(共17张PPT)
第1章 直角三角形
1.1 第1课时 直角三角形的性质和判定
1. 如下图所示是我们常用的三角板,两锐角的度数之和为多少度
新课导入
30°+60°=90°
45°+45°=90°
2.如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？
在Rt△ABC中，因为 ∠C=90°，由三角形内角和定理，得∠A +∠B+∠C=90°,即∠A +∠B=90°.
思考：由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？
A
B
C
直角三角形的两个锐角互余．
在Rt△ABC 中，
∵ ∠C =90°，
∴ ∠A +∠B =90°．
讲授新课
几何语言表示：
问题：有两个角互余的三角形是直角三角形吗？
如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90° ， 那么△ABC是直角三角形吗？
在△ABC中，因为 ∠A +∠B +∠C=180°， 又∠A +∠B=90°，所以∠C=90°. 于是△ABC是直角三角形.
讲授新课
A
B
C
在△ABC 中，
∵ ∠A +∠B =90°，
∴ △ABC 是直角三角形．
有两个角互余的三角形是直角三角形.
几何语言表示：
例题讲解
[解析] 可以通过角之间的转化推出∠B+∠C=90°.
证明:∵AD⊥BC,
∴∠1+∠C=90°.
∵∠1=∠B,
∴∠B+∠C=90°,
∴△ABC是直角三角形.
【归纳总结】
从角的角度判定直角三角形的两种方法:
(1)证明三角形的一个角为90°或直角
(2)证明一个三角形中的两个内角的和为90°.
问题：
如图，画一个Rt△ABC， 并作出斜边AB上的中线CD，比较线段CD 与线段AB 之间的数量关系，你能得出什么结论？
讲授新课
我测量后发现
CD = AB.
线段CD 比线段AB短.
猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
试给出数学证明.
∵ ACB= AED= DFB=90°，
∴DE∥BC，DF∥AC.
∴ A= FDB， ADE= B.
又D为AB的中点，即AD=DB，
∴△AED≌△DFB（ASA）.
∴AE=DF，DE=BF.
同理可证，△CDE≌△DCF，从而DE=CF，CE=DF.
∴AE=CE，BF=CF.
故DE，DF分别垂直平分边AC，BC.
∴AD=CD=BD. ∴CD = AB.
E
F
证明：
如图，过点D作DE⊥AC，交AC于点E；作DF⊥BC，交BC于点F.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
注意：在Rt△中，斜边上的中线把原直角三角形分成面积相等的两个等腰三角形.
几何语言表示：
∵△ABC 为Rt△，CD是斜边AB上的中线，
1
2
∴CD AB
=
例2 已知：如图，CD是△ABC的AB边上的中线，且 . 求证：△ABC是直角三角形.
证明：
∴ ∠1=∠A，∠2=∠B .
∵∠A+∠B+∠ACB =180°，
即∠A+∠B+∠1+∠2=180°，
2 (∠A+∠B)=180°.
∴ ∠A+∠B =90°.
∴ △ABC是直角三角形.
例题讲解
例3 如图，AB∥CD，∠CAB 和∠ACD的平分线相交于点H，E为AC的中点。如果AC=6，那么EH等于多少？
[解析] ∵AB∥CD,
∴∠CAB+∠ACD=180°.
∵AH 平分∠CAB,CH 平分∠ACD,
∴∠CAH+∠ACH= ∠CAB+ ∠ACD=90°,
∴∠AHC=90°,
∴△AHC是直角三角形.
∵E 为AC的中点,
∴HE 为Rt△AHC 斜边AC上的中线,
∴AC=2EH,∴EH=3.
【归纳总结】
与直角三角形斜边上的中线有关的结论
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB的中点,则有下面结论:
①AD=BD=CD;
②∠A=∠ACD;
③∠B=∠BCD;
④∠A+∠BCD=90°;
⑤∠B+∠ACD=90°.
D
D
10 cm
随堂演练
直角三角形的性质与判定
性质
直角三角形的两个锐角互余
判定
有两个角互余的三角形是直角三角形
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
课堂小结(共17张PPT)
第1章 直角三角形
1.1 第2课时 含30°角的直角三角形
的性质及应用
复习导入
1. 上节课我们学习的直角三角形的性质有哪些？
（2）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.
（1）直角三角形两锐角互余.
D
2. 上节课我们学习的直角三角形的判定有哪些？
（3）三角形一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形.
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形.
（1）有一个角是90°的三角形是直角三角形.
A
C
B
D
在右图中，△ABC是直角三角形，CD是斜边AB上的中线，
③若∠A =40°，则其他角为多少度？
④若∠A=30°，你能得到什么结论？
②CD=2cm，则AB的长为多少？
①AB=10cm,CD的长为多少cm
动手：用刻度尺测量含30°角的直角三角形的斜边和短直角边，比较它们之间的数量关系.
结论：短直角边=斜边
活动探究
讲授新课
你能证明这个结论吗？
证明：取线段AB的中点D，连接CD.
30°
B
C
A
D
∵∠BCA =90°，且∠A=30°，
∴∠B=60°，
∴△CBD为等边三角形，
证法1
证明方法：中线法
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，如果∠A=30°，那么直角边BC与斜边AB有什么关系呢？
∵CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，
证法2
证明：在△ABC 中，
∵ ∠C =90°，∠A =30°,
∴ ∠B =60°．
延长BC 到D，使BD =AB，连接AD，
则△ABD 是等边三角形．
A
B
C
D
证明方法：倍长法
∴ BC = AB．
30°
)
知识归纳
含30°角的直角三角形的性质：
∵ 在Rt△ABC 中，
∠C =90°，∠A =30°，
A
B
C
∴ BC = AB．
)
30°
在直角三角形中，如果一直角等于30°，那么这个直角所对的边等于斜边的一半.
几何语言表示：
例1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是( )
A．3cm B．6cm
C．9cm D．12cm
D
解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，
∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.
在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm
在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.
∴AB的长度是12cm.
例题讲解
解：取线段AB的中点D，连接CD
∵CD是Rt△ABC斜边上的中线，
∴CD= AB=BD
∵BC= AB
∴BC=BD=CD，即△BDC为等边三角形
∴∠B=60°，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠A=30°
例2 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，若BC= AB，
那么∠A=30°吗？
A
B
C
D
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.
知识归纳
含30°角的直角三角形的性质：
(由边的关系推知角的度数)
A
B
C
)
30°
∵ 在Rt△ABC 中，
∵ BC = AB．
几何语言表示：
∴ ∠C =90°，∠A =30°，
例3 在A岛周围20海里（1海里=1852 m）水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东60°的方向上，且与轮船相距 海里，如图所示.该船如果保持航行不变，有触暗礁的危险吗？
B
D
A
北
东
60°
分析：过点A作AD⊥OB，垂足为D.连接AO.
若AD大于20海里，则不会有危险.
O
北
60°
解：∵∠AOD=30°，
AO= 海里，
∴AD= AO
= 海里＞20海里，
所以无危险.
B
D
东
O
北
60°
A
30
250 m
随堂演练
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,则AC与AB的数量关是 .
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10 cm,BC=5 cm,则∠A= °.
3.小明沿倾斜角为30°的山坡从山脚步行到山顶,共走了500 m,则山的高度是 .
4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=AB.
若以直角边AC所在直线为对称轴将Rt△ABC进行轴反射,得到△ACD.
(1)求∠BAC的度数;
(2)△ABD是什么特殊三角形
解: (1)∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=AB,
∴∠BAC=30°.
(2)由轴反射的性质,知AD=AB,∠DAC=∠BAC=30°,
∴∠BAD=60°,
∴△ABD是等边三角形.
5.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,∠A=30°.求证:AB=4BD.
证明:∵∠ACB=90°,∠A=30°,
∴AB=2BC,∠B=60°.
又∵CD是AB边上的高,
∴∠CDB=90°,∴∠DCB=30°,
∴BC=2BD,
∴AB=2BC=4BD.
内容
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半（反之亦成立）
使用要点
含30°角的直角三角形的性质
找准30 °的角所对的直角边，点明斜边
注意
前提条件：直角三角形中
课堂小结
