4的倍数．理由如下：
（2k+2）2﹣（2k）2=（2k+2+2k）（2k+2﹣2k）=2（4k+2）=4（2k+1），
∴“神秘数”是4的倍数；
（3）设两个连续的奇数为：2k+1，2k﹣1，则
（2k+1）2﹣（2k﹣1）2=8k，
而由（2）知“神秘数”是4的倍数，但不是8的倍数，
所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数．
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）根据“神秘数”的定义，只需看能否把28和2012这两个数写成两个连续偶数的平方差即可判断；
（2）运用平方差公式进行计算，进而判断即可；
（3）运用平方差公式进行计算，进而判断即可．
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